Condiția de coliniaritate a trei puncte

Un proiectant trage o alee și fixează în plan trei borne: $B_1(-5,1)$, $B_2(-1,3)$ și $B_3(7,7)$, coordonatele fiind date în zeci de metri. Întrebarea de care depinde toată execuția e simplă: stau cele trei borne pe aceeași linie dreaptă? Dacă da, aleea se trasează cu o singură sfoară întinsă și bordura se toarnă dintr-o bucată. Dacă nu, undeva e o cotitură — sau o eroare de măsurare care trebuie găsită înainte de a se turna betonul.

Ochiul nu e un judecător de încredere: la o abatere de câțiva centimetri pe sute de metri, desenul arată perfect drept. Matematica dă însă un răspuns exact, în trei rânduri de calcul. Trei puncte se numesc coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate. Ai două criterii pentru a decide: unul cu pante, rapid dar cu o zonă oarbă, și unul cu determinant, cerut de programa de mate-info, care nu are nicio excepție. Lecția te învață să le folosești pe amândouă și, mai ales, să știi când e obligatoriu al doilea.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă, riguros, că trei puncte sunt coliniare și de ce întrebarea are sens abia de la al treilea punct.
• Vei ști să decizi coliniaritatea comparând pantele și vei recunoaște situația în care metoda nu se poate aplica.
• Vei ști condiția cu determinant $\Delta =0$ și vei putea demonstra de ce este echivalentă cu coliniaritatea.
• Vei ști să determini un parametru astfel încât trei puncte să devină coliniare, inclusiv când parametrul apare în ambele coordonate.
• Vei ști să folosești necoliniaritatea ca să justifici că trei puncte formează un triunghi.
• Vei ști ce se întâmplă în cazurile degenerate: puncte pe o verticală și puncte care coincid.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă coliniar

Definiție. Punctele $A$, $B$, $C$ se numesc coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate trei. Altfel spunem că sunt necoliniare.

Două observații se impun imediat.

Întrebarea are sens abia de la al treilea punct. Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una, deci orice două puncte sunt, automat, coliniare. Abia când apare al treilea punct dreapta e deja fixată de primele două și rămâne de văzut dacă noul punct se așază sau nu pe ea.

Necoliniar înseamnă triunghi. Dacă $A$, $B$, $C$ sunt distincte și necoliniare, ele sunt vârfurile unui triunghi. De aceea, ori de câte ori o problemă cere să arăți că trei puncte formează un triunghi, ceea ce ai de demonstrat este exact necoliniaritatea lor.

2. Metoda pantelor

Ideea e geometrică: dacă cele trei puncte stau pe aceeași dreaptă, atunci direcția de la $A$ la $B$ trebuie să fie aceeași cu direcția de la $A$ la $C$. Iar direcția, în geometrie analitică, se măsoară prin pantă — noțiunea construită la lecția Panta unei drepte.

Criteriu (pante). Fie $A$, $B$, $C$ trei puncte cu $x_A\ne x_B$ și $x_A\ne x_C$. Ele sunt coliniare dacă și numai dacă $$m_{AB}=m_{AC},\text{adica˘}\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}.$$

Justificarea: dreptele $AB$ și $AC$ au punctul $A$ în comun. Dacă au și aceeași pantă, au aceeași direcție; două drepte cu aceeași direcție care trec printr-un punct comun coincid, deci $C$ se află pe dreapta $AB$.

Verificăm bornele din deschidere, $B_1(-5,1)$, $B_2(-1,3)$, $B_3(7,7)$: $$m_{B_1{B}_2}=\frac{3-1}{-1-(-5)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},m_{B_1{B}_3}=\frac{7-1}{7-(-5)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$$ Pantele coincid, deci bornele sunt coliniare — aleea se trasează cu o singură sfoară.

Un contraexemplu: $A(1,2)$, $B(4,3)$, $C(6,9)$ dau $m_{AB}=\frac{1}{3}$ și $m_{AC}=\frac{7}{5}$. Pantele diferă, deci punctele nu sunt coliniare.

