Comportarea graficului la infinit și lângă punctele excluse: ce este o asimptotă

Un parașutist care se desprinde din avion nu cade din ce în ce mai repede la nesfârșit: după vreo jumătate de minut viteza lui aproape că nu mai crește. Dreapta orizontală de care graficul vitezei se apropie fără să ajungă la ea se numește asimptotă, iar lecția de față — prima din unitatea de analiză matematică a clasei a XII-a — îi dă definiția riguroasă. Asimptota unei funcții este o dreaptă cu proprietatea că distanța de la punctele graficului până la ea tinde la zero, fie când $x$ se duce spre $+\infty$ sau spre $-\infty$, fie când $x$ se apropie de un punct în care funcția nu este definită. Un model simplu al căderii dă viteza, în metri pe secundă, prin $v(t)=55\left(1-e^{-t/6}\right)$: la $6$ secunde parașutistul are $34,77$ m/s, la $12$ secunde $47,56$ m/s, la $30$ de secunde $54,63$ m/s, iar de acolo încolo cifrele se înghesuie sub $55$ fără să ajungă vreodată la această valoare.

Cuvântul nu e nou pentru tine. În lecția Comportament asimptotic citit pe grafic ai descris exact acest fel de comportament, cu tabele de valori și cu formulări în cuvinte, iar lecția aceea se încheia cu o promisiune: „instrumentul matematic riguros care descrie această apropiere se numește limită". Între timp ai construit instrumentul. Știi să calculezi limite la infinit și limite laterale, știi ce înseamnă că o limită este infinită și ce înseamnă că nu există. Lecția de față lipește cele două jumătăți: limita e calculul, asimptota e figura pe care calculul o descrie. De aici încolo, o limită la un capăt al domeniului nu mai e doar un număr — e o dreaptă pe care o poți desena.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui, cu precizie, ce înseamnă că graficul unei funcții se apropie de o dreaptă și de ce condiția se scrie cu distanța de la punct la dreaptă.
• Vei ști să recunoști cele trei tipuri de asimptotă — orizontală, oblică și verticală — și limita care răspunde de fiecare.
• Vei ști unde se caută asimptotele: numai la capetele domeniului și în punctele de discontinuitate, niciodată în rest.
• Vei ști să treci de la limitele calculate în clasa a XI-a la lista de drepte care formează răspunsul complet la Bacalaureat M1.
• Vei ști de ce „se apropie" nu înseamnă „nu atinge" și vei putea da un contraexemplu.
• Vei ști să deosebești o asimptotă adevărată de trei imitații: gaura din grafic, dreapta atinsă doar pe o bucată și creșterea nemărginită fără nicio direcție.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un grafic „se apropie de o dreaptă"?

Asimptota unui grafic este o dreaptă de care punctele graficului se apropie oricât de mult atunci când sunt urmărite spre un capăt al domeniului: fie spre $-\infty$, fie spre $+\infty$, fie spre un punct în care funcția nu este definită și lângă care valorile ei cresc nemărginit în modul. Formularea „se apropie oricât de mult" înseamnă că distanța de la punctul mobil al graficului la dreaptă tinde la zero.

Ca să nu rămână o metaforă, punem formula. Fie $f$ o funcție și $M(x,f(x))$ punctul mobil al graficului. Distanța de la un punct la o dreaptă a fost fixată în lecția Distanța de la un punct la o dreaptă: pentru dreapta de ecuație $y=mx+n$, adică $mx-y+n=0$, avem $$d(M,d)=\frac{|mx-f(x)+n|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|f(x)-mx-n|}{\sqrt{m^2+1}}.$$

Numitorul e o constantă nenulă, deci distanța tinde la zero exact atunci când diferența $f(x)-mx-n$ tinde la zero. Aceasta e observația care face toată teoria simplă: în loc să lucrăm cu distanțe, lucrăm cu o singură limită, cea a diferenței dintre funcție și dreaptă.

Pentru o dreaptă orizontală, adică pentru $m=0$, formula se reduce la $d(M,d)=|f(x)-n|$: distanța e chiar abaterea valorii funcției de la nivelul $n$.

