Asimptota oblică

Un cablu de telefonie întins între doi stâlpi îndepărtați nu urmează o dreaptă, dar de la distanță pare că o face; un grafic care crește nemărginit poate, la fel, să urmeze din ce în ce mai fidel o dreaptă înclinată. Dreapta aceasta se numește asimptotă oblică, iar lecția de față — a treia din unitatea de analiză matematică a clasei a XII-a — arată cum i se calculează panta și termenul liber, prin exact două limite, în această ordine. Asimptota oblică a graficului unei funcții spre $+\infty$ este dreapta $y=mx+n$, unde $m$ este limita raportului $\frac{f(x)}{x}$, un număr real nenul, iar $n$ este limita diferenței $f(x)-mx$, tot un număr real. Este singurul tip de asimptotă la care răspunsul nu se citește dintr-o limită, ci se construiește din două.

În lecția Asimptota orizontală am văzut ce se întâmplă când valorile funcției se stabilizează. Dar ce facem cu o funcție precum $f(x)=x+\frac{1}{x}$, ale cărei valori cresc nemărginit? Limita la $+\infty$ este $+\infty$, deci nicio dreaptă orizontală. Și totuși graficul nu rătăcește: diferența $f(x)-x=\frac{1}{x}$ tinde la zero, deci curba se lipește de dreapta $y=x$. Aceasta e situația pe care o studiem acum, cu unelte deja cunoscute din clasa a XI-a — limitele la infinit și scrierea unei drepte cu panta ei.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția asimptotei oblice spre $+\infty$ și spre $-\infty$ și să spui de ce condiția $m\ne 0$ face parte din nume.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici teorema care dă panta $m$ și termenul liber $n$ prin două limite, în ordinea obligatorie.
• Vei ști să arăți că asimptota orizontală și cea oblică se exclud reciproc spre același capăt.
• Vei ști să recunoști cele patru situații în care asimptota oblică nu există.
• Vei ști să folosești împărțirea cu rest ca metodă rapidă la funcțiile raționale și să tratezi corect funcțiile cu radicali.
• Vei ști să stabilești poziția graficului față de asimptota oblică și să redactezi răspunsul la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este asimptota oblică?

Asimptota oblică spre $+\infty$ este dreapta $y=mx+n$, cu $m$ număr real nenul și $n$ număr real, pentru care diferența dintre funcție și dreaptă tinde la zero când $x$ merge la $+\infty$. Analog se definește asimptota oblică spre $-\infty$. Condiția se scrie într-un singur rând: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx-n)=0,m\in {\mathbb{R}}^{\ast },n\in \mathbb{R}.$$

De ce apare cerința $m\ne 0$ chiar în definiție? Pentru că, dacă panta ar fi nulă, condiția ar deveni $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-n)=0$, adică $f(x)\to n$ — exact definiția asimptotei orizontale $y=n$. Cuvântul „oblică" nu e un detaliu de vocabular: el spune că dreapta chiar e înclinată, iar restul teoriei se sprijină pe asta.

Legătura cu distanța, stabilită în lecția Ce este o asimptotă, rămâne valabilă: distanța de la punctul $M(x,f(x))$ la dreapta $y=mx+n$ este $$d(M,d)=\frac{|f(x)-mx-n|}{\sqrt{m^2+1}},$$ iar numitorul e o constantă. Deci distanța tinde la zero exact atunci când tinde la zero diferența $f(x)-mx-n$ — condiția din definiție.

Exemplul de pornire, $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$: aici $m=1$, $n=0$ și $f(x)-x=\frac{1}{x}\to 0$ spre ambele capete, deci dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

2. Cum se calculează panta și termenul liber al asimptotei oblice?

Definiția spune ce înseamnă că o dreaptă dată este asimptotă. Dar în probleme dreapta nu e dată — trebuie găsită. Teorema următoare o produce.

Teoremă. Fie $f$ o funcție definită cel puțin pe un interval de forma $(a,+\infty )$ și fie $m,n$ numere reale. Atunci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx-n)=0⟺m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\text{ și }n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx),$$ ambele limite din dreapta fiind finite. Dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ exact când, în plus, $m\ne 0$.

