Asimptota orizontală

Concentrația unui medicament administrat zilnic, în aceeași doză și la aceeași oră, nu crește la nesfârșit: după câteva zile se stabilizează în jurul unei valori de echilibru, iar graficul concentrației se turtește sub o dreaptă orizontală. Dreapta aceea este asimptota orizontală a graficului, iar lecția de față — a doua din unitatea de analiză matematică a clasei a XII-a — arată cum se determină ecuația ei prin două limite. Asimptota orizontală a graficului unei funcții spre $+\infty$ este dreapta de ecuație $y=\ell$, unde $\ell$ este limita funcției când $x$ tinde la $+\infty$, cu condiția ca această limită să fie un număr real; spre $-\infty$ se procedează la fel, separat. Este cel mai frecvent tip de asimptotă din subiectele de examen și, din fericire, și cel mai simplu: tot ce cere este o limită la $+\infty$ și o limită la $-\infty$.

În lecția Ce este o asimptotă am stabilit regula generală — graficul se apropie de o dreaptă atunci când distanța până la ea tinde la zero — și am văzut că, pentru o dreaptă orizontală, distanța este chiar $|f(x)-\ell |$. Rămâne de organizat calculul: unde se pune întrebarea, ce limită se scrie, cum se citește rezultatul și, mai ales, de ce cele două capete trebuie tratate ca două probleme separate. Instrumentele sunt cele din clasa a XI-a, de la limite la infinit până la nedeterminările la funcții raționale; noutatea e traducerea lor în drepte.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția asimptotei orizontale spre $+\infty$ și spre $-\infty$, cu condiția de domeniu care o face posibilă.
• Vei ști să determini rapid asimptota orizontală a unei funcții raționale, comparând gradele numărătorului și numitorului.
• Vei ști să tratezi radicalii de ordin par, unde $\sqrt{x^2}=|x|$ schimbă răspunsul la capătul $-\infty$.
• Vei ști să lucrezi cu funcțiile exponențiale și logaritmice, la care cele două capete se comportă complet diferit.
• Vei ști să stabilești poziția graficului față de asimptotă, din semnul diferenței $f(x)-\ell$.
• Vei ști să redactezi răspunsul în forma cerută la Bacalaureat M1, ca listă de drepte cu precizarea capătului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este asimptota orizontală?

Asimptota orizontală spre $+\infty$ este dreapta $y=\ell$, unde $\ell$ este limita finită a funcției la $+\infty$; analog se definește asimptota orizontală spre $-\infty$. Existența ei înseamnă că valorile funcției se stabilizează în jurul nivelului $\ell$, oricât de departe am merge, iar distanța dintre grafic și dreaptă tinde la zero.

Scris cu limite, pentru o funcție $f$ definită cel puțin pe un interval de forma $(a,+\infty )$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell \in \mathbb{R}⟺\text{dreapta }y=\ell \text{ este asimptota˘ orizontala˘ spre }+\infty .$$

Trei precizări care contează la corectare.

(a) Limita trebuie să fie finită. Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ sau $-\infty$, nu există asimptotă orizontală spre acel capăt. Limita infinită există — asta ai fixat în clasa a XI-a — dar nu produce o dreaptă orizontală.

(b) Trebuie să existe capătul. Întrebarea despre asimptota orizontală spre $+\infty$ are sens numai dacă domeniul conține un interval nemărginit la dreapta, adică $(a,+\infty )$. Pentru $f:[0,5]\to \mathbb{R}$ nu se pune problema, iar pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ se pune numai spre $+\infty$.

(c) Se spune „spre", nu „la". Limita se calculează la $+\infty$; asimptota este spre $+\infty$. Distincția pare măruntă, dar face răspunsul precis, mai ales când cele două capete dau drepte diferite.

Merită văzut și de ce definiția prin limită este exact definiția prin distanță, nu o variantă convenabilă a ei. Punctul mobil al graficului este $M(x,f(x))$, iar proiecția lui pe dreapta $y=\ell$ este $P(x,\ell )$; distanța dintre ele este lungimea segmentului vertical, adică $|f(x)-\ell |$. A cere ca această distanță să tindă la zero înseamnă, cuvânt cu cuvânt, a cere ca $f(x)$ să tindă la $\ell$. La asimptota orizontală cele două formulări coincid perfect; la cea oblică vom avea nevoie de un factor constant în plus, iar la cea verticală de o schimbare de perspectivă.

