Asimptotele funcțiilor uzuale: raționale, cu radicali, exponențiale, logaritmice

Până acum ai învățat, pe rând, cele trei feluri de asimptote; lecția aceasta de clasa a 12-a le adună într-o singură procedură și arată cum arată răspunsul pentru fiecare familie de funcții care apare la mate-info: raționale, cu radicali, exponențiale și logaritmice. Schema asimptotelor în patru pași este procedura prin care se află toate asimptotele unei funcții: se scrie domeniul, se caută asimptotele verticale în capetele finite deschise și în punctele de discontinuitate, apoi se studiază separat capătul $-\infty$ și capătul $+\infty$. Deosebirea față de lecțiile precedente este că nu mai întrebăm „ce este o asimptotă oblică", ci „ce am de calculat, în ce ordine, ca să nu-mi scape niciuna".

Cerința de examen sună aproape întotdeauna la fel: determinați asimptotele graficului funcției $f$. Un singur cuvânt — „asimptotele", la plural, fără să spună câte și de ce fel — și în spatele lui stau până la patru întrebări diferite, care se pun în puncte diferite ale axei. Cine le pune în dezordine găsește două din trei; cine are o schemă le găsește pe toate, iar mai important, știe când s-a oprit. Aceasta este schema pe care o fixăm aici și pe care o vei cita, prin numărul pasului, în toate lecțiile care urmează.

Ce vei învăța

• Vei ști schema asimptotelor în patru pași și o vei aplica identic oricărei funcții, indiferent de familia din care face parte.
• Vei ști să citești asimptotele unei funcții raționale direct din gradele numărătorului și numitorului, după ce ai lucrat măcar o dată cazul cu cele două limite.
• Vei ști să tratezi corect funcțiile cu radicali, unde cele două capete ale axei dau adesea două asimptote oblice diferite.
• Vei ști să găsești asimptotele funcțiilor exponențiale și logaritmice, inclusiv cazurile cu două orizontale distincte.
• Vei ști să scrii răspunsul complet ca listă de drepte cu ecuațiile lor, cu precizarea capătului sau a părții la care se referă fiecare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune schema asimptotelor?

Schema asimptotelor este procedura fixă prin care se determină toate asimptotele la graficul unei funcții: se scrie întâi domeniul, se caută apoi asimptotele verticale în punctele-problemă, iar la final se studiază separat cele două capete infinite ale axei, la fiecare căutând mai întâi o asimptotă orizontală și, numai dacă aceasta nu există, o asimptotă oblică.

Schema asimptotelor, în patru pași: (1) domeniul, scris ca reuniune de intervale $\to$ (2) asimptotele verticale: lista candidaților și limitele laterale în fiecare $\to$ (3) spre $-\infty$: orizontală, altfel oblică $\to$ (4) spre $+\infty$: orizontală, altfel oblică.

Trei reguli de folosire, care fac diferența dintre o rezolvare completă și una pe jumătate:

• pașii 3 și 4 sunt separați, chiar dacă funcția pare simetrică; foarte multe funcții au comportări diferite spre cele două capete, iar exemplele din lecția aceasta sunt tocmai acelea;
• în interiorul fiecăruia dintre pașii 3 și 4, ordinea e obligatorie: întâi asimptota orizontală, adică $\lim f(x)$; dacă limita e finită, ai găsit-o și te oprești; dacă e infinită, treci la cei trei pași ai oblicei fixați în lecția despre asimptota oblică — $m$, apoi $n$, apoi concluzia — pe care schema aceasta îi cuprinde, nu îi renumerotează;
• rezultatul se scrie ca listă de drepte cu ecuațiile lor — „dreptele $x=1$ și $y=2x-3$ sunt asimptote ale graficului" — niciodată „funcția are asimptote". Un răspuns fără ecuații nu primește punctaj.

Pașii 3 și 4 au sens numai dacă domeniul este nemărginit în capătul respectiv: dacă $D=(0,5)$, nu există nici pasul 3, nici pasul 4. Iar pasul 2 poate lipsi cu totul, dacă domeniul este $\mathbb{R}$ și funcția este continuă.

2. Funcțiile raționale: de la limite la regula gradelor

Fie $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, cu $P$ și $Q$ polinoame fără factori comuni. Aplicăm schema pe un caz și abia apoi generalizăm — regula gradelor este o consecință, nu un punct de plecare.

Luăm $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$, cu $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Pasul 2: singurul candidat este $1$, unde numărătorul tinde la $2\ne 0$, deci $x=1$ este asimptotă verticală bilaterală, cu $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta. Pasul 3: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, deci nu există orizontală; căutăm oblica:

$$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-x}=1,n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1.$$

Deci $y=x+1$ este asimptotă oblică spre $-\infty$. Pasul 4: aceleași calcule spre $+\infty$ dau tot $m=1$ și $n=1$, deci aceeași dreaptă. Verificarea rapidă: împărțind, $\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$, iar termenul rămas tinde la $0$ la ambele capete — exact ce înseamnă „graficul se apropie de dreapta $y=x+1$".