Zona oarbă a metodei. Dacă două dintre puncte au aceeași abscisă, panta corespunzătoare nu există și criteriul nu se poate nici măcar formula. Iar situația nu e exotică: punctele $P(2,-1)$, $Q(2,3)$, $R(2,10)$ sunt evident coliniare — stau toate pe verticala $x=2$ — dar niciuna dintre cele trei pante nu există. Metoda pantelor nu dă în acest caz un răspuns greșit; pur și simplu nu dă niciun răspuns, iar cine o aplică mecanic scrie o fracție cu numitorul zero.

De aceea, orice rezolvare cu pante trebuie să înceapă cu propoziția „abscisele fiind distincte două câte două, pantele există". Iar când nu poți garanta asta — de exemplu când coordonatele conțin un parametru — treci la criteriul următor.

3. Condiția cu determinant

Programa de mate-info cere ca acest conținut să fie abordat și ca aplicație a determinanților în geometrie. Iată criteriul, care nu are nicio excepție.

Teoremă. Punctele $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$ sunt coliniare dacă și numai dacă $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|=0.$$

Demonstrație. Tratăm întâi cazul $A\ne B$. La lecția Ecuația dreptei determinate de două puncte ai stabilit că dreapta $AB$ are ecuația $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0.$$ Punctul $C$ aparține dreptei $AB$ exact atunci când coordonatele lui anulează acest determinant, adică atunci când $$\left|\begin{array}{ccc}{x}_C& y_C& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0.$$ Determinantul acesta se obține din $\Delta$ prin două schimbări de linii (întâi liniile $1$ și $3$, apoi liniile $2$ și $3$), iar prin Proprietatea 5 din lecția Proprietățile determinanților (2) fiecare schimbare inversează semnul. Două inversări readuc semnul inițial, deci cei doi determinanți sunt egali. Prin urmare $C\in AB⟺\Delta =0$, ceea ce este chiar coliniaritatea.

Rămâne cazul $A=B$. Atunci $\Delta$ are primele două linii identice, deci este nul prin Proprietatea 6 din aceeași lecție — iar punctele sunt, într-adevăr, coliniare, fiindcă două puncte confundate plus un al treilea stau întotdeauna pe o dreaptă. Echivalența se păstrează. $■$

Un corolar util al demonstrației: ordinea în care scrii punctele nu contează. Orice permutare a liniilor schimbă cel mult semnul lui $\Delta$, iar condiția $\Delta =0$ nu e afectată de semn.

4. Cele două criterii, față în față

Verificăm acordul lor pe punctele $A(-1,-3)$, $B(2,3)$, $C(4,7)$. Prin pante: $m_{AB}=\frac{6}{3}=2$ și $m_{AC}=\frac{10}{5}=2$, egale. Prin determinant, cu regula lui Sarrus: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-1& -3& 1\\ 2& 3& 1\\ 4& 7& 1\end{array}\right|=(-3)+(-12)+14-(12+(-7)+(-6))=-1-(-1)=0.$$ Ambele criterii spun „coliniare" ✓.

Și pe verticala $P(2,-1)$, $Q(2,3)$, $R(2,10)$, unde pantele nu există, determinantul răspunde fără ezitare: prima coloană este $(2,2,2)$, adică $2$ înmulțit cu coloana a treia $(1,1,1)$. Fiind două coloane proporționale, $\Delta =0$ prin Proprietatea 7 din lecția amintită — și asta fără să facem niciun calcul.

5. Legătura cu ecuația dreptei

Merită văzut și ce înseamnă $\Delta$ când punctele nu sunt coliniare. Ia $A(1,2)$, $B(4,3)$, $C(6,9)$. Dreapta $AB$ are, cu formulele din lecția precedentă, coeficienții $a=2-3=-1$, $b=4-1=3$, $c=1\cdot 3-4\cdot 2=-5$, deci ecuația $-x+3y-5=0$. Substituind $C$: $-6+27-5=16$. Iar $\Delta$ calculat direct pentru cele trei puncte este tot $16$.

