Cercul: definiția geometrică și ecuația canonică

Un radar de pe aeroport are o rază de acțiune de $50$ de kilometri. Dispecerul vrea să știe, pentru un avion ale cărui coordonate le citește pe ecran, dacă aparatul e încă în raza radarului, dacă tocmai a ieșit din ea sau dacă e chiar la limită. Întrebarea pare să ceară o hartă și un compas; de fapt, la clasa a XII-a, ea se rezolvă cu o singură inegalitate între numere. Traducerea din „limita razei de acțiune" în „ecuație" este exact ceea ce face lecția de față. Cercul de centru $C(a,b)$ și rază $r>0$ este mulțimea punctelor din plan aflate la distanța $r$ de centru, iar ecuația lui canonică, scrisă într-un reper cartezian, este $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Cercul e prima dintre cele patru conice pe care le luăm pe rând, și cea mai simplă. Definiția lui prin distanțe o știi din gimnaziu; noutatea este că, așezând cercul într-un reper cartezian, condiția geometrică devine o egalitate algebrică pe care fiecare punct al curbei o verifică. Din ea vom citi apoi, invers, centrul și raza — și, mai departe în unitate, poziția unei drepte față de cerc și ecuația tangentei.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția cercului ca loc geometric și să identifici cele două date care îl determină: centrul și raza.
• Vei ști să deduci ecuația canonică $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ din definiție, cu formula distanței dintre două puncte.
• Vei ști să citești centrul și raza dintr-o ecuație canonică dată, fără să greșești semnele.
• Vei ști să stabilești dacă un punct este interior, exterior sau pe cerc, comparând două numere.
• Vei ști să scrii ecuația cercului determinat de centru și un punct, respectiv de un diametru dat prin capetele lui.
• Vei ști să reprezinți grafic un cerc pornind de la ecuația lui.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este cercul ca loc geometric?

Cercul de centru $C$ și rază $r>0$ este mulțimea tuturor punctelor $M$ din plan situate la distanța $r$ de punctul $C$, adică mulțimea punctelor pentru care $MC=r$. Punctul fix $C$ se numește centrul cercului, iar numărul pozitiv $r$ se numește raza lui. Când vrem să dăm cercului un nume, îl notăm $\mathcal{C}(C,r)$, sau pe scurt $\mathcal{C}$.

Două observații asupra definiției, amândouă importante mai departe.

Cercul e o curbă, nu o suprafață. Punctele cu $MC<r$ formează interiorul cercului; reuniunea cercului cu interiorul lui se numește disc. Când o problemă spune „punctul se află în cerc" trebuie citit „în interiorul cercului", iar când spune „pe cerc" trebuie citit „la distanța exact $r$".

Condiția $r>0$ face parte din definiție. Dacă am accepta $r=0$, „cercul" s-ar reduce la centrul lui, ceea ce nu mai e o curbă. Cazul acesta și cel în care nu rămâne niciun punct apar în mod natural în calcule și le vom trata sistematic la lecția despre ecuația generală a cercului.

2. Cum se deduce ecuația canonică a cercului?

Așezăm cercul într-un reper cartezian $xOy$. Fie $C(a,b)$ centrul și $r>0$ raza. Un punct oarecare al planului îl notăm $M(x,y)$.

Din clasa a XI-a, lecția despre reperul cartezian, distanța și mijlocul unui segment dă formula distanței: $$MC=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}.$$

Condiția $MC=r$ devine atunci $$\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r.$$

Ambii membri sunt numere nenegative, deci ridicarea la pătrat este o transformare echivalentă și nu introduce soluții străine. Obținem:

Teoremă (ecuația canonică a cercului). Punctul $M(x,y)$ aparține cercului de centru $C(a,b)$ și rază $r>0$ dacă și numai dacă $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$

Numele „canonică" înseamnă aici forma cea mai simplă și cea mai citibilă: din ea se văd direct, fără niciun calcul, centrul și raza. Este singura conică pentru care programa cere și o formă valabilă în orice poziție a centrului; pentru elipsă, hiperbolă și parabolă, ecuațiile canonice presupun întotdeauna un reper așezat pe axele de simetrie ale curbei.

