Coliniaritatea a trei puncte: pe scurt

Trei puncte sunt coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate. Întrebarea are sens abia de la al treilea punct: prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una, deci orice două puncte sunt automat coliniare. Iar reciproca e la fel de utilă — trei puncte distincte și necoliniare sunt vârfurile unui triunghi, așa că, ori de câte ori un enunț cere „arătați că formează un triunghi”, ceea ce ai de demonstrat este necoliniaritatea.

Primul criteriu este cel cu pante: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $m_{AB}=m_{AC}$, cele două pante pornind dintr-un punct comun. Are însă o zonă oarbă: dacă două dintre puncte au aceeași abscisă, panta corespunzătoare nu există și criteriul nici nu se poate formula. Punctele de pe o verticală sunt evident coliniare, dar nicio pantă nu se poate scrie.

Al doilea criteriu, cerut de programă ca aplicație a determinanților, nu are nicio excepție: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $\Delta =0$, unde $\Delta$ este determinantul de ordinul al treilea cu liniile $(x_A,y_A,1)$, $(x_B,y_B,1)$, $(x_C,y_C,1)$. Ordinea punctelor nu contează: orice permutare de linii schimbă cel mult semnul, iar condiția $\Delta =0$ nu e afectată de semn.

La probleme cu parametru determinantul este de preferat, pentru că nu produce numitori care s-ar putea anula. Atenție la soluțiile degenerate: dacă o valoare face două puncte să coincidă, $\Delta$ se anulează banal, iar valoarea se exclude când enunțul cere un triunghi.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru punctele $A(2,1)$, $B(5,3)$ și $C(8,4)$, valoarea determinantului $\Delta$ este:

   • a) $0$, deci punctele sunt coliniare
   • b) $3$, deci punctele formează un triunghi
   • c) $-1$, deci punctele formează un triunghi
   • d) $-3$, deci punctele formează un triunghi
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-3$, deci punctele formează un triunghi

   Dezvoltând după prima linie: $\Delta =2(3-4)-1(5-8)+(5\cdot 4-8\cdot 3)=-2+3-4=-3$. Cum $\Delta \ne 0$, punctele nu sunt coliniare, deci sunt vârfurile unui triunghi — deși pe desen par aliniate. Control prin pante: $m_{AB}=\frac{2}{3}$, iar $m_{AC}=\frac{1}{2}$.

2. Despre punctele $P(-3,1)$, $Q(-3,6)$ și $R(-3,11)$ se poate afirma că:

   • a) nu sunt coliniare, pentru că pantele lor nu există
   • b) sunt coliniare, iar concluzia se obține comparând pantele
   • c) sunt coliniare, dar metoda pantelor nu se poate aplica, fiindcă abscisele coincid
   • d) sunt coliniare doar dacă se schimbă ordinea liniilor în determinant
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) sunt coliniare, dar metoda pantelor nu se poate aplica, fiindcă abscisele coincid

   Toate trei au abscisa $-3$, deci se află pe verticala $x=-3$ și sunt coliniare. Pantele nu există (numitorul ar fi zero), așa că metoda pantelor nu dă un răspuns greșit, ci pur și simplu nu se poate formula. Determinantul răspunde imediat: prima coloană este coloana de $1$ înmulțită cu $-3$, iar două coloane proporționale îl anulează.

3. Punctele $A(-4,1)$, $B(2,5)$ și $C(11,t)$ sunt coliniare pentru:

   • a) $t=9$
   • b) $t=11$
   • c) $t=13$
   • d) $t=16$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $t=11$

   Dezvoltarea dă $\Delta =6t-66$, deci $t=11$. Verificare pe dreapta $AB$: panta este $\frac{5-1}{2-(-4)}=\frac{2}{3}$, ecuația este $y=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}$, iar pentru $x=11$ se obține $y=11$ ✓. Determinantul e de preferat aici, pentru că nu cere nicio împărțire.