Asociativitatea unei legi de compoziție

Când aduni trei numere, nu te oprești o clipă să te întrebi cum grupezi: scrii $7+4+9$ și mergi mai departe, pentru că știi din școala primară că răspunsul e același, fie că aduni întâi $7+4$, fie întâi $4+9$. Această libertate are un nume — asociativitatea —, iar la clasa a 12-a devine, pentru prima dată, o proprietate care trebuie verificată, nu presupusă: acum lucrezi cu legi de compoziție inventate prin formule, iar unele dintre ele nu o au. Asociativitatea este proprietatea care îți dă dreptul să muți parantezele: o lege $\ast$ este asociativă dacă $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, oricare ar fi elementele $x$, $y$ și $z$ ale mulțimii pe care este definită.

Deosebirea contează enorm pentru un elev de matematică-informatică. O lege asociativă îți dă dreptul să scrii $x\ast y\ast z$ fără paranteze, să calculezi puteri și să prelucrezi expresii lungi în ordinea care îți convine; o lege neasociativă te obligă să pui paranteze la fiecare pas și îți interzice aproape orice scurtătură. Asociativitatea e, dintre toate proprietățile studiate în unitatea „Legi de compoziție", cea mai laborios de demonstrat și cea mai ușor de infirmat — iar lecția aceasta îți dă rețeta exactă pentru amândouă. Pornim de la definiția fixată în Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple și de la formulele exersate în Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția asociativității pentru o lege de compoziție $\ast$ definită pe o mulțime $M$ și să explici ce anume îți permite ea să faci.
• Vei ști să demonstrezi asociativitatea unei legi date prin formulă, calculând separat cei doi membri și comparându-i.
• Vei ști să infirmi asociativitatea cu un singur contraexemplu numeric, ales și scris corect.
• Vei ști că scăderea și împărțirea nu sunt asociative, iar compunerea funcțiilor și înmulțirea matricelor sunt.
• Vei ști să folosești forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ ca să scurtezi verificarea și să calculezi compuneri de mai multe elemente.
• Vei ști că legea indusă pe o parte stabilă a unei legi asociative rămâne asociativă, deci nu se reverifică.

Hai să descoperim împreună

1. Trei elemente, două moduri de a le grupa

O lege de compoziție $\ast$ pe mulțimea $M$ îți spune ce să faci cu două elemente: din $x$ și $y$ obții $x\ast y$. Atât. Definiția nu spune nimic despre trei elemente, iar dacă vrei să compui $x$, $y$ și $z$ ești obligat să lucrezi în doi pași și să alegi ordinea în care faci pașii. Ai exact două posibilități: compui întâi $x$ cu $y$ și rezultatul cu $z$, adică $(x\ast y)\ast z$, sau compui întâi $y$ cu $z$ și pui $x$ în față, adică $x\ast (y\ast z)$.

Asociativitatea este proprietatea unei legi de compoziție $\ast$ definite pe mulțimea $M$ de a da același rezultat indiferent de modul în care se grupează trei elemente: legea este asociativă atunci când $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice trei elemente $x$, $y$ și $z$ din mulțimea $M$, fără nicio excepție.

Observă că nu am schimbat ordinea elementelor: și în stânga, și în dreapta, $x$ e primul, $y$ al doilea, $z$ al treilea. S-au mutat doar parantezele. Aceasta e deosebirea de fond față de comutativitate, care schimbă ordinea și pe care o studiem în Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei: sunt două proprietăți diferite, independente una de alta, iar confundarea lor e greșeala clasică a începutului de an.

2. Ce înseamnă, exact, „pentru orice"?

Cuvintele „pentru orice" din definiție fac toată diferența dintre o demonstrație și o iluzie. A verifica egalitatea pe trei numere alese la întâmplare nu dovedește nimic: există legi care se poartă frumos pe zeci de exemple și pică pe al o sutălea. Demonstrația trebuie să lucreze cu litere, adică să pornească de la $x$, $y$, $z$ oarecare și să ajungă la aceeași expresie în ambii membri.

În schimb, pentru a arăta că o lege nu este asociativă e de ajuns un singur triplet de numere pentru care egalitatea cade. Asimetria aceasta e tipică matematicii: afirmațiile universale se demonstrează cu litere, iar negațiile lor se dovedesc cu un exemplu. Ține minte cele două drumuri, pentru că orice problemă de la Bacalaureat M1 pe tema legilor de compoziție îți cere unul dintre ele.

Ai și un motiv practic pentru grija asta: pe o mulțime cu $n$ elemente, egalitatea din definiție trebuie să fie adevărată pentru $n^3$ triplete — $27$ pentru trei elemente, $512$ pentru opt. Nimeni nu le verifică pe toate cu mâna.