O precizare de notație, ca să nu se producă o confuzie tocmai în această unitate: la cerc, literele $a$ și $b$ sunt coordonatele centrului, în timp ce la elipsă și la hiperbolă aceleași litere vor nota semiaxele. Sunt roluri complet diferite; contextul le separă întotdeauna, dar merită citit cu atenție ce curbă e în discuție.

Merită și desfăcute pătratele, o singură dată, ca să vedem ce fel de ecuație este de fapt cea canonică: $$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2,$$ adică $$x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0.$$ Este o ecuație de gradul al doilea în două necunoscute, cu două trăsături pe care le vei folosi ca semn de recunoaștere: coeficienții lui $x^2$ și $y^2$ sunt egali și nu apare termenul $xy$. Nicio altă conică nu are ambele proprietăți. Forma desfăcută are un nume și o rețetă proprie de citire a centrului și a razei, care fac obiectul lecției următoare; deocamdată reține doar că cele două scrieri descriu același cerc.

3. Cazurile particulare care se rețin

Centrul în origine. Dacă $C=O(0,0)$, ecuația devine $$x^2+y^2=r^2.$$ Aceasta este forma care apare în tabelul conicelor din lecția despre conicele ca secțiuni ale conului și forma de la care pornesc toate calculele teoretice.

Cercul unitate. Pentru $r=1$ și centrul în origine se obține $x^2+y^2=1$, cercul pe care sunt definite funcțiile trigonometrice.

Centrul pe o axă. Dacă $b=0$, ecuația e $(x-a{)}^2+y^2=r^2$; dacă $a=0$, e $x^2+(y-b{)}^2=r^2$. Nu sunt formule noi, ci doar cazuri în care unul dintre termeni se simplifică; le semnalăm pentru că apar des în enunțuri și pentru că sunt exact locurile unde se pierd semne.

Cercuri concentrice. Ecuațiile $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=k$, cu $k>0$ variabil, descriu toate cercurile cu același centru $C(a,b)$ și raze $\sqrt{k}$ diferite. Cu cât $k$ e mai mare, cu atât cercul e mai depărtat de centru; punctele planului se împart astfel, după valoarea expresiei $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$, în „straturi" concentrice. Această citire e chiar cea care rezolvă, în paragraful $5$, problema poziției unui punct.

Ce se întâmplă când muți cercul. Compară $x^2+y^2=r^2$ cu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$: a doua se obține din prima înlocuind $x$ cu $x-a$ și $y$ cu $y-b$. Regula, valabilă pentru orice curbă scrisă printr-o ecuație, este: ca să muți figura cu $a$ unități la dreapta și cu $b$ în sus, scazi $a$ din $x$ și $b$ din $y$. De pildă, cercul $x^2+y^2=9$, mutat cu $4$ unități la stânga și cu $1$ în jos, are ecuația $(x+4{)}^2+(y+1{)}^2=9$; centrul lui s-a mutat din $O$ în $(-4,-1)$, iar raza a rămas $3$.

4. Cum citești centrul și raza dintr-o ecuație dată?

Drumul invers e la fel de important ca deducerea: dintr-o ecuație scrisă sub formă canonică trebuie să extragi imediat $C$ și $r$. Regula e simplă, dar are o capcană de semn.

Ecuația $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ conține scăderea coordonatelor centrului. Prin urmare:

• $(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=9$ are centrul $C(2,5)$ și raza $r=3$;
• $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=49$ se citește ca $(x-(-3){)}^2+(y-2{)}^2=7^2$, deci are centrul $C(-3,2)$ și raza $r=7$;
• $x^2+(y+4{)}^2=2$ are centrul $C(0,-4)$ și raza $r=\sqrt{2}$.

Reține: semnul din paranteză se schimbă când treci la coordonata centrului, iar membrul drept este $r^2$, nu $r$. A doua greșeală e mai frecventă decât prima: din $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$ raza este $4$, nu $16$.

Verificarea care nu dă greș: alege un punct pe care îl poți calcula ușor — de pildă $C$ deplasat orizontal cu $r$ — și substituie-l. Pentru cercul $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=49$ cu $C(-3,2)$ și $r=7$, punctul $(4,2)$ trebuie să verifice: $(4+3{)}^2+(2-2{)}^2=49+0=49$ ✓.