Împărțirea aceasta este cheia întregii familii, și din ea se citește regula gradelor, valabilă la ambele capete deodată:

La ultimul rând merită insistat: $f(x)=\frac{x^3+1}{x-2}$ nu are asimptotă spre niciun capăt, pentru că $\frac{f(x)}{x}=\frac{x^3+1}{x^2-2x}\to +\infty$, deci panta nu este finită. Graficul crește ca o parabolă, nu se lipește de nicio dreaptă. (Verificat numeric: raportul $f(x)/x$ depășește $10^6$ și continuă să crească.)

Pentru asimptota oblică a unei funcții raționale, calea cea mai scurtă la examen este împărțirea: dacă $P(x)=Q(x)(mx+n)+R(x)$ cu $\mathrm{grad}R<\mathrm{grad}Q$, atunci $f(x)=mx+n+\frac{R(x)}{Q(x)}$, iar fracția rămasă tinde la $0$, deci $y=mx+n$ este asimptota. Cele două limite din definiție rămân, însă, justificarea; la Bacalaureat M1 se cere măcar menționarea lor.

3. Cum se află asimptotele unei funcții cu radicali?

Aici apare capcana cea mai costisitoare din toată unitatea, și ea are o singură sursă: pentru orice număr real $x$,

$$\sqrt{x^2}=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

deci, când scoatem $x^2$ de sub radical spre $-\infty$, apare un semn minus. Consecința: la funcțiile cu radicali cele două capete dau, de obicei, două asimptote oblice diferite, simetrice față de axa $Oy$.

Fie $f(x)=\sqrt{x^2-6x}$. Pasul 1: condiția $x^2-6x\ge 0$, adică $x(x-6)\ge 0$, dă $D=(-\infty ,0]\cup [6,+\infty )$. Pasul 2: capetele finite $0$ și $6$ sunt închise, funcția fiind definită și continuă acolo, cu $f(0)=f(6)=0$; nu sunt candidați, deci nicio asimptotă verticală.

Pasul 3, spre $-\infty$: limita funcției este $+\infty$, deci căutăm oblica. Cum $x<0$, avem $\sqrt{x^2-6x}=|x|\sqrt{1-\frac{6}{x}}=-x\sqrt{1-\frac{6}{x}}$, iar

$$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{1-\frac{6}{x}}}{x}=-1,n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-6x}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-6x}{\sqrt{x^2-6x}-x}=3.$$

Asimptota oblică spre $-\infty$ este $y=-x+3$.

Pasul 4, spre $+\infty$: de data aceasta $x>0$, radicalul se scoate fără semn schimbat, și

$$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-6x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{6}{x}}=1,$$

apoi, amplificând cu conjugata, ca la limitele funcțiilor putere și radical,

$$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-6x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-6x}{\sqrt{x^2-6x}+x}=-3.$$

Asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=x-3$. (Ambele perechi $(m,n)$ au fost verificate numeric, cu stabilizare la peste șase zecimale.)

Răspunsul complet: graficul are două asimptote oblice, $y=x-3$ spre $+\infty$ și $y=-x+3$ spre $-\infty$, și nicio asimptotă verticală. Cine uită modulul obține $y=x-3$ la ambele capete și desenează un grafic fals pe jumătate.

4. De ce au unele funcții exponențiale două asimptote orizontale?

Funcția $e^x$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci singură nu produce asimptote verticale; ea produce însă asimptote orizontale, pentru că $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$ — două comportări complet diferite la cele două capete. De aici vine cea mai frecventă structură de răspuns din familia asta: o orizontală spre un capăt și nimic spre celălalt.

Cazul mai bogat apare la rapoartele de exponențiale. Fie $f(x)=\frac{2e^x+1}{e^x-1}$. Pasul 1: $e^x\ne 1$, adică $D={\mathbb{R}}^{\ast }$. Pasul 2: în $0$, numărătorul tinde la $3\ne 0$, iar $e^x-1$ trece de la negativ la pozitiv, deci limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$: $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală.

Pasul 3, spre $-\infty$: $e^x\to 0$, deci $f(x)\to \frac{1}{-1}=-1$: asimptotă orizontală $y=-1$. Pasul 4, spre $+\infty$: împărțim numărătorul și numitorul la $e^x$ și obținem $f(x)=\frac{2+e^{-x}}{1-e^{-x}}\to 2$: asimptotă orizontală $y=2$.