2. De ce se studiază separat cele două capete

Pentru că sunt două limite diferite, care pot da două numere diferite. E o greșeală de rutină să se calculeze o singură limită „la infinit" și să se declare o singură asimptotă.

Cel mai limpede exemplu este $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Scoatem $x^2$ de sub radical, cu grijă: $$\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}},\text{deci}f(x)=\frac{x}{|x|}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.$$

Spre $+\infty$ avem $|x|=x$, deci $\frac{x}{|x|}=1$ și limita este $1$: dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Spre $-\infty$ avem $|x|=-x$, deci $\frac{x}{|x|}=-1$ și limita este $-1$: dreapta $y=-1$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$.

Graficul are, prin urmare, două asimptote orizontale diferite. Cine calculează o singură limită pierde jumătate din răspuns.

Obiceiul corect, pe care ți-l recomandăm de la prima problemă, este să scrii de fiecare dată două rânduri, chiar dacă bănuiești că vor da același număr. Un rând pentru $+\infty$, un rând pentru $-\infty$, iar concluzia se formulează separat pentru fiecare. Costul e de zece secunde; câștigul e că nu vei rata niciodată cazurile în care capetele diferă — și ele apar tocmai la funcțiile pe care examenul le preferă, cele cu radical de ordin par sau cu exponențială.

3. Cum se calculează asimptota orizontală la o funcție rațională?

Aceasta e situația cea mai des întâlnită în subiecte, iar răspunsul se citește din grade. Fie $$f(x)=\frac{a_p{x}^p+a_{p-1}{x}^{p-1}+\cdots +a_0}{b_q{x}^q+b_{q-1}{x}^{q-1}+\cdots +b_0},a_p\ne 0,b_q\ne 0.$$

Dăm factor forțat termenul dominant sus și jos: $$f(x)=\frac{x^p}{x^q}\cdot \frac{a_p+\frac{a_{p-1}}{x}+\dots }{b_q+\frac{b_{q-1}}{x}+\dots }=x^{p-q}\cdot \frac{a_p+\frac{a_{p-1}}{x}+\dots }{b_q+\frac{b_{q-1}}{x}+\dots }.$$

A doua fracție tinde la $\frac{a_p}{b_q}$ spre ambele capete, pentru că toți termenii cu $x$ la numitor se sting. Rămâne să vedem ce face $x^{p-q}$, și obținem trei cazuri:

Reține și consecința: la o funcție rațională, cele două capete dau aceeași asimptotă orizontală — spre deosebire de funcțiile cu radicali de ordin par, unde răspunsurile diferă. Motivul e că $x^{p-q}$ tinde la aceeași limită, $0$, spre ambele capete când $p<q$, iar în cazul $p=q$ factorul e chiar $1$.

Câte un exemplu scurt pentru fiecare rând al tabelului, ca regula să nu rămână abstractă. Pentru $\frac{x+4}{x^2-3}$ avem $p=1<2=q$, deci asimptota este $y=0$. Pentru $\frac{6x^2-x}{3x^2+7}$ avem $p=q=2$, deci asimptota este $y=\frac{6}{3}=2$. Pentru $\frac{x^3+1}{x^2+1}$ avem $p=3>2=q$, deci nu există asimptotă orizontală.

Atenție la o capcană de citire: regula se aplică după ce fracția a fost adusă la forma ei ireductibilă și numai coeficienților dominanți, nu primilor coeficienți scriși. La $\frac{5-2x^2}{3x^2+x}$ coeficientul dominant al numărătorului este $-2$, nu $5$, deci asimptota este $y=-\frac{2}{3}$. Scrie întotdeauna polinoamele în ordinea descrescătoare a puterilor înainte de a compara.