5. Unde se află un punct față de cerc?

Fie cercul de centru $C(a,b)$ și rază $r$, și fie $M(x_0,y_0)$ un punct oarecare. Notăm $$E(x_0,y_0)=(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2,$$ adică valoarea membrului stâng calculată în punct. Cum $E(x_0,y_0)=M{C}^2$, comparația cu $r^2$ decide totul:

Compararea se face între pătrate, ca să nu fie nevoie de radicali: distanțele fiind nenegative, $MC<r$ este echivalent cu $M{C}^2<r^2$. Aceasta e și forma în care problema radarului din deschidere devine banală: pentru un radar cu centrul în $O$ și raza $50$, un avion de coordonate $(x_0,y_0)$ e în raza de acțiune exact când $x_0^2+y_0^2\le 2500$.

Discul închis de centru $C$ și rază $r$ este, prin urmare, mulțimea soluțiilor inecuației $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le r^2$ — o mulțime de puncte din plan, nu o curbă.

Un calcul mic arată cât de comodă e metoda. Pentru cercul $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$ și punctele $A(5,3)$, $B(0,0)$, $D(7,3)$ obținem, pe rând, $E(A)=9+16=25$, $E(B)=4+1=5$ și $E(D)=25+16=41$. Comparând cu $r^2=25$: $A$ este pe cerc, $B$ este interior, $D$ este exterior. Nicio rădăcină pătrată nu a fost extrasă, iar ordinea celor trei valori — $5<25<41$ — spune direct și cine e mai aproape de centru.

Merită observat că semnul diferenței $E(x_0,y_0)-r^2$ localizează singur punctul: negativ înăuntru, zero pe curbă, pozitiv în afară. Aceeași expresie, calculată în punctele unei drepte, decide dacă dreapta intră sau nu în disc — de aceea o vei regăsi în lecția despre poziția unei drepte față de cerc și tangenta la cerc.

6. Cercuri determinate de condiții simple

Un cerc are trei date de identificare: cele două coordonate ale centrului și raza. Orice problemă care cere „scrieți ecuația cercului" trebuie, prin urmare, să furnizeze exact trei informații. Iată cele două tipare cele mai frecvente.

Centrul și un punct al cercului. Dacă se dau centrul $C(a,b)$ și un punct $A$ de pe cerc, raza este chiar distanța $CA$: $$r=CA=\sqrt{(x_A-a{)}^2+(y_A-b{)}^2}.$$ Adesea nici nu e nevoie să extragi radicalul: în ecuație apare oricum $r^2$, deci poți scrie direct $r^2=(x_A-a{)}^2+(y_A-b{)}^2$.

Diametrul dat prin capete. Dacă $A$ și $B$ sunt capetele unui diametru, atunci centrul este mijlocul segmentului $AB$, $$C\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right),$$ iar raza este jumătate din lungimea lui: $r=\frac{AB}{2}$. Ambele formule vin din aceeași lecție a clasei a XI-a despre reperul cartezian. Verificarea obligatorie: după ce ai scris ecuația, substitui ambele capete și amândouă trebuie să o verifice.

Centrul dat printr-o condiție, plus un punct. Uneori centrul nu se dă direct, ci prin apartenența la o dreaptă. De exemplu: cercul cu centrul pe axa $Ox$ care trece prin $A(1,2)$ și prin $B(5,2)$. Centrul este de forma $C(a,0)$, iar condiția $CA=CB$ dă $$(1-a{)}^2+4=(5-a{)}^2+4⟺1-2a=25-10a⟺a=3.$$ Atunci $r^2=(1-3{)}^2+2^2=8$ și ecuația este $(x-3{)}^2+y^2=8$. Verificare: $A$ dă $4+4=8$ ✓, $B$ dă $4+4=8$ ✓. Ideea generală, pe care o vei folosi în toată unitatea, e că un cerc are trei date de identificare, deci problema trebuie să dea trei condiții independente — aici: două apartenențe și o condiție asupra centrului.

Al patrulea tipar clasic — cercul care trece prin trei puncte date — cere mai mult decât forma canonică și e amânat, cu tot cu rețeta lui, pentru lecția următoare.

7. Cum reprezinți grafic un cerc din ecuație?

Rețeta are trei pași și nu are nevoie de tabel de valori.