Graficul are, așadar, trei asimptote: verticala $x=0$ și două orizontale distincte, $y=-1$ spre $-\infty$ și $y=2$ spre $+\infty$. Este exemplul care arată cel mai clar de ce pașii 3 și 4 se fac separat.

Când exponentul însuși explodează, apar și verticale: la $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$ dreapta $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta, iar $y=1$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele, pentru că $\frac{1}{x}\to 0$ și $e^0=1$.

5. Funcțiile logaritmice: verticala e regula, oblica e excepția

Logaritmul aduce exact comportarea complementară: produce aproape întotdeauna o asimptotă verticală la capătul finit al domeniului, dar aproape niciodată una oblică, pentru că $\ln x$ crește prea încet.

Pentru $f(x)=\ln x$ pe $(0,+\infty )$: pasul 2 dă $x=0$ asimptotă verticală la dreapta; pasul 4 dă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$, deci nu există orizontală, iar $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$ — panta este nulă, deci nu există nici asimptotă oblică. Aceasta este forma exactă a afirmației „logaritmul crește nemărginit, dar mai încet decât orice dreaptă".

Cazul care merită memorat este $f(x)=x-\ln x$, tot pe $(0,+\infty )$. Pasul 2: la dreapta lui $0$, $\ln x\to -\infty$, deci $f(x)\to +\infty$ și $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta. Pasul 4: limita este $+\infty$, deci trecem la oblică și găsim

$$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-\ln x}{x}=1-\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=1,$$

folosind regulile lui L'Hôpital pentru cazul $\frac{\infty }{\infty }$. Panta este finită și nenulă — dar aici mulți se opresc și scriu „asimptota este $y=x$". Greșit: mai trebuie calculat $n$, iar

$$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-1\cdot x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(-\ln x)=-\infty .$$

Termenul liber nu este finit, deci nu există asimptotă oblică. Este exact cazul (4) dintre cele patru situații în care oblica nu există, enumerate în lecția despre asimptota oblică: panta bună, termenul liber infinit. (Verificat numeric: $m$ se stabilizează la $1$, iar $n$ scade fără oprire.)

În schimb, rapoartele care conțin logaritm dau adesea orizontale: $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ are $y=0$ spre $+\infty$ și $x=0$ asimptotă verticală la dreapta — două asimptote, câte una din fiecare fel.

6. De ce se caută întâi orizontala și abia apoi oblica?

Pentru că cele două se exclud reciproc — rezultatul e Propoziția demonstrată în lecția despre asimptota oblică, pe care o citim aici ca pe o unealtă gata făcută: spre același capăt, graficul unei funcții nu poate avea și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică. Nu o redemonstrăm; o folosim.

De aici vine ordinea din pașii 3 și 4: la fiecare capăt calculezi întâi $\lim f(x)$. Dacă e finită, ai orizontala și te oprești — nu mai are rost să calculezi $m$ și $n$. Dacă e infinită, treci la oblică. Un răspuns care listează, spre același capăt, și o orizontală, și o oblică, este greșit indiferent de calcule.

Atenție însă: excluderea privește același capăt. Funcția poate foarte bine să aibă orizontală spre un capăt și oblică spre celălalt, cum vei vedea la exercițiul 10.

7. Tabelul de sinteză al celor patru familii

Tabelul se citește ca hartă de orientare, nu ca listă de formule de memorat: el spune unde să te aștepți la ceva, iar schema în patru pași rămâne singura metodă care dă răspunsul. Lista de drepte obținută aici devine, în lecția următoare, pasul al treilea al schemei de reprezentare grafică.

8. Trei greșeli de metodă, culese din bareme

Prima: aplicarea regulii gradelor la o funcție care nu este rațională. La $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ „gradele" par egale, deci s-ar zice că asimptota este $y=1$ la ambele capete; în realitate spre $-\infty$ limita este $-1$, tot din cauza modulului. Regula gradelor este a fracțiilor de polinoame, atât.

A doua: oprirea la $m$. Panta finită și nenulă nu garantează asimptota oblică; termenul liber trebuie și el să fie finit, cum arată $x-\ln x$.

A treia: confundarea capetelor. Un răspuns de forma „asimptota orizontală este $y=2$" fără să spună spre ce capăt este incomplet atunci când funcția are două orizontale diferite. Se scrie întotdeauna „spre $+\infty$" sau „spre $-\infty$".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rațională cu asimptotă oblică

Determinați asimptotele graficului funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$.

Rezolvare. Pasul 1: $D=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$.

Pasul 2: singurul candidat este $1$; numărătorul tinde la $2\ne 0$, iar numitorul la $0$, negativ la stânga și pozitiv la dreapta, deci limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$. Dreapta $x=1$ este asimptotă verticală bilaterală.

