Comutativitatea: pe scurt

O lege de compoziție $\ast$ pe mulțimea $M$ este comutativă dacă $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in M$. Se schimbă ordinea a două elemente — spre deosebire de asociativitate, care mută parantezele între trei. Cele două proprietăți sunt independente: adunarea le are pe amândouă, înmulțirea matricelor e asociativă și necomutativă, media aritmetică e comutativă și neasociativă, iar scăderea nu e niciuna.

Verificarea se face în doi pași: scrii $y\ast x$ și compari cu $x\ast y$. O lege dată printr-o formulă simetrică în $x$ și $y$ este comutativă, și reciproc; de aceea toate legile de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ sunt comutative. Atenție: asimetria scrierii este doar un indiciu, nu o demonstrație — $x\ast y=x(y+1)+y$ arată asimetric, dar se reduce la $xy+x+y$. Dovada necomutativității este o pereche concretă, cu ambele calcule scrise.

În tabla operației, comutativitatea se citește ca simetrie față de diagonala principală, șirul căsuțelor $x\ast x$; celulele $x\ast y$ și $y\ast x$ sunt oglindite una față de cealaltă. Sunt de verificat doar $C_n^2$ perechi de elemente distincte, față de $n^3$ triplete la asociativitate.

Într-o lege necomutativă există totuși perechi care comută: orice matrice comută cu $I_2$ și cu propriile puteri.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre legile de mai jos este comutativă?

   • a) $x\ast y=2x+3y$ pe $\mathbb{R}$
   • b) $x\ast y=xy+15x+15y+210$ pe $\mathbb{R}$
   • c) $x\ast y=x-y$ pe $\mathbb{Z}$
   • d) $x\ast y=x^y$ pe $(0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x\ast y=xy+15x+15y+210$ pe $\mathbb{R}$

   Formula de la b este simetrică în $x$ și $y$ (se scrie $(x+15)(y+15)-15$), deci legea este comutativă. La a, coeficienții diferiți dau $1\ast 0=2\ne 3=0\ast 1$; la c, $5-3=2$, dar $3-5=-2$; la d, $2^3=8$, dar $3^2=9$. Fiecare respingere cere perechea concretă, cu ambele calcule.

2. Despre legea $x\ast y=x(y+1)+y$, definită pe $\mathbb{R}$, se poate afirma că:

   • a) este comutativă, pentru că se reduce la $xy+x+y$
   • b) nu este comutativă, contraexemplu fiind perechea $(1,2)$
   • c) nu este comutativă, pentru că formula nu este simetrică
   • d) este comutativă numai pentru $x,y>0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) este comutativă, pentru că se reduce la $xy+x+y$

   Desfacem paranteza: $x(y+1)+y=xy+x+y$, expresie simetrică, deci legea este comutativă pe tot $\mathbb{R}$. Variantele a și b ilustrează greșeala clasică — asimetria scrierii este un indiciu, nu o demonstrație. Control: $1\ast 2=1\cdot 3+2=5$ și $2\ast 1=2\cdot 2+1=5$.

3. Legea care este comutativă, dar nu asociativă este:

   • a) înmulțirea matricelor de ordinul al doilea
   • b) adunarea pe $\mathbb{R}$
   • c) media aritmetică pe $\mathbb{Q}$
   • d) scăderea pe $\mathbb{Z}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) media aritmetică pe $\mathbb{Q}$

   Media aritmetică este comutativă (formula e simetrică), dar nu asociativă: pe tripletul $(2,4,10)$ cele două grupări dau $\frac{13}{2}$ și $\frac{9}{2}$. Înmulțirea matricelor este exact pe dos — asociativă și necomutativă —, adunarea le are pe amândouă, iar scăderea nu are niciuna. Tabelul celor patru combinații arată că proprietățile sunt independente.