Asociativitatea: pe scurt

O lege de compoziție $\ast$ pe mulțimea $M$ este asociativă dacă $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in M$. Se mută doar parantezele, ordinea literelor rămâne aceeași — de aici deosebirea de comutativitate, care schimbă ordinea a două elemente.

Demonstrația se face cu litere, în trei pași: calculezi membrul stâng, calculezi membrul drept, compari. Verificarea pe câteva numere nu demonstrează nimic; numerele servesc doar la infirmare, unde un singur triplet ajunge, scris complet, cu ambele calcule și concluzia. Pe o mulțime cu $n$ elemente ar fi de verificat $n^3$ triplete, deci asociativitatea nu se citește din tabla operației, care arată numai compuneri de câte două elemente.

Scurtătura capitolului: orice lege de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ este asociativă, pentru că ambii membri devin $(x-a)(y-a)(z-a)+a$, expresie simetrică. De aici și formula compunerii lungi, $x_1\ast x_2\ast \cdots \ast x_n=(x_1-a)(x_2-a)\cdots (x_n-a)+a$.

Nu sunt asociative scăderea, împărțirea și media aritmetică; sunt asociative adunarea și înmulțirea numerelor, compunerea funcțiilor și înmulțirea matricelor. Asociativitatea se moștenește pe orice parte stabilă, deci nu se reverifică acolo.

Exerciții din această mini-lecție

1. Legea $\ast$ definită pe mulțimea $M$ este asociativă dacă:

   • a) $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in M$
   • b) există $e\in M$ cu $x\ast e=e\ast x=x$
   • c) tabla legii este simetrică față de diagonala principală
   • d) $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in M$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in M$

   Asociativitatea mută parantezele și păstrează ordinea literelor. Varianta a este comutativitatea, varianta b este definiția elementului neutru, iar c este criteriul de citire a comutativității din tablă. Confundarea primelor două este greșeala clasică a începutului de unitate: media aritmetică este comutativă și neasociativă, iar înmulțirea matricelor este asociativă și necomutativă.

2. Care dintre legile de mai jos nu este asociativă?

   • a) $x\ast y=x+y-7$ pe $\mathbb{R}$
   • b) $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ pe $\mathbb{Q}$
   • c) $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$ pe $\mathbb{R}$
   • d) $x\ast y=\max (x,y)$ pe $\mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ pe $\mathbb{Q}$

   Media aritmetică pică pe tripletul $(2,4,10)$: $(2\ast 4)\ast 10=3\ast 10=\frac{13}{2}$, iar $2\ast (4\ast 10)=2\ast 7=\frac{9}{2}$. Legile aditive de tipul $x+y-a$ și cele de forma $(x-a)(y-a)+a$ sunt asociative prin calcul direct, iar $\max$ este asociativă fiindcă ambii membri dau cel mai mare dintre cele trei numere.

3. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=3x+y$. Care triplet arată că legea nu este asociativă?

   • a) $(0,1,1)$
   • b) $(0,0,0)$
   • c) $(1,0,0)$
   • d) $(0,0,1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(1,0,0)$

   Cu litere, $(x\ast y)\ast z=3(3x+y)+z=9x+3y+z$, iar $x\ast (y\ast z)=3x+3y+z$: expresiile diferă doar prin coeficientul lui $x$, deci contraexemplul trebuie să aibă $x\ne 0$. Pentru $(1,0,0)$ obținem $9$ și $3$. Celelalte trei triplete au $x=0$, iar acolo cei doi membri coincid — un exemplu care confirmă nu demonstrează nimic.