Demonstrație. Presupunem întâi că $g(x)=f(x)-mx-n$ tinde la $0$. Atunci $f(x)=mx+n+g(x)$ și, împărțind cu $x>0$, $$\frac{f(x)}{x}=m+\frac{n+g(x)}{x}.$$ Numărătorul $n+g(x)$ are limita finită $n$, iar $\frac{1}{x}\to 0$, deci a doua fracție tinde la $0$ și $\frac{f(x)}{x}\to m$. Tot din $f(x)=mx+n+g(x)$ obținem $f(x)-mx=n+g(x)\to n$. Prima implicație e demonstrată.

Reciproc, presupunem că cele două limite există, sunt finite și au valorile $m$ și $n$. A doua dintre ele spune direct că $f(x)-mx\to n$, deci $f(x)-mx-n\to 0$, adică exact condiția din definiție.

Enunțul analog spre $-\infty$ se demonstrează identic, cu $x<0$ la împărțire — semnul nu intervine, pentru că $\frac{1}{x}\to 0$ în ambele cazuri. $■$

Teorema dă și procedura, în trei pași, pe care o vei repeta la fiecare problemă:

1. calculezi $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și verifici că este finit și nenul;
2. calculezi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ cu acest $m$ și verifici că este finit;
3. scrii concluzia: dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

Apoi reiei cei trei pași spre $-\infty$, ca la o problemă nouă.

3. De ce se calculează întâi $m$ și abia apoi $n$?

Pentru că $n$ nu are sens fără $m$: limita de la pasul al doilea conține $m$ în expresia ei. Dacă panta e greșită, tot ce urmează e greșit, iar eroarea nu se vede — limita a doua iese de obicei un număr, doar că e alt număr.

Mai mult, primul pas e și un filtru: dacă $m$ iese infinit sau nu există, procedura se oprește acolo și răspunsul este „nu există asimptotă oblică spre acest capăt", fără să mai calculezi nimic. Dacă $m$ iese $0$, procedura se oprește la fel, dar concluzia se formulează altfel: panta nulă înseamnă că dreapta candidată e orizontală, deci întrebarea corectă era cea din lecția precedentă.

Merită văzut, concret, ce se strică dacă panta e greșită. La funcția $f(x)=\frac{2x^2+1}{x}$ panta corectă este $2$, iar termenul liber iese $0$, deci asimptota este $y=2x$. Dacă cineva ar folosi din greșeală $m=1$, ar calcula $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty$ și ar conchide, tot greșit, că asimptota oblică nu există. Un $m$ eronat nu produce doar un $n$ eronat: poate șterge complet o asimptotă care există.

Ordinea $m$, apoi $n$, este cea din barem. Un răspuns care începe cu $n$ nu poate fi punctat, pentru că expresia lui $n$ nici nu se poate scrie.

4. Orizontala și oblica se exclud reciproc

Acesta e rezultatul care ordonează tot capitolul: spre același capăt, o funcție nu poate avea și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică.

Propoziție. Dacă graficul funcției $f$ are asimptotă orizontală spre $+\infty$, atunci nu are asimptotă oblică spre $+\infty$, și reciproc.

Demonstrație. Presupunem, prin absurd, că le-ar avea pe amândouă: dreapta $y=\ell$ orizontală și dreapta $y=mx+n$ oblică, cu $m\ne 0$. Din prima, $f(x)\to \ell$. Din a doua, $f(x)-mx\to n$. Scădem cele două informații: $$mx=f(x)-(f(x)-mx)\underset{x\to +\infty }{\to }\ell -n,$$ adică $mx$ ar avea limită finită. Dar pentru $m\ne 0$ avem $mx\to +\infty$ sau $mx\to -\infty$, după semnul lui $m$ — contradicție. $■$

Consecința practică e o economie de muncă: la fiecare capăt infinit calculezi întâi limita funcției. Dacă e finită, ai asimptotă orizontală și te oprești. Dacă e infinită, treci la panta $m$. Nu are rost să le cauți pe amândouă.

Atenție însă: excluderea privește același capăt. Nimic nu împiedică o funcție să aibă asimptotă oblică spre $+\infty$ și asimptotă orizontală spre $-\infty$ — vezi Exemplul 5.

5. Când nu există asimptotă oblică?

Există exact patru feluri în care procedura eșuează, și merită să le știi pe toate, cu contraexemplul fiecăreia.