Pașii 3 și 4: gradul numărătorului îl depășește cu $1$ pe cel al numitorului, deci nu există orizontală, ci oblică. Împărțim: $x^2+1=(x-1)(x+1)+2$, deci $f(x)=x+1+\frac{2}{x-1}$. Cum $\frac{2}{x-1}\to 0$ la ambele capete, avem $m=1$ și $n=1$ în ambele cazuri.

Răspuns: graficul are asimptota verticală $x=1$ și asimptota oblică $y=x+1$, aceeași spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

Exemplul 2 — Rațională cu asimptotă orizontală și două verticale

Determinați asimptotele funcției $f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2-4}$.

Rezolvare. Pasul 1: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$. Fracția nu se simplifică: numărătorul $2x^2-3$ valorează $5\ne 0$ în ambele rădăcini.

Pasul 2: lângă $2$, numărătorul tinde la $5>0$ și factorul $x+2$ este pozitiv, deci semnul îl dă $x-2$: limita la stânga este $-\infty$, cea la dreapta $+\infty$. Lângă $-2$, numărătorul tinde tot la $5>0$, iar factorul $x-2$ este negativ, deci limita la stânga este $+\infty$ și cea la dreapta $-\infty$. Dreptele $x=-2$ și $x=2$ sunt asimptote verticale bilaterale.

Pașii 3 și 4: gradele sunt egale, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\frac{2}{1}=2$, finită la ambele capete. Dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$. Nu se mai caută oblică.

Exemplul 3 — Funcție cu radical: două oblice diferite

Determinați asimptotele funcției $f(x)=\sqrt{x^2-6x}$.

Rezolvare. Pasul 1: $x(x-6)\ge 0$, deci $D=(-\infty ,0]\cup [6,+\infty )$.

Pasul 2: capetele finite $0$ și $6$ aparțin domeniului, iar $f$ este continuă în ele, cu $f(0)=f(6)=0$. Nu există candidați, deci nicio asimptotă verticală.

Pasul 3, spre $-\infty$: limita este $+\infty$, deci trecem la oblică. Cum $x<0$, avem $\sqrt{x^2-6x}=-x\sqrt{1-\frac{6}{x}}$, de unde $m=-1$; apoi, cu conjugata, $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-6x}{\sqrt{x^2-6x}-x}=3$. Asimptota oblică spre $-\infty$ este $y=-x+3$.

Pasul 4, spre $+\infty$: analog, cu $\sqrt{x^2-6x}=x\sqrt{1-\frac{6}{x}}$, obținem $m=1$ și $n=-3$. Asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=x-3$.

Exemplul 4 — Exponențială cu două orizontale

Determinați asimptotele funcției $f : \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{2e^{x}+1}{e^{x}-1}$.*

Rezolvare. Pasul 1: $e^x=1⟺x=0$, deci $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$.

Pasul 2: numărătorul tinde în $0$ la $3\ne 0$; funcția exponențială fiind strict crescătoare, $e^x-1<0$ pentru $x<0$ și $>0$ pentru $x>0$. Deci limita la stânga este $-\infty$ și cea la dreapta $+\infty$: $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală.

Pasul 3: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$, deci $f(x)\to \frac{0+1}{0-1}=-1$: asimptota orizontală $y=-1$ spre $-\infty$.

Pasul 4: împărțim prin $e^x$: $f(x)=\frac{2+e^{-x}}{1-e^{-x}}$, iar $e^{-x}\to 0$, deci limita este $2$: asimptota orizontală $y=2$ spre $+\infty$.

Răspuns: trei asimptote — $x=0$, $y=-1$ spre $-\infty$ și $y=2$ spre $+\infty$.

Exemplul 5 — Logaritm: panta există, asimptota nu

Studiați asimptotele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$.

Rezolvare. Pasul 1: domeniul este dat, $(0,+\infty )$, iar funcția este continuă pe el.

Pasul 2: singurul capăt finit deschis este $0$; la dreapta lui, $\ln x\to -\infty$, deci $f(x)\to +\infty$. Dreapta $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta.

Pasul 3: nu există, pentru că domeniul nu se întinde spre $-\infty$.

Pasul 4: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, deci nu există orizontală. Pentru oblică, $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=1$, finit și nenul; dar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(-\ln x)=-\infty$, infinit. Condiția din definiție nu este îndeplinită, deci nu există asimptotă oblică.

Răspuns: singura asimptotă este verticala $x=0$, la dreapta. Exemplul arată de ce calculul lui $n$ nu se sare niciodată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$ — aceeași funcție pe care ai studiat-o, cu tabel de variație, în lecția despre schema de studiu al variației; acum îi adăugăm asimptotele. (Subiectul al III-lea.) a) Determinați asimptotele verticale ale graficului lui $f$. b) Arătați că dreapta $y=x-1$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ și spre $+\infty$. c) Stabiliți poziția graficului față de această asimptotă.