3. Cum demonstrezi că o lege de compoziție este asociativă?

Rețeta are trei pași și se scrie de fiecare dată la fel, ca să nu se piardă puncte la corectare:

1. Calculezi membrul stâng. Notezi $u=x\ast y$, apoi calculezi $u\ast z$ înlocuind $u$ cu expresia lui. Aduni termenii asemenea și obții o expresie în $x$, $y$, $z$.
2. Calculezi membrul drept. Notezi $v=y\ast z$, apoi calculezi $x\ast v$, la fel de amănunțit.
3. Compari. Dacă cele două expresii finale coincid termen cu termen, scrii concluzia: „legea $\ast$ este asociativă pe $M$".

Să aplicăm rețeta pe legea $x\ast y=xy-3x-3y+12$, definită pe $\mathbb{R}$.

Pasul 1. Din $x\ast y=xy-3x-3y+12$ obținem

$$(x\ast y)\ast z=(xy-3x-3y+12)z-3(xy-3x-3y+12)-3z+12,$$

iar după reducerea termenilor asemenea membrul stâng este

$$(x\ast y)\ast z=xyz-3xy-3yz-3zx+9x+9y+9z-24.$$

Pasul 2. Analog, $y\ast z=yz-3y-3z+12$ și

$$x\ast (y\ast z)=x(yz-3y-3z+12)-3x-3(yz-3y-3z+12)+12,$$

de unde, după reducere,

$$x\ast (y\ast z)=xyz-3xy-3yz-3zx+9x+9y+9z-24.$$

Pasul 3. Cele două expresii sunt identice, deci legea este asociativă pe $\mathbb{R}$.

Scurtătura care merită învățată. Legea de mai sus se scrie factorizat: $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, pentru că $(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3$. Cu forma aceasta, demonstrația se face în două rânduri. Notând $x\ast y-3=(x-3)(y-3)$, avem

$$(x\ast y)\ast z-3=((x\ast y)-3)(z-3)=(x-3)(y-3)(z-3),$$

iar la fel, pentru celălalt membru,

$$x\ast (y\ast z)-3=(x-3)((y\ast z)-3)=(x-3)(y-3)(z-3).$$

Ambele dau $(x-3)(y-3)(z-3)+3$, expresie simetrică în cele trei litere. Rețeta generală, pe care ai întâlnit-o la lecția despre legile date prin formule, e să cauți numărul $a$ pentru care $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$; orice lege scrisă astfel este automat asociativă, iar compunerea a oricâtor elemente se citește dintr-un produs.

4. Cum arăți că o lege NU este asociativă?

Alegi trei valori concrete, calculezi ambii membri și arăți că ies numere diferite. Redactarea corectă cuprinde tripletul, cele două calcule complete și propoziția de concluzie. Iată contraexemplele de referință, pe care merită să le știi pe de rost.

Scăderea pe $\mathbb{Z}$. Pentru $x=5$, $y=3$, $z=1$: $(5-3)-1=2-1=1$, iar $5-(3-1)=5-2=3$. Cum $1\ne 3$, scăderea nu este asociativă. Exact de aceea, în clasele mici, ai fost învățat că $a-b-c$ înseamnă, prin convenție, $(a-b)-c$: fără o convenție, scrierea ar fi ambiguă.

Împărțirea pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$. Pentru $x=8$, $y=4$, $z=2$: $(8:4):2=2:2=1$, iar $8:(4:2)=8:2=4$. Cum $1\ne 4$, împărțirea nu este asociativă.

Media aritmetică pe $\mathbb{Q}$, adică $x\ast y=\frac{x+y}{2}$. Pentru $x=2$, $y=4$, $z=10$ avem $2\ast 4=3$ și $3\ast 10=\frac{13}{2}$, în timp ce $4\ast 10=7$ și $2\ast 7=\frac{9}{2}$. Cum $\frac{13}{2}\ne \frac{9}{2}$, legea nu este asociativă — deși, după cum se vede din formulă, este comutativă. Reține exemplul: el arată negru pe alb că cele două proprietăți nu se implică una pe alta.

⚠️ Greșeala de redactare care se sancționează cel mai des: „am încercat cu $x=y=z=1$ și mi-a ieșit la fel, deci legea e asociativă". Un exemplu care confirmă nu demonstrează nimic. Contraexemplul infirmă; confirmarea trebuie făcută cu litere.

5. Legile asociative pe care le folosești deja

Nu toate legile din unitate sunt inventate cu formule. Multe sunt operații pe care le cunoști, iar asociativitatea lor a fost stabilită mai demult sau se demonstrează dintr-o linie.

Adunarea și înmulțirea numerelor ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$) sunt asociative — proprietatea aceasta e una dintre axiomele cu care lucrezi de la gimnaziu.

