Clase de funcții integrabile: funcții continue, funcții monotone; mărginirea

Definiția integrabilității, așa cum a fost dată la lecția despre funcții integrabile și integrala definită, este impecabilă și aproape inutilizabilă. Toată materia de integrale din clasa a XII-a se sprijină pe ea, dar niciun elev nu o deschide la un exercițiu concret — și pe bună dreptate. Ca să arăți cu ea că o funcție este integrabilă, trebuie să controlezi toate diviziunile suficient de fine și toate alegerile de puncte intermediare — lucru pe care l-am reușit pentru $f(x)=c$ și $f(x)=x$, dar care devine repede imposibil. Nimeni nu deschide definiția de fiecare dată, la fel cum nimeni nu demonstrează cu $\epsilon$ și $\delta$ că $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$.

Soluția, la clasa a XII-a ca peste tot în analiză, este să demonstrăm o dată pentru totdeauna teoreme de clasă: enunțuri care spun „toate funcțiile de tipul acesta sunt integrabile". Programa fixează două astfel de clase — funcțiile continue și funcțiile monotone — și o cere pe a treia ca instrument de lucru: funcțiile mărginite cu un număr finit de discontinuități. În sens invers, o singură proprietate taie de la început orice speranță: o funcție integrabilă este obligatoriu mărginită. Cu aceste patru enunțuri în mână, întrebarea „este $f$ integrabilă?" devine, la examen, o chestiune de recunoaștere, nu de demonstrație.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți cele două teoreme de clasă — integrabilitatea funcțiilor continue și a celor monotone — și să spui că ele se admit fără demonstrație.
• Vei ști să demonstrezi că orice funcție integrabilă este mărginită, prin reducere la absurd cu sume Riemann.
• Vei ști să folosești criteriul negativ al mărginirii ca să arăți că o funcție dată nu este integrabilă.
• Vei ști să recunoști că o funcție mărginită cu un număr finit de discontinuități este integrabilă, și de ce.
• Vei ști să calculezi valoarea unei integrale pe un șir convenabil de diviziuni, după ce integrabilitatea a fost justificată.
• Vei ști să redactezi complet, în două rânduri, justificarea integrabilității cerută de baremele de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce funcții sunt sigur integrabile?

Clasele de funcții integrabile sunt familiile de funcții despre care se știe dinainte, printr-o teoremă, că îndeplinesc definiția integrabilității, astfel încât la un exercițiu concret nu mai e nevoie să se lucreze cu $\epsilon$ și $\delta$, ci doar să se verifice o ipoteză simplă: continuitatea, monotonia sau mărginirea funcției pe intervalul dat.

Programa fixează două teoreme, pe care le enunțăm acum și pe care le admitem fără demonstrație — demonstrațiile lor cer un aparat (criteriul lui Darboux cu sume superioare și inferioare, continuitatea uniformă) care nu face parte din materia clasei a XII-a.

Teorema 1 (integrabilitatea funcțiilor continue). Orice funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$ este integrabilă pe $[a,b]$.

Teorema 2 (integrabilitatea funcțiilor monotone). Orice funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ monotonă pe $[a,b]$ este integrabilă pe $[a,b]$.

Cele două clase nu se cuprind una pe alta, și e important de văzut asta imediat. Funcția $f(x)=\sin x$ pe $[0,2\pi ]$ este continuă, dar nu este monotonă. Funcția care ia valoarea $1$ pe $[0,1)$ și valoarea $2$ pe $[1,2]$ este monotonă (crescătoare), dar nu este continuă în $1$. Amândouă sunt integrabile, fiecare din alt motiv. Există, desigur, și funcții care sunt și una, și alta — orice funcție continuă și crescătoare, de pildă $f(x)=x^5$ pe $[0,1]$ — și funcții care nu sunt nici una, nici alta, dar sunt totuși integrabile, ca la subsecțiunea 6.

⚠️ Ambele teoreme cer un interval compact $[a,b]$: închis și mărginit. Pe $(0,1]$ sau pe $[0,+\infty )$ enunțurile nu au sens, pentru că definiția integrabilității a fost dată numai pe intervale de forma $[a,b]$.

2. De ce sunt integrabile funcțiile monotone?

Nu vom demonstra teorema — programa cere să o admitem — dar merită văzut de ce este credibilă, pentru că argumentul se scrie în trei rânduri și explică toată situația. Este lema benzii, întâlnită la sume Riemann pe diviziuni echidistante și pe exemple numerice; aici o scriem în forma ei generală.

