Asimptota oblică: pe scurt

Dreapta $y=mx+n$, cu $m\ne 0$, este asimptotă oblică spre $+\infty$ dacă diferența $f(x)-mx-n$ tinde la zero. Panta și termenul liber se obțin prin procedura în trei pași: (1) $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ trebuie să fie finit și nenul; (2) $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ trebuie să fie finit; (3) abia atunci se scrie concluzia. Ordinea este obligatorie: limita care dă $n$ conține deja $m$. Propoziția de excludere reciprocă spune că, spre același capăt, asimptota orizontală și cea oblică nu pot coexista — se calculează întâi $\lim f(x)$ și numai dacă ea este infinită se trece la pantă. Cele patru situații în care oblica nu există sunt, în ordine: panta nu există, panta este infinită, panta este nulă, iar $n$ este infinit sau inexistent. La funcțiile raționale cu gradul numărătorului mai mare cu exact unu, câtul împărțirii cu rest este chiar asimptota, aceeași spre ambele capete. La radicalii de ordin par, $\sqrt{x^2}=|x|$ schimbă semnul pantei, deci cele două capete dau de regulă drepte diferite.

Exerciții din această mini-lecție

1. Asimptota oblică a graficului funcției $f(x)=\frac{2x^2+5x-1}{x+3}$, spre ambele capete, este:

   • a) $y=2x+5$
   • b) $y=2x+11$
   • c) $y=2x-1+\frac{2}{x+3}$
   • d) $y=2x-1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $y=2x-1$

   Metoda rapidă este împărțirea cu rest: $2x^2+5x-1=(x+3)(2x-1)+2$, deci $f(x)=2x-1+\frac{2}{x+3}$. Cum restul împărțit la numitor tinde la zero la ambele capete, asimptota este chiar câtul, $y=2x-1$. Varianta c nu este ecuația unei drepte, iar variantele a și b iau coeficienți din enunț fără să facă împărțirea.

2. Graficul funcției $f(x)=2x+\ln x$, definită pe $(0,+\infty )$, spre $+\infty$:

   • a) are asimptota $y=2x$
   • b) nu are asimptotă oblică, fiindcă $n=+\infty$
   • c) are asimptotă orizontală
   • d) are asimptota $y=2x+1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu are asimptotă oblică, fiindcă $n=+\infty$

   Pasul (1) al procedurii în trei pași dă $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{\ln x}{x}\right)=2$, finit și nenul. Pasul (2) însă dă $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-2x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$. Fiind una dintre cele patru situații în care oblica nu există, concluzia este că graficul nu se apropie de nicio dreaptă: o pantă finită nu garantează nimic.

3. Se știe că $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=3$. Atunci, spre $+\infty$, graficul lui $f$:

   • a) poate avea și asimptotă oblică
   • b) are obligatoriu asimptotă oblică
   • c) nu poate avea asimptotă oblică
   • d) nu are nicio asimptotă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu poate avea asimptotă oblică

   Este Propoziția de excludere reciprocă: dacă limita funcției este finită, dreapta $y=3$ este asimptotă orizontală, iar panta iese automat $m=\lim \frac{f(x)}{x}=0$, ceea ce contrazice condiția $m\ne 0$ din definiția oblicei. Un răspuns care le dă pe amândouă spre același capăt este sigur greșit.