Compunerea funcțiilor este asociativă, iar demonstrația e o plăcere, pentru că funcționează pentru orice funcții, nu doar pentru cele „frumoase". Fie $f$, $g$, $h$ funcții de la o mulțime $M$ la ea însăși. Pentru orice $t\in M$,

$$((f\circ g)\circ h)(t)=(f\circ g)(h(t))=f\left(g\right(h(t)\left)\right),(f\circ (g\circ h))(t)=f((g\circ h)(t))=f\left(g\right(h(t)\left)\right).$$

Cele două funcții iau aceeași valoare în fiecare punct, deci sunt egale: $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$. Definiția compunerii e cea din Operații cu funcții; compunerea funcțiilor, iar convenția de citire rămâne „de la dreapta la stânga".

Înmulțirea matricelor este asociativă: $(AB)C=A(BC)$ pentru orice matrice pentru care produsele au sens. Proprietatea a fost stabilită în Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea și o folosim ca atare. Pe un exemplu, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, ambele drumuri dau $\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right)$.

Moștenirea pe o parte stabilă. Iată o observație care îți scutește jumătate din muncă la examen. Dacă $\ast$ este asociativă pe $M$ și $H$ este o parte stabilă a lui $M$, atunci legea indusă pe $H$ este și ea asociativă. Motivul e simplu: egalitatea $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ este adevărată pentru orice elemente ale lui $M$, deci în particular pentru elementele lui $H$; iar faptul că $H$ e parte stabilă garantează că toate compunerile care apar rămân în $H$. Noțiunea de parte stabilă și legea indusă sunt cele din Parte stabilă și legea de compoziție indusă. Concluzia practică: dacă ai demonstrat asociativitatea pe $\mathbb{R}$, nu o mai reverifici pe $(3,+\infty )$ — scrii o propoziție și treci mai departe.

6. Se vede asociativitatea pe tabla operației?

Nu. Și e util să înțelegi de ce, pentru că răspunsul te ferește de o pierdere de timp. Tabla unei legi, așa cum a fost construită în Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită, afișează rezultatele compunerii a două elemente. Asociativitatea vorbește despre trei, iar tripletele nu au unde să apară într-un tabel plan. Comutativitatea, în schimb, se citește instantaneu, ca simetrie a tablei — de aceea lecția următoare e mult mai vizuală decât aceasta.

Un exemplu concret merită văzut. Pe mulțimea $M=\{P,F,H\}$ (piatră, foarfece, hârtie) definim $x\ast y$ ca fiind câștigătorul dintre cele două alegeri, cu convenția $x\ast x=x$; piatra bate foarfecele, foarfecele bate hârtia, hârtia bate piatra. Tabla arată astfel:

Tabla este perfect simetrică față de diagonala principală, deci legea este comutativă — ceea ce era de așteptat: câștigătorul nu depinde de ordinea în care numim jucătorii. Cu toate acestea, legea nu este asociativă: $(P\ast F)\ast H=P\ast H=H$, în timp ce $P\ast (F\ast H)=P\ast F=P$, și $H\ne P$. Cu alte cuvinte, într-un turneu de trei jucători contează cine joacă primul meci — un adevăr sportiv care are, iată, o formulare algebrică.

7. Ce câștigi când legea este asociativă?

Câștigi trei lucruri, toate practice.

Scrii fără paranteze. Dacă legea e asociativă, cele două grupări dau același element, deci notația $x\ast y\ast z$ este lipsită de ambiguitate. Se arată, prin inducție după numărul de elemente, că același lucru rămâne adevărat pentru oricâte elemente: toate modurile de a pune parantezele în $x_1\ast x_2\ast \cdots \ast x_n$ dau același rezultat. Enunțul acesta se numește asociativitate generalizată și este cel care dă sens puterilor unui element; îl reluăm cu demonstrație în Semigrupuri și monoizi; reguli de calcul și puteri.

Calculezi compuneri lungi dintr-o formulă. Pentru legea $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, asociativitatea garantează că

$$x_1\ast x_2\ast \cdots \ast x_n=(x_1-a)(x_2-a)\cdots (x_n-a)+a,$$

egalitate care se demonstrează prin inducție și care transformă un calcul de zece pași într-un produs. La $x\ast y=xy-4x-4y+20$, adică $a=4$, obții imediat $2\ast 3\ast 4\ast 5=(-2)(-1)\cdot 0\cdot 1+4=4$, fără să faci vreo compunere.

Prelucrezi expresii în ordinea convenabilă. Într-o compunere lungă poți începe cu perechile care se simplifică. Atenție însă: asociativitatea îți dă voie să muți parantezele, nu elementele — permutarea lor cere comutativitatea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O lege aditivă

Se consideră legea $x\ast y=x+y-3$ pe $\mathbb{R}$. Arată că este asociativă.