Fie $f$ crescătoare pe $[a,b]$ și fie $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ o diviziune. Pe subintervalul $[x_{i-1},x_i]$, monotonia dă $f(x_{i-1})\le f({\xi }_i)\le f(x_i)$, oricare ar fi ${\xi }_i$ ales acolo. Prin urmare, dacă $\xi$ și ${\xi }^{\prime }$ sunt două sisteme de puncte intermediare pe aceeași diviziune, $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-{\sigma }_{\Delta }(f,{\xi }^{\prime })|\le \sum _{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\le \Vert \Delta \Vert \sum _{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))=\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a)),$$ ultima egalitate fiind o sumă telescopică. Citirea acestui rezultat: toate sumele Riemann de pe o aceeași diviziune se înghesuie într-o bandă de lățime cel mult $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$ — pe diviziuni echidistante, cu punctele luate în capete, lățimea este exact ${\sigma }_{\text{dr}}-{\sigma }_{\text{st}}$, cantitatea urmărită numeric acolo. Când norma tinde la zero, acest interval se strânge la un punct — și acel punct este integrala. Pentru funcțiile descrescătoare se raționează identic, cu $f(a)-f(b)$.

Observă cât de puțin s-a folosit: nicio continuitate, nicio derivabilitate. De aceea clasa funcțiilor monotone conține funcții foarte urâte — o funcție crescătoare poate avea o infinitate de puncte de discontinuitate — și totuși toate sunt integrabile.

3. Principiul șirului convenabil

Cele două teoreme aduc un câștig practic uriaș, pe care îl fixăm ca regulă de lucru pentru tot restul unității:

Principiul șirului convenabil. Dacă se știe, printr-un criteriu, că $f$ este integrabilă pe $[a,b]$, atunci valoarea integralei se poate afla ca limită a sumelor Riemann pe un singur șir de diviziuni $({\Delta }_n)$ cu $\Vert {\Delta }_n\Vert \to 0$, cu un singur sistem de puncte intermediare pentru fiecare.

Motivul e simplu: definiția garantează că toate sumele de pe diviziuni fine sunt aproape de același număr $I$; în particular, cele de pe șirul ales. Deci limita pe care o calculezi este $I$. Fără justificarea integrabilității, principiul nu funcționează: limita pe un șir particular poate exista chiar și când funcția nu e integrabilă, exact ca la funcția lui Dirichlet, unde alegând mereu puncte raționale obții limita $1$, iar alegând iraționale obții $0$.

Principiul acesta rezolvă datoria rămasă de la lecția precedentă. Acolo am calculat, pe diviziuni echidistante ale lui $[0,1]$ cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$, $${\sigma }_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\underset{n\to \infty }{\to }\frac{1}{3},$$ dar nu aveam dreptul să încheiem. Acum îl avem: $f(x)=x^2$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă prin Teorema 1, deci $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}.$$ Aceeași structură de raționament — întâi justificarea, apoi calculul — este cea pe care o vei folosi la calculul limitelor unor șiruri cu sume Riemann, unde ea aduce puncte separate în barem.

4. Orice funcție integrabilă este mărginită

Până acum am adăugat funcții în clasa celor integrabile. Teorema care urmează face invers: exclude. Ea este singura din unitate care se demonstrează integral, și demonstrația merită învățată, pentru că folosește definiția exact așa cum trebuie folosită.

Teoremă (mărginirea funcțiilor integrabile). Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă pe $[a,b]$, atunci $f$ este mărginită pe $[a,b]$.

Demonstrație (prin reducere la absurd). Presupunem că $f$ este integrabilă, cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=I$, dar nu este mărginită. Aplicăm definiția pentru $\epsilon =1$: există $\delta >0$ astfel încât, pentru orice diviziune $\Delta$ cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem $\xi$, $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<1.$$ Fixăm o astfel de diviziune $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$. Intervalul $[a,b]$ este reuniunea celor $n$ subintervale $[x_{i-1},x_i]$; dacă $f$ ar fi mărginită pe fiecare dintre ele, ar fi mărginită și pe reuniunea lor (maximul celor $n$ margini este o margine comună). Cum am presupus că nu este, există un indice $j$ pentru care $f$ este nemărginită pe $[x_{j-1},x_j]$.

Alegem acum punctele intermediare ${\xi }_i$, pentru $i\ne j$, absolut oricum, și notăm cu $$S=\sum _{i\ne j}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$$ partea de sumă astfel fixată. Rămâne liber doar ${\xi }_j$, iar ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=S+f({\xi }_j)(x_j-x_{j-1})$. Fiindcă $f$ este nemărginită pe $[x_{j-1},x_j]$, putem alege ${\xi }_j$ în acel subinterval astfel încât $$|f({\xi }_j)|>\frac{1+|I|+|S|}{x_j-x_{j-1}}.$$ Atunci, folosind inegalitatea $|u+v|\ge |u|-|v|$, $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|\ge |f({\xi }_j)|(x_j-x_{j-1})-|S|-|I|>1,$$ ceea ce contrazice inegalitatea de mai sus. Presupunerea era falsă, deci $f$ este mărginită. $■$

Ideea demonstrației, în cuvinte: dacă funcția scapă la infinit fie și pe un singur subinterval, punctul intermediar de acolo poate fi mutat astfel încât o singură contribuție să strice toată suma — și niciun număr $I$ nu poate ține pasul.