Când $p>q$ nu se închide discuția cu „nu există asimptotă": se trece la întrebarea despre asimptota oblică, care are șanse reale tocmai când $p=q+1$.

4. Radicalii de ordin par și capcana modulului

Regula pe care baremele o urmăresc: $\sqrt{x^2}=|x|$, nu $x$. Consecința e că, la orice funcție care conține un radical de ordin par dintr-un polinom de grad par, capătul $-\infty$ poate da alt răspuns decât capătul $+\infty$.

Fie $f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+1}$, definită pe $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Scriem $$\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}},x+1=x\left(1+\frac{1}{x}\right).$$

Spre $+\infty$, $|x|=x$, deci $f(x)=\frac{\sqrt{4+1/x^2}}{1+1/x}\to \frac{2}{1}=2$: asimptota orizontală este $y=2$.

Spre $-\infty$, $|x|=-x$, deci $f(x)=-\frac{\sqrt{4+1/x^2}}{1+1/x}\to -2$: asimptota orizontală este $y=-2$.

Metoda, în trei pași, e cea de la nedeterminările cu radicali: scoate puterea dominantă de sub radical, scrie modulul, apoi înlocuiește modulul cu $x$ sau cu $-x$ după capătul studiat. Pasul al doilea e cel care se sare cel mai des.

5. Exponențiale și logaritmi: capetele nu seamănă

La aceste funcții asimetria dintre cele două capete e regula, nu excepția. Reamintim comportările fixate în clasa a XI-a, la limitele funcțiilor exponențială și logaritmică: pentru $a>1$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$; pentru $0<a<1$ rolurile se inversează.

Trei situații de reținut.

Funcția exponențială simplă $f(x)=e^x$ are asimptota orizontală $y=0$ spre $-\infty$ și nicio asimptotă spre $+\infty$ (limita e $+\infty$). Graficul se lipește de axa $Ox$ doar în stânga.

Funcția logistică $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$, folosită în biologie pentru creșterea populațiilor, are două asimptote orizontale. Spre $+\infty$, $e^{-x}\to 0$, deci $f(x)\to 1$: dreapta $y=1$. Spre $-\infty$, $e^{-x}\to +\infty$, deci numitorul crește nemărginit și $f(x)\to 0$: dreapta $y=0$.

Funcția logaritmică $f(x)=\ln x$, pe $(0,+\infty )$, nu are asimptotă orizontală: singurul capăt infinit este $+\infty$, iar acolo limita este $+\infty$. Faptul că logaritmul crește foarte încet nu schimbă nimic — creșterea încetinită nu e același lucru cu stabilizarea. Un test mental util: dacă îți propui orice prag, oricât de mare, logaritmul îl va depăși cândva; o funcție cu asimptotă orizontală nu depășește niciodată un anumit prag.

Aceeași lecție se poate citi pe perechea $2^x$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Prima are asimptota orizontală $y=0$ spre $-\infty$ și niciuna spre $+\infty$; a doua, exact invers. Graficele lor sunt simetrice față de axa $Oy$, iar simetria mută asimptota dintr-un capăt în celălalt — o observație pe care o vei folosi la trasarea graficelor.

6. Unde stă graficul față de asimptotă?

Odată găsit $\ell$, poziția se citește din semnul diferenței $f(x)-\ell$: unde diferența e pozitivă graficul stă deasupra dreptei, unde e negativă stă dedesubt, iar unde se anulează graficul o intersectează.

Pentru $f(x)=\frac{3x^2-x+2}{x^2+1}$ am găsit $\ell =3$. Calculăm: $$f(x)-3=\frac{3x^2-x+2-3(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{-x-1}{x^2+1}.$$ Numitorul e mereu pozitiv, deci semnul e dat de $-x-1$: pozitiv pentru $x<-1$, negativ pentru $x>-1$, nul în $x=-1$. Concluzia completă: graficul e deasupra dreptei $y=3$ pe $(-\infty ,-1)$, o intersectează în punctul $(-1,3)$ și rămâne sub ea pe $(-1,+\infty )$.