(1) Panta nu există. Pentru $f(x)=x\sin x$ avem $\frac{f(x)}{x}=\sin x$, care oscilează între $-1$ și $1$ fără limită la $+\infty$. Deci nu există $m$, deci nu există asimptotă oblică.

(2) Panta este infinită. Pentru $f(x)=x^2$ avem $\frac{f(x)}{x}=x\to +\infty$. O „pantă infinită" nu descrie nicio dreaptă, deci nu există asimptotă oblică. Același lucru se întâmplă la orice funcție polinomială de grad cel puțin doi.

(3) Panta este nulă. Pentru $f(x)=\sqrt{x}$, pe $(0,+\infty )$, avem $\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to 0$. Cum $m=0$ nu e admis, nu există asimptotă oblică; iar orizontală nu există nici ea, pentru că $\sqrt{x}\to +\infty$. Graficul crește nemărginit fără să urmeze vreo dreaptă. La fel se comportă $\ln x$.

(4) Termenul liber nu este finit sau nu există. Pentru $f(x)=x+\sqrt{x}$ avem $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=1$, pantă bună, dar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$: nu există asimptotă oblică. Pentru $f(x)=x+\sin x$ avem tot $m=1$, dar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sin x$ nu există — același verdict.

Cazul (4) e cel mai instructiv: arată de ce pasul al doilea nu e o formalitate. O pantă corectă nu garantează nimic dacă graficul se depărtează de dreapta $y=mx$ cu o cantitate care nu se stabilizează.

6. Metoda rapidă la funcțiile raționale: împărțirea cu rest

La funcțiile raționale nu e nevoie de cele două limite: împărțirea cu rest dă asimptota oblică dintr-un singur calcul, iar el se face cu algoritmul învățat la polinoame.

Fie $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, cu $\mathrm{grad}P=\mathrm{grad}Q+1$. Împărțim $P$ la $Q$ și obținem un cât de gradul întâi și un rest de grad strict mai mic decât al lui $Q$: $$P(x)=Q(x)(mx+n)+R(x),\text{deci}f(x)=mx+n+\frac{R(x)}{Q(x)}.$$

Cum $\mathrm{grad}R<\mathrm{grad}Q$, fracția $\frac{R(x)}{Q(x)}$ tinde la $0$ spre ambele capete, după regula gradelor din lecția precedentă. Prin urmare $f(x)-mx-n\to 0$: câtul împărțirii este chiar asimptota oblică, aceeași spre $+\infty$ și spre $-\infty$. Iar panta $m$ e nenulă automat, fiind raportul coeficienților dominanți ai lui $P$ și $Q$.

Exemplu: pentru $f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x-1}$ scriem $x^2-3x+5=(x-1)(x-2)+3$, verificând că $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ și că adăugarea lui $3$ reface numărătorul. Deci $$f(x)=x-2+\frac{3}{x-1},$$ iar dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

Împărțirea se poate face prin algoritmul clasic, în coloană, sau — când împărțitorul e de forma $x-a$ — prin schema lui Horner, mai rapidă. Rezultatul e același, iar verificarea e mereu aceeași: înmulțești câtul cu împărțitorul, aduni restul și trebuie să obții exact numărătorul. Această verificare de treizeci de secunde prinde majoritatea erorilor de calcul și merită făcută înainte de a scrie concluzia.

O capcană de reținut: metoda cere diferență de grade egală cu exact $1$. Dacă numărătorul depășește numitorul cu doi sau mai mult, câtul e de gradul al doilea sau mai mare, nu e o dreaptă, iar asimptotă oblică nu există. La $\frac{x^3+1}{x}$, de pildă, câtul este $x^2$, deci graficul urmează o parabolă, nu o dreaptă.

7. Funcțiile cu radicali: cele două capete dau drepte diferite

Aici se vede cel mai bine de ce convenția cere studiul separat al capetelor. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$; radicandul are discriminantul negativ, deci e strict pozitiv și domeniul este $\mathbb{R}$.

