Clase de funcții integrabile: pe scurt

Definiția cu $\epsilon$ și $\delta$ este greu de aplicat direct, așa că se folosesc teoreme de clasă. Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile: orice funcție continuă pe $[a,b]$ este integrabilă. Teorema 2 de la clasele de funcții integrabile: orice funcție monotonă pe $[a,b]$ este integrabilă. Ambele se admit fără demonstrație, iar intuiția celei de-a doua este că toate sumele Riemann de pe o diviziune se strâng într-o bandă de lățime cel mult $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$.

Se demonstrează, prin reducere la absurd, că orice funcție integrabilă este mărginită. Contrapoziția ei este criteriul negativ al mărginirii: o funcție nemărginită pe $[a,b]$ nu este integrabilă. Reciproca este falsă — funcția lui Dirichlet este mărginită și neintegrabilă.

A treia unealtă: o funcție mărginită pe $[a,b]$, cu un număr finit de puncte de discontinuitate, este integrabilă, indiferent de speța lor. Speța contează la primitive, nu la integrabilitate.

La examen justificarea se scrie în două rânduri și numește criteriul din grilă — continuitate, monotonie sau mărginire cu discontinuități izolate. Abia după justificare intră în joc principiul șirului convenabil: valoarea integralei se poate afla ca limită a sumelor Riemann pe un singur șir de diviziuni cu norma tinzând la zero.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele funcții definite pe $[0,1]$ nu este integrabilă?

   • a) $f(x)=[x]$
   • b) $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(0)=0$
   • c) $f(x)=x^2+1$
   • d) $f(x)=3$ pentru $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right)$ și $f(x)=5$ pentru $x\in \left[\frac{1}{2},1\right]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(0)=0$

   Funcția de la b) este nemărginită în vecinătatea lui $0$, iar criteriul negativ al mărginirii spune că o funcție nemărginită nu este integrabilă. Celelalte sunt mărginite: a) și d) sunt monotone (sau mărginite cu o singură discontinuitate), iar c) este continuă.

2. Justificarea corectă a integrabilității funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, este:

   • a) $f$ este derivabilă pe $[1,4]$
   • b) $f$ este mărginită pe $[1,4]$
   • c) $f$ este o funcție elementară
   • d) $f$ este continuă pe $[1,4]$, deci integrabilă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ este continuă pe $[1,4]$, deci integrabilă

   Baremul cere numit criteriul din grilă: continuitatea, care dă integrabilitatea prin Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile (monotonia ar fi o a doua justificare validă). „Derivabilă” și „elementară” nu sunt criterii, iar mărginirea este necesară, nu suficientă — funcția lui Dirichlet este mărginită și neintegrabilă.

3. Orice funcție integrabilă pe $[a,b]$ este mărginită. Reciproca acestei afirmații:

   • a) este adevărată
   • b) este adevărată numai pentru funcții continue
   • c) este falsă, funcția lui Dirichlet fiind contraexemplu
   • d) nu are sens
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) este falsă, funcția lui Dirichlet fiind contraexemplu

   Funcția lui Dirichlet este mărginită, dar pe aceeași diviziune două sisteme de puncte intermediare dau sumele $b-a$ și $0$, deci nu există niciun număr $I$ ca în definiție. Implicația merge într-un singur sens: integrabilă $\Rightarrow$ mărginită.