Nu e o coincidență: prin construcție, $\Delta$ este rezultatul substituirii lui $C$ în ecuația dreptei $AB$ scrisă sub formă de determinant. Cu cât $C$ e mai departe de dreaptă, cu atât $|\Delta |$ e mai mare; anularea înseamnă că punctul a ajuns exact pe dreaptă.

Din același motiv, mărimea lui $\Delta$ are și o semnificație geometrică: ea măsoară „cât de gros" e triunghiul $ABC$. Un triunghi degenerat, adică turtit până la un segment, corespunde exact cazului $\Delta =0$. Formula precisă care leagă $\Delta$ de aria triunghiului o vei stabili la lecția Aria unui triunghi cu ajutorul determinantului.

6. Determinarea unui parametru

Este cel mai frecvent tip de cerință pe această temă. Metoda are trei pași: scrii $\Delta$ cu parametrul înăuntru, îl dezvolți, rezolvi ecuația $\Delta =0$.

Un parametru într-o singură coordonată. Determinăm $t$ astfel încât $A(-2,1)$, $B(1,7)$, $C(4,t)$ să fie coliniare. Dezvoltăm după prima linie: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& 7& 1\\ 4& t& 1\end{array}\right|=-2(7-t)-1(1-4)+1(t-28)=-14+2t+3+t-28=3t-39.$$ Din $3t-39=0$ obținem $t=13$. Verificare prin pante: $m_{AB}=\frac{7-1}{1+2}=2$ și $m_{AC}=\frac{13-1}{4+2}=2$ ✓.

Parametru care apare la pătrat. Determinăm $m$ astfel încât $A(0,1)$, $B(2,5)$, $C(m,m^2-2)$ să fie coliniare. Dezvoltarea după prima linie dă $$\Delta =0\cdot (5-(m^2-2))-1\cdot (2-m)+1\cdot (2(m^2-2)-5m)=2m^2-4m-6=2(m^2-2m-3).$$ Ecuația $m^2-2m-3=0$ are soluțiile $m=3$ și $m=-1$. Verificare: dreapta $AB$ este $y=2x+1$; pentru $m=3$, punctul $C(3,7)$ dă $2\cdot 3+1=7$ ✓, iar pentru $m=-1$, punctul $C(-1,-1)$ dă $-2+1=-1$ ✓.

Observă de ce determinantul e mai bun aici: cu pante ar fi trebuit să împărțim la $m-0$ și la $m-2$, deci să discutăm separat cazurile $m=0$ și $m=2$ înainte de a avea dreptul să scriem fracțiile.

7. Cazurile degenerate, de spus explicit

Trei situații trebuie recunoscute și numite, pentru că apar în bareme.

Puncte pe o verticală. Sunt coliniare, dar niciuna dintre pante nu există. Se rezolvă cu determinantul (sau se observă direct că toate au aceeași abscisă).

Două puncte care coincid. Dacă $A=B$, determinantul are două linii identice, deci $\Delta =0$ prin Proprietatea 6, iar punctele sunt coliniare — trivial, dar adevărat. Într-o problemă cu parametru, o soluție de acest fel trebuie semnalată: dacă enunțul cere ca punctele să formeze un triunghi, valoarea respectivă a parametrului se exclude.

Toate trei confundate. Caz extrem al precedentului; $\Delta =0$, coliniaritate trivială.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ambele criterii, pe aceleași puncte

Enunț. Stabiliți dacă punctele $A(-1,-3)$, $B(2,3)$, $C(4,7)$ sunt coliniare, prin cele două metode.

Rezolvare. Pante (abscisele sunt distincte, deci pantele există): $m_{AB}=\frac{3-(-3)}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2$ și $m_{AC}=\frac{7-(-3)}{4-(-1)}=\frac{10}{5}=2$. Egale, deci coliniare.