Pentru o dreaptă verticală $x=a$ situația e alta, și merită spus de la început de ce. Distanța de la $M(x,f(x))$ la dreapta $x=a$ este $|x-a|$, care tinde la zero de la sine, prin simplul fapt că $x\to a$ — indiferent de funcție. Deci acolo condiția interesantă nu e apropierea pe orizontală, ci faptul că punctul fuge la infinit pe verticală: $|f(x)|$ crește nemărginit. De aceea asimptotele verticale se recunosc după limite infinite, iar cele orizontale și oblice după limite finite.

2. Cele trei tipuri de asimptotă și limitele care le dau

Numele și formele lor sunt fixate o dată pentru toată unitatea, iar lecțiile care urmează le vor folosi exact așa.

Asimptotă orizontală spre $+\infty$: dreapta $y=\ell$, unde $\ell =\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\in \mathbb{R}$. Analog spre $-\infty$. Reține formularea: asimptota este spre $+\infty$, chiar dacă limita se calculează la $+\infty$. Cele două capete se studiază separat și pot da drepte diferite.

Asimptotă oblică spre $+\infty$: dreapta $y=mx+n$, cu $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n\in \mathbb{R}$, pentru care $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx-n)=0$. Condiția $m\ne 0$ face parte din nume: dacă panta ar fi zero, dreapta ar fi orizontală și i-am spune așa.

Asimptotă verticală: dreapta $x=a$, atunci când cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită. Aici o pomenim doar; determinarea ei, cu tot ce înseamnă alegerea candidaților și precizarea „la stânga", „la dreapta" sau „bilaterală", este subiectul lecției Asimptota verticală.

O observație de vocabular pe care baremele o cer: rezultatul unui studiu de asimptote nu se scrie „funcția are asimptote", ci ca o listă de drepte cu ecuațiile lor: „dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$; dreapta $x=1$ este asimptotă verticală". Ecuația e răspunsul; adjectivul e doar eticheta ei.

3. Unde se caută asimptotele unei funcții?

Răspunsul e scurt și e cel mai util lucru din lecție: numai la capetele domeniului și în punctele de discontinuitate. Nicăieri altundeva.

Domeniul unei funcții din programa clasei a XII-a este întotdeauna o reuniune de intervale. Capetele acestor intervale sunt de trei feluri, și fiecare fel deschide un tip de întrebare:

• capătul este $+\infty$ sau $-\infty$: se pune întrebarea despre asimptota orizontală, iar dacă aceasta nu există, întrebarea despre asimptota oblică;
• capătul este un număr finit care nu aparține domeniului (o valoare interzisă, o margine deschisă): se pune întrebarea despre asimptota verticală;
• capătul este un număr finit care aparține domeniului: aici nu e nimic de căutat, funcția are o valoare acolo și graficul are un capăt de arc.

La acestea se adaugă punctele de discontinuitate ale funcției, dacă există, pentru că și acolo valorile pot exploda. În schimb, într-un punct interior în care funcția este continuă nu poate exista asimptotă verticală: graficul trece liniștit prin punctul $(x_0,f(x_0))$ și nu are cum să fugă la infinit.

Iată de ce merită reținut: asimptotele sunt un fenomen de margine. Ele descriu ce se întâmplă acolo unde graficul iese din desen, nu în zona din mijloc, unde graficul se vede oricum.

4. Prima citire completă, pe funcția $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$

Domeniul este $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, adică reuniunea $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$. Are, prin urmare, patru capete: $-\infty$, apoi $1$ privit din stânga, apoi $1$ privit din dreapta, apoi $+\infty$.

Rescriem funcția, cu trucul pe care îl folosești de la lecția de clasa a IX-a: împărțim și separăm partea constantă, $$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}.$$ Verificare: $2(x-1)+3=2x-2+3=2x+1$, corect.

