Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei

Dacă îți pui întâi șosetele și apoi pantofii, ieși din casă îmbrăcat cum trebuie; dacă inversezi ordinea, rezultatul e vizibil altul. Comutativitatea unei legi de compoziție răspunde exact la această întrebare — contează ordinea? —, iar la clasa a 12-a ea este a doua proprietate din unitatea „Legi de compoziție", după cea studiată în Asociativitatea unei legi de compoziție. Comutativitatea unei legi de compoziție înseamnă că schimbarea ordinii nu schimbă rezultatul: $x\ast y=y\ast x$ pentru orice pereche de elemente, iar pe o mulțime finită acest lucru se vede ca simetrie a tablei față de diagonala principală.

Spre deosebire de asociativitate, comutativitatea are un mare avantaj practic: pe o mulțime finită se vede cu ochiul liber, ca simetrie a tablei operației față de diagonala principală. Programa de matematică-informatică cere explicit această legătură, iar problemele de la Bacalaureat M1 o folosesc des: ți se dă o tablă și ți se cere, într-o singură propoziție justificată, dacă legea e comutativă. Lecția de față îți dă și demonstrația formală, și criteriul vizual, și cele patru contraexemple pe care merită să le știi pe de rost.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția comutativității unei legi de compoziție și să o deosebești clar de asociativitate.
• Vei ști să verifici comutativitatea unei legi date prin formulă, comparând $x\ast y$ cu $y\ast x$.
• Vei ști să citești comutativitatea din tabla operației, ca simetrie față de diagonala principală, și să justifici de ce criteriul funcționează.
• Vei ști cele patru contraexemple de referință: scăderea, împărțirea, compunerea funcțiilor și înmulțirea matricelor.
• Vei ști ce înseamnă că două elemente comută într-o lege care nu este comutativă și să dai exemple.
• Vei ști că asociativitatea și comutativitatea sunt proprietăți independente, cu exemple pentru toate cele patru combinații.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că o lege de compoziție este comutativă?

O lege de compoziție $\ast$ pe mulțimea $M$ produce, din perechea ordonată $(x,y)$, elementul $x\ast y$. Cuvântul ordonată e cheia: perechea $(x,y)$ nu e același lucru cu perechea $(y,x)$, deci nimic nu garantează, în principiu, că elementele $x\ast y$ și $y\ast x$ ar fi egale.

Comutativitatea este proprietatea unei legi de compoziție $\ast$ definite pe mulțimea $M$ de a nu ține seama de ordinea elementelor compuse: legea este comutativă atunci când $x\ast y=y\ast x$ pentru orice două elemente $x$ și $y$ ale mulțimii $M$, indiferent care dintre ele este scris primul și care al doilea.

Compară cu asociativitatea, ca să nu le mai confunzi niciodată. Asociativitatea mută parantezele și păstrează ordinea literelor: $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$. Comutativitatea schimbă ordinea și lucrează cu două elemente, nu cu trei: $x\ast y=y\ast x$. Sunt întrebări diferite despre aceeași lege, iar răspunsul la una nu spune nimic despre cealaltă.

2. Cum verifici comutativitatea unei legi date prin formulă?

Rețeta are doi pași și e mai scurtă decât cea de la asociativitate:

1. Scrii $y\ast x$, adică formula legii cu $x$ și $y$ schimbate între ele.
2. Compari cu $x\ast y$. Dacă cele două expresii coincid pentru orice valori, legea e comutativă; dacă nu, cauți un contraexemplu numeric.

De cele mai multe ori, pasul 2 se rezolvă dintr-o privire. Fie legea $x\ast y=xy+2x+2y+2$ pe $\mathbb{R}$. Schimbând literele, $y\ast x=yx+2y+2x+2$, care este aceeași expresie, pentru că înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt ele însele comutative. Deci legea $\ast$ este comutativă.

Argumentul de mai sus merită un nume: o formulă se numește simetrică în $x$ și $y$ dacă rămâne neschimbată când cele două litere își schimbă locurile. Orice lege dată printr-o formulă simetrică este comutativă — și reciproc. Așa se explică de ce toate legile de tipul $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, atât de frecvente în subiectele de Bacalaureat M1, sunt comutative: produsul $(x-a)(y-a)$ nu se schimbă când inversezi factorii.

Când formula nu e simetrică, ai aproape sigur o lege necomutativă, dar trebuie să o dovedești cu un contraexemplu. La legea $x\ast y=2x+3y$, coeficienții diferiți ai lui $x$ și $y$ trădează asimetria; alegi $x=1$, $y=0$ și obții $1\ast 0=2$, în timp ce $0\ast 1=3$. Cum $2\ne 3$, legea nu este comutativă. Reține tehnica de alegere: pune $1$ pe poziția care te interesează și $0$ în rest, ca să rămână vizibil doar termenul care strică egalitatea.

3. Care sunt cele patru contraexemple de reținut?

Ele acoperă practic toate situațiile din subiecte, așa că merită memorate împreună cu numerele lor.

Scăderea pe $\mathbb{Z}$. $5-3=2$, dar $3-5=-2$, iar $2\ne -2$. Scăderea nu este comutativă. (Nu este nici asociativă, cum am văzut în lecția precedentă — e contraexemplul universal.)