5. Cum se arată că o funcție NU este integrabilă?

Teorema de mai sus, citită în contrapoziție, dă instrumentul cerut de programă la acest capitol:

Criteriul negativ al mărginirii. Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ nu este mărginită pe $[a,b]$, atunci $f$ nu este integrabilă pe $[a,b]$.

Exemplul canonic: $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(0)=0$. Valoarea din $0$ a fost aleasă doar ca funcția să fie definită peste tot; oricare alta ar fi. Pentru orice plafon $M>0$ există $x\in (0,1]$ cu $\frac{1}{x}>M$ (de pildă $x=\frac{1}{M+1}$), deci $f$ este nemărginită și, prin criteriu, nu este integrabilă pe $[0,1]$.

Merită văzut și direct, pe sume, ce se întâmplă: pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ în patru părți, cu ${\xi }_2=\frac{3}{8}$, ${\xi }_3=\frac{5}{8}$, ${\xi }_4=\frac{7}{8}$ fixate, alegerile ${\xi }_1=\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$ dau sumele $3,9$, apoi $26,4$, apoi $251,4$ — cresc fără plafon, deși diviziunea nu s-a schimbat deloc.

⚠️ Reciproca este falsă: mărginirea nu garantează integrabilitatea. Funcția lui Dirichlet ia doar valorile $0$ și $1$, deci e cât se poate de mărginită, și totuși nu e integrabilă. Vom relua această comparație, împreună cu primitivele, la lecția despre integrabilitate și primitive.

6. Funcțiile mărginite cu un număr finit de discontinuități

Multe funcții din subiectele de Bacalaureat M1 nu sunt nici continue, nici monotone: sunt definite pe ramuri, cu un salt sau două. Pentru ele avem un al treilea criteriu, pe care programa îl cere ca instrument de lucru.

Criteriu. Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mărginită și are un număr finit de puncte de discontinuitate în $[a,b]$, atunci $f$ este integrabilă pe $[a,b]$.

Justificarea intuitivă, suficientă la nivelul clasei: fie $M$ un plafon cu $|f(x)|\le M$ pe tot intervalul și fie $p$ numărul punctelor de discontinuitate. Pe o diviziune cu norma $\Vert \Delta \Vert$, fiecare punct „rău" atinge cel mult două subintervale, deci în total cel mult $2p$ subintervale conțin neplăceri. Contribuția lor la orice sumă Riemann este, în valoare absolută, cel mult $2pM\Vert \Delta \Vert$ — o cantitate care tinde la zero odată cu norma. Pe subintervalele rămase funcția se comportă continuu, iar acolo lucrurile merg ca la Teorema 1. Cele câteva puncte rele sunt, altfel spus, prea „subțiri" ca să conteze.

Clasificarea discontinuităților, așa cum a fost fixată la punctele de discontinuitate, nu joacă niciun rol aici: criteriul funcționează și pentru discontinuități de speța I (salturi), și pentru cele de speța a II-a, cu condiția ca funcția să rămână mărginită. Este exact deosebirea față de primitive, unde speța contează decisiv.

7. Cum se justifică integrabilitatea la examen?

Adunând tot ce am obținut, iată grila de justificare a integrabilității — de parcurs în această ordine, oprindu-te la primul rând care se potrivește:

Redactarea completă are două rânduri, nu mai mult, și arată așa: „Funcția $f$ este continuă pe intervalul compact $[0,1]$, fiind compunere de funcții elementare continue; prin urmare este integrabilă pe $[0,1]$." Sau: „Funcția $f$ este mărginită pe $[0,2]$, cu $|f(x)|\le 3$, și are un singur punct de discontinuitate, $x=1$; prin urmare este integrabilă pe $[0,2]$." Formularea care nu se acceptă este „$f$ e integrabilă pentru că e o funcție cumsecade" — baremul cere numit criteriul.

8. Ce nu spun aceste criterii

Trei precizări care despart elevul care a înțeles de cel care a memorat.