Pasul 1. Citește din ecuație centrul $C(a,b)$ și raza $r=\sqrt{r^2}$.

Pasul 2. Marchează centrul în reper și, pornind din el, cele patru puncte aflate la distanța $r$ pe orizontală și pe verticală: $(a\pm r,b)$ și $(a,b\pm r)$. Ele se calculează instantaneu și sunt suficiente pentru a fixa curba.

Pasul 3. Unește-le cu o linie rotunjită, sau folosește compasul cu deschiderea $r$.

Rămâne o întrebare firească: cercul este graficul unei funcții? Nu. Rezolvând ecuația în raport cu $y$ obții $$y=b\pm \sqrt{r^2-(x-a{)}^2},x\in [a-r,a+r],$$ adică două funcții — semicercul de sus și semicercul de jos — a căror reuniune de grafice este cercul. Ideea se aplică tuturor conicelor și e tratată pe larg la lecția despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic; aici o reținem doar ca răspuns la întrebarea de mai sus.

8. Lista de control

Înainte de a trece la exemple, iată procedura completă, în forma în care merită reținută.

Ultimul pas, de fiecare dată: verifică prin substituție punctele date în enunț. E o verificare de zece secunde care prinde aproape orice greșeală de semn.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din centru și rază, direct în ecuație

Enunț. Scrieți ecuația canonică a cercului de centru $C(2,-1)$ și rază $r=5$, apoi verificați dacă punctele $A(5,3)$ și $B(0,0)$ îi aparțin.

Rezolvare. Înlocuim $a=2$, $b=-1$, $r=5$: $$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=5^2,\text{adica˘}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25.$$

Pentru $A(5,3)$: $(5-2{)}^2+(3+1{)}^2=9+16=25$ ✓, deci $A$ este pe cerc.

Pentru $B(0,0)$: $(0-2{)}^2+(0+1{)}^2=4+1=5<25$, deci originea este în interiorul cercului.

Observă că nu am calculat nicio distanță cu radical: comparația s-a făcut direct între pătrate.

Exemplul 2 — Citirea elementelor din ecuație

Enunț. Determinați centrul și raza pentru fiecare cerc: a) $(x-4{)}^2+(y-1{)}^2=36$; b) $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=49$; c) $x^2+y^2=16$; d) $(x+1{)}^2+y^2=12$.

Rezolvare. a) $C(4,1)$, $r=\sqrt{36}=6$.

b) Scriem $(x+3{)}^2=(x-(-3){)}^2$, deci $C(-3,2)$ și $r=\sqrt{49}=7$.

c) Centrul este originea, $C(0,0)$, iar $r=4$.

d) $C(-1,0)$ și $r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Raza nu trebuie să fie număr întreg; important e ca membrul drept să fie strict pozitiv.

Exemplul 3 — Poziția unor puncte față de un cerc

Enunț. Se consideră cercul $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$. Stabiliți poziția punctelor $A(4,2)$, $B(3,-1)$ și $D(1,2)$ față de acest cerc.

Rezolvare. Centrul este $C(1,-2)$, iar $r^2=16$. Calculăm de fiecare dată $E=(x_0-1{)}^2+(y_0+2{)}^2$.

Pentru $A(4,2)$: $E=3^2+4^2=9+16=25>16$, deci $A$ este exterior.

Pentru $B(3,-1)$: $E=2^2+1^2=4+1=5<16$, deci $B$ este interior.

Pentru $D(1,2)$: $E=0^2+4^2=16=r^2$, deci $D$ este pe cerc.

Control geometric: $D$ se află pe verticala centrului, la $4$ unități deasupra lui — exact la distanța $r$, ceea ce confirmă rezultatul.

Exemplul 4 — Cercul cu centrul dat, care trece printr-un punct

Enunț. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C(-1,4)$ care trece prin punctul $A(3,1)$.

Rezolvare. Raza este distanța de la centru la punct: $$r^2=(3-(-1){)}^2+(1-4{)}^2=4^2+(-3{)}^2=16+9=25,$$ deci $r=5$. Ecuația cerută este $$(x+1{)}^2+(y-4{)}^2=25.$$ Verificare, cu $A(3,1)$: $(3+1{)}^2+(1-4{)}^2=16+9=25$ ✓.