Repetăm avertismentul din lecția precedentă: intersecția cu asimptota este permisă. Ea nu contrazice nimic, pentru că definiția cere doar ca distanța să tindă la zero, iar aici $\left|f(x)-3\right|=\frac{|x+1|}{x^2+1}\to 0$.

De ce merită efortul acestui calcul suplimentar? Pentru că, la trasarea graficului, poziția față de asimptotă decide desenul. Două funcții pot avea aceeași asimptotă orizontală și grafice care arată complet diferit: una se apropie de dreaptă venind de sus, cealaltă de jos, iar a treia trece dintr-o parte în alta. Fără semnul diferenței, desenul e o presupunere; cu el, e o consecință. Vei folosi această informație ca pas separat în schema de trasare a graficelor, la sfârșitul unității.

7. Când nu există asimptotă orizontală

Două motive, și fiecare are o urmare diferită.

Limita este infinită. E cazul funcțiilor raționale cu $p>q$, al polinoamelor de grad cel puțin unu, al lui $\ln x$ spre $+\infty$. Aici nu se scrie „nu are asimptotă" și atât: se trece imediat la întrebarea despre asimptota oblică, pentru că graficul poate totuși urmări o dreaptă înclinată.

Limita nu există. E cazul funcțiilor care oscilează fără să se calmeze: $f(x)=\sin x$ nu are limită la $+\infty$, pentru că valorile ei revin la $1$ și la $-1$ oricât de departe am merge. Aici concluzia e definitivă: nici orizontală, nici oblică — panta $\frac{\sin x}{x}$ tinde la $0$, ceea ce ar cere o dreaptă orizontală, dar aceea tocmai a fost exclusă.

Distincția dintre „limită infinită" și „limită inexistentă", fixată în clasa a XI-a, își arată aici toată utilitatea practică. Un al treilea motiv, mai discret, e cel de domeniu: dacă domeniul nu conține niciun interval nemărginit — de pildă la $f:[-2,6]\to \mathbb{R}$ — întrebarea nici nu se pune, iar răspunsul corect este „nu se studiază asimptote orizontale, pentru că domeniul este mărginit". Nu e același lucru cu „nu există", și profesorii apreciază diferența.

8. Cum se redactează răspunsul la Bacalaureat M1?

Un răspuns care ia punctajul întreg conține trei lucruri: limita scrisă, valoarea ei și ecuația dreptei, cu capătul precizat. Model:

Domeniul este $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Cum $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=2$, dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

Ce se pierde cel mai des: capătul nemenționat, ecuația scrisă ca „$\ell =2$" în loc de „$y=2$" și limita nescrisă, doar rezultatul ei. La Subiectul al III-lea, primul subpunct cere deseori exact această propoziție, iar baremul o punctează pe pași: limita, apoi concluzia.

Când cele două capete dau același număr, se scrie o singură dreaptă, dar cu ambele capete menționate — „spre $+\infty$ și spre $-\infty$" — pentru că afirmația privește două comportări, nu una. Când dau numere diferite, se scriu două propoziții, fiecare cu dreapta ei. Iar când unul dintre capete nu produce nimic, se spune și asta: „spre $+\infty$ graficul nu are asimptotă orizontală, deoarece limita este $+\infty$". O enumerare completă a capetelor arată corectorului că studiul a fost făcut, nu ghicit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Grade egale: $f(x)=\frac{3x^2-x+2}{x^2+1}$

Domeniul este $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+1>0$. Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^2-x+2}{x^2+1}=\frac{3}{1}=3.$$

Asimptota orizontală este dreapta $y=3$, spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

Poziția, calculată în secțiunea 6: graficul e deasupra pe $(-\infty ,-1)$, taie asimptota în $(-1,3)$ și e dedesubt pe $(-1,+\infty )$.

Exemplul 2. Numitor de grad mai mare: $f(x)=\frac{2x-3}{x^2+4}$

Domeniul este $\mathbb{R}$. Gradul numărătorului, $1$, e mai mic decât al numitorului, $2$, deci $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x-3}{x^2+4}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}\cdot \frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{4}{x^2}}=0.$$

Asimptota orizontală este axa $Ox$, adică dreapta $y=0$, spre ambele capete.