Prima: criteriile sunt suficiente, nu necesare. Faptul că o funcție nu e continuă și nu e monotonă nu înseamnă că nu e integrabilă — poate fi, prin al treilea criteriu, sau chiar și atunci când al treilea nu se aplică. Singurul enunț în sens invers pe care îl avem este criteriul negativ al mărginirii.

A doua: „integrabilă" nu înseamnă „continuă". Funcția-treaptă din subsecțiunea 1 este integrabilă și are un salt. Reciproca teoremei 1 este falsă, iar la Bacalaureat M1 tocmai aceste funcții pe ramuri sunt cele care apar în enunțuri, la integrala funcțiilor pe ramuri și a funcțiilor cu modul.

A treia: integrabilitatea și existența primitivelor sunt proprietăți diferite, care nu se implică una pe alta în niciun sens. Funcția-treaptă este integrabilă și nu admite primitive; există funcții care admit primitive și nu sunt integrabile. Este subiectul întreg al lecției următoare, și e greșeala cea mai costisitoare a capitolului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea criteriului potrivit

Pentru fiecare funcție, spune dacă este integrabilă și pe ce criteriu: a) $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$; b) $g:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=[x]$; c) $h:[0,1]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$, $h(0)=0$.

a) Funcția este un cât de funcții elementare, cu numitorul nenul pe $[1,4]$, deci este continuă pe interval compact. Integrabilă, prin Teorema 1.

b) Partea întreagă, notată $[x]$ ca în lecția despre funcția parte întreagă și partea fracționară, este crescătoare pe $[-1,2]$ (dacă $x\le y$, atunci $[x]\le [y]$), deși are salturi. Integrabilă, prin Teorema 2. Se putea invoca și al treilea criteriu: este mărginită, $-1\le g\le 2$, cu discontinuitățile în $0$, $1$ și $2$.

c) Pentru $x=\frac{1}{\sqrt{M}}$ avem $h(x)=M$, oricât de mare ar fi $M$, deci funcția este nemărginită. Nu este integrabilă, prin criteriul negativ al mărginirii.

Exemplul 2 — Integrala unei funcții-treaptă

Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=1$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=2$ pentru $x\in [1,2]$. Arată că $f$ este integrabilă și calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$.

Funcția este crescătoare pe $[0,2]$, deci integrabilă prin Teorema 2. (Alternativ: este mărginită, $1\le f\le 2$, cu un singur punct de discontinuitate, $x=1$.)

Fiind integrabilă, aplicăm principiul șirului convenabil. Luăm diviziunea echidistantă ${\Delta }_{2m}$ a lui $[0,2]$ în $2m$ subintervale de lungime $h=\frac{1}{m}$; punctul $1$ este atunci nod al diviziunii. Pe primele $m$ subintervale, cuprinse în $[0,1]$, avem $f({\xi }_i)=1$, cu o singură excepție posibilă: dacă ${\xi }_m=1$, atunci $f({\xi }_m)=2$. Pe ultimele $m$ subintervale, $f({\xi }_i)=2$ peste tot. Prin urmare $${\sigma }_{{\Delta }_{2m}}(f,\xi )=\underset{\text{prima juma˘tate}}{\underbrace{1\cdot 1}}+\underset{\text{a doua juma˘tate}}{\underbrace{2\cdot 1}}+(\text{o corecție de cel mult }h)=3\pm \frac{1}{m}.$$ Cum $\frac{1}{m}\to 0$, obținem ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$. Verificare numerică: pentru $m=5$ sumele obținute sunt între $3$ și $3,2$; pentru $m=500$, între $3$ și $3,002$.

Exemplul 3 — O funcție care nu este integrabilă

Arată că funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(0)=0$, nu este integrabilă pe $[0,1]$.

Presupunem prin absurd că este. Atunci, prin teorema de mărginire, ar exista $M>0$ cu $|f(x)|\le M$ pentru orice $x\in [0,1]$. Dar pentru $x=\frac{1}{(M+1{)}^2}\in (0,1]$ avem $f(x)=M+1>M$, contradicție. Deci $f$ nu este mărginită și, prin criteriul negativ, nu este integrabilă.

Observație. Faptul că „aria de sub grafic" pare finită la o privire grăbită nu schimbă nimic: integrala Riemann, așa cum a fost definită, cere mărginirea. Extinderile care dau sens unor astfel de expresii nu fac parte din programa clasei a XII-a.

Exemplul 4 — Un criteriu nu se aplică, altul da

Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=x+2$ pentru $x\in [1,2]$. Justifică integrabilitatea.

Continuitatea pică: limita la stânga în $1$ este $1$, iar $f(1)=3$, deci $f$ are în $1$ o discontinuitate de speța I (salt de $2$). Monotonia, în schimb, ține: pe $[0,1)$ funcția crește de la $0$ spre $1$, în $1$ sare la $3$ și crește apoi până la $4$, deci $f$ este crescătoare pe tot $[0,2]$. Integrabilă, prin Teorema 2.