Rezolvare. Membrul stâng: $(x\ast y)\ast z=(x+y-3)\ast z=(x+y-3)+z-3=x+y+z-6$. Membrul drept: $x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-3)=x+(y+z-3)-3=x+y+z-6$. Cele două expresii coincid pentru orice $x,y,z\in \mathbb{R}$, deci legea este asociativă.

Observă cât de repede merge calculul: constanta $-3$ apare o dată la fiecare compunere, deci de două ori în ambii membri.

Exemplul 2 — O lege multiplicativă deghizată

Se consideră legea $x\ast y=xy+x+y$ pe $\mathbb{R}$. Arată că este asociativă, în două feluri.

Rezolvare, prima cale (calcul direct). $(x\ast y)\ast z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z$. Apoi $x\ast (y\ast z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+z$. Ambele expresii sunt $xyz+xy+yz+zx+x+y+z$, deci legea este asociativă.

Rezolvare, a doua cale (forma factorizată). Observăm că $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$, adică forma $(x-a)(y-a)+a$ cu $a=-1$. Atunci $(x\ast y)\ast z+1=((x\ast y)+1)(z+1)=(x+1)(y+1)(z+1)$ și, la fel, $x\ast (y\ast z)+1=(x+1)(y+1)(z+1)$. Expresia obținută este simetrică, deci legea este asociativă. A doua cale e de trei ori mai scurtă și se acceptă integral la corectare.

Exemplul 3 — O lege care nu este asociativă

Se consideră legea $x\ast y=2x+y$ pe $\mathbb{R}$. Este ea asociativă?

Rezolvare. Calculăm ambii membri cu litere: $(x\ast y)\ast z=2(2x+y)+z=4x+2y+z$, iar $x\ast (y\ast z)=2x+(2y+z)=2x+2y+z$. Expresiile diferă prin coeficientul lui $x$, deci ne așteptăm ca legea să nu fie asociativă; ca dovadă, alegem un triplet în care diferența se vede. Pentru $x=1$, $y=0$, $z=0$ avem $(1\ast 0)\ast 0=2\ast 0=4$ și $1\ast (0\ast 0)=1\ast 0=2$. Cum $4\ne 2$, legea nu este asociativă.

Reține tehnica: calculul cu litere îți arată unde se rupe egalitatea, iar tripletul ales pe baza lui e mereu unul simplu, cu zerouri și unități.

Exemplul 4 — O lege dată prin tablă

Pe mulțimea $M=\{a,b,c\}$ se dă legea din tabla de mai jos. Stabilește dacă este asociativă.

Rezolvare. Tabla nu se citește pentru asociativitate, deci încercăm triplete. Începem cu unul care amestecă elemente diferite: $x=a$, $y=a$, $z=b$. Din tablă, $a\ast a=a$, deci $(a\ast a)\ast b=a\ast b=c$. Pe de altă parte, $a\ast b=c$, deci $a\ast (a\ast b)=a\ast c=b$. Cum $c\ne b$, legea nu este asociativă.

Un singur triplet a fost de ajuns. Dacă primele încercări ies bune, nu trage concluzia opusă: pentru a afirma că legea este asociativă ar trebui verificate toate cele $27$ de triplete sau găsit un argument general (de pildă, recunoașterea legii ca fiind indusă de una asociativă cunoscută).

Exemplul 5 — Compunerea a trei funcții

Fie $f,g,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$, $g(x)=x+3$, $h(x)=x^2$. Verifică pe aceste funcții asociativitatea compunerii și arată că, în schimb, $f\circ g\ne g\circ f$.

Rezolvare. Avem $(f\circ g)(x)=f(x+3)=2x+6$, deci $((f\circ g)\circ h)(x)=2x^2+6$. Apoi $(g\circ h)(x)=x^2+3$, deci $(f\circ (g\circ h))(x)=2(x^2+3)=2x^2+6$. Cele două funcții au aceeași expresie, deci sunt egale — asociativitatea se confirmă, cum era de așteptat din demonstrația generală.

Pe de altă parte, $(g\circ f)(x)=g(2x)=2x+3$ diferă de $(f\circ g)(x)=2x+6$: în $x=0$ obținem $6$, respectiv $3$. Compunerea funcțiilor este deci asociativă, dar nu comutativă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-4x-4y+20$. (Este tipul de problemă din Subiectul al II-lea, unde legea vine însoțită de trei cerințe legate între ele.)

a) Arată că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ și calculează $3\ast 5$ și $6\ast 6$.

b) Demonstrează că legea $\ast$ este asociativă.

c) Calculează $2\ast 3\ast 4\ast 5$.