Spre $+\infty$. Scoatem de sub radical: $\sqrt{x^2+x+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$, iar $|x|=x$. Deci $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=1.$$ Pentru $n$ amplificăm cu conjugata, ca la nedeterminările cu radicali: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{1}{2}.$$ Ultima limită se obține împărțind numărătorul și numitorul cu $x$: sus $1+\frac{1}{x}\to 1$, jos $\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\to 2$. Deci dreapta $y=x+\frac{1}{2}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

Spre $-\infty$. Acum $|x|=-x$, deci $m=-1$. Apoi $$n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+1}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}-x}=-\frac{1}{2},$$ pentru că, împărțind cu $x$ (negativ), sus obținem $1+\frac{1}{x}\to 1$, iar jos $-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1\to -2$. Deci dreapta $y=-x-\frac{1}{2}$ este asimptotă oblică spre $-\infty$.

Graficul arată ca o hiperbolă întoarsă, cuprinsă între cele două drepte, simetrică față de verticala $x=-\frac{1}{2}$. Cine calculează un singur capăt scrie jumătate de răspuns și pierde jumătate din punctaj.

8. Cum se redactează răspunsul la Bacalaureat M1?

Un răspuns complet la un subpunct despre asimptota oblică conține patru elemente: limita care dă $m$, limita care dă $n$, ecuația dreptei și capătul. Model:

Cum $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, graficul nu are asimptotă orizontală spre $+\infty$. Calculăm $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=-2\in \mathbb{R}$. Prin urmare dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Poziția graficului față de dreaptă se cere separat și se citește din semnul diferenței $f(x)-mx-n$: pozitivă înseamnă grafic deasupra, negativă înseamnă grafic dedesubt, iar anularea ei dă punctele de intersecție. La funcțiile raționale diferența e chiar restul împărțit la numitor, deci semnul se obține fără niciun calcul nou.

La Subiectul al III-lea, asimptota oblică apare de obicei ca subpunctul b), după un subpunct de limită sau de derivată, și e urmată de trasarea graficului. Cele două limite se scriu întotdeauna, chiar dacă ai obținut dreapta prin împărțire — împărțirea e o scurtătură de calcul, nu o dispensă de justificare.

O ultimă precizare de formulare, care apare des în bareme: se scrie „asimptotă oblică la graficul funcției $f$", nu „asimptota funcției". Asimptota este o proprietate a graficului, adică a mulțimii de puncte, nu a legii de corespondență. Nuanța pare pedantă, dar ea explică de ce toate definițiile din această unitate vorbesc despre puncte, distanțe și drepte, iar nu despre valori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. $f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$

Domeniul este $\mathbb{R}$. Limita la $+\infty$ este $+\infty$ (gradul numărătorului e mai mare), deci nu există asimptotă orizontală.

Panta: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3}{x(x^2+1)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+1}=1$, finită și nenulă.

Termenul liber: $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^3}{x^2+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3-x^3-x}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x}{x^2+1}=0$.

Concluzie: dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$; calculul spre $-\infty$ este identic și dă aceeași dreaptă.

Poziția: $f(x)-x=-\frac{x}{x^2+1}$, negativă pentru $x>0$ și pozitivă pentru $x<0$. Graficul stă sub asimptotă la dreapta originii, deasupra ei la stânga, și o intersectează în origine.

Exemplul 2. Prin împărțire: $f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x-1}$

Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Gradele diferă cu exact $1$, deci împărțim: $x^2-3x+5=(x-1)(x-2)+3$, de unde $$f(x)=x-2+\frac{3}{x-1}.$$

Cum $\frac{3}{x-1}\to 0$ spre ambele capete, dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

Verificarea cu teorema, pentru redactarea completă: $m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x(x-1)}\right)=1$ și $n=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(-2+\frac{3}{x-1}\right)=-2$.

Poziția: diferența $f(x)-(x-2)=\frac{3}{x-1}$ e pozitivă pentru $x>1$ și negativă pentru $x<1$; graficul nu intersectează asimptota, pentru că o fracție cu numărătorul $3$ nu se anulează.

Exemplul 3. Cu radical: $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$

Rezolvarea completă e în secțiunea 7. Rezumatul răspunsului, în forma cerută:

Dreapta $y=x+\frac{1}{2}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$, iar dreapta $y=-x-\frac{1}{2}$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

Verificare numerică, utilă ca autocontrol: $f(1000)\approx 1000,50037$, iar dreapta dă $1000+0,5=1000,5$ — diferența e de ordinul zecimilor de miime și scade odată cu creșterea lui $x$. La $x=-1000$ obținem $f(-1000)\approx 999,50037$, iar dreapta dă $-(-1000)-0,5=999,5$.