Determinant (regula lui Sarrus, valabilă la ordinul $3$): $\Delta =-3-12+14-(12-7-6)=-1+1=0$. Coliniare ✓. Cele două metode se confirmă reciproc.

Exemplul 2 — Trei puncte care formează un triunghi

Enunț. Arătați că punctele $A(1,2)$, $B(4,3)$, $C(6,9)$ sunt vârfurile unui triunghi.

Rezolvare. Calculăm $\Delta$ prin dezvoltare după prima linie: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 4& 3& 1\\ 6& 9& 1\end{array}\right|=1(3-9)-2(4-6)+1(36-18)=-6+4+18=16.$$ Cum $\Delta =16\ne 0$, punctele nu sunt coliniare; fiind și distincte, ele sunt vârfurile unui triunghi.

Exemplul 3 — Puncte pe o verticală

Enunț. Stabiliți dacă $P(2,-1)$, $Q(2,3)$, $R(2,10)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Toate trei au abscisa $2$, deci pantele nu există și metoda pantelor nu se poate aplica. Folosim determinantul: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 2& 3& 1\\ 2& 10& 1\end{array}\right|=0,$$ pentru că prima coloană este coloana a treia înmulțită cu $2$, iar două coloane proporționale anulează determinantul (Proprietatea 7). Deci punctele sunt coliniare — toate se află pe dreapta $x=2$.

Exemplul 4 — Parametru simplu

Enunț. Determinați $t\in \mathbb{R}$ pentru care punctele $A(-2,1)$, $B(1,7)$, $C(4,t)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Dezvoltăm determinantul după prima linie și obținem $\Delta =3t-39$. Condiția $\Delta =0$ dă $t=13$.

Verificare independentă, prin ecuația dreptei $AB$: $a=1-7=-6$, $b=1+2=3$, $c=(-2)\cdot 7-1\cdot 1=-15$, deci $AB:-6x+3y-15=0$, adică $2x-y+5=0$. Pentru $C(4,13)$: $8-13+5=0$ ✓.

Exemplul 5 — Parametru la pătrat

Enunț. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $A(0,1)$, $B(2,5)$, $C(m,m^2-2)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Dezvoltarea dă $\Delta =2(m^2-2m-3)$, iar $m^2-2m-3=0$ are soluțiile $m_{1,2}=3$ și $-1$.

Interpretare: dreapta $AB$ este $y=2x+1$, iar condiția $m^2-2=2m+1$ înseamnă exact că punctul $C$ cade pe ea. Verificare: $C(3,7)$ și $C(-1,-1)$ verifică ambele ecuația ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră punctele $A(a,1)$, $B(1,a)$ și $C(2,2)$, unde $a\in \mathbb{R}$. a) Determinați valorile lui $a$ pentru care punctele sunt coliniare. b) Pentru cea mai mare dintre aceste valori, scrieți ecuația generală a dreptei care le conține. c) Arătați că una dintre valorile găsite la punctul a) trebuie exclusă dacă se cere ca punctele să fie distincte.

Rezolvare. a) Dezvoltăm determinantul după prima linie: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 2& 2& 1\end{array}\right|=a(a-2)-1(1-2)+1(2-2a)=a^2-2a+1+2-2a=a^2-4a+3.$$ Din $a^2-4a+3=0$ obținem $a=1$ și $a=3$.

b) Cea mai mare valoare este $a=3$, care dă $A(3,1)$, $B(1,3)$, $C(2,2)$. Ecuația dreptei $AB$: $a=1-3=-2$, $b=1-3=-2$, $c=3\cdot 3-1\cdot 1=8$, deci $-2x-2y+8=0$, adică $$x+y-4=0.$$ Toate trei punctele o verifică: $3+1-4=0$ ✓, $1+3-4=0$ ✓, $2+2-4=0$ ✓.

c) Pentru $a=1$ avem $A(1,1)$ și $B(1,1)$, adică $A=B$: primele două puncte coincid, deci cele trei puncte nu sunt distincte. Determinantul se anulează aici fără niciun calcul, prin Proprietatea 6 (două linii identice) — coliniaritatea e adevărată, dar trivială. Această valoare se exclude ori de câte ori enunțul cere puncte distincte sau un triunghi propriu-zis; rămâne numai $a=3$.