Acum totul se citește dintr-o privire. Când $x\to \pm \infty$, fracția $\frac{3}{x-1}$ tinde la $0$, deci $f(x)\to 2$: dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$. Mai mult, semnul lui $\frac{3}{x-1}$ ne spune și de care parte stă graficul: pentru $x>1$ termenul e pozitiv, deci graficul e deasupra dreptei; pentru $x<1$ e negativ, deci dedesubt.

Când $x$ se apropie de $1$, numitorul devine oricât de mic, iar $\frac{3}{x-1}$ crește nemărginit în modul: dreapta $x=1$ este asimptotă verticală. Cum se justifică asta riguros, cu cele două limite laterale scrise separat, vezi lecția Asimptota verticală.

Răspunsul final, în forma cerută: graficul funcției $f$ are asimptota orizontală $y=2$ spre $+\infty$ și spre $-\infty$, precum și asimptota verticală $x=1$.

5. „Se apropie" înseamnă „nu atinge"?

Nu. Este cea mai răspândită credință falsă despre asimptote și merită demontată chiar aici, înainte de a se fixa.

Definiția cere ca distanța să tindă la zero, nu ca distanța să fie mereu strict pozitivă. Nimic nu interzice graficului să treacă prin dreaptă — chiar de o infinitate de ori.

Contraexemplul standard: funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Din încadrarea $-\frac{1}{x}\le f(x)\le \frac{1}{x}$ și din criteriul cleștelui rezultă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$, deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Dar $f(k\pi )=0$ pentru orice $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: graficul taie asimptota în infinit de multe puncte, apropiindu-se totuși de ea din ce în ce mai mult, pentru că amplitudinea oscilațiilor, $\frac{1}{x}$, scade spre zero.

Formularea corectă, pe care o folosim de acum înainte, este deci: graficul se apropie oricât de mult de asimptotă. Nu „nu o atinge", nu „se lipește fără să o taie".

6. Ce nu este asimptotă

Trei imitații apar constant în lucrări, și toate trei se resping cu definiția.

Gaura din grafic. Funcția $g(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ are valoarea $3$ interzisă, dar pe domeniul ei $g(x)=x+3$. Lângă $3$ valorile se apropie liniștit de $6$; graficul are o gaură în punctul $(3,6)$, nu o ruptură. O valoare interzisă e doar un candidat la asimptotă verticală, nu o garanție.

Dreapta atinsă doar pe o bucată. Un grafic poate merge lipit de o dreaptă pe un interval mărginit și apoi să se depărteze definitiv. Nu e asimptotă: definiția privește exclusiv comportarea la un capăt al domeniului, adică „la nesfârșit", nu pe o porțiune.

Creșterea nemărginită fără direcție. Funcția $f(x)=x^2-4x+1$ are domeniul $\mathbb{R}$, deci nu are puncte excluse, iar spre ambele capete valorile ei tind la $+\infty$: nicio asimptotă orizontală. Nici oblică: raportul $\frac{f(x)}{x}=x-4+\frac{1}{x}$ tinde la $+\infty$ spre $+\infty$ și la $-\infty$ spre $-\infty$, deci nu există nicio pantă finită. Concluzia, perfect corectă și des uitată: graficul acestei funcții nu are nicio asimptotă.

7. Asimptota ca nume geometric al unei limite

Merită să vezi corespondența într-un singur tablou. În coloana din stânga e calculul pe care îl faci de anul trecut; în dreapta, ce desenezi cu el. Pentru limitele laterale folosim, ca în celulele de tabel de la clasa a XI-a, notațiile compacte $l_s(a)$ și $l_d(a)$.

Cititul de la dreapta la stânga e la fel de util: dacă vezi pe un desen o dreaptă punctată orizontală, știi imediat ce limită a fost calculată ca să fie trasată. Această corespondență e motivul pentru care programa cere asimptotele înaintea reprezentării grafice: ele sunt scheletul desenului.

8. Câte asimptote poate avea o funcție?

Numărul lor nu e arbitrar, iar întrebarea are un răspuns precis pe fiecare tip.