Exemplul 4. Cu exponențială: $f(x)=x{e}^{1/x}$

Domeniul este ${\mathbb{R}}^{\ast }$; ne interesează aici numai capetele infinite, punctul $0$ fiind subiectul lecției Asimptota verticală.

Panta: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x{e}^{1/x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{1/x}=e^0=1$.

Termenul liber: $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x{e}^{1/x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{1/x}-1\right)$. Notăm $t=\frac{1}{x}$; cum $x\to +\infty$, avem $t\to 0$ și $t\ne 0$, deci $$n=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=\ln e=1,$$ folosind limita fundamentală a exponențialei în cazul $a=e$.

Concluzie: dreapta $y=x+1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$. Calculul spre $-\infty$ este identic, cu $t\to 0$ prin valori negative, și dă aceeași dreaptă.

Exemplul 5. Oblică într-o parte, orizontală în cealaltă

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$.

Spre $+\infty$: limita funcției este $+\infty$, deci trecem la pantă. Cum $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+1/x^2}$ pentru $x>0$, obținem $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)=2$. Apoi $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+\sqrt{x^2+1}-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0.$$ Deci dreapta $y=2x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

Spre $-\infty$: amplificăm direct cu conjugata, $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-(x^2+1)}{x-\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}=0,$$ pentru că numitorul tinde la $-\infty$. Limita fiind finită, dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ — și, conform propoziției din secțiunea 4, nu mai are rost să căutăm oblică spre acest capăt.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+ax+1}{x+2}$, unde $a$ este un număr real. Este formatul obișnuit al Subiectului al III-lea, cu trei subpuncte.

a) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$, oricare ar fi $a\in \mathbb{R}$.

$$\frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+ax+1}{x(x+2)}=\frac{x^2+ax+1}{x^2+2x}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{1}=1,$$ pentru că numărătorul și numitorul au același grad, iar coeficienții dominanți sunt amândoi $1$.

b) Arătați că $f(x)=x+a-2+\frac{5-2a}{x+2}$ și deduceți asimptota oblică spre $+\infty$.

Efectuăm împărțirea: $(x+2)(x+a-2)=x^2+ax+2a-4$, iar adunând $5-2a$ obținem $x^2+ax+1$, adică numărătorul. Cum $\frac{5-2a}{x+2}\to 0$, rezultă $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=a-2$, deci dreapta $y=x+a-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

c) Determinați $a$ pentru care asimptota oblică trece prin punctul $A(1,2)$.

Condiția $2=1+a-2$ dă $a=3$. Verificare: pentru $a=3$, $f(x)=x+1-\frac{1}{x+2}$, iar asimptota $y=x+1$ trece într-adevăr prin $A(1,2)$.

Să exersăm

1. Enunță definiția asimptotei oblice spre $-\infty$ și explică de ce se cere $m\ne 0$.

2. Arată că dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f(x)=x+\frac{4}{x}$.

3. Determină asimptota oblică a graficului funcției $f(x)=\frac{x^2+1}{x-2}$, folosind împărțirea cu rest.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă gradul numărătorului este mai mare decât al numitorului, graficul funcției raționale are asimptotă oblică.

5. Calculează $m$ și $n$ pentru $f(x)=\frac{2x^2-x+3}{x+1}$ și scrie ecuația asimptotei oblice.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) O funcție poate avea, spre $+\infty$, și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică.

7. Arată că funcția $f(x)=x+\ln x$, pe $(0,+\infty )$, nu are asimptotă oblică spre $+\infty$.

8. Pentru $f(x)=\frac{3x^2+2}{x}$, determină asimptota oblică și poziția graficului față de ea pe $(0,+\infty )$.

9. (Problemă aplicată.) Costul total al producerii a $x$ obiecte este $C(x)=5x+200+\frac{100}{x+1}$ lei. Ce dreaptă urmărește graficul costului la producții mari și ce înseamnă panta ei?

10. Explică de ce $f(x)=x^2+3x$ nu are asimptotă oblică, deși valorile ei cresc nemărginit.

11. Determină asimptotele oblice ale graficului funcției $f(x)=\sqrt{x^2+4x}$ spre ambele capete, precizând domeniul.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$, atunci graficul lui $f$ are asimptotă oblică spre $+\infty$.