Rezolvare.

a) Dezvoltăm membrul drept: $(x-4)(y-4)+4=xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$, adică exact $x\ast y$. Cu forma factorizată, $3\ast 5=(3-4)(5-4)+4=(-1)\cdot 1+4=3$ și $6\ast 6=(6-4)(6-4)+4=4+4=8$. Verificare directă: $3\ast 5=15-12-20+20=3$ și $6\ast 6=36-24-24+20=8$.

b) Folosim forma de la punctul a). Din $x\ast y-4=(x-4)(y-4)$ obținem, pe de o parte,

$$(x\ast y)\ast z-4=((x\ast y)-4)(z-4)=(x-4)(y-4)(z-4),$$

iar pe de altă parte

$$x\ast (y\ast z)-4=(x-4)((y\ast z)-4)=(x-4)(y-4)(z-4).$$

Prin urmare $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)=(x-4)(y-4)(z-4)+4$ pentru orice $x,y,z\in \mathbb{R}$, deci legea este asociativă.

c) Asociativitatea ne permite să scriem compunerea fără paranteze și să folosim formula produsului:

$$2\ast 3\ast 4\ast 5=(2-4)(3-4)(4-4)(5-4)+4=(-2)\cdot (-1)\cdot 0\cdot 1+4=4.$$

Factorul nul a înghițit tot produsul, deci rezultatul este chiar $4$. Verificare pas cu pas: $2\ast 3=6-8-12+20=6$, apoi $6\ast 4=24-24-16+20=4$, apoi $4\ast 5=20-16-20+20=4$. ✓

Să exersăm

La fiecare lege, scrie mai întâi ce vrei să arăți: „demonstrez asociativitatea, deci lucrez cu litere" sau „infirm asociativitatea, deci caut un triplet". Amestecarea celor două drumuri e sursa majorității greșelilor.

1. Arată că legea $x\ast y=x+y+5$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă.

2. Stabilește dacă legea $x\ast y=x+2y$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă; dacă nu, dă un contraexemplu.

3. Arată că legea $x\ast y=xy-x-y+2$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă, folosind forma factorizată.

4. Arată, cu un contraexemplu, că scăderea numerelor întregi nu este o lege asociativă pe $\mathbb{Z}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o lege de compoziție este comutativă, atunci este și asociativă."

6. Arată, cu un contraexemplu, că împărțirea nu este o lege asociativă pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$.

7. Stabilește dacă legea $x\ast y=\frac{xy}{2}$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă.

8. Pe $(0,+\infty )$ se definește $x\ast y=x^y$. Este legea asociativă? Folosește tripletul $(2,2,3)$.

9. Arată că legea $x\ast y=\max (x,y)$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă, explicând de ce ambii membri sunt cel mai mare dintre cele trei numere.

10. Stabilește dacă legea $x\ast y=|x-y|$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă; folosește tripletul $(1,2,4)$.

11. Fie $f,g,u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$, $g(x)=x+3$, $u(x)=3x-1$. Verifică pe aceste funcții egalitatea $(f\circ g)\circ u=f\circ (g\circ u)$ și calculează valoarea comună în $x=2$.

12. (Problemă aplicată.) Pe mulțimea șirurilor de litere se definește legea „lipirea": $\text{ma}\ast \text{te}=\text{mate}$. Explică de ce legea este asociativă și de ce nu este comutativă.

13. Legea $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ este asociativă pe $\mathbb{R}$. Justifică, într-o singură propoziție, de ce legea indusă pe intervalul $(2,+\infty )$ este și ea asociativă, știind că acest interval este parte stabilă.

14. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$. Calculează $(AB)C$ și $A(BC)$ și compară rezultatele.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=3xy-6x-6y+14$. a) Arată că $x\ast y=3(x-2)(y-2)+2$. b) Demonstrează că legea este asociativă. c) Calculează $1\ast 2\ast 3$.

16. Pe $M=\{a,b,c\}$ se dă legea din tabla următoare. Arată că nu este asociativă, folosind tripletul $(b,b,c)$.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru a demonstra că o lege pe o mulțime cu trei elemente este asociativă, e de ajuns să verifici zece triplete alese la întâmplare."

18. (Provocare.) Pentru legea $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ definită pe $\mathbb{R}$, demonstrează prin inducție că, notând cu $x^{\ast n}$ compunerea lui $x$ cu el însuși de $n$ ori, avem $x^{\ast n}=(x-2{)}^n+2$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Calculează apoi valoarea pentru $x=5$ și $n=4$.

Răspunsuri și explicații

1. $(x\ast y)\ast z=(x+y+5)+z+5=x+y+z+10$, iar $x\ast (y\ast z)=x+(y+z+5)+5=x+y+z+10$. Expresiile coincid pentru orice $x,y,z$, deci legea este asociativă.