Observă că valoarea utilă a fost $r^2=25$; radicalul l-am extras doar ca să spunem cât e raza.

Exemplul 5 — Cercul cu diametrul dat

Enunț. Scrieți ecuația cercului care are drept diametru segmentul $AB$, cu $A(-2,3)$ și $B(6,-3)$.

Rezolvare. Centrul este mijlocul lui $AB$: $$C\left(\frac{-2+6}{2},\frac{3+(-3)}{2}\right)=C(2,0).$$ Lungimea diametrului: $AB=\sqrt{(6+2{)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$, deci $r=5$.

Ecuația este $(x-2{)}^2+y^2=25$.

Verificare pe ambele capete: $A(-2,3)$ dă $(-4{)}^2+3^2=16+9=25$ ✓; $B(6,-3)$ dă $4^2+(-3{)}^2=16+9=25$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră cercul de centru $C(1,-2)$ și rază $3$. a) Scrieți ecuația canonică a cercului. b) Verificați dacă punctul $A(4,-2)$ aparține cercului. c) Determinați valorile reale ale lui $t$ pentru care punctul $M(1,t)$ aparține cercului.

Rezolvare. a) Înlocuind în forma canonică: $$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9.$$

b) Substituim coordonatele lui $A$: $(4-1{)}^2+(-2+2{)}^2=9+0=9$ ✓. Deci $A$ aparține cercului. Geometric, $A$ e punctul de la distanța $3$ la dreapta centrului.

c) Punem $x=1$ și $y=t$: $$(1-1{)}^2+(t+2{)}^2=9⟺(t+2{)}^2=9⟺t+2=\pm 3,$$ deci $t=1$ sau $t=-5$.

Verificare: pentru $t=1$, $(1-1{)}^2+(1+2{)}^2=9$ ✓; pentru $t=-5$, $(1-1{)}^2+(-5+2{)}^2=9$ ✓. Cele două puncte, $(1,1)$ și $(1,-5)$, sunt capetele diametrului vertical — de aceea au ieșit exact două soluții.

Să exersăm

1. Scrieți ecuația canonică a cercului de centru $C(3,-2)$ și rază $4$.

2. Scrieți ecuația canonică a cercului de centru $O(0,0)$ și rază $7$.

3. Determinați centrul și raza cercului $(x-5{)}^2+(y+1{)}^2=81$.

4. Determinați centrul și raza cercului $(x+2{)}^2+(y+6{)}^2=20$.

5. Verificați dacă punctul $A(6,-2)$ aparține cercului $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=25$.

6. Stabiliți poziția punctelor $A(0,0)$, $B(7,3)$ și $D(2,6)$ față de cercul $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=16$.

7. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C(3,2)$ care trece prin punctul $A(-1,-1)$.

8. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C(-4,3)$ care trece prin originea reperului.

9. Scrieți ecuația cercului care are drept diametru segmentul $AB$, cu $A(-3,2)$ și $B(5,8)$, apoi verificați că punctul $D(4,1)$ aparține acestui cerc.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=16$ descrie un cerc de rază $16$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă un punct verifică inegalitatea $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2$, atunci el se află pe cerc.

12. Determinați valorile reale ale lui $t$ pentru care punctul $M(t,2)$ aparține cercului $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$.

13. Determinați valorile reale ale lui $t$ pentru care punctul $N(-1,t)$ aparține cercului $x^2+y^2=25$.

14. (Problemă aplicată.) Un radar are centrul în originea reperului și raza de acțiune $50$ de kilometri, coordonatele fiind exprimate în kilometri. Stabiliți dacă avioanele aflate în punctele $P(30,40)$, $Q(20,35)$ și $R(45,30)$ sunt în raza radarului, la limita ei sau în afara ei.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră cercul de centru $C(2,-1)$ și rază $5$. a) Scrieți ecuația canonică a cercului. b) Verificați dacă punctul $A(-2,2)$ aparține cercului. c) Determinați valorile reale ale lui $t$ pentru care punctul $M(2,t)$ aparține cercului.

16. Arătați că punctele $A(5,3)$, $B(-2,2)$ și $D(2,4)$ se află toate pe cercul de centru $C(2,-1)$ și rază $5$.

17. Scrieți cele două funcții ale căror grafice, reunite, dau cercul $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$, precizând domeniul lor de definiție.