13. Pentru $f(x)=\frac{x^3+2x}{x^2+1}$, determină asimptota oblică spre ambele capete.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$. Determină asimptota oblică spre $+\infty$ și stabilește dacă graficul o intersectează.

15. Arată că funcția $f(x)=x+\cos x$ are $m=1$, dar nu are asimptotă oblică.

16. (Problemă aplicată.) Distanța parcursă de un vehicul care accelerează și apoi rulează uniform este $d(t)=20t-40+\frac{40}{t+1}$ metri, cu $t$ în secunde. Ce dreaptă urmărește graficul și ce reprezintă panta ei fizic?

17. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care dreapta $y=3x-1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f(x)=\frac{3x^2+ax+2}{x}$.

18. (Provocare.) Construiește o funcție definită pe $\mathbb{R}$ care are asimptota oblică $y=x$ spre $+\infty$ și asimptota oblică $y=-x$ spre $-\infty$, și justifică ambele afirmații.

Răspunsuri și explicații

1. Dreapta $y=mx+n$, cu $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n\in \mathbb{R}$, este asimptotă oblică spre $-\infty$ dacă $\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-mx-n)=0$. Condiția $m\ne 0$ separă cazul de asimptota orizontală: pentru $m=0$ condiția devine $f(x)\to n$.

2. $f(x)-x=\frac{4}{x}\to 0$ când $x\to +\infty$, iar panta $m=1$ este nenulă. Deci $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

3. $x^2+1=(x-2)(x+2)+5$, deci $f(x)=x+2+\frac{5}{x-2}$. Asimptota oblică este $y=x+2$, spre ambele capete.

4. Fals. Trebuie ca gradele să difere prin exact $1$. La $\frac{x^3+1}{x}$ câtul este $x^2$, deci graficul urmează o parabolă, nu o dreaptă, iar asimptotă oblică nu există.

5. $2x^2-x+3=(x+1)(2x-3)+6$, deci $f(x)=2x-3+\frac{6}{x+1}$: $m=2$, $n=-3$, iar asimptota este $y=2x-3$.

6. Fals. Cele două se exclud reciproc spre același capăt; altfel $mx=f(x)-(f(x)-mx)$ ar avea limită finită, imposibil pentru $m\ne 0$.

7. $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{\ln x}{x}\right)=1$, dar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$, deci $n$ nu e finit și asimptota oblică nu există.

8. $f(x)=3x+\frac{2}{x}$, deci asimptota este $y=3x$. Diferența $\frac{2}{x}$ e pozitivă pe $(0,+\infty )$, deci graficul stă deasupra asimptotei acolo.

9. $C(x)-(5x+200)=\frac{100}{x+1}\to 0$, deci graficul urmărește dreapta $y=5x+200$. Panta $5$ este costul suplimentar al fiecărui obiect în plus, iar $200$ este costul fix.

10. Panta candidat este $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+3x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+3)=+\infty$, deci nu e finită. Creșterea nemărginită nu implică urmarea unei drepte.

11. Domeniul este $(-\infty ,-4]\cup [0,+\infty )$, unde $x^2+4x\ge 0$. Spre $+\infty$: $m=1$ și $n=\lim \left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)=\lim \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=2$, deci $y=x+2$. Spre $-\infty$: $m=-1$ și $n=-2$, deci $y=-x-2$.

12. Fals. Panta finită nenulă e doar prima condiție; trebuie ca și $n=\lim (f(x)-2x)$ să fie finit. Contraexemplu: $f(x)=2x+\sqrt{x}$, cu $m=2$, dar $n=+\infty$.

13. $x^3+2x=x(x^2+1)+x$, deci $f(x)=x+\frac{x}{x^2+1}$, iar fracția tinde la $0$: asimptota oblică este $y=x$, spre ambele capete.

14. $x^2=(x-1)(x+1)+1$, deci $f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}$ și asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=x+1$. Intersecția ar cere $\frac{1}{x-1}=0$, imposibil: graficul nu o intersectează.

15. $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{\cos x}{x}\right)=1$, pentru că $\left|\frac{\cos x}{x}\right|\le \frac{1}{x}\to 0$. Dar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\cos x$ nu există, deci asimptota oblică nu există.