Să exersăm

1. Stabiliți dacă punctele $A(-1,-3)$, $B(2,3)$, $C(4,7)$ sunt coliniare.

2. Stabiliți dacă punctele $A(1,2)$, $B(4,3)$, $C(6,9)$ sunt coliniare și calculați $\Delta$.

3. Stabiliți dacă $P(2,-1)$, $Q(2,3)$, $R(2,10)$ sunt coliniare. Se poate folosi metoda pantelor?

4. Stabiliți dacă $A(0,1)$, $B(2,5)$, $C(3,7)$ sunt coliniare.

5. Determinați $t\in \mathbb{R}$ astfel încât $A(-2,1)$, $B(1,7)$, $C(4,t)$ să fie coliniare.

6. Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $A(0,1)$, $B(2,5)$, $C(m,m^2-2)$ să fie coliniare.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă determinantul $\Delta$ format cu coordonatele a trei puncte este nul, atunci punctele sunt coliniare.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Metoda pantelor se poate aplica oricăror trei puncte distincte.

9. Stabiliți dacă $A(1,-1)$, $B(3,2)$, $C(7,8)$ sunt coliniare.

10. Stabiliți dacă $A(2,3)$, $B(5,3)$, $C(5,9)$ sunt coliniare. Ce observați despre panta $m_{BC}$?

11. Stabiliți dacă $A(-4,-2)$, $B(0,0)$, $C(6,3)$ sunt coliniare și scrieți ecuația dreptei pe care se află, dacă e cazul.

12. Stabiliți dacă $A(1,4)$, $B(2,6)$, $C(5,13)$ sunt coliniare. Comentați cât de aproape de coliniaritate sunt.

13. (Problemă aplicată.) Trei borne ale unei alei au, în zeci de metri, coordonatele $B_1(-5,1)$, $B_2(-1,3)$, $B_3(7,7)$. Se poate trasa aleea cu o singură sfoară întinsă?

14. Arătați că punctele $A(0,0)$, $B(3,4)$, $C(6,9)$ sunt vârfurile unui triunghi.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A(a,1)$, $B(1,a)$, $C(2,2)$, cu $a\in \mathbb{R}$. a) Determinați $a$ astfel încât punctele să fie coliniare. b) Pentru $a=3$, scrieți ecuația generală a dreptei care le conține.

16. Stabiliți dacă $A(-1,2)$, $B(0,5)$, $C(2,11)$ sunt coliniare.

17. Arătați că, dacă două dintre cele trei puncte coincid, determinantul $\Delta$ este nul, indiferent de al treilea punct.

18. (Provocare.) Arătați că, permutând în orice fel cele trei puncte în determinant, valoarea lui $\Delta$ își schimbă cel mult semnul, iar $|\Delta |$ rămâne aceeași. Deduceți că răspunsul la întrebarea „sunt coliniare?" nu depinde de ordinea în care scrii punctele.

Răspunsuri și explicații

1. Da. Pantele: $m_{AB}=\frac{6}{3}=2$ și $m_{AC}=\frac{10}{5}=2$, egale. Determinantul: $\Delta =0$. Ambele criterii confirmă coliniaritatea.

2. Nu. $\Delta =1(3-9)-2(4-6)+1(36-18)=-6+4+18=16\ne 0$. Punctele formează un triunghi.

3. Da, sunt coliniare, toate pe verticala $x=2$. Metoda pantelor nu se poate aplica: abscisele fiind egale, niciuna dintre pante nu există. Determinantul dă $\Delta =0$, fiindcă prima coloană este dublul coloanei a treia (coloane proporționale).