Rezolvare. a) Pasul 1: $D=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$. Pasul 2: în $1$, numărătorul valorează $1-2+2=1\ne 0$, iar numitorul trece de la negativ la pozitiv. Deci

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,$$

și dreapta $x=1$ este asimptotă verticală bilaterală.

b) Împărțim: $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$, deci

$$f(x)=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}.$$

Gradul numărătorului îl depășește cu $1$ pe cel al numitorului, deci nu există asimptotă orizontală la niciun capăt. Calculăm, la fiecare capăt, $m=\lim \frac{f(x)}{x}=\lim \frac{x^2-2x+2}{x^2-x}=1$ și apoi $n=\lim (f(x)-x)=\lim \frac{-x+2}{x-1}=-1$. Prin urmare $y=x-1$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

c) Din forma dedusă la punctul b), diferența dintre grafic și asimptotă este

$$f(x)-(x-1)=\frac{1}{x-1},$$

care este strict pozitivă pentru $x>1$ și strict negativă pentru $x<1$. Așadar, pe $(1,+\infty )$ graficul se află deasupra asimptotei, iar pe $(-\infty ,1)$ dedesubtul ei, apropiindu-se de ea la ambele capete fără să o atingă vreodată. (Semnele au fost verificate numeric pe câteva sute de puncte de pe fiecare interval.)

Să exersăm

1. Determinați asimptotele graficului funcției $f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$.

2. Determinați asimptotele funcției $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$, folosind împărțirea.

3. Arătați că funcția $f(x)=\frac{2x-5}{x^2+1}$ are o singură asimptotă și scrieți ecuația ei.

4. Determinați asimptotele funcției $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o funcție are asimptotă orizontală spre $+\infty$, atunci ea nu poate avea asimptotă oblică spre $+\infty$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ există și este finit și nenul, atunci graficul lui $f$ are asimptotă oblică spre $+\infty$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție rațională are aceeași asimptotă spre $-\infty$ și spre $+\infty$."

8. Determinați asimptotele funcției $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

9. Determinați asimptotele funcției $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$, precizând capătul la care se referă fiecare.

10. Determinați asimptotele funcției $f(x)=x+\sqrt{x^2-4}$ spre ambele capete ale domeniului.

11. Determinați asimptotele funcției $f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$.

12. (Problemă aplicată.) Concentrația unui medicament în sânge, în miligrame pe litru, la $t$ ore de la administrare, este modelată de $c(t)=\frac{20t}{t^2+4}$, cu $t\ge 0$. Determinați asimptota graficului spre $+\infty$ și interpretați-o.

13. Determinați asimptotele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

14. Determinați asimptotele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$, știind că $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x\ln x=0$.

15. Determinați numărul real $a$ pentru care dreapta $y=2x+3$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ a graficului funcției $f(x)=\frac{2x^2+ax+1}{x+1}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}$. Determinați toate asimptotele graficului și stabiliți poziția graficului față de asimptota oblică.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați asimptotele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$, și explicați de ce graficul are două asimptote orizontale diferite.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice numere reale $a>0$ și $b\ne 0$, graficul funcției $f(x)=\sqrt{a{x}^2+bx}$ are două asimptote oblice, de pante $\sqrt{a}$ și $-\sqrt{a}$, și determinați termenii lor liberi în funcție de $a$ și $b$.

Răspunsuri și explicații

1. $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. În $-2$ numărătorul valorează $-7\ne 0$, deci $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală (limita la stânga $+\infty$, la dreapta $-\infty$). Gradele fiind egale, $y=3$ este asimptotă orizontală spre ambele capete.

2. $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$; $x=-1$ este asimptotă verticală bilaterală. Împărțind, $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$, deci $y=x-1$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

3. Numitorul $x^2+1$ nu se anulează, deci $D=\mathbb{R}$ și nu există asimptote verticale. Gradul numărătorului este mai mic, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$: singura asimptotă este orizontala $y=0$.

4. $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$, cu ambele drepte $x=\pm 1$ asimptote verticale bilaterale. Gradele diferă cu $1$, deci există oblică: $\frac{x^3}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}$, iar restul tinde la $0$, deci $y=x$ este asimptotă oblică la ambele capete.

5. Adevărat. Asimptota orizontală înseamnă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ finit, de unde $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$; asimptota oblică cere $m\ne 0$. Cele două cerințe se contrazic, deci ele nu pot coexista la același capăt.

6. Fals. Mai trebuie ca $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ să fie finit. Contraexemplul este $f(x)=x-\ln x$, cu $m=1$ dar $n=-\infty$: nu există asimptotă oblică.