Spre fiecare capăt infinit, cel mult una — orizontală sau oblică, niciodată amândouă. Motivul: dacă graficul s-ar apropia și de o dreaptă orizontală, și de una oblică, s-ar apropia de două drepte care se depărtează una de alta nemărginit, ceea ce e imposibil. Demonstrația completă a acestei excluderi o vei scrie în lecția Asimptota oblică. Prin urmare, o funcție are cel mult două asimptote neverticale, câte una spre fiecare capăt, iar ele pot fi de tipuri diferite.

Verticale, oricâte. Numărul lor e numărul punctelor „rele" ale domeniului. Funcția $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$ are două, dreptele $x=-2$ și $x=2$; funcția tangentă are o infinitate, câte una în fiecare punct $\frac{\pi }{2}+k\pi$.

Și, firește, niciuna este un răspuns legitim: funcțiile polinomiale de grad cel puțin $2$ nu au nicio asimptotă, iar funcțiile polinomiale de gradul întâi… au chiar graficul o dreaptă, deci nu vorbim despre apropiere, ci despre coincidență.

Restul unității detaliază fiecare caz: asimptota orizontală în lecția următoare, apoi cea oblică, apoi cea verticală, apoi comportarea funcțiilor uzuale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Citirea asimptotelor de pe un grafic dat

Pe un desen se vede o curbă cu două ramuri, despărțite de o dreaptă verticală punctată dusă prin $x=-3$; ramura din stânga coboară de-a lungul ei, cea din dreapta urcă. Spre ambele capete, curba se turtește pe o dreaptă orizontală punctată dusă prin $y=1$.

Răspuns: graficul are asimptota verticală $x=-3$ și asimptota orizontală $y=1$ spre $+\infty$ și spre $-\infty$. Cele două ecuații sunt răspunsul complet; nu e nevoie de formula funcției pentru a le scrie. Observă că răspunsul se dă ca listă de drepte.

Exemplul 2. $f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$ — rescrierea care arată tot

Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Împărțim: $$\frac{3x-1}{x+2}=\frac{3(x+2)-7}{x+2}=3-\frac{7}{x+2},$$ pentru că $3(x+2)-7=3x+6-7=3x-1$.

Spre $\pm \infty$, termenul $\frac{7}{x+2}$ tinde la $0$, deci $f(x)\to 3$: asimptotă orizontală $y=3$ spre ambele capete. Lângă $-2$, același termen crește nemărginit în modul, deci dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală.

Poziția: $f(x)-3=-\frac{7}{x+2}$, care e negativ pentru $x>-2$ și pozitiv pentru $x<-2$. Graficul stă sub asimptotă în dreapta și deasupra ei în stânga, iar ecuația $f(x)=3$ nu are soluții — deci graficul nu taie asimptota.

Exemplul 3. Un grafic care se apropie de o dreaptă oblică

Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$. Rescriem: $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

Spre $+\infty$ valorile tind la $+\infty$, deci nu există asimptotă orizontală. Dar diferența dintre funcție și dreapta $y=x$ este $$f(x)-x=\frac{1}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }0,$$ și la fel spre $-\infty$. Conform definiției din secțiunea 2, cu $m=1\ne 0$ și $n=0$, dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

Poziția: pentru $x>0$ diferența e pozitivă (graficul deasupra), pentru $x<0$ negativă (graficul dedesubt). Ecuația $f(x)=x$ ar cere $\frac{1}{x}=0$, imposibil: graficul nu atinge asimptota.

Exemplul 4. O asimptotă tăiată de o infinitate de ori

Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sin x}{x}$, și dreapta $y=0$.

Din $-1\le \sin x\le 1$ obținem $-\frac{1}{x}\le f(x)\le \frac{1}{x}$ pentru $x>0$, iar ambele margini tind la $0$; criteriul cleștelui dă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$. Deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Totuși $f(\pi )=f(2\pi )=f(3\pi )=\cdots =0$, deci graficul intersectează asimptota în punctele $(k\pi ,0)$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ — o infinitate de intersecții. Concluzia de reținut: intersecția cu asimptota nu contrazice definiția; ce contează e că distanța, aici $|f(x)|\le \frac{1}{x}$, tinde la zero.