Se putea folosi și al treilea criteriu: $0\le f(x)\le 4$ pe $[0,2]$, iar singurul punct de discontinuitate este $x=1$.

Exemplul 5 — Estimarea împrăștierii sumelor pentru o funcție monotonă

Pentru $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, și o diviziune $\Delta$ cu $\Vert \Delta \Vert =\frac{1}{100}$, cât de mult pot să difere două sume Riemann construite pe aceeași diviziune?

Funcția radical este crescătoare pe $[0,4]$, deci se aplică lema benzii din subsecțiunea 2: $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-{\sigma }_{\Delta }(f,{\xi }^{\prime })|\le \Vert \Delta \Vert (f(4)-f(0))=\frac{1}{100}\cdot (2-0)=\frac{1}{50}=0,02.$$ Toate sumele Riemann de pe această diviziune se află, așadar, într-o bandă de lățime cel mult $0,02$, care conține și valoarea integralei. Dacă vrem o precizie de $0,001$, e destul să luăm $\Vert \Delta \Vert <\frac{1}{2000}$, adică — pe o diviziune echidistantă — mai mult de $8000$ de subintervale. Observă că majorarea nu cere să știm valoarea integralei și nici forma funcției: doar monotonia și saltul total.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ pentru $x\in [0,2)$ și $f(2)=7$. a) Arată că $f$ este integrabilă pe $[0,2]$. b) Calculează suma Riemann a lui $f$ pe diviziunea echidistantă ${\Delta }_n$ cu ${\xi }_k=\frac{2k}{n}$. c) Deduce valoarea lui ${\int }_0^{2}f(x)dx$.

a) Pe $[0,2)$ avem $0\le x<2$, iar $f(2)=7$, deci $|f(x)|\le 7$: funcția este mărginită. Singurul punct în care nu este continuă este $x=2$, unde limita la stânga este $2\ne 7=f(2)$. Fiind mărginită și cu un număr finit de puncte de discontinuitate, $f$ este integrabilă pe $[0,2]$. (Se putea invoca și monotonia: $f$ este crescătoare pe $[0,2]$.)

b) Punctele intermediare sunt ${\xi }_k=\frac{2k}{n}$; pentru $k<n$ avem $f({\xi }_k)=\frac{2k}{n}$, iar pentru $k=n$ avem ${\xi }_n=2$, deci $f({\xi }_n)=7$ în loc de $2$. Atunci $${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )=\sum _{k=1}^n\frac{2k}{n}\cdot \frac{2}{n}+(7-2)\cdot \frac{2}{n}=\frac{2(n+1)}{n}+\frac{10}{n}=2+\frac{12}{n}.$$

c) Limita este $2$. Cum integrabilitatea a fost justificată la a), principiul șirului convenabil dă $${\int }_0^{2}f(x)dx=2.$$ Rezultatul coincide cu ${\int }_0^{2}xdx=\frac{2^2-0^2}{2}=2$, calculat din definiție la lecția precedentă: schimbarea valorii într-un singur punct nu a mutat integrala. Nu este o coincidență, ci un fenomen general, pe care îl vom vedea la lecția următoare și îl vom enunța ca proprietate la proprietățile integralei definite.

Să exersăm

1. Enunță cele două teoreme de clasă și spune, pentru fiecare, dacă se demonstrează sau se admite.

2. Dă un exemplu de funcție continuă și nemonotonă pe $[0,3]$ și unul de funcție monotonă și discontinuă pe $[0,3]$.

3. Justifică integrabilitatea funcției $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+3}{x^2+1}$, într-un rând.

4. Este integrabilă funcția $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$? Pe ce criteriu?

5. Este integrabilă funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-1}$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=0$? Justifică.

6. Arată că funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=[x]$, este integrabilă și găsește câte puncte de discontinuitate are.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice funcție mărginită pe $[a,b]$ este integrabilă pe $[a,b]$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice funcție integrabilă pe $[a,b]$ este mărginită pe $[a,b]$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice funcție integrabilă pe $[a,b]$ este continuă pe $[a,b]$.

10. Pentru $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, și o diviziune cu $\Vert \Delta \Vert =\frac{1}{200}$, majorează diferența dintre două sume Riemann construite pe aceeași diviziune.

11. Calculează ${\int }_0^2[x]dx$, justificând întâi integrabilitatea și folosind apoi un șir convenabil de diviziuni.

12. Fie $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=5$ pentru $x\in [1,3]$. Justifică integrabilitatea și calculează integrala pe un șir convenabil de diviziuni.