4. Da. $\Delta =0(5-7)-1(2-3)+1(14-15)=0+1-1=0$. Toate se află pe dreapta $y=2x+1$.

5. $\Delta =3t-39$, deci $t=13$. Verificare: $m_{AB}=2$ și $m_{AC}=\frac{13-1}{4+2}=2$ ✓.

6. $\Delta =2(m^2-2m-3)=2(m-3)(m+1)$, deci $m\in \{-1,3\}$. Ambele valori așază $C$ pe dreapta $y=2x+1$.

7. Adevărat. Este chiar teorema din secțiunea $3$: $\Delta =0$ este echivalent cu apartenența celui de-al treilea punct la dreapta determinată de primele două.

8. Fals. Dacă două dintre puncte au aceeași abscisă, panta corespunzătoare nu există și criteriul nu se poate formula. Exemplu: $P(2,-1)$, $Q(2,3)$, $R(2,10)$, care sunt distincte și totuși coliniare.

9. Da. $m_{AB}=\frac{2-(-1)}{3-1}=\frac{3}{2}$ și $m_{AC}=\frac{8-(-1)}{7-1}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$; egale. Determinantul dă tot $\Delta =0$.

10. Nu sunt coliniare: $\Delta =2(3-9)-3(5-5)+1(45-15)=-12-0+30=18\ne 0$. Panta $m_{BC}$ nu există, pentru că $B$ și $C$ au aceeași abscisă $5$ — motiv în plus să se folosească determinantul.

11. Da. $m_{AB}=\frac{0-(-2)}{0-(-4)}=\frac{1}{2}$ și $m_{AC}=\frac{3-(-2)}{6-(-4)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Cum $B$ este originea, dreapta trece prin $O$ și are ecuația $y=\frac{1}{2}x$, adică $x-2y=0$. Verificare: $-4+4=0$ ✓, $0=0$ ✓, $6-6=0$ ✓.

12. Nu. $\Delta =1(6-13)-4(2-5)+1(26-30)=-7+12-4=1\ne 0$. Valoarea $1$ este foarte mică față de mărimea coordonatelor, deci punctele sunt „aproape" coliniare — exact situația în care desenul înșală și numai calculul decide. Confirmare prin pante: $m_{AB}=2$, dar $m_{AC}=\frac{9}{4}=2,25$.

13. Da. $m_{B_1{B}_2}=\frac{3-1}{-1+5}=\frac{1}{2}$ și $m_{B_1{B}_3}=\frac{7-1}{7+5}=\frac{1}{2}$; pantele coincid, deci bornele sunt coliniare și aleea se poate trasa cu o singură sfoară. Determinantul confirmă: $\Delta =0$.

14. $\Delta =0(4-9)-0(3-6)+1(27-24)=3\ne 0$. Punctele fiind distincte și necoliniare, sunt vârfurile unui triunghi.

15. a) $\Delta =a^2-4a+3=0$, deci $a\in \{1,3\}$; pentru $a=1$ punctele $A$ și $B$ coincid. b) Pentru $a=3$: $A(3,1)$, $B(1,3)$, $C(2,2)$ și dreapta este $x+y-4=0$, verificată de toate trei punctele ✓.

16. Da. $\Delta =-1(5-11)-2(0-2)+1(0-10)=6+4-10=0$. Pantele confirmă: $m_{AB}=\frac{5-2}{0+1}=3$ și $m_{AC}=\frac{11-2}{2+1}=3$.

17. Dacă două puncte coincid, cele două linii corespunzătoare din determinant sunt identice, iar prin Proprietatea 6 din lecția despre proprietățile determinanților rezultă $\Delta =0$. Concluzia e și geometric corectă: două puncte confundate plus un al treilea se află întotdeauna pe o dreaptă, anume cea determinată de cele două puncte distincte rămase.

