Ce este o asimptotă: pe scurt

Asimptota la graficul funcției $f$ este o dreaptă de care punctele graficului se apropie oricât de mult atunci când $x$ merge spre un capăt al domeniului; condiția riguroasă este ca distanța de la punctul $M(x,f(x))$ la dreaptă să tindă la zero. Definiția aceasta închide promisiunea făcută la clasa a IX-a și dă nume unor limite calculate deja la clasa a XI-a. Există trei tipuri: asimptota orizontală, dreapta $y=\ell$, cu $\ell$ limita finită la un capăt infinit; asimptota oblică, dreapta $y=mx+n$ cu $m\ne 0$; asimptota verticală, dreapta $x=a$, dată de o limită laterală infinită. Asimptotele se caută exclusiv la capetele domeniului și în punctele de discontinuitate — niciodată într-un punct interior în care $f$ este continuă. „Se apropie” nu înseamnă „nu atinge”: graficul are voie să intersecteze o asimptotă, chiar de o infinitate de ori. O valoare interzisă este doar un candidat: dacă limita acolo este finită, graficul are o gaură, nu o asimptotă. O funcție are cel mult două asimptote neverticale, câte una spre fiecare capăt, dar poate avea oricâte verticale. Răspunsul complet este o listă de drepte cu ecuațiile lor și cu capătul precizat.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dreapta $d$ este asimptotă la graficul funcției $f$ dacă:

   • a) graficul lui $f$ nu intersectează niciodată dreapta $d$
   • b) distanța de la punctul $M(x,f(x))$ la $d$ tinde la zero când $x$ merge spre un capăt al domeniului
   • c) funcția $f$ nu este definită în punctele dreptei $d$
   • d) dreapta $d$ este tangentă la graficul lui $f$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) distanța de la punctul $M(x,f(x))$ la $d$ tinde la zero când $x$ merge spre un capăt al domeniului

   Definiția cere apropierea, nu evitarea: distanța de la punctul curent al graficului la dreaptă tinde la zero. De aceea varianta a este falsă — graficul funcției $\frac{\sin x}{x}$ își taie asimptota $y=0$ de o infinitate de ori. Varianta c confundă asimptota cu valorile interzise, iar varianta d confundă apropierea la infinit cu atingerea într-un punct.

2. Pentru $f(x)=\frac{x^2-3x-10}{x-5}$, dreapta $x=5$:

   • a) este asimptotă verticală bilaterală
   • b) este asimptotă orizontală
   • c) este asimptotă verticală numai la stânga
   • d) nu este asimptotă verticală, fiindcă limita în $5$ este $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu este asimptotă verticală, fiindcă limita în $5$ este $7$

   Simplificăm întâi fracția: $\frac{(x-5)(x+2)}{x-5}=x+2$ pentru $x\ne 5$, deci ambele limite laterale în $5$ sunt egale cu $7$. Valoarea $5$ lipsește din domeniu, dar limita este finită, așa că graficul are o gaură în punctul $(5,7)$, nu o asimptotă. Valoarea interzisă este doar un candidat: asimptota apare numai dacă o limită laterală iese infinită.

3. Graficul funcției $f(x)=\frac{3x-6}{x^2+9}$ are asimptota orizontală $y=0$. Graficul:

   • a) o intersectează în punctul de abscisă $2$
   • b) nu o poate intersecta
   • c) o intersectează în două puncte
   • d) nu are, de fapt, asimptotă orizontală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) o intersectează în punctul de abscisă $2$

   Numitorul are grad mai mare decât numărătorul, deci limita la ambele capete este $0$ și $y=0$ este asimptotă orizontală. Intersecția cu ea se obține din $f(x)=0$, adică $3x-6=0$, deci $x=2$ — un singur punct. Definiția rămâne îndeplinită, fiindcă distanța tinde tot la zero: o asimptotă poate fi atinsă.