7. Adevărat. La o funcție rațională, limita spre $-\infty$ și cea spre $+\infty$ se calculează din aceiași termeni dominanți, iar câtul împărțirii este același polinom; prin urmare orizontala sau oblica obținută este aceeași dreaptă. La funcțiile cu radicali sau cu exponențiale afirmația devine falsă.

8. $D=\mathbb{R}$, deci nicio verticală. Spre $+\infty$: $m=1$ și $n=\lim \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\lim \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0$, deci $y=x$. Spre $-\infty$: $m=-1$ și, analog, $n=0$, deci $y=-x$. Două oblice, cu $n=0$ la amândouă.

9. $D={\mathbb{R}}^{\ast }$. În $0$: numărătorul tinde la $1$, numitorul la $0$ cu semn variabil, deci limitele sunt $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta — $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală. Spre $+\infty$: $f(x)=\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\to 1$, deci $y=1$. Spre $-\infty$: raportul $\frac{|x|}{x}$ este $-1$, deci limita este $-1$ și $y=-1$.

10. $D=(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$, capete închise, deci nicio verticală. Spre $+\infty$: $m=\lim \left(1+\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\right)=2$ și $n=\lim \left(x+\sqrt{x^2-4}-2x\right)=\lim \frac{-4}{\sqrt{x^2-4}+x}=0$, deci $y=2x$. Spre $-\infty$: $\sqrt{x^2-4}=-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}$, deci $f(x)\to 0$: asimptotă orizontală $y=0$. Este un exemplu de oblică spre un capăt și orizontală spre celălalt.

11. $e^x+1>0$ pentru orice $x$, deci $D=\mathbb{R}$ și nu există verticale. Spre $-\infty$: $e^x\to 0$, deci $f(x)\to 0$ și $y=0$. Spre $+\infty$: împărțind prin $e^x$, $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\to 1$, deci $y=1$. Două orizontale.

12. Pe $[0,+\infty )$ numitorul nu se anulează, deci nu există asimptote verticale. Gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, deci $\underset{t\to +\infty }{\lim }c(t)=0$ și dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Interpretare: după suficient de mult timp, medicamentul dispare practic din sânge, concentrația apropiindu-se oricât de mult de zero fără să ajungă exact la zero în model.

13. Domeniul este $(0,+\infty )$. La dreapta lui $0$: numărătorul tinde la $-\infty$ și numitorul la $0$ prin valori pozitive, deci limita este $-\infty$ și $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta. Spre $+\infty$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$ (cazul $\frac{\infty }{\infty }$, cu L'Hôpital), deci $y=0$ este asimptotă orizontală.

14. La dreapta lui $0$ limita este $0$, finită, deci nu există asimptotă verticală. Spre $+\infty$, $x\ln x\to +\infty$, deci nu există orizontală; pentru oblică, $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$, care nu e finit, deci nu există nici oblică. Funcția nu are nicio asimptotă.

15. Împărțim: $2x^2+ax+1=(x+1)(2x+(a-2))+(3-a)$, deci $f(x)=2x+(a-2)+\frac{3-a}{x+1}$. Restul tinde la $0$ spre $+\infty$, deci asimptota oblică este $y=2x+(a-2)$; condiția $a-2=3$ dă $a=5$. Verificare: pentru $a=5$, $f(x)=2x+3-\frac{2}{x+1}$, iar diferența $f(x)-(2x+3)=-\frac{2}{x+1}$ tinde la $0$. (Dacă am fi obținut rest nul, funcția ar fi fost chiar dreapta, nu o funcție cu asimptotă.)

16. $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}=x+1+\frac{1}{x}$, cu $D={\mathbb{R}}^{\ast }$. În $0$: numărătorul tinde la $1\ne 0$, deci limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, iar $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală. Gradele diferă cu $1$, deci $y=x+1$ este asimptotă oblică la ambele capete. Poziția: $f(x)-(x+1)=\frac{1}{x}$, pozitiv pentru $x>0$ și negativ pentru $x<0$, deci graficul este deasupra asimptotei pe $(0,+\infty )$ și sub ea pe $(-\infty ,0)$.

17. $1+e^{-x}>0$ pentru orice $x$ real, deci $D=\mathbb{R}$ și nu există verticale. Spre $-\infty$: $e^{-x}\to +\infty$, deci $f(x)\to 0$ și $y=0$ este asimptotă orizontală. Spre $+\infty$: $e^{-x}\to 0$, deci $f(x)\to 1$ și $y=1$ este asimptotă orizontală. Cele două orizontale sunt diferite pentru că exponențiala are comportări opuse la cele două capete: tinde la zero într-o parte și la infinit în cealaltă, iar funcția „comută" între valorile $0$ și $1$.

