Asimptota orizontală: pe scurt

Dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ dacă și numai dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ este un număr real; analog spre $-\infty$. Cele două capete se studiază separat, cu două limite scrise separat, pentru că pot da drepte diferite. La o funcție rațională răspunsul se citește din grade: numitor de grad mai mare dă $y=0$; grade egale dau raportul coeficienților dominanți; numărător de grad mai mare înseamnă că nu există asimptotă orizontală. La radicalii de ordin par se scrie obligatoriu $\sqrt{x^2}=|x|$, iar modulul devine $x$ spre $+\infty$ și $-x$ spre $-\infty$ — de aici provin aproape toate semnele greșite. Funcțiile exponențiale se comportă complet diferit la cele două capete și pot avea două orizontale distincte. Poziția graficului față de asimptotă se stabilește din semnul diferenței $f(x)-\ell$, iar anularea ei este o intersecție perfect permisă. Răspunsul nu este un număr, ci o dreaptă: „$y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$”, cu ecuația scrisă și cu capătul precizat.

Exerciții din această mini-lecție

1. Asimptota orizontală a graficului funcției $f(x)=\frac{6x^2-x+1}{3x^2+5}$ este:

   • a) $y=0$
   • b) $y=\frac{1}{5}$
   • c) $y=2$
   • d) nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $y=2$

   Gradele sunt egale, deci limita la ambele capete este raportul coeficienților dominanți: $\frac{6}{3}=2$. Dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$. Varianta $y=0$ ar apărea dacă numitorul ar avea grad strict mai mare, iar $\frac{1}{5}$ este raportul termenilor liberi, care nu decide nimic la infinit.

2. Pentru $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x-1}$, asimptotele orizontale sunt:

   • a) $y=\frac{3}{2}$ spre $+\infty$ și $y=-\frac{3}{2}$ spre $-\infty$
   • b) $y=\frac{3}{2}$ spre ambele capete
   • c) $y=-\frac{3}{2}$ spre ambele capete
   • d) $y=\frac{9}{2}$ spre $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $y=\frac{3}{2}$ spre $+\infty$ și $y=-\frac{3}{2}$ spre $-\infty$

   Scoatem de sub radical: $\sqrt{9x^2+4}=|x|\sqrt{9+\frac{4}{x^2}}$. Spre $+\infty$, $|x|=x$ și limita este $\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$; spre $-\infty$, $|x|=-x$ și limita devine $-\frac{3}{2}$. Varianta b este exact greșeala $\sqrt{x^2}=x$, care pierde semnul la capătul negativ.

3. Graficul funcției $f(x)=\frac{7}{2+e^x}$ are:

   • a) $y=\frac{7}{2}$ spre ambele capete
   • b) $y=0$ spre $+\infty$ și $y=\frac{7}{2}$ spre $-\infty$
   • c) $y=0$ spre ambele capete
   • d) $y=7$ spre $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $y=0$ spre $+\infty$ și $y=\frac{7}{2}$ spre $-\infty$

   Spre $+\infty$ avem $e^x\to +\infty$, deci numitorul crește nemărginit și $f(x)\to 0$. Spre $-\infty$ avem $e^x\to 0$, deci $f(x)\to \frac{7}{2}$. Cele două capete dau drepte diferite, motiv pentru care limitele se scriu întotdeauna separat. Varianta d ar cere ca $e^x$ să tindă la $-1$, ceea ce este imposibil: exponențiala este strict pozitivă.