Cercul: ecuația canonică: pe scurt

Cercul de centru $C$ și rază $r>0$ este locul geometric al punctelor $M$ din plan cu $MC=r$; centrul și raza îl determină complet. Punctele cu $MC<r$ formează interiorul, iar reuniunea cercului cu interiorul lui se numește disc — cercul însuși este doar curba, nu suprafața.

Așezând centrul în $C(a,b)$ și folosind formula distanței, condiția $MC=r$ devine $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r$, iar prin ridicare la pătrat, echivalentă pentru că ambii membri sunt nenegativi, se obține ecuația canonică: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Din ea elementele se citesc direct: coordonatele centrului sunt numerele scăzute în paranteze, cu semn schimbat, iar raza este radicalul membrului drept, nu membrul drept.

Poziția unui punct $M(x_0,y_0)$ față de cerc se decide comparând $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2$ cu $r^2$: mai mic înseamnă interior, egal înseamnă pe cerc, mai mare înseamnă exterior. Două construcții revin des: cercul de centru dat care trece printr-un punct are $r^2$ egal cu pătratul distanței de la centru la acel punct; cercul de diametru $AB$ are centrul în mijlocul lui $AB$ și raza $\frac{AB}{2}$. Cercul nu este graficul unei funcții: pentru un $x$ interior intervalului există două valori ale lui $y$, iar curba este reuniunea graficelor funcțiilor $b\pm \sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Centrul și raza cercului $(x+4{)}^2+(y-3{)}^2=36$ sunt:

   • a) $C(4,-3)$ și $r=36$
   • b) $C(4,-3)$ și $r=6$
   • c) $C(-4,3)$ și $r=6$
   • d) $C(-4,3)$ și $r=36$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $C(-4,3)$ și $r=6$

   Forma canonică conține scăderi, deci $(x+4{)}^2=(x-(-4){)}^2$ și abscisa centrului este $-4$, iar $(y-3{)}^2$ dă ordonata $3$. Membrul drept este $r^2=36$, deci $r=6$. Cele două greșeli tipice sunt exact distractorii: uitarea schimbării de semn și confundarea razei cu pătratul ei.

2. Punctul $A(1,2)$ se află, față de cercul $(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=25$:

   • a) în interiorul cercului
   • b) în exteriorul cercului
   • c) în centrul cercului
   • d) pe cerc
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) pe cerc

   Substituim coordonatele în membrul stâng: $(1-4{)}^2+(2+2{)}^2=9+16=25$, exact cât este $r^2$. Egalitatea înseamnă $AC=r$, deci punctul se află pe curbă. Dacă rezultatul ar fi fost mai mic decât $25$, punctul ar fi fost interior, iar dacă ar fi fost mai mare, exterior.

3. Cercul care are drept diametru segmentul cu capetele $A(-1,2)$ și $B(5,10)$ are ecuația:

   • a) $(x-2{)}^2+(y-6{)}^2=25$
   • b) $(x-2{)}^2+(y-6{)}^2=100$
   • c) $(x+2{)}^2+(y+6{)}^2=25$
   • d) $(x-4{)}^2+(y-12{)}^2=25$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(x-2{)}^2+(y-6{)}^2=25$

   Centrul este mijlocul lui $AB$: $\left(\frac{-1+5}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(2,6)$. Lungimea diametrului este $AB=\sqrt{36+64}=10$, deci raza este $5$ și $r^2=25$. Varianta cu $100$ pune diametrul în locul razei, iar cea cu $(4,12)$ ia suma coordonatelor în loc de semisumă.