18. Condiția de existență este $a{x}^2+bx\ge 0$; cum $a>0$, domeniul conține vecinătăți ale ambelor capete. Spre $+\infty$: $\sqrt{a{x}^2+bx}=x\sqrt{a}\sqrt{1+\frac{b}{ax}}$, deci $m=\sqrt{a}$, iar cu conjugata $n=\lim \frac{bx}{\sqrt{a{x}^2+bx}+\sqrt{a}x}=\frac{b}{2\sqrt{a}}$. Spre $-\infty$: radicalul se scrie $-x\sqrt{a}\sqrt{1+\frac{b}{ax}}$, deci $m=-\sqrt{a}$ și, analog, $n=-\frac{b}{2\sqrt{a}}$. Asimptotele sunt $y=\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}$ spre $+\infty$ și $y=-\sqrt{a}x-\frac{b}{2\sqrt{a}}$ spre $-\infty$; pentru $a=1$ și $b=-6$ se regăsesc dreptele din secțiunea 3.

De reținut

• Schema asimptotelor are patru pași, în această ordine: domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $-\infty$, comportarea spre $+\infty$; pașii 3 și 4 se fac separat, pentru că multe funcții au comportări diferite la cele două capete.
• La fiecare dintre capete se caută întâi asimptota orizontală, prin $\lim f(x)$, și numai dacă aceasta nu există se trece la oblică, cu $m$ înaintea lui $n$; cele două se exclud reciproc la același capăt.
• La funcțiile raționale, asimptota spre infinit se citește din grade: numărător de grad mai mic dă $y=0$, grade egale dau raportul coeficienților dominanți, o diferență de un grad dă oblica egală cu câtul împărțirii, iar o diferență de două grade sau mai mult nu dă nicio asimptotă.
• La funcțiile cu radical de ordin par, egalitatea $\sqrt{x^2}=|x|$ schimbă semnul pantei spre $-\infty$, deci cele două capete dau de regulă două asimptote oblice diferite, simetrice față de axa $Oy$.
• Panta finită și nenulă nu este suficientă pentru existența unei asimptote oblice: funcția $x-\ln x$ are $m=1$, dar $n=-\infty$, deci graficul ei nu se apropie de nicio dreaptă.

Greșeli frecvente

• Aplici regula gradelor la funcții care nu sunt raționale. Regula este a fracțiilor de polinoame; la $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ ea ar da $y=1$ la ambele capete, când în realitate spre $-\infty$ asimptota este $y=-1$.
• Uiți modulul la scoaterea lui $x^2$ de sub radical. Spre $-\infty$, $\sqrt{x^2}=-x$, nu $x$. Este greșeala care transformă o pereche corectă de asimptote simetrice într-o singură dreaptă repetată.
• Te oprești după calculul pantei. Existența lui $m$ finit și nenul nu garantează nimic: fără $n$ finit, asimptota oblică nu există. Baremul cere ambele limite scrise.
• Cauți oblică după ce ai găsit orizontală, la același capăt. Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ este finită, panta iese automat $0$, deci oblica nu poate exista. Calculul suplimentar nu doar că e inutil, dar duce adesea la un răspuns contradictoriu.
• Scrii răspunsul fără ecuații sau fără capete. „Funcția are două asimptote orizontale" nu este un răspuns; „$y=-1$ spre $-\infty$ și $y=2$ spre $+\infty$" este.

Aplică acasă

1. Fișa celor patru pași. Scrie schema pe o fișă și rezolvă cu ea, în ordine, cinci funcții din culegere: una rațională cu oblică, una rațională cu orizontală, una cu radical, una cu exponențială și una cu logaritm. Bifează pașii pe măsură ce îi parcurgi și notează, la fiecare funcție, care pas a fost gol — vei observa că pasul gol diferă de la familie la familie.

2. Perechea simetrică. Ia trei funcții de forma $\sqrt{x^2+bx+c}$ cu valori diferite ale lui $b$ și verifică de fiecare dată că termenul liber al asimptotei spre $+\infty$ este $\frac{b}{2}$, iar cel de spre $-\infty$ este $-\frac{b}{2}$. Apoi explică, în două propoziții, de unde vine simetria.

3. Verificarea cu instrumente digitale. Reprezintă grafic, într-o aplicație de desenat funcții, cele două funcții din secțiunile 4 și 5 împreună cu dreptele găsite, și mărește imaginea până când graficul și dreapta devin nedistinsibile la ochi. Programa recomandă explicit acest tip de verificare; ea nu ține loc de calcul, dar prinde rapid greșelile de semn.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează procedura pe care se sprijină toată unitatea și pe care programa o descrie prin competența XII.CS.2.4: determinarea asimptotelor orizontale sau oblice pe baza limitelor spre infinit și minus infinit, respectiv a celor verticale prin studiul limitelor în capetele reale ale domeniului și în punctele de discontinuitate. Noutatea față de lecțiile 51–54 nu este matematică, ci organizatorică: schema în patru pași și ordinea obligatorie dinăuntrul pașilor 3 și 4.