16. $d(t)-(20t-40)=\frac{40}{t+1}\to 0$, deci graficul urmărește dreapta $y=20t-40$. Panta $20$ este viteza spre care tinde vehiculul, exprimată în metri pe secundă.

17. $f(x)=3x+a+\frac{2}{x}$, deci $m=3$ și $n=a$. Condiția $n=-1$ dă $a=-1$.

18. De exemplu $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, definită pe $\mathbb{R}$. Spre $+\infty$: $m=1$ și $n=\lim \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\lim \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0$, deci $y=x$. Spre $-\infty$: $m=-1$ și $n=\lim \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=0$, deci $y=-x$.

De reținut

• Dreapta $y=mx+n$, cu $m$ nenul, este asimptotă oblică spre $+\infty$ dacă și numai dacă diferența $f(x)-mx-n$ tinde la zero când $x$ tinde la $+\infty$.
• Panta și termenul liber se obțin din două limite, în ordinea obligatorie $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$, ambele trebuind să fie finite, iar $m$ nenul.
• Spre același capăt, asimptota orizontală și cea oblică se exclud reciproc, deci se calculează întâi limita funcției și abia dacă ea este infinită se trece la pantă.
• La o funcție rațională cu gradul numărătorului mai mare cu exact unu decât al numitorului, câtul împărțirii cu rest este chiar asimptota oblică, aceeași spre ambele capete.
• La funcțiile cu radical de ordin par cele două capete dau, de regulă, drepte diferite, pentru că $\sqrt{x^2}=|x|$ schimbă semnul pantei spre $-\infty$.

Greșeli frecvente

• A căuta și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică spre același capăt. Ele se exclud reciproc: dacă limita funcției e finită, dreapta e orizontală și studiul se oprește; dacă e infinită, abia atunci se calculează panta. Un răspuns care le dă pe amândouă este sigur greșit.
• A inversa ordinea lui $m$ și $n$. Limita care dă $n$ conține $m$ în expresia ei, deci nu poate fi scrisă înainte. Calculează întâi panta, verifică dacă e finită și nenulă și abia apoi termenul liber, cu acea valoare.
• A declara asimptotă oblică atunci când panta iese zero. Pentru $m=0$ dreapta ar fi orizontală, deci fie există asimptotă orizontală, fie nu există niciuna; la $\sqrt{x}$ și la $\ln x$ panta e nulă și nu există nicio asimptotă spre $+\infty$.
• A crede că o pantă finită garantează asimptota. La $x+\sqrt{x}$ panta este $1$, dar $n$ iese $+\infty$; la $x+\sin x$ panta este tot $1$, iar $n$ nici nu există. Pasul al doilea trebuie făcut și verificat de fiecare dată.
• A uita modulul la radicali și al doilea capăt. La $\sqrt{x^2+x+1}$ panta este $1$ spre $+\infty$ și $-1$ spre $-\infty$, iar termenii liberi sunt $\frac{1}{2}$ și $-\frac{1}{2}$; cine scrie o singură dreaptă pierde jumătate din răspuns.

Aplică acasă

1. Ia funcția $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$ și completează un tabel cu valorile lui $f(x)$ și ale diferenței $f(x)-x$ pentru $x=10$, $100$, $1000$ și pentru valorile negative corespunzătoare. Observă cum diferența scade de zece ori la fiecare pas și explică de ce, pornind de la formula ei.

2. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ pentru $x$ între $-6$ și $6$, calculând valorile cu un calculator. Trasează punctat dreptele $y=x+0,5$ și $y=-x-0,5$ și verifică vizual că ramurile se apropie de ele. Notează pe desen minimul curbei.

3. Alege trei funcții raționale din culegerea de clasa a XI-a la care ai făcut împărțiri de polinoame și rescrie fiecare cât ca ecuație de asimptotă oblică. Verifică apoi, pentru una dintre ele, că cele două limite din teoremă dau exact același rezultat ca împărțirea.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce singura asimptotă care se construiește, nu se citește: două limite, în ordine fixă, cu verificări la fiecare pas. Ea aparține trunchiului de analiză matematică al programei de matematică-informatică (mate-info) și e cerută integral la profilul real. Ea cere elevului o disciplină de redactare pe care baremele o urmăresc îndeaproape.