Intersecția: $f(x)=0⟺2x-3=0⟺x=\frac{3}{2}$. Graficul taie asimptota în punctul $\left(\frac{3}{2},0\right)$ — perfect legitim.

Exemplul 3. Radical: $f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+1}$

Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pentru că radicandul e mereu pozitiv.

Spre $+\infty$: cu $|x|=x$ obținem limita $2$, deci dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Spre $-\infty$: cu $|x|=-x$ obținem limita $-2$, deci dreapta $y=-2$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$.

Verificare de bun-simț, pe valori: $f(1000)\approx 1,998$, iar $f(-1000)\approx -2,002$; cifrele confirmă cele două niveluri diferite.

Exemplul 4. Funcția logistică: $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

Domeniul este $\mathbb{R}$: numitorul $1+e^{-x}$ e mereu strict mai mare decât $1$.

Spre $+\infty$: $e^{-x}\to 0$, deci $f(x)\to \frac{1}{1}=1$. Dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Spre $-\infty$: $e^{-x}\to +\infty$, deci numitorul tinde la $+\infty$ și $f(x)\to 0$. Dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$.

Cum $0<f(x)<1$ pentru orice $x$ real, graficul rămâne strict între cele două asimptote și nu le atinge niciodată. Interpretare: modelul descrie o mărime care pornește de la zero și saturează la $1$, adică la $100\%$.

Exemplul 5. Când răspunsul este „nu există"

Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$. Gradul numărătorului, $2$, e mai mare decât cel al numitorului, $1$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty .$$

Graficul nu are asimptotă orizontală, spre niciunul dintre capete. Redactarea corectă continuă însă cu o propoziție: „prin urmare se studiază existența asimptotei oblice", pentru că diferența de grade este exact $1$, cazul favorabil.

Observă că răspunsul „nu există" nu se obține prin lipsa unui calcul, ci prin calculul care iese infinit. Un subpunct la care se scrie doar „nu are asimptotă orizontală", fără limitele care justifică afirmația, nu primește punctajul; baremele cer, și aici, limita scrisă.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{a{x}^2+3}{x^2+1}$, unde $a$ este un număr real. Formatul e cel obișnuit al Subiectului al III-lea, cu trei subpuncte.

a) Pentru $a=2$, determinați asimptotele orizontale ale graficului funcției $f$.

Gradele sunt egale, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\frac{2}{1}=2$. Dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

b) Pentru $a=2$, arătați că graficul funcției $f$ nu intersectează asimptota orizontală.

Calculăm diferența: $$f(x)-2=\frac{2x^2+3-2(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{1}{x^2+1}>0\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$ Diferența nu se anulează niciodată, deci nu există puncte comune; în plus, graficul stă în întregime deasupra dreptei $y=2$.

c) Determinați $a$ pentru care dreapta $y=-1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Din $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=a$ și din condiția ca această limită să fie $-1$ obținem $a=-1$. Verificare: pentru $a=-1$, $f(x)=\frac{-x^2+3}{x^2+1}$, iar limita la $+\infty$ este într-adevăr $-1$.

Să exersăm

1. Enunță definiția asimptotei orizontale spre $-\infty$ și spune ce condiție trebuie să îndeplinească domeniul.

2. Determină asimptotele orizontale ale graficului funcției $f(x)=\frac{5x-2}{x+3}$.

3. Determină asimptotele orizontale pentru $f(x)=\frac{x+7}{x^2+2}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, graficul funcției raționale nu are asimptotă orizontală.

5. Pentru $f(x)=\frac{4x^2-1}{2x^2+x+5}$, scrie ecuația asimptotei orizontale și stabilește dacă graficul o intersectează.

6. Calculează cele două limite la infinit pentru $f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x^2+4}}$ și scrie ecuațiile asimptotelor orizontale.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) O funcție nu poate avea două asimptote orizontale diferite.

8. Arată că graficul funcției $f(x)=2+3\cdot e^{-x}$ are asimptota orizontală $y=2$ spre $+\infty$ și precizează de care parte a ei se află.