18. Orice permutare a celor trei linii se obține prin una sau două schimbări de linii. O schimbare inversează semnul determinantului (Proprietatea 5), două schimbări îl readuc la valoarea inițială. Deci, dacă notăm cu $d$ valoarea obținută pentru o așezare fixată a punctelor, atunci printre cele șase permutări posibile determinantul ia doar valorile $d$ și $-d$, iar $|\Delta |$ este mereu aceeași. Cum condiția de coliniaritate este $\Delta =0$, iar $d=0$ dacă și numai dacă $-d=0$, răspunsul nu depinde de ordinea punctelor.

De reținut

• Trei puncte sunt coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate; necoliniare și distincte înseamnă că formează un triunghi.
• Criteriul cu pante: $m_{AB}=m_{AC}$ — valabil numai dacă abscisele implicate sunt distincte, deci inutilizabil pe verticale.
• Criteriul cu determinant: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $\Delta =0$, unde $\Delta$ este determinantul de ordinul al treilea cu liniile $(x_A,y_A,1)$, $(x_B,y_B,1)$, $(x_C,y_C,1)$. Nu are nicio excepție.
• La probleme cu parametru se folosește determinantul: el nu produce numitori care s-ar putea anula, deci scutește de discuția de cazuri.
• Valoarea $\Delta =0$ apare și în cazurile degenerate — puncte care coincid, puncte pe aceeași verticală; când enunțul cere un triunghi, soluțiile cu puncte confundate se exclud.

Greșeli frecvente

• Pante calculate pe verticale. Se scrie $m_{PQ}=\frac{3-(-1)}{2-2}$. Corect: când abscisele coincid, panta nu există; se trece la determinant sau se observă direct că punctele stau pe dreapta $x=2$.
• Compararea a două pante fără punct comun. Se compară $m_{AB}$ cu... o pantă calculată între puncte amestecate, de exemplu $\frac{y_C-y_B}{x_C-x_A}$. Corect: cele două pante comparate trebuie să pornească dintr-un punct comun ($m_{AB}$ cu $m_{AC}$, sau $m_{AB}$ cu $m_{BC}$).
• Soluția degenerată acceptată tacit. La $A(a,1)$, $B(1,a)$, $C(2,2)$ se dau ambele valori $a=1$ și $a=3$ ca răspuns la o cerință de tip „formează triunghi". Corect: pentru $a=1$ punctele $A$ și $B$ coincid, deci nu există triunghi; valoarea se exclude.
• Concluzia trasă din desen. Punctele $A(1,4)$, $B(2,6)$, $C(5,13)$ arată perfect aliniate pe caiet. Corect: $\Delta =1\ne 0$, deci nu sunt coliniare; decizia se ia prin calcul, niciodată din figură.
• Semnul greșit la dezvoltarea determinantului. Se scrie $\Delta =x_A(y_B-y_C)+y_A(x_B-x_C)+\dots$. Corect: al doilea termen al dezvoltării după prima linie are semnul minus: $\Delta =x_A(y_B-y_C)-y_A(x_B-x_C)+(x_B{y}_C-x_C{y}_B)$. La orice îndoială, verifică rezultatul pe un exemplu cu răspuns cunoscut.

Aplică acasă

1. Stâlpii de pe stradă. Alege trei stâlpi de iluminat de pe aceeași stradă și estimează-le pozițiile în pași, față de un colț ales ca origine (atâția pași înainte, atâția lateral). Calculează $\Delta$ pentru cele trei puncte obținute. Vei constata că nu iese exact zero — încearcă să explici cât din abatere vine din măsurătoare și cât dintr-o eventuală curbură reală a străzii.
2. Pixelii unui traseu. Deschide o fotografie cu un drum drept și notează coordonatele în pixeli a trei puncte de pe marginea lui, folosind orice program care afișează poziția cursorului. Verifică prin determinant cât de coliniare sunt și compară rezultatul cu impresia vizuală.
3. Aliniere în date. Ia trei perechi de valori dintr-o măsurătoare proprie (timp și distanță, minute de studiu și număr de exerciții rezolvate) și verifică prin $\Delta$ dacă legătura dintre ele este perfect liniară. În practică nu va fi, iar mărimea lui $|\Delta |$ îți spune cât de departe e de liniaritate.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Capacitatea de a decide coliniaritatea a trei puncte prin două criterii independente și de a folosi determinantul de ordinul al treilea ca instrument geometric — abordare cerută explicit de programa de mate-info. Competențele vizate: XI.CS.1.3, XI.CS.6.3 și XI.CS.3.3.