Ce verifică lecția: enunțul definiției cu condiția $m\ne 0$; aplicarea corectă a teoremei, în ordinea $m$ apoi $n$; recunoașterea celor patru situații de inexistență; folosirea împărțirii cu rest la funcțiile raționale; tratarea celor două capete la funcțiile cu radical.

Întrebări de control: „De ce nu poți calcula $n$ înainte de $m$?"; „Ce faci dacă panta iese zero?"; „De ce nu are $x+\sqrt{x}$ asimptotă oblică, deși panta e $1$?"; „Poate o funcție să aibă și orizontală, și oblică spre $+\infty$?".

Semne că a înțeles: verifică întâi limita funcției, ca să știe dacă are rost să caute oblică; scrie explicit $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ ca parte a concluziei; nu uită capătul $-\infty$ la funcțiile cu radical; face verificarea împărțirii înainte de a scrie ecuația dreptei.

Dificultatea tipică: elevii rețin ușor formulele celor două limite, dar sar peste verificările dintre ele — că panta e finită, că e nenulă, că termenul liber e finit. Exercițiile 7, 12 și 15 din lecție sunt construite exact pe aceste omisiuni și merită reluate până când verificările devin automate.

Unde apare la BAC: la Subiectul al III-lea, frecvent ca subpunct b), imediat înainte de trasarea graficului. Funcțiile favorite sunt cele raționale cu diferență de grade $1$ și cele de forma $x+$ o expresie care se stinge; ambele se rezolvă în cinci rânduri dacă procedura e stăpânită.

Întrebări frecvente

Ce este asimptota oblică a unei funcții?

Este dreapta înclinată $y=mx+n$, cu panta $m$ nenulă, de care graficul se apropie oricât de mult când $x$ merge spre $+\infty$ sau spre $-\infty$. Condiția riguroasă este ca diferența $f(x)-mx-n$ să tindă la zero. Dacă panta ar fi nulă, dreapta ar fi orizontală și ar purta celălalt nume.

Cum se calculează asimptota oblică?

Prin două limite, în această ordine: mai întâi panta, $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$, care trebuie să fie finită și nenulă, apoi termenul liber, $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$, care trebuie să fie finit. Dacă ambele condiții sunt îndeplinite, dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică spre acel capăt.

De ce se calculează întâi $m$ și apoi $n$?

Pentru că expresia limitei care dă $n$ îl conține pe $m$: nu se poate scrie $f(x)-mx$ fără a ști cât este $m$. În plus, primul pas funcționează ca filtru: dacă panta iese infinită, nulă sau inexistentă, studiul se oprește acolo și răspunsul este că asimptota oblică nu există.

Poate o funcție să aibă și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică?

Spre același capăt, nu: cele două se exclud reciproc, pentru că altfel $mx$ ar avea limită finită, ceea ce e imposibil pentru $m$ nenul. Spre capete diferite, da: funcția $x+\sqrt{x^2+1}$ are asimptotă oblică $y=2x$ spre $+\infty$ și asimptotă orizontală $y=0$ spre $-\infty$.

Când are o funcție rațională asimptotă oblică?

Exact atunci când gradul numărătorului depășește cu unu gradul numitorului. În acest caz împărțirea cu rest dă un cât de gradul întâi, care este chiar ecuația asimptotei, aceeași spre ambele capete. Dacă diferența de grade este doi sau mai mare, câtul nu mai e o dreaptă și asimptota oblică nu există.

De ce funcțiile cu radical dau drepte diferite la cele două capete?

Pentru că $\sqrt{x^2}=|x|$, iar modulul devine $x$ spre $+\infty$ și $-x$ spre $-\infty$. Panta își schimbă astfel semnul, iar odată cu ea și termenul liber. La $\sqrt{x^2+x+1}$ se obțin dreptele $y=x+\frac{1}{2}$ și $y=-x-\frac{1}{2}$.

Poate graficul să intersecteze asimptota oblică?

Da, ca la orice asimptotă: definiția cere doar ca distanța să tindă la zero. Funcția $\frac{x^3}{x^2+1}$ își taie asimptota $y=x$ în origine, pentru că diferența $-\frac{x}{x^2+1}$ se anulează acolo și își schimbă semnul.