9. (Problemă aplicată.) Concentrația unui medicament în sânge, la $t$ ore de la administrare, este $C(t)=\frac{40t}{t^2+4}$ mg/l. Ce se întâmplă cu concentrația după foarte mult timp? Scrie ecuația asimptotei orizontale și interpretează.

10. Explică de ce $f(x)=\ln x$ nu are asimptotă orizontală.

11. Pentru $f(x)=\frac{2x^2+5}{x^2-1}$, determină asimptota orizontală și studiază poziția graficului față de ea pe intervalul $(1,+\infty )$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ nu există, atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre $+\infty$.

13. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care dreapta $y=5$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f(x)=\frac{a{x}^3-x}{x^3+2}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$. Determină asimptotele orizontale și punctele în care graficul le intersectează.

15. Compară comportările lui $f(x)=e^x$ și $g(x)=e^{-x}$ la cele două capete și scrie, pentru fiecare, asimptotele orizontale.

16. (Problemă aplicată.) Randamentul unui motor, în funcție de turația $n$, este modelat prin $R(n)=\frac{90n^2}{n^2+900}$ procente. Spre ce valoare tinde randamentul la turații foarte mari și ce dreaptă apare pe grafic?

17. Arată că graficul funcției $f(x)=\frac{x+\sin x}{x}$, $x>0$, are asimptota orizontală $y=1$ spre $+\infty$ și că o intersectează de o infinitate de ori.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care graficul funcției $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+1}{x^2+1}$ are asimptota orizontală $y=3$ și trece prin punctul $A(1,2)$.

Răspunsuri și explicații

1. Dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ dacă $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\ell$, cu $\ell$ număr real. Domeniul trebuie să conțină un interval de forma $(-\infty ,a)$.

2. Grade egale, deci limita este $\frac{5}{1}=5$ spre ambele capete: dreapta $y=5$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

3. Gradul $1$ este mai mic decât gradul $2$, deci limita e $0$: dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre ambele capete.

4. Adevărat. Din scrierea $f(x)=x^{p-q}\cdot \frac{a_p+\dots }{b_q+\dots }$, factorul $x^{p-q}$ tinde la infinit când $p>q$, deci limita e infinită și nu poate da o dreaptă orizontală.

5. Grade egale: limita este $\frac{4}{2}=2$, deci asimptota este $y=2$. Intersecția: $4x^2-1=2(2x^2+x+5)$ dă $-1=2x+10$, adică $x=-\frac{11}{2}$; graficul o intersectează într-un punct.

6. $\frac{3x}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{3x}{|x|\sqrt{1+4/x^2}}$, deci limita e $3$ spre $+\infty$ și $-3$ spre $-\infty$: dreptele $y=3$ și $y=-3$.

7. Fals. Poate avea două, câte una spre fiecare capăt; exemplul din secțiunea 2, $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, are $y=1$ și $y=-1$.

8. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+3e^{-x}\right)=2+0=2$. Cum $3e^{-x}>0$ pentru orice $x$, avem $f(x)>2$: graficul stă deasupra asimptotei.

9. $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{40t}{t^2+4}=0$ (gradul $1$ sub gradul $2$), deci asimptota este $y=0$. Interpretare: medicamentul se elimină, iar concentrația scade spre zero.

10. Singurul capăt infinit al domeniului $(0,+\infty )$ este $+\infty$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$, limită infinită. Deci nu există asimptotă orizontală.

11. Grade egale: asimptota este $y=2$. Diferența $f(x)-2=\frac{2x^2+5-2x^2+2}{x^2-1}=\frac{7}{x^2-1}$ este pozitivă pentru $x>1$, deci pe $(1,+\infty )$ graficul stă deasupra dreptei.

12. Adevărat. Definiția cere existența limitei și finitudinea ei; dacă limita nu există, condiția nu poate fi îndeplinită.

13. Grade egale ($3$ și $3$), deci limita este $\frac{a}{1}=a$. Condiția $a=5$ dă asimptota $y=5$.

14. Grade egale: limita este $1$ spre ambele capete, deci $y=1$. Intersecția ar cere $x^2-4=x^2+4$, adică $-4=4$, fals: graficul nu intersectează asimptota.

