Asimptotele funcțiilor uzuale: pe scurt

Schema asimptotelor în patru pași se aplică identic oricărei funcții: (1) domeniul; (2) asimptotele verticale, cu candidații și limitele laterale; (3) comportarea spre $-\infty$; (4) comportarea spre $+\infty$. Pașii 3 și 4 se fac separat, iar la fiecare capăt se caută întâi orizontala, prin $\lim f(x)$, și numai dacă aceasta nu există se trece la oblică, cu $m$ înaintea lui $n$. La funcțiile raționale rezultatul se citește din grade — numărător de grad mai mic dă $y=0$, grade egale dau raportul coeficienților dominanți, o diferență de un grad dă oblica egală cu câtul împărțirii, iar o diferență de două grade sau mai mult nu dă nicio asimptotă — dar regula aceasta este o consecință, nu o regulă de bază, și nu se aplică funcțiilor care nu sunt raționale. La radicalii de ordin par, egalitatea $\sqrt{x^2}=|x|$ schimbă semnul pantei spre $-\infty$, deci cele două capete dau de regulă două oblice diferite. Funcțiile exponențiale pot avea două orizontale distincte pe același grafic. În sfârșit, o pantă finită și nenulă nu este suficientă: fără $n$ finit, asimptota oblică nu există.

Exerciții din această mini-lecție

1. Schema asimptotelor în patru pași parcurge, în ordine:

   • a) asimptotele verticale, domeniul, orizontalele, oblicele
   • b) domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $-\infty$, comportarea spre $+\infty$
   • c) orizontalele, oblicele, verticalele, domeniul
   • d) domeniul, derivata întâi, derivata a doua, asimptotele
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $-\infty$, comportarea spre $+\infty$

   Domeniul vine primul, fiindcă el furnizează atât candidații la verticală (capetele finite și deschise), cât și capetele la care se studiază comportarea la infinit. Pașii 3 și 4 se scriu separat, pentru că multe funcții se comportă diferit la cele două capete. Varianta d amestecă schema asimptotelor cu schema în nouă pași a studiului complet.

2. Graficul funcției $f(x)=\frac{x^4+1}{x^2+2}$ are, spre $+\infty$:

   • a) asimptota orizontală $y=1$
   • b) asimptota oblică $y=x^2$
   • c) nicio asimptotă
   • d) asimptota orizontală $y=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nicio asimptotă

   Gradul numărătorului îl depășește pe cel al numitorului cu $2$, deci limita funcției este $+\infty$ (nicio orizontală), iar panta $m=\lim \frac{f(x)}{x}=+\infty$ (nicio oblică). Varianta b este capcana: $y=x^2$ nu este ecuația unei drepte, iar asimptota trebuie să fie o dreaptă.

3. Graficul funcției $f(x)=\frac{3e^x-1}{e^x+2}$ are:

   • a) $y=3$ spre ambele capete
   • b) $y=-\frac{1}{2}$ spre ambele capete
   • c) $y=\frac{3}{2}$ spre ambele capete
   • d) $y=3$ spre $+\infty$ și $y=-\frac{1}{2}$ spre $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $y=3$ spre $+\infty$ și $y=-\frac{1}{2}$ spre $-\infty$

   Spre $+\infty$, $e^x$ domină și limita este $\frac{3e^x}{e^x}=3$. Spre $-\infty$, $e^x\to 0$ și limita devine $\frac{-1}{2}$. Iată exemplul tipic de funcție cu două orizontale distincte pe același grafic — motivul pentru care pașii 3 și 4 ai schemei nu se comasează niciodată.