2. Nu este. Cu litere: $(x\ast y)\ast z=(x+2y)+2z=x+2y+2z$, iar $x\ast (y\ast z)=x+2(y+2z)=x+2y+4z$. Diferența e la coeficientul lui $z$, deci alegem $z=1$ și restul zero: $(0\ast 0)\ast 1=0\ast 1=2$, iar $0\ast (0\ast 1)=0\ast 2=4$. Cum $2\ne 4$, legea nu este asociativă.

3. Observăm că $xy-x-y+2=(x-1)(y-1)+1$. Atunci $(x\ast y)\ast z-1=((x\ast y)-1)(z-1)=(x-1)(y-1)(z-1)$ și, analog, $x\ast (y\ast z)-1=(x-1)(y-1)(z-1)$. Ambii membri sunt $(x-1)(y-1)(z-1)+1$, deci legea este asociativă.

4. Pentru $x=5$, $y=3$, $z=1$: $(5-3)-1=1$, iar $5-(3-1)=3$. Cum $1\ne 3$, scăderea nu este asociativă pe $\mathbb{Z}$.

5. Fals. Contraexemplul standard este media aritmetică $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ pe $\mathbb{Q}$: formula e simetrică în $x$ și $y$, deci legea e comutativă, dar $(2\ast 4)\ast 10=3\ast 10=\frac{13}{2}$, în timp ce $2\ast (4\ast 10)=2\ast 7=\frac{9}{2}$. Cele două proprietăți sunt independente.

6. Pentru $x=8$, $y=4$, $z=2$: $(8:4):2=1$, iar $8:(4:2)=4$. Cum $1\ne 4$, împărțirea nu este asociativă pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$.

7. Este asociativă: $(x\ast y)\ast z=\frac{\frac{xy}{2}\cdot z}{2}=\frac{xyz}{4}$, iar $x\ast (y\ast z)=\frac{x\cdot \frac{yz}{2}}{2}=\frac{xyz}{4}$. Expresiile coincid pentru orice numere reale.

8. Nu este. $(2\ast 2)\ast 3=4\ast 3=4^3=64$, iar $2\ast (2\ast 3)=2\ast 8=2^8=256$. Cum $64\ne 256$, ridicarea la putere nu este o lege asociativă.

9. Este asociativă. Membrul stâng, $\max (\max (x,y),z)$, este cel mai mare dintre $x$, $y$, $z$: primul $\max$ elimină cel mai mic dintre $x$ și $y$, iar al doilea compară învingătorul cu $z$. Membrul drept, $\max (x,\max (y,z))$, este tot cel mai mare dintre cele trei numere, pentru că ordinea comparațiilor nu schimbă maximul unei mulțimi finite. Ambele expresii sunt deci $\max (x,y,z)$.

10. Nu este. $(1\ast 2)\ast 4=1\ast 4=|1-4|=3$, iar $1\ast (2\ast 4)=1\ast 2=1$. Cum $3\ne 1$, legea nu este asociativă (deși este comutativă, pentru că $|x-y|=|y-x|$).

11. $(f\circ g)(x)=2x+6$, deci $((f\circ g)\circ u)(x)=2(3x-1)+6=6x+4$. Apoi $(g\circ u)(x)=3x+2$, deci $(f\circ (g\circ u))(x)=2(3x+2)=6x+4$. Cele două funcții sunt egale; în $x=2$ valoarea comună este $16$.

12. Lipirea este asociativă pentru că, oricum ai pune parantezele, literele apar în aceeași ordine: din „ma", „te" și „matic" obții „matematic" pe ambele drumuri. Nu este comutativă, pentru că „ma" lipit cu „te" dă „mate", iar „te" lipit cu „ma" dă „tema" — două șiruri diferite. Este exemplul cel mai la îndemână de lege asociativă și necomutativă.

13. Legea indusă pe $(2,+\infty )$ este asociativă pentru că egalitatea $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ este adevărată pentru orice numere reale, deci în particular pentru cele din interval, iar faptul că intervalul e parte stabilă garantează că toate compunerile intermediare rămân în el.

14. $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $(AB)C=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right)$. Apoi $BC=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 3\end{array}\right)$, deci $A(BC)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right)$. Rezultatele coincid, ilustrând asociativitatea înmulțirii matricelor. (Pentru contrast: $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\ne AB$.)