Exemplul 5. O funcție fără nicio asimptotă

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+1$. Domeniul e $\mathbb{R}$, deci nu există capete finite și nici puncte excluse: nicio asimptotă verticală, fără vreun calcul.

Spre $\pm \infty$ avem $f(x)\to +\infty$, deci nicio asimptotă orizontală. Pentru oblică, calculăm panta candidat: $$\frac{f(x)}{x}=x-4+\frac{1}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty ,$$ iar spre $-\infty$ raportul tinde la $-\infty$. Panta nu e finită, deci nicio asimptotă oblică.

Răspuns: graficul funcției $f$ nu are nicio asimptotă. Este răspunsul corect și complet, iar la Bacalaureat M1 se punctează ca atare, cu justificarea celor trei verificări.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x-2}$. Este formatul obișnuit al Subiectului al III-lea, cu trei subpuncte.

a) Arătați că $f(x)=x+\frac{4}{x-2}$ pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Aducem la același numitor: $x+\frac{4}{x-2}=\frac{x(x-2)+4}{x-2}=\frac{x^2-2x+4}{x-2}=f(x)$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $f$ spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

Spre $+\infty$: $f(x)\to +\infty$, deci nu există asimptotă orizontală. Diferența $f(x)-x=\frac{4}{x-2}$ tinde la $0$, deci dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$. Spre $-\infty$ calculul e identic și dă aceeași dreaptă.

c) Arătați că graficul lui $f$ nu intersectează asimptota oblică.

O intersecție ar însemna $f(x)=x$, adică $\frac{4}{x-2}=0$ — o fracție cu numărătorul nenul nu se anulează niciodată. Deci nu există niciun punct comun.

(Punctul $x=2$, exclus din domeniu, dă o asimptotă verticală; ea se tratează cu limitele laterale, în lecția dedicată.)

Să exersăm

1. Scrie, în cuvinte, ce condiție trebuie să îndeplinească o dreaptă ca să fie asimptotă a graficului unei funcții.

2. Rescrie $\frac{4x-1}{x+2}$ sub forma $a+\frac{b}{x+2}$ și citește de acolo asimptota orizontală.

3. Precizează domeniul funcției $f(x)=\frac{5}{x-7}$ și enumeră toate capetele lui.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice valoare interzisă a unei funcții dă o asimptotă verticală.

5. Determină asimptota orizontală a graficului funcției $f(x)=3+\frac{2}{x^2+1}$, spre ambele capete.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Un grafic nu poate intersecta niciodată o asimptotă a sa.

7. Arată că graficul funcției $f(x)=x+\frac{5}{x}$ se apropie de dreapta $y=x$ spre $+\infty$.

8. Câte asimptote verticale poate avea graficul funcției $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$? Scrie ecuațiile candidaților.

9. (Problemă aplicată.) Costul mediu al producerii a $x$ obiecte este $C(x)=8+\frac{2400}{x}$ lei. Ce dreaptă urmărește graficul când $x$ crește mult și ce înseamnă ea economic?

10. Explică de ce funcția $f(x)=x^3$ nu are nicio asimptotă.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, atunci graficul lui $f$ nu are asimptotă orizontală spre $+\infty$.

12. Pentru $f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}$, spune dacă $x=5$ dă o asimptotă verticală și motivează.

13. Scrie răspunsul complet, în forma cerută la Bacalaureat M1, pentru funcția $f(x)=2+\frac{1}{x-4}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$. Determină asimptota orizontală și precizează poziția graficului față de ea pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului.

15. Un grafic are asimptota orizontală $y=4$ spre $+\infty$ și asimptota orizontală $y=-4$ spre $-\infty$. Este posibil? Motivează.

16. (Problemă aplicată.) Temperatura unui ceai este $T(t)=21+64\cdot 2^{-t/5}$ grade, la $t$ minute de la turnare. Ce dreaptă urmărește graficul și ce semnificație fizică are?