18. (Provocare.) Fie $A$ și $B$ două puncte distincte și $\mathcal{C}$ cercul de diametru $AB$. Arătați, folosind numai ecuația canonică, că un punct $M(x,y)$ aparține lui $\mathcal{C}$ dacă și numai dacă $$(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0.$$

Răspunsuri și explicații

1. $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=16$. Semnul din a doua paranteză e plus, pentru că $b=-2$.

2. $x^2+y^2=49$.

3. $C(5,-1)$ și $r=\sqrt{81}=9$.

4. $C(-2,-6)$ și $r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

5. $(6-2{)}^2+(-2-1{)}^2=16+9=25$ ✓, deci $A$ aparține cercului.

6. Centrul e $C(2,2)$, $r^2=16$. Pentru $A(0,0)$: $4+4=8<16$, interior. Pentru $B(7,3)$: $25+1=26>16$, exterior. Pentru $D(2,6)$: $0+16=16$, pe cerc.

7. $r^2=(-1-3{)}^2+(-1-2{)}^2=16+9=25$, deci $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=25$. Verificare cu $A$: $16+9=25$ ✓.

8. $r^2=(0+4{)}^2+(0-3{)}^2=16+9=25$, deci $(x+4{)}^2+(y-3{)}^2=25$. Verificare cu originea: $16+9=25$ ✓.

9. Centrul: $C\left(\frac{-3+5}{2},\frac{2+8}{2}\right)=C(1,5)$. Lungimea: $AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$, deci $r=5$ și ecuația este $(x-1{)}^2+(y-5{)}^2=25$. Verificare pe capete: $A$ dă $16+9=25$ ✓, $B$ dă $16+9=25$ ✓. Pentru $D(4,1)$: $(4-1{)}^2+(1-5{)}^2=9+16=25$ ✓, deci $D$ e pe cerc.

10. Fals. Membrul drept este $r^2$, deci $r=\sqrt{16}=4$. Raza este $4$, iar centrul este $C(1,-3)$.

11. Fals. Inegalitatea strictă înseamnă $MC<r$, deci punctul este în interiorul cercului, nu pe el. Pe cerc se află exact punctele care verifică egalitatea.

12. $(t-2{)}^2+(2+1{)}^2=25⟺(t-2{)}^2=16⟺t-2=\pm 4$, deci $t=6$ sau $t=-2$. Verificare pentru $t=6$: $16+9=25$ ✓.

13. $1+t^2=25⟺t^2=24⟺t=\pm 2\sqrt{6}$. Verificare: $1+24=25$ ✓.

14. Comparăm $x_0^2+y_0^2$ cu $50^2=2500$. Pentru $P$: $900+1600=2500$, deci exact la limită. Pentru $Q$: $400+1225=1625<2500$, deci în raza radarului. Pentru $R$: $2025+900=2925>2500$, deci în afara razei.

15. a) $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$. b) $(-2-2{)}^2+(2+1{)}^2=16+9=25$ ✓, deci $A$ aparține cercului. c) $(2-2{)}^2+(t+1{)}^2=25⟺(t+1{)}^2=25⟺t=4$ sau $t=-6$. Cele două puncte, $(2,4)$ și $(2,-6)$, sunt capetele diametrului vertical.

16. Ecuația cercului este $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$. Pentru $A(5,3)$: $9+16=25$ ✓. Pentru $B(-2,2)$: $16+9=25$ ✓. Pentru $D(2,4)$: $0+25=25$ ✓. Toate trei sunt pe cerc, la distanța $5$ de centru.

17. Din $(y+2{)}^2=16-(x-1{)}^2$ obținem $y=-2\pm \sqrt{16-(x-1{)}^2}$. Cele două funcții sunt $$f_{1,2}:[-3,5]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=-2\pm \sqrt{16-(x-1{)}^2}.$$ Domeniul vine din condiția $16-(x-1{)}^2\ge 0$, adică $|x-1|\le 4$. Graficul lui $f_1$ este semicercul de sus, al lui $f_2$ semicercul de jos.