Întrebări de control. „De ce metoda pantelor nu funcționează pentru $(2,-1)$, $(2,3)$, $(2,10)$?"; „Ce înseamnă geometric $\Delta \ne 0$?"; „Dacă schimbi între ele două linii ale determinantului, se schimbă răspunsul?" (nu — doar semnul); „De ce, la o problemă cu parametru, e mai sigur determinantul?".

Semne că a înțeles. Elevul verifică din reflex dacă abscisele sunt distincte înainte de a scrie pante; folosește determinantul fără ezitare la probleme cu parametru; semnalează singur soluțiile în care două puncte se confundă; și nu decide coliniaritatea uitându-se la desen.

Unde apare la BAC M1. Este unul dintre exercițiile recurente de geometrie analitică, aproape întotdeauna în varianta cu parametru: „determinați $a$ real astfel încât punctele … să fie coliniare". Apare și indirect, ca prim pas al problemelor cu triunghiuri, unde necoliniaritatea trebuie justificată înainte de a se calcula ceva. Condiția $\Delta =0$ se leagă direct de formula ariei triunghiului, care urmează în programă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că trei puncte sunt coliniare? Înseamnă că există o dreaptă care le conține pe toate trei. Două puncte sunt întotdeauna coliniare, deci întrebarea capătă sens abia de la al treilea punct încolo.

Cum verific coliniaritatea a trei puncte? Ai două criterii. Compari pantele $m_{AB}$ și $m_{AC}$ — dar numai dacă abscisele implicate sunt distincte. Sau calculezi determinantul de ordinul al treilea format cu coordonatele punctelor și coloana de $1$: punctele sunt coliniare exact când acest determinant este nul.

De ce se cere condiția cu determinant, dacă metoda pantelor e mai simplă? Pentru că determinantul nu are excepții: funcționează și când punctele stau pe o verticală, unde pantele nici nu există. În plus, la problemele cu parametru evită împărțirea la expresii care s-ar putea anula.

Cum arăt că trei puncte formează un triunghi? Arăți că sunt necoliniare, adică $\Delta \ne 0$, și că sunt distincte două câte două. Necoliniaritatea este exact ceea ce garantează existența triunghiului.

Ce fac dacă două puncte au aceeași abscisă? Folosești determinantul. Metoda pantelor nu se poate aplica, pentru că panta dintre acele două puncte nu există; asta nu înseamnă însă că punctele nu ar putea fi coliniare — trei puncte pe aceeași verticală chiar sunt.

Contează ordinea în care scriu punctele în determinant? Nu. Orice permutare a liniilor schimbă cel mult semnul determinantului, iar condiția de coliniaritate, fiind $\Delta =0$, nu e afectată de semn.

Cum determin parametrul pentru care trei puncte sunt coliniare? Scrii determinantul cu parametrul înăuntru, îl dezvolți după o linie sau o coloană și rezolvi ecuația obținută prin egalarea lui cu zero. La final verifică dacă vreo soluție face două puncte să coincidă și, dacă enunțul cere un triunghi, exclude-o.

Ce înseamnă când determinantul iese foarte mic, dar nu zero? Înseamnă că punctele nu sunt coliniare, dar sunt aproape aliniate: al treilea punct cade foarte aproape de dreapta determinată de primele două. Matematic însă distincția e categorică — ori $\Delta$ este zero, ori nu este.