15. Pentru $e^x$: limita e $+\infty$ spre $+\infty$ (fără asimptotă) și $0$ spre $-\infty$ (asimptota $y=0$). Pentru $e^{-x}$: invers, asimptota $y=0$ spre $+\infty$ și nicio asimptotă spre $-\infty$.

16. Grade egale: $\underset{n\to +\infty }{\lim }R(n)=90$, deci dreapta $y=90$. Randamentul se apropie de $90\%$ fără să îl atingă, pentru că $R(n)<90$ pentru orice $n$.

17. $f(x)=1+\frac{\sin x}{x}$, iar $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le \frac{1}{x}\to 0$, deci limita este $1$ și $y=1$ este asimptotă orizontală. Graficul o taie în toate punctele $x=k\pi$, unde $\sin x=0$.

18. Grade egale, deci limita la infinit este $a$; condiția de asimptotă dă $a=3$. Din $f(1)=2$ obținem $\frac{3+b+1}{2}=2$, adică $b=0$. Verificare: $f(x)=\frac{3x^2+1}{x^2+1}$ are limita $3$ și $f(1)=2$.

De reținut

• Dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă și numai dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ este un număr real, iar condiția analoagă definește asimptota orizontală spre $-\infty$.
• Cele două capete se studiază separat, cu două limite scrise separat, pentru că ele pot da drepte diferite, ca la funcția $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, care are asimptotele $y=1$ și $y=-1$.
• La o funcție rațională răspunsul se citește din grade: numitor de grad mai mare dă $y=0$, grade egale dau raportul coeficienților dominanți, iar numărător de grad mai mare înseamnă că nu există asimptotă orizontală.
• La radicalii de ordin par se scrie obligatoriu $\sqrt{x^2}=|x|$, iar modulul se înlocuiește cu $x$ spre $+\infty$ și cu $-x$ spre $-\infty$; sărirea acestui pas dă un semn greșit la unul dintre capete.
• Poziția graficului față de asimptotă se stabilește din semnul diferenței $f(x)-\ell$, iar anularea acestei diferențe înseamnă o intersecție perfect permisă cu asimptota.

Greșeli frecvente

• A calcula o singură limită „la infinit". Sunt două capete și două limite; funcția $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ dă $1$ într-o parte și $-1$ în cealaltă. Scrie de fiecare dată ambele limite, chiar dacă rezultatul iese același.
• A scrie $\sqrt{x^2}=x$. Egalitatea corectă este $\sqrt{x^2}=|x|$, iar spre $-\infty$ modulul devine $-x$. Din această scăpare provin aproape toate semnele greșite din exercițiile cu radicali.
• A confunda limita infinită cu limita inexistentă. Amândouă exclud asimptota orizontală, dar prima trimite mai departe la asimptota oblică, iar a doua închide discuția; formulează concluzia corect, pentru că baremul o distinge.
• A da răspunsul ca număr, nu ca dreaptă. „Limita este $2$" nu e un răspuns complet; răspunsul cerut este „dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$", cu ecuația și cu capetele precizate.
• A crede că graficul nu poate atinge asimptota orizontală. Funcția $\frac{2x-3}{x^2+4}$ își taie asimptota $y=0$ în punctul de abscisă $\frac{3}{2}$, iar definiția rămâne îndeplinită, pentru că distanța tinde tot la zero.

Aplică acasă

1. Alege o funcție rațională cu grade egale, de pildă $f(x)=\frac{4x+5}{2x-1}$, și completează un tabel cu valorile ei în $x=10$, $100$, $1000$, $-10$, $-100$, $-1000$. Compară cifrele cu raportul coeficienților dominanți și notează câte zecimale coincid la fiecare pas.

2. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției logistice $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ pentru $x$ de la $-6$ la $6$, folosind un calculator pentru valori. Trasează punctat dreptele $y=0$ și $y=1$ și verifică vizual că graficul rămâne strict între ele.

3. Caută în manualul de fizică sau de biologie două mărimi care se stabilizează în timp — temperatura unui corp care se răcește, viteza-limită a unui corp în cădere, populația unei culturi de bacterii. Scrie pentru fiecare ecuația asimptotei orizontale și explică, într-o frază, ce înseamnă ea în contextul respectiv.