Ce verifică lecția: (1) parcurgerea completă a celor patru pași, cu domeniul scris primul; (2) tratarea separată a celor două capete infinite; (3) folosirea corectă a modulului la funcțiile cu radical; (4) calculul lui $n$ după cel al lui $m$, cu concluzia „nu există asimptotă" atunci când una dintre limite nu e finită; (5) redactarea răspunsului ca listă de drepte, cu capătul precizat la fiecare.

Întrebări bune de control: „Câți pași ai făcut și care a ieșit gol?", „De ce spre $-\infty$ panta e negativă la funcția cu radical?", „Ai calculat $n$ sau te-ai oprit la $m$?", „Poate avea funcția asta și orizontală, și oblică spre $+\infty$?". Semn că elevul a înțeles: la o funcție rațională spune tipul asimptotei doar comparând gradele, dar, când i se cere justificarea, scrie totuși limitele.

La BAC M1 — examenul de la finalul specializării matematică-informatică — această cerință apare de regulă ca primul subpunct al problemei de analiză din Subiectul al III-lea, unde valorează în jur de cinci puncte; ea se rezolvă în două-trei minute cu schema și în zece fără ea. Regula gradelor este permisă în redactare, dar se recomandă însoțită de limita corespunzătoare.

Întrebări frecvente

Care sunt pașii pentru aflarea tuturor asimptotelor unei funcții? Patru, în ordine: se scrie domeniul ca reuniune de intervale; se caută asimptotele verticale în capetele finite deschise și în punctele de discontinuitate; se studiază comportarea spre $-\infty$, întâi orizontala și apoi, dacă e cazul, oblica; se studiază la fel comportarea spre $+\infty$. Răspunsul se scrie ca listă de drepte cu ecuațiile lor.

Cum se află asimptotele unei funcții raționale? Asimptotele verticale sunt rădăcinile numitorului rămase după simplificarea fracției. Pentru capete, se compară gradele: numărător de grad mai mic dă asimptota $y=0$; grade egale dau raportul coeficienților dominanți; un grad în plus la numărător dă asimptota oblică egală cu câtul împărțirii; două grade sau mai mult nu dau nicio asimptotă.

De ce au funcțiile cu radical două asimptote oblice diferite? Pentru că $\sqrt{x^2}=|x|$, iar modulul se desface diferit la cele două capete: spre $+\infty$ dă $x$, spre $-\infty$ dă $-x$. Panta își schimbă astfel semnul, iar termenul liber și-l schimbă la fel, ceea ce face cele două drepte simetrice față de axa $Oy$. Uitarea modulului este cea mai frecventă greșeală din acest capitol.

Poate o funcție să aibă asimptotă orizontală și oblică în același timp? Nu spre același capăt, pentru că orizontala cere limita finită, ceea ce forțează panta să fie zero, iar oblica cere panta nenulă. Poate însă avea orizontală spre un capăt și oblică spre celălalt, cum se întâmplă la $f(x)=x+\sqrt{x^2-4}$, unde spre $-\infty$ apare $y=0$, iar spre $+\infty$ apare $y=2x$.

Când nu are o funcție nicio asimptotă? Când este continuă pe tot $\mathbb{R}$ și crește mai repede decât orice dreaptă. Funcțiile polinomiale de grad cel puțin doi sunt exemplul tipic: nu au verticale, pentru că sunt continue peste tot, și nu au nici orizontale, nici oblice, pentru că raportul dintre valoare și $x$ tinde la infinit. La fel se întâmplă cu $x\ln x$ pe $(0,+\infty )$.

Are funcția logaritmică asimptotă oblică? Nu. Deși $\ln x$ crește nemărginit, panta $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$ este zero, deci condiția din definiția asimptotei oblice nu este îndeplinită. Logaritmul crește mai încet decât orice dreaptă cu pantă pozitivă. În schimb, are asimptotă verticală la dreapta capătului finit al domeniului.

Ce fac dacă panta este finită, dar termenul liber iese infinit? Concluzia este că nu există asimptotă oblică spre acel capăt, iar acesta este răspunsul complet al exercițiului. Cazul apare la funcții de tipul $x-\ln x$ sau $x+\sqrt{x}$, unde termenul suplimentar crește prea încet ca să schimbe panta, dar prea repede ca să se stabilizeze. Se scrie explicit că limita lui $n$ este infinită.