18. Centrul este mijlocul $C\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$, iar $r=\frac{AB}{2}$, deci $r^2=\frac{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}{4}$. Ecuația canonică devine $${\left(x-\frac{x_A+x_B}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{y_A+y_B}{2}\right)}^2=\frac{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}{4}.$$ Desfacem primul termen: $x^2-(x_A+x_B)x+\frac{(x_A+x_B{)}^2}{4}$, iar în membrul drept apare $\frac{(x_B-x_A{)}^2}{4}$. Trecând totul în stânga, coeficienții cu numitorul $4$ se combină în $$\frac{(x_A+x_B{)}^2-(x_B-x_A{)}^2}{4}=\frac{4x_A{x}_B}{4}=x_A{x}_B.$$ Rămâne $x^2-(x_A+x_B)x+x_A{x}_B$, adică exact $(x-x_A)(x-x_B)$. Aceleași calcule pentru $y$ dau $(y-y_A)(y-y_B)$, deci ecuația se scrie $$(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0.$$ Control numeric, pe exemplul $A(-2,3)$, $B(6,-3)$ și $M(2,5)$, care e pe cercul $(x-2{)}^2+y^2=25$: $(2+2)(2-6)+(5-3)(5+3)=-16+16=0$ ✓.

De reținut

• Cercul de centru $C$ și rază $r>0$ este locul geometric al punctelor $M$ cu $MC=r$; centrul și raza îl determină complet.
• Ecuația canonică a cercului de centru $C(a,b)$ și rază $r$ este $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, obținută din formula distanței prin ridicare la pătrat.
• Din ecuația canonică se citesc direct elementele: coordonatele centrului sunt numerele scăzute în paranteze, cu semn schimbat, iar raza este radicalul membrului drept.
• Poziția unui punct față de cerc se stabilește comparând $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2$ cu $r^2$: mai mic înseamnă interior, egal înseamnă pe cerc, mai mare înseamnă exterior.
• Cercul de diametru $AB$ are centrul în mijlocul lui $AB$ și raza $\frac{AB}{2}$; ecuația se verifică substituind ambele capete.

Greșeli frecvente

• Se confundă raza cu pătratul ei. Din $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=16$ se scrie „raza $16$". Corect: membrul drept este $r^2$, deci $r=4$. Verifică-ți întotdeauna răspunsul pe un punct: $(5,-3)$ trebuie să fie pe cerc, și este.
• Se uită schimbarea semnului la citirea centrului. Din $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=49$ se scrie „centrul $(3,2)$". Corect: forma canonică conține scăderi, deci $(x+3{)}^2=(x-(-3){)}^2$ și centrul este $(-3,2)$.
• Se confundă cercul cu discul. Se spune că punctul $(0,0)$ „aparține cercului" $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$ pentru că e „înăuntru". Corect: cercul este doar curba; originea verifică inegalitatea strictă $5<25$, deci e interioară, nu pe cerc.
• Se caută $y$ ca funcție de $x$ și se pierde jumătate din curbă. Se scrie $y=b+\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$ și se desenează doar semicercul de sus. Corect: ecuația are, pentru fiecare $x$ din interiorul intervalului, două soluții; cercul este reuniunea graficelor celor două funcții, cu $\pm$ în față.
• Se scrie ecuație de cerc cu membrul drept negativ sau nul. Se acceptă $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=-4$ ca „cerc de rază $-2$". Corect: raza e strict pozitivă prin definiție; o astfel de ecuație nu are nicio soluție reală. Situațiile de acest fel se analizează sistematic la lecția următoare.

Aplică acasă

1. Harta orașului. Alege pe o hartă un punct de referință (o piață, o gară) drept origine și fixează scara în kilometri. Marchează trei locuri cunoscute și citește-le coordonatele aproximative. Scrie apoi ecuația cercului cu centrul în origine care trece prin cel mai apropiat dintre ele și stabilește, prin calcul, dacă celelalte două sunt în interiorul sau în exteriorul lui.
2. Compasul și verificarea. Desenează pe hârtie milimetrică un cerc cu compasul, alegând centrul într-un punct cu coordonate întregi și raza de $5$ cm. Citește coordonatele a patru puncte în care cercul taie liniile caroiajului și verifică prin substituție, pentru fiecare, ecuația pe care ai scris-o. Erorile de măsurare se vor vedea imediat ca abateri mici de la egalitate.
3. Semnalul telefonului. Caută raza de acoperire tipică a unei antene de telefonie din zona ta (de obicei între $1$ și $5$ km în oraș). Presupunând antena în origine, scrie inecuația care descrie zona acoperită și verifică dacă locuința ta, ale cărei coordonate le poți estima de pe hartă, se află în ea.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Trecerea de la definiția geometrică a cercului la ecuația lui canonică și înapoi: deducerea ecuației din centru și rază, citirea elementelor dintr-o ecuație dată, stabilirea poziției unui punct și scrierea ecuației din condiții simple. Competențele vizate sunt XII.CS.2.3 („deducerea ecuației canonice a cercului, utilizând centrul și raza"), XII.CS.1.3 și XII.CS.3.3.