15. a) $3(x-2)(y-2)+2=3(xy-2x-2y+4)+2=3xy-6x-6y+12+2=3xy-6x-6y+14$. ✓ b) Din $x\ast y-2=3(x-2)(y-2)$ rezultă $(x\ast y)\ast z-2=3((x\ast y)-2)(z-2)=9(x-2)(y-2)(z-2)$ și, la fel, $x\ast (y\ast z)-2=9(x-2)(y-2)(z-2)$. Ambii membri sunt $9(x-2)(y-2)(z-2)+2$, deci legea este asociativă. c) $1\ast 2\ast 3=9(1-2)(2-2)(3-2)+2=9\cdot (-1)\cdot 0\cdot 1+2=2$. Verificare: $1\ast 2=6-6-12+14=2$, apoi $2\ast 3=18-12-18+14=2$. ✓

16. Din tablă, $b\ast b=c$, deci $(b\ast b)\ast c=c\ast c=c$. Pe de altă parte, $b\ast c=a$, deci $b\ast (b\ast c)=b\ast a=b$. Cum $c\ne b$, legea nu este asociativă.

17. Fals. Verificarea unor triplete alese la întâmplare poate doar să infirme asociativitatea, niciodată să o demonstreze: legea poate cădea exact pe un triplet neîncercat. Pe o mulțime cu trei elemente sunt $3^3=27$ de triplete, deci demonstrația cere fie toate cele $27$ de verificări, fie un argument general.

18. Pentru $n=1$ egalitatea devine $x=(x-2{)}^1+2$, adevărată. Presupunem $x^{\ast n}=(x-2{)}^n+2$ și compunem încă o dată cu $x$: $x^{\ast (n+1)}=x^{\ast n}\ast x=(x^{\ast n}-2)(x-2)+2=(x-2{)}^n(x-2)+2=(x-2{)}^{n+1}+2$, adică exact enunțul pentru $n+1$. Conform principiului inducției matematice, formula e adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pentru $x=5$ și $n=4$ obținem $3^4+2=83$.

De reținut

• O lege de compoziție $\ast$ pe mulțimea $M$ este asociativă dacă $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in M$, adică dacă rezultatul nu depinde de modul în care se pun parantezele.
• Demonstrația asociativității se face cu litere, calculând separat cei doi membri și arătând că se reduc la aceeași expresie; verificarea pe numere alese la întâmplare nu demonstrează nimic.
• Infirmarea asociativității cere un singur contraexemplu: un triplet concret pentru care cele două grupări dau rezultate diferite, cu ambele calcule scrise.
• Legile de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ sunt asociative, iar compunerea mai multor elemente se calculează cu formula $x_1\ast x_2\ast \cdots \ast x_n=(x_1-a)(x_2-a)\cdots (x_n-a)+a$.
• Scăderea și împărțirea nu sunt asociative, în timp ce adunarea și înmulțirea numerelor, compunerea funcțiilor și înmulțirea matricelor sunt; asociativitatea se moștenește pe orice parte stabilă.

Greșeli frecvente

• Confundarea asociativității cu comutativitatea. Asociativitatea mută parantezele și păstrează ordinea, comutativitatea schimbă ordinea. Media aritmetică e comutativă și neasociativă, iar înmulțirea matricelor e asociativă și necomutativă — deci niciuna nu o implică pe cealaltă.
• „Am verificat pe trei numere și a ieșit." Un exemplu care confirmă nu este demonstrație. Singurul rol al exemplelor numerice este să infirme; pentru a afirma asociativitatea, calculul trebuie făcut cu $x$, $y$, $z$ oarecare.
• Contraexemplul scris pe jumătate. Nu e de ajuns să spui „nu e asociativă, se vede". Trebuie scrise tripletul, calculul complet al ambilor membri și propoziția de concluzie; altfel punctajul se acordă parțial.
• Căutarea asociativității în tabla operației. Tabla arată compuneri de câte două elemente, deci nu poate afișa triplete. Simetria tablei este criteriu pentru comutativitate, nu pentru asociativitate.
• Reverificarea asociativității pe o submulțime. Dacă legea e asociativă pe $\mathbb{R}$ și $H$ e parte stabilă, legea indusă pe $H$ e automat asociativă. Refacerea calculului pe $H$ e timp pierdut într-o lucrare cronometrată.

Aplică acasă

1. Colecția de legi. Scrie pe o foaie cinci legi de compoziție pe $\mathbb{R}$, definite prin formule inventate de tine, și stabilește pentru fiecare dacă e asociativă. Pentru cele care nu sunt, notează contraexemplul complet; pentru cele care sunt, încearcă să găsești numărul $a$ din forma $(x-a)(y-a)+a$.

2. Turneul de trei jucători. Reia tabla jocului piatră–foarfece–hârtie și organizează un turneu imaginar cu trei jucători, în care primul meci se joacă între doi dintre ei, iar câștigătorul îl întâlnește pe al treilea. Verifică pe toate cele trei ordini posibile cine câștigă și explică, în două fraze, ce legătură are rezultatul cu lipsa asociativității.