17. Arată că dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ pentru $f(x)=\frac{\cos x}{x^2}$, $x>0$, și găsește trei puncte în care graficul o taie.

18. (Provocare.) Construiește o funcție al cărei grafic să aibă asimptota orizontală $y=1$ spre $+\infty$, asimptota orizontală $y=-1$ spre $-\infty$ și nicio asimptotă verticală. Justifică fiecare dintre cele trei afirmații.

Răspunsuri și explicații

1. Distanța de la punctul mobil $M(x,f(x))$ al graficului la dreaptă trebuie să tindă la zero când $x$ merge spre un capăt al domeniului (spre $\pm \infty$, ori spre un punct exclus, unde punctul fuge la infinit pe verticală).

2. $4(x+2)-9=4x-1$, deci $\frac{4x-1}{x+2}=4-\frac{9}{x+2}$. Spre $\pm \infty$ fracția tinde la $0$, deci asimptota orizontală este $y=4$.

3. $D=\mathbb{R}\setminus \{7\}=(-\infty ,7)\cup (7,+\infty )$. Capetele sunt $-\infty$, $7$ dinspre stânga, $7$ dinspre dreapta și $+\infty$.

4. Fals. Este doar un candidat. Contraexemplu: $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$ pe domeniul ei; lângă $3$ valorile tind la $6$, deci graficul are o gaură, nu o asimptotă.

5. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(3+\frac{2}{x^2+1}\right)=3$, deci dreapta $y=3$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$. Graficul stă mereu deasupra ei, pentru că $\frac{2}{x^2+1}>0$.

6. Fals. Definiția cere doar ca distanța să tindă la zero. Funcția $\frac{\sin x}{x}$ taie asimptota $y=0$ în toate punctele $k\pi$.

7. $f(x)-x=\frac{5}{x}$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x}=0$. Cum panta $m=1$ este nenulă, dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

8. Cel mult două, candidații fiind rădăcinile numitorului: $x=-3$ și $x=3$. Numărătorul e constanta $1$, deci nu se simplifică nimic și amândouă sunt asimptote verticale.

9. $\underset{x\to +\infty }{\lim }C(x)=8$, deci graficul urmărește dreapta $y=8$. Economic: costul mediu pe obiect coboară spre $8$ lei, valoarea de sub care nu poate scădea oricât de mare ar fi producția.

10. Domeniul e $\mathbb{R}$, deci nu există candidați pentru verticală; $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^3=\pm \infty$, deci nu există orizontală; iar $\frac{x^3}{x}=x^2\to +\infty$, deci panta nu e finită și nu există nici oblică.

11. Adevărat. Asimptota orizontală spre $+\infty$ cere ca limita să fie un număr finit; o limită infinită o exclude prin definiție.

12. Nu. Pe domeniul ei, $f(x)=x+5$, deci $\underset{x\to 5}{\lim }f(x)=10$, finită. Graficul are o gaură în $(5,10)$.

13. Graficul funcției $f$ are asimptota orizontală $y=2$ spre $+\infty$ și spre $-\infty$, precum și asimptota verticală $x=4$.

14. $f(x)=\frac{2(x-3)+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$, deci asimptota orizontală este $y=2$ spre ambele capete. Pe $(3,+\infty )$ diferența $f(x)-2=\frac{7}{x-3}$ e pozitivă, deci graficul e deasupra; pe $(-\infty ,3)$ e negativă, deci graficul e dedesubt.

15. Da, este perfect posibil, pentru că cele două capete se studiază separat. Un exemplu este $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, care tinde la $1$ spre $+\infty$ și la $-1$ spre $-\infty$.

16. $2^{-t/5}\to 0$ când $t\to +\infty$, deci $T(t)\to 21$: dreapta $y=21$. Fizic, este temperatura camerei, spre care ceaiul se răcește fără să coboare sub ea.

17. Din $\left|\frac{\cos x}{x^2}\right|\le \frac{1}{x^2}\to 0$ rezultă limita $0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală. Graficul o taie în toate punctele în care $\cos x=0$, de pildă $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$ și $\frac{5\pi }{2}$.