13. Scrie, în două rânduri, justificarea integrabilității funcției $f:[0,\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x+\cos x$, așa cum ai scrie-o pe foaia de examen.

14. (Problemă aplicată.) Un termometru înregistrează temperatura unei camere, care crește continuu de la $18^{\circ }$ la $24^{\circ }$ pe parcursul a $3$ ore. Poate fi calculată temperatura medie ca integrală? Ce criteriu garantează că integrala există?

15. Arată că funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^3}$ pentru $x\ne 0$, $f(0)=7$, nu este integrabilă.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(1)=10$. a) Arată că $f$ este integrabilă; b) scrie suma Riemann pe diviziunea echidistantă cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$; c) calculează ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

17. Explică de ce principiul șirului convenabil nu se poate aplica funcției lui Dirichlet, deși șirul sumelor cu puncte raționale are limită.

18. (Provocare.) Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ crescătoare, cu $f(0)=0$ și $f(1)=1$. Arată că, pentru diviziunea echidistantă în $n$ părți, orice două sume Riemann diferă cu cel mult $\frac{1}{n}$, și deduce câte subintervale sunt necesare pentru o precizie de $0,001$.

Răspunsuri și explicații

1. Teorema 1: orice funcție continuă pe $[a,b]$ este integrabilă. Teorema 2: orice funcție monotonă pe $[a,b]$ este integrabilă. Amândouă se admit fără demonstrație, așa cum cere programa.

2. Continuă și nemonotonă: $f(x)=(x-1{)}^2$ pe $[0,3]$ (scade, apoi crește). Monotonă și discontinuă: $f(x)=[x]$ pe $[0,3]$.

3. Numitorul $x^2+1$ nu se anulează, deci $f$ este continuă pe intervalul compact $[1,2]$, fiind cât de funcții polinomiale; prin Teorema 1, este integrabilă.

4. Da. $|x|$ este continuă pe $[-1,1]$, deci integrabilă prin Teorema 1. (Monotonia nu se aplică: funcția scade pe $[-1,0]$ și crește pe $[0,1]$.)

5. Nu. Pentru $x$ apropiat de $1$, $\left|\frac{1}{x-1}\right|$ depășește orice plafon, deci funcția este nemărginită pe $[0,1]$; prin criteriul negativ al mărginirii, nu este integrabilă.

6. Este crescătoare pe $[0,4]$, deci integrabilă prin Teorema 2. Punctele de discontinuitate din interval sunt $1$, $2$, $3$ și $4$ — patru la număr; în $4$ discontinuitatea se citește lateral, dinspre stânga.

7. Fals. Funcția lui Dirichlet este mărginită ($0\le f\le 1$) și nu este integrabilă. Mărginirea este necesară, nu suficientă.

8. Adevărat. Este teorema demonstrată la subsecțiunea 4, prin reducere la absurd: dacă funcția scapă la infinit pe un subinterval, punctul intermediar de acolo poate face suma Riemann oricât de mare.

9. Fals. Funcția-treaptă din Exemplul 2 este integrabilă și are un salt în $x=1$. Reciproca Teoremei 1 nu are loc.

10. Funcția logaritmică este crescătoare, deci lema benzii dă $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-{\sigma }_{\Delta }(f,{\xi }^{\prime })|\le \Vert \Delta \Vert (\ln 4-\ln 1)=\frac{\ln 4}{200}\approx 0,0069$.

11. Funcția este crescătoare pe $[0,2]$, deci integrabilă. Pe diviziunea echidistantă în $2m$ părți (cu $1$ nod), sumele sunt $0\cdot 1+1\cdot 1$ plus o corecție de cel mult $\frac{2}{m}$, deci tind la $1$: ${\int }_0^2[x]dx=1$.

12. Crescătoare, deci integrabilă. Cu diviziunea echidistantă a lui $[0,3]$ în $3m$ părți, nodul $1$ apare, prima treime contribuie $2\cdot 1$, restul $5\cdot 2$, cu o corecție de cel mult $\frac{3}{m}$: integrala este $2+10=12$.

13. „Funcțiile $\sin$ și $\cos$ sunt continue pe $\mathbb{R}$, deci suma lor este continuă pe intervalul compact $[0,\pi ]$. Prin teorema de integrabilitate a funcțiilor continue, $f$ este integrabilă pe $[0,\pi ]$."

14. Da. Temperatura este o funcție continuă de timp pe intervalul compact $[0,3]$, deci integrabilă prin Teorema 1; media se definește cu integrala. (Se putea invoca și monotonia, funcția fiind crescătoare.)