3. Cronometrul. Ia legea $x\ast y=xy-5x-5y+30$ și calculează $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5$ în două feluri: pas cu pas, de la stânga la dreapta, și cu formula produsului. Cronometrează ambele drumuri și notează diferența de timp — este exact ce câștigi la examen dintr-o singură observație.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul deosebește o demonstrație de o verificare. Asociativitatea este prima proprietate din unitate care nu se poate citi dintr-un tabel și care cere calcul algebric susținut, cu dezvoltări de paranteze și reduceri de termeni asemenea; de aceea, greșelile care apar aici sunt de obicei de calcul, nu de înțelegere. Rețeta în trei pași — membrul stâng, membrul drept, comparația — trebuie să apară în caiet de fiecare dată, scrisă la fel.

De verificat în caiet: (1) demonstrațiile se fac cu litere, nu pe cazuri particulare; (2) contraexemplele conțin tripletul și ambele calcule; (3) forma factorizată $(x-a)(y-a)+a$ este căutată sistematic la legile de tip produs; (4) asociativitatea nu se reverifică pe părțile stabile. Întrebări de control: „Ce trebuie să arăți ca să demonstrezi asociativitatea?"; „Câte exemple sunt necesare pentru a infirma o proprietate?"; „De ce scăderea nu e asociativă?"; „Ce câștigi când legea e asociativă?".

La BAC M1, asociativitatea apare aproape la fiecare sesiune, în problema de algebră: se cere fie demonstrația ei directă, fie folosirea ei pentru a compune mai multe elemente dintr-o formulă. Semn că elevul a înțeles: caută întâi forma factorizată a legii și abia apoi începe calculul; și știe, fără să ezite, că un singur contraexemplu este de ajuns pentru a răspunde „nu".

Întrebări frecvente

Ce este asociativitatea unei legi de compoziție? Asociativitatea este proprietatea unei legi $\ast$ de a da același rezultat oricum am grupa trei elemente: $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x$, $y$, $z$ din mulțimea pe care e definită legea. Practic, ea îți dă dreptul să scrii $x\ast y\ast z$ fără paranteze, pentru că nu mai există ambiguitate.

Cum demonstrez că o lege de compoziție este asociativă? Calculezi separat cei doi membri, cu litere, și arăți că se reduc la aceeași expresie. Pasul 1: înlocuiești $x\ast y$ în $(x\ast y)\ast z$ și dezvolți. Pasul 2: înlocuiești $y\ast z$ în $x\ast (y\ast z)$ și dezvolți. Pasul 3: compari expresiile finale și scrii concluzia.

Cum arăt că o lege NU este asociativă? Este de ajuns un singur contraexemplu: alegi trei valori concrete, calculezi ambele grupări și arăți că numerele obținute diferă. De exemplu, pentru scădere, $(5-3)-1=1$, dar $5-(3-1)=3$. Redactarea completă cuprinde tripletul ales, cele două calcule și propoziția de concluzie.

De ce nu sunt scăderea și împărțirea legi asociative? Pentru că în ambele cazuri al doilea element al doilea pas își schimbă rolul când se mută parantezele. La scădere, $(x-y)-z=x-y-z$, în timp ce $x-(y-z)=x-y+z$: semnul lui $z$ se schimbă. La împărțire, $(x:y):z=\frac{x}{yz}$, dar $x:(y:z)=\frac{xz}{y}$.

Care este legătura dintre asociativitate și comutativitate? Nu există nicio legătură de implicație: fiecare proprietate poate exista fără cealaltă. Media aritmetică este comutativă, dar nu asociativă; înmulțirea matricelor și compunerea funcțiilor sunt asociative, dar nu comutative. Asociativitatea mută parantezele, comutativitatea schimbă ordinea elementelor — sunt întrebări diferite despre aceeași lege.

Se vede asociativitatea în tabla operației? Nu se vede. Tabla afișează rezultatul compunerii a două elemente, iar asociativitatea este o afirmație despre trei elemente, deci despre triplete care nu au unde să apară într-un tabel plan. Pentru o mulțime cu $n$ elemente ar trebui verificate $n^3$ triplete; simetria tablei este criteriu pentru comutativitate, nu pentru asociativitate.

Când este o lege dată prin formulă sigur asociativă? Când se poate scrie sub forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ pentru un număr $a$ potrivit. Atunci $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$ sunt amândouă egale cu $(x-a)(y-a)(z-a)+a$, expresie simetrică în cele trei litere. Căutarea numărului $a$ este primul lucru de făcut la orice lege de tip produs.

La ce îmi folosește asociativitatea la Bacalaureat M1? Îți folosește direct la calculul compunerilor lungi. Într-o problemă de tip Subiectul al II-lea ți se cere adesea $x_1\ast x_2\ast \cdots \ast x_n$; asociativitatea îți permite să scrii expresia fără paranteze și, când legea are forma factorizată, să înlocuiești tot calculul cu produsul $(x_1-a)(x_2-a)\cdots (x_n-a)+a$.