18. De exemplu $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Numitorul nu se anulează niciodată, deci domeniul e $\mathbb{R}$ și nu există candidați pentru asimptote verticale. Scriind $f(x)=\frac{x}{|x|\sqrt{1+1/x^2}}$, obținem limita $1$ spre $+\infty$ (unde $|x|=x$) și limita $-1$ spre $-\infty$ (unde $|x|=-x$).

De reținut

• Asimptota unui grafic este o dreaptă de care punctele graficului se apropie oricât de mult atunci când $x$ merge spre un capăt al domeniului, iar condiția riguroasă este ca distanța de la punct la dreaptă să tindă la zero.
• Cele trei tipuri sunt asimptota orizontală (dreapta $y=\ell$, cu $\ell$ limita finită la un capăt infinit), asimptota oblică (dreapta $y=mx+n$, cu $m\ne 0$) și asimptota verticală (dreapta $x=a$, dată de o limită laterală infinită).
• Asimptotele se caută exclusiv la capetele domeniului și în punctele de discontinuitate, niciodată într-un punct interior în care funcția este continuă.
• Graficul are voie să intersecteze o asimptotă, chiar de o infinitate de ori, pentru că definiția cere apropierea, nu evitarea; exemplul-etalon este funcția $\frac{\sin x}{x}$ și dreapta $y=0$.
• Rezultatul unui studiu de asimptote se scrie ca listă de drepte cu ecuațiile lor, precizând de fiecare dată spre care capăt, iar „nicio asimptotă" este un răspuns complet și corect.

Greșeli frecvente

• A crede că asimptota nu poate fi atinsă. Definiția cere doar ca distanța să tindă la zero; funcția $\frac{\sin x}{x}$ își taie asimptota orizontală în infinit de multe puncte. Verifică apropierea, nu evitarea.
• A declara asimptotă verticală în orice valoare interzisă. Valoarea interzisă e un simplu candidat: la $\frac{x^2-9}{x-3}$ limita în $3$ este $6$, deci acolo e o gaură. Simplifică fracția înainte de a decide.
• A căuta asimptote în puncte în care funcția e continuă. Un punct interior al domeniului, cu $f$ continuă acolo, nu poate genera nicio asimptotă; graficul trece pur și simplu prin punct.
• A răspunde „funcția are asimptote" fără ecuații. Răspunsul cerut este lista dreptelor, cu ecuația fiecăreia și cu precizarea capătului: „$y=2$ spre $+\infty$ și spre $-\infty$", nu „are o asimptotă orizontală".
• A studia cele două capete infinite împreună. Comportarea spre $+\infty$ și cea spre $-\infty$ sunt calcule diferite și pot da drepte diferite, ca la $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$; scrie două limite, nu una.

Aplică acasă

1. Ia din carnetul de note orarul unui abonament cu abonament fix plus tarif pe unitate — de pildă $C(x)=30+0,4x$ lei pentru $x$ unități — și calculează costul mediu $\frac{C(x)}{x}$. Fă un tabel pentru $x=10,100,1000,10000$, desenează punctele și identifică dreapta orizontală pe care se așază. Scrie ecuația ei.

2. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(x)=1+\frac{2}{x-3}$, luând valori din două în două zecimi pe intervalul $[3,2;8]$ și apoi câteva valori mari. Trasează punctat dreptele $x=3$ și $y=1$ și verifică vizual apropierea. Notează pe desen de care parte a asimptotei orizontale stă graficul.

3. Alege trei funcții din manualul de clasa a XI-a la care ai calculat limite la capete și rescrie fiecare rezultat ca propoziție despre asimptote, în forma „dreapta … este asimptotă … spre …". Compară cu ce scrisese anul trecut și observă că matematica e aceeași, doar limbajul e nou.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de asimptote din programa de matematică-informatică (pe scurt, mate-info) și face trecerea de la calculul limitelor, deprins în clasa a XI-a, la citirea lor geometrică. Ea nu introduce tehnică nouă de calcul: tot ce se cere elevului știe deja să facă. Noutatea e vocabularul și disciplina răspunsului — o listă de drepte cu ecuații, cu precizarea capătului.