15. Pentru $x=\frac{1}{\sqrt[3]{M}}$ avem $f(x)=M$, deci funcția este nemărginită pe $[0,1]$; prin criteriul negativ al mărginirii, nu este integrabilă. Valoarea $f(0)=7$ nu schimbă nimic.

16. a) $0\le 3x<3$ pe $[0,1)$ și $f(1)=10$, deci $|f|\le 10$: mărginită, cu un singur punct de discontinuitate, $x=1$. Integrabilă. b) ${\sigma }_{{\Delta }_n}=\sum _{k=1}^{n}3\cdot \frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}+(10-3)\cdot \frac{1}{n}=\frac{3(n+1)}{2n}+\frac{7}{n}$. c) Limita este $\frac{3}{2}$, deci ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{2}$.

17. Pentru că principiul cere întâi justificarea integrabilității. Funcția lui Dirichlet nu e integrabilă: pe aceeași diviziune, punctele raționale dau suma $1$, iar cele iraționale dau $0$. Limita $1$ obținută pe un șir particular nu este integrala nimănui — nu există niciun număr $I$ care să satisfacă definiția.

18. Pe diviziunea echidistantă, $\Vert \Delta \Vert =\frac{1}{n}$, iar majorarea din subsecțiunea 2 dă $|\sigma -{\sigma }^{\prime }|\le \frac{1}{n}(f(1)-f(0))=\frac{1}{n}$. Pentru o precizie de $0,001$ este suficient $\frac{1}{n}\le \frac{1}{1000}$, adică $n\ge 1000$ subintervale. Remarcabil este că majorarea nu depinde deloc de forma funcției, ci doar de saltul total $f(1)-f(0)$.

De reținut

• Orice funcție continuă pe un interval compact $[a,b]$ este integrabilă pe $[a,b]$, iar acest rezultat se admite fără demonstrație.
• Orice funcție monotonă pe $[a,b]$ este integrabilă pe $[a,b]$, rezultat care se admite de asemenea fără demonstrație; intuiția este că toate sumele Riemann de pe o diviziune $\Delta$ se strâng într-un interval de lungime cel mult $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$.
• Orice funcție integrabilă este mărginită — teoremă care se demonstrează, prin reducere la absurd, și a cărei contrapoziție este criteriul negativ al mărginirii: o funcție nemărginită pe $[a,b]$ nu este integrabilă.
• O funcție mărginită pe $[a,b]$, cu un număr finit de puncte de discontinuitate, este integrabilă, indiferent de speța discontinuităților.
• Principiul șirului convenabil: după ce integrabilitatea a fost justificată printr-un criteriu, valoarea integralei se poate calcula ca limită a sumelor Riemann pe un singur șir de diviziuni cu norma tinzând la zero.

Greșeli frecvente

• Greșeala: a crede că mărginirea garantează integrabilitatea. Corect: implicația merge doar într-un sens — integrabilă $\Rightarrow$ mărginită; funcția lui Dirichlet este mărginită și neintegrabilă.
• Greșeala: a scrie „$f$ este integrabilă pentru că este derivabilă / elementară / simplă". Corect: baremul cere numit criteriul din grilă — continuitate, monotonie sau mărginire cu discontinuități izolate.
• Greșeala: a calcula limita sumelor Riemann pe un șir de diviziuni înainte de a justifica integrabilitatea. Corect: principiul șirului convenabil se aplică numai după justificare; altfel limita obținută nu dovedește nimic.
• Greșeala: a confunda „are un număr finit de discontinuități" cu „are discontinuități de speța I". Corect: pentru integrabilitate speța nu contează, ci doar mărginirea; speța contează la primitive.
• Greșeala: a aplica teoremele pe intervale deschise sau nemărginite, de tipul $(0,1]$ sau $[1,+\infty )$. Corect: definiția integrabilității și cele două teoreme au sens numai pe intervale compacte $[a,b]$.

Aplică acasă

1. Alege cinci funcții din manualul tău, definite pe intervale compacte, dintre care cel puțin una pe ramuri și una nemărginită, și completează pentru fiecare un tabel cu trei coloane: „mărginită?", „criteriul aplicabil", „concluzia". Scrie apoi justificarea completă, în două rânduri, pentru cea definită pe ramuri.
2. Într-o foaie de calcul, construiește pentru $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,9]$ două coloane de sume Riemann pe aceeași diviziune echidistantă: una cu punctele intermediare în capătul stâng, alta în capătul drept. Verifică pe valorile obținute lema benzii, adică majorarea $\Vert \Delta \Vert (f(9)-f(0))$, pentru $n=10,100,1000$.
3. Caută în culegerea ta trei subiecte de tip III de la Bacalaureat M1 în care se cere o integrală dintr-o funcție definită pe ramuri și notează, pentru fiecare, ce criteriu de integrabilitate se aplică. Compară cu baremele oficiale ca să vezi cât din punctaj revine justificării.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o definiție greu de folosit în patru criterii de recunoaștere. Este lecția în care se formează deprinderea pe care sugestiile metodologice ale programei o cer explicit: „se va insista pe formarea deprinderilor de a justifica integrabilitatea". Din cele patru enunțuri, trei se admit fără demonstrație (programa o cere), iar unul singur — mărginirea funcțiilor integrabile — se demonstrează, ceea ce face din el subiectul favorit al întrebărilor teoretice.