Pentru părinți și profesori

Lecția, scrisă pe programa de matematică-informatică (mate-info), transformă un calcul deja stăpânit — limita la $\pm \infty$ — într-o concluzie geometrică exprimată corect. Dificultatea reală nu e matematica, ci disciplina: două limite, două propoziții, ecuații de drepte, capete precizate.

Ce verifică lecția: calculul corect al limitelor la ambele capete; regula gradelor la funcțiile raționale; tratarea modulului la radicalii de ordin par; stabilirea poziției graficului față de asimptotă; redactarea răspunsului în formatul cerut.

Întrebări de control: „Câte limite calculezi și de ce?"; „Ce faci cu $\sqrt{x^2}$ când $x$ merge spre $-\infty$?"; „Poate graficul să taie asimptota orizontală?"; „Ce urmează dacă limita la $+\infty$ este infinită?".

Semne că a înțeles: scrie domeniul înainte de orice limită; nu spune „asimptota este $2$", ci „dreapta $y=2$"; explică singur de ce cele două capete pot da răspunsuri diferite.

Unde apare la BAC: aproape în fiecare sesiune, ca prim subpunct al problemei de analiză de la Subiectul al III-lea. Formularea tipică este „determinați asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției", iar punctajul se obține integral cu două rânduri de calcul și o propoziție de concluzie.

Întrebări frecvente

Ce este asimptota orizontală a unei funcții?

Este dreapta orizontală de care graficul se apropie oricât de mult atunci când $x$ merge spre $+\infty$ sau spre $-\infty$. Ecuația ei este $y=\ell$, unde $\ell$ este limita finită a funcției la capătul respectiv. Dacă limita nu este finită, sau nu există, asimptota orizontală nu există spre acel capăt.

Cum se calculează asimptota orizontală?

Se calculează două limite: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Fiecare limită finită obținută dă o dreaptă orizontală, cu ecuația $y$ egal cu acea valoare, iar în răspuns se precizează spre care capăt este asimptotă. Cele două calcule sunt independente și pot da drepte diferite.

Care este formula rapidă la funcțiile raționale?

Se compară gradele. Dacă gradul numitorului este mai mare, asimptota este $y=0$. Dacă gradele sunt egale, asimptota este $y$ egal cu raportul coeficienților dominanți. Dacă gradul numărătorului este mai mare, nu există asimptotă orizontală, iar discuția continuă cu asimptota oblică.

Poate o funcție să aibă două asimptote orizontale?

Da, cel mult două: una spre $+\infty$ și una spre $-\infty$. Exemplele clasice sunt $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, cu dreptele $y=1$ și $y=-1$, și funcția logistică $\frac{1}{1+e^{-x}}$, cu dreptele $y=1$ și $y=0$. Mai mult de două nu poate avea, pentru că sunt doar două capete infinite.

De ce apare modulul la funcțiile cu radical?

Pentru că $\sqrt{x^2}=|x|$, nu $x$. Când scoatem puterea dominantă de sub un radical de ordin par, rezultatul este modulul, iar modulul se înlocuiește cu $x$ numai spre $+\infty$; spre $-\infty$ el devine $-x$. De aici vine semnul minus care apare la unul dintre cele două capete.

Poate graficul să intersecteze asimptota orizontală?

Da, chiar de o infinitate de ori. Definiția cere doar ca distanța dintre grafic și dreaptă să tindă la zero. Funcția $\frac{2x-3}{x^2+4}$ își taie asimptota $y=0$ o dată, iar $1+\frac{\sin x}{x}$ își taie asimptota $y=1$ în toate punctele de forma $k\pi$.

Ce fac dacă limita la infinit este infinită?

Scrii că nu există asimptotă orizontală spre acel capăt și treci mai departe la asimptota oblică. Cazul cel mai favorabil este funcția rațională la care gradul numărătorului depășește cu exact unu gradul numitorului: acolo asimptota oblică există aproape întotdeauna și se determină prin două limite.