Ce verifică lecția: înțelegerea definiției prin distanță; identificarea corectă a locurilor unde se caută asimptote; deosebirea dintre o valoare interzisă și o asimptotă verticală reală; înțelegerea faptului că graficul poate tăia asimptota.

Întrebări de control: „Unde cauți asimptotele unei funcții și de ce doar acolo?"; „Dă-mi o funcție al cărei grafic taie o asimptotă."; „De ce $\frac{x^2-9}{x-3}$ nu are asimptotă verticală în $3$?"; „Ce scrii ca răspuns final după ce ai calculat limitele?".

Semne că a înțeles: înainte de a calcula ceva, scrie domeniul și enumeră capetele; nu confundă „limita e infinită" cu „limita nu există"; nu folosește formularea „graficul nu atinge niciodată asimptota".

Unde apare la BAC: asimptotele intră în Subiectul al III-lea, la problema de analiză matematică, cel mai des ca primul subpunct al unei probleme care continuă cu monotonia și cu graficul. Sunt printre cele mai sigure puncte din lucrare, pentru că cer un calcul de limită și o propoziție corect formulată.

Întrebări frecvente

Ce este o asimptotă, pe scurt?

O asimptotă este o dreaptă de care graficul unei funcții se apropie oricât de mult, atunci când urmărim graficul spre un capăt al domeniului: spre $+\infty$, spre $-\infty$ sau spre un punct exclus în care valorile funcției explodează. Riguros, condiția este ca distanța de la punctul mobil al graficului la dreaptă să tindă la zero.

Unde se caută asimptotele unei funcții?

Numai la capetele domeniului și în punctele de discontinuitate. Capetele infinite dau întrebarea despre asimptota orizontală, iar dacă aceasta lipsește, despre cea oblică; capetele finite care nu aparțin domeniului dau întrebarea despre asimptota verticală. Într-un punct interior în care funcția e continuă nu poate exista nicio asimptotă.

Poate graficul să intersecteze asimptota?

Da, chiar de o infinitate de ori. Definiția cere ca distanța până la dreaptă să tindă la zero, nu ca ea să rămână strict pozitivă. Exemplul standard este $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ pe $(0,+\infty )$: are asimptota orizontală $y=0$ și o taie în toate punctele de forma $k\pi$.

Care este diferența dintre asimptota orizontală și cea oblică?

Amândouă descriu comportarea spre un capăt infinit, dar orizontala are panta nulă, adică ecuația $y=\ell$, iar oblica are panta nenulă, ecuația $y=mx+n$ cu $m\ne 0$. Spre același capăt nu pot exista amândouă: apariția uneia o exclude automat pe cealaltă.

De ce o valoare interzisă nu dă întotdeauna asimptotă verticală?

Pentru că fracția se poate simplifica. La $\frac{x^2-9}{x-3}$, valoarea $3$ este interzisă, dar pe domeniu funcția este $x+3$, iar limita în $3$ este $6$, deci finită. Graficul are acolo o gaură, nu o ramură care fuge la infinit; valoarea interzisă rămâne doar un candidat.

Câte asimptote poate avea o funcție?

Cel mult una spre $+\infty$ și cel mult una spre $-\infty$ dintre tipurile orizontală și oblică, deci cel mult două neverticale. Asimptote verticale poate avea oricâte, inclusiv o infinitate, ca funcția tangentă. Există și funcții fără nicio asimptotă, de exemplu funcțiile polinomiale de grad cel puțin doi.

Cum se scrie corect răspunsul la Bacalaureat M1?

Ca listă de drepte, cu ecuația fiecăreia și cu precizarea capătului: „dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$; dreapta $x=1$ este asimptotă verticală". Formulările vagi, de tipul „funcția are asimptote", nu primesc punctajul, pentru că baremul cere ecuația.