Întrebări de control: Care sunt cele două clase de funcții integrabile fixate de programă? Se demonstrează sau se admit? Ce spune teorema de mărginire și cum se folosește ea ca să arăți că o funcție NU e integrabilă? De ce mărginirea singură nu ajunge? Ce trebuie făcut înainte de a calcula o integrală pe un șir de diviziuni?

Semne că a înțeles: alege criteriul potrivit fără ezitare și îl numește; nu confundă implicația cu reciproca ei; știe da un exemplu de funcție integrabilă și discontinuă; scrie justificarea în două rânduri, cu ipoteza verificată explicit; nu aplică teoremele pe intervale necompacte.

La BAC, aceste criterii apar în două locuri: ca cerință directă („arătați că funcția este integrabilă"), de obicei la funcții pe ramuri, și ca pas de justificare în problemele cu limite de șiruri scrise ca sume Riemann, unde omiterea lui costă puncte chiar dacă rezultatul final e corect.

Întrebări frecvente

Care funcții sunt sigur integrabile pe un interval?

Sunt sigur integrabile pe $[a,b]$ funcțiile continue, funcțiile monotone și funcțiile mărginite care au un număr finit de puncte de discontinuitate. Primele două rezultate sunt teoremele fixate de programă și se admit fără demonstrație; al treilea este criteriul de lucru pentru funcțiile definite pe ramuri, cele mai frecvente în subiectele de Bacalaureat M1.

De ce orice funcție integrabilă este mărginită?

Pentru că, dacă funcția ar scăpa la infinit fie și pe un singur subinterval al unei diviziuni, punctul intermediar de acolo ar putea fi ales astfel încât suma Riemann să depășească orice plafon, în timp ce definiția cere ca toate sumele de pe diviziuni fine să fie la distanță mai mică de $1$ față de integrală. Contradicția arată că presupunerea nemărginirii este falsă.

Cum arăt că o funcție nu este integrabilă?

La nivelul clasei a XII-a, calea standard este criteriul negativ al mărginirii: se arată că funcția este nemărginită pe $[a,b]$, exhibând pentru orice plafon $M$ un punct în care valoarea depășește $M$. A doua cale, mai rară, este întoarcerea la definiție: se construiesc, pe aceeași diviziune, două sisteme de puncte intermediare care dau sume mult diferite.

Este orice funcție mărginită integrabilă?

Nu. Mărginirea este o condiție necesară, nu suficientă. Contraexemplul clasic este funcția lui Dirichlet, care ia doar valorile $0$ și $1$, deci este mărginită, dar ale cărei sume Riemann pe aceeași diviziune pot fi făcute egale cu $b-a$ sau cu $0$, după cum punctele intermediare se aleg raționale sau iraționale.

Poate o funcție discontinuă să fie integrabilă?

Da, și e situația obișnuită în probleme. O funcție-treaptă, o funcție definită pe ramuri cu un salt, partea întreagă — toate sunt integrabile, prin monotonie sau prin criteriul discontinuităților izolate. Ceea ce nu are voie să se întâmple este ca funcția să devină nemărginită; atunci integrabilitatea se pierde, oricât de puține ar fi punctele problematice.

Ce este principiul șirului convenabil și când se aplică?

Este regula după care, odată justificată integrabilitatea funcției, valoarea integralei se poate calcula ca limită a sumelor Riemann pe un singur șir de diviziuni cu norma tinzând la zero — de obicei cel echidistant, cu puncte intermediare în capetele din dreapta. Se aplică numai după justificare; înainte de ea, limita obținută nu dovedește existența integralei.

De ce se cere interval compact în cele două teoreme?

Pentru că definiția integrabilității a fost dată pe un interval $[a,b]$ închis și mărginit: diviziunile pleacă din $a$ și ajung în $b$, iar norma lor este un maxim finit. Pe $(0,1]$ sau pe $[0,+\infty )$ construcția nu are sens fără extinderi care nu fac parte din programa clasei a XII-a, așa că enunțurile se citesc întotdeauna pe intervale compacte.