Întrebări de control. „De ce ridicarea la pătrat nu introduce soluții străine în deducerea ecuației?"; „Care este centrul cercului $(x+5{)}^2+(y-1{)}^2=9$?"; „Cum decizi dacă un punct e interior cercului fără să calculezi radicali?"; „Ce se schimbă în ecuație dacă mut centrul cu două unități la dreapta?"; „De ce cercul nu este graficul unei funcții?".

Semne că a înțeles. Elevul schimbă din reflex semnele când citește centrul; compară pătratele, nu distanțele; verifică prin substituție punctele din enunț; și nu confundă cercul cu discul atunci când enunțul folosește „în cerc".

Unde apare la BAC M1. Conicele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă; în variantele de până acum ele nu au apărut, iar geometria analitică se oprea la drepte, distanțe și arii. Exercițiile de tipul celor de aici rămân însă utile imediat: recunoașterea unui cerc din ecuație și verificarea apartenenței unui punct se cer la admiterea la facultățile tehnice și sunt baza lecțiilor următoare din unitate.

Întrebări frecvente

Care este ecuația cercului? Cercul de centru $C(a,b)$ și rază $r>0$ are ecuația canonică $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Ea spune, în coordonate, exact ce spune definiția: distanța de la punctul curent la centru este $r$. Când centrul este originea, ecuația se simplifică la $x^2+y^2=r^2$.

Cum aflu centrul și raza dintr-o ecuație dată? Coordonatele centrului sunt numerele care se scad în cele două paranteze, luate cu semn schimbat față de cum apar: din $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=49$ rezultă centrul $(-3,2)$. Raza este radicalul membrului drept, aici $\sqrt{49}=7$, nu $49$.

Cum verific dacă un punct aparține cercului? Înlocuiești coordonatele punctului în membrul stâng al ecuației și compari rezultatul cu $r^2$. Dacă obții exact $r^2$, punctul e pe cerc; dacă obții mai puțin, e în interior; dacă obții mai mult, e în exterior. Compararea se face între pătrate, deci nu ai nevoie de radicali.

Ce este ecuația cercului cu centrul în origine? Este $x^2+y^2=r^2$, cazul particular $a=b=0$ al formei canonice. Pentru $r=1$ se obține cercul unitate, $x^2+y^2=1$, cel folosit la definirea funcțiilor trigonometrice.

Care este diferența dintre cerc și disc? Cercul este curba, adică mulțimea punctelor aflate la distanța exact $r$ de centru, și se descrie printr-o egalitate. Discul este suprafața mărginită de ea și se descrie prin inecuația $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le r^2$. Un punct „din interiorul cercului" nu aparține cercului.

Cum scriu ecuația cercului dacă știu capetele unui diametru? Centrul este mijlocul segmentului determinat de cele două capete, cu formula mediilor coordonatelor, iar raza este jumătate din lungimea segmentului. Scrii apoi forma canonică și verifici, prin substituție, că ambele capete o satisfac.

De ce cercul nu este graficul unei funcții? Pentru că, pentru un $x$ situat strict între $a-r$ și $a+r$, ecuația dă două valori ale lui $y$, iar o funcție asociază fiecărei valori a argumentului o singură valoare. Cercul este reuniunea graficelor a două funcții radical, semicercul superior și cel inferior.

Apar conicele la Bacalaureat M1? În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă. Până atunci, geometria analitică cerută la examen se oprește la drepte, distanțe și arii. Exercițiile de aici rămân utile imediat: recunoașterea unui cerc din ecuație se cere la admiterea în facultățile tehnice.