Împărțirea pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$. $8:2=4$, dar $2:8=\frac{1}{4}$, iar $4\ne \frac{1}{4}$. Împărțirea nu este comutativă.

Compunerea funcțiilor. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$ și $g(x)=x+3$. Atunci $(f\circ g)(x)=f(x+3)=2x+6$, în timp ce $(g\circ f)(x)=g(2x)=2x+3$. Cele două funcții sunt diferite: în $x=0$ dau $6$, respectiv $3$. Compunerea, definită în Operații cu funcții; compunerea funcțiilor, este asociativă, dar nu comutativă.

Înmulțirea matricelor. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. Atunci

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right),$$

deci $AB\ne BA$. Regula de calcul este cea din Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul, iar necomutativitatea a fost stabilită în Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea; este una dintre deosebirile esențiale față de înmulțirea numerelor.

⚠️ Redactarea corectă a unui contraexemplu. Nu scrie „legea nu e comutativă pentru că formula nu e simetrică". Asimetria scrierii e un indiciu, nu o demonstrație: legea $x\ast y=x(y+1)+y$ arată asimetric, dar se desface în $xy+x+y$, care e simetrică, deci legea este comutativă. Dovada necomutativității e perechea concretă, cu ambele calcule scrise și cu concluzia.

4. Cum se citește comutativitatea din tabla operației?

Aici e partea vizuală a lecției — și motivul pentru care programa cere explicit legătura dintre tablă și comutativitate. Reamintim convenția din Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită: elementele mulțimii se scriu, în aceeași ordine, pe prima linie și pe prima coloană, iar în celula aflată la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ stă compusul $x\ast y$.

Diagonala principală a tablei este șirul de celule în care linia și coloana poartă același element: acolo stau compușii $x\ast x$. Simetria față de această diagonală înseamnă că, oglindind tabla peste ea, fiecare celulă cade peste o celulă cu același conținut.

Criteriul. Legea dată printr-o tablă este comutativă dacă și numai dacă tabla este simetrică față de diagonala principală.

De ce funcționează. Celula de pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ conține $x\ast y$; celula de pe linia lui $y$ și coloana lui $x$ conține $y\ast x$. Cele două celule sunt exact simetrice una alteia față de diagonala principală, pentru că le schimbi între ele oglindind tabla. Prin urmare, „tabla e simetrică" înseamnă „$x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x$ și $y$", adică fix definiția comutativității.

Iată o tablă simetrică. Pe mulțimea $M=\{0,1,2,3\}$ definim $x\ast y$ ca fiind restul împărțirii lui $x+y$ la $4$:

Oglindirea peste diagonala principală (celulele $0$, $2$, $0$, $2$) lasă tabla neschimbată, deci legea este comutativă — ceea ce se vedea și din formulă, pentru că $x+y=y+x$.

Iată acum o tablă nesimetrică. Pe $M=\{a,b,c\}$ definim $x\ast y=x$, adică „păstrează primul element":

Fiecare linie este constantă, deci tabla nu are cum să fie simetrică: pe linia lui $a$, coloana lui $b$ stă $a$, iar pe linia lui $b$, coloana lui $a$ stă $b$. Așadar $a\ast b=a\ne b=b\ast a$ și legea nu este comutativă. Este, în schimb, asociativă: ambii membri ai egalității $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ se reduc la $x$.

5. Câte verificări sunt de făcut?

Pe o mulțime cu $n$ elemente, celulele tablei sunt $n^2$, dar nu toate cer verificare. Celulele de pe diagonala principală se compară cu ele însele, deci sunt automat în regulă; rămân perechile de elemente distincte, iar acestea sunt în număr de $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$.

Pentru $n=3$ sunt $3$ verificări, pentru $n=4$ sunt $6$, pentru $n=5$ sunt $10$, iar pentru $n=8$ sunt $28$. Compară cu asociativitatea, care cere $n^3$ triplete — adică $27$, $64$, $125$ și $512$. Aceasta este, în cifre, deosebirea dintre o proprietate care se citește dintr-o privire și una care se demonstrează cu calcul.

Practic, nici nu numeri: te uiți la tablă și cauți prima pereche de celule oglindă care diferă. Dacă o găsești, ai terminat — legea nu e comutativă și ai și contraexemplul. Dacă parcurgi toată tabla fără să găsești, legea e comutativă.

6. Pot exista elemente care comută într-o lege necomutativă?

„Legea nu este comutativă" nu înseamnă că niciodată nu se poate schimba ordinea. Înseamnă doar că egalitatea nu e adevărată pentru toate perechile. Spunem că elementele $x$ și $y$ comută dacă $x\ast y=y\ast x$; într-o lege necomutativă există, de regulă, multe astfel de perechi.

Exemplele cele mai utile vin de la matrice. Matricea unitate $I_2$ comută cu orice matrice pătratică de ordinul al doilea: $A{I}_2=I_{2}A=A$. La fel, orice matrice comută cu puterile ei: $A\cdot A^2=A^2\cdot A=A^3$. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ avem $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar ambele produse dau $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$. În schimb, aceeași matrice $A$ nu comută cu $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, cum am văzut mai sus.

Un caz remarcabil: dacă mulțimea are un element care se compune cu toate celelalte fără să le schimbe, atunci acel element comută cu tot. Îl vom studia în lecția următoare, Elementul neutru al unei legi de compoziție.

7. Comutativitate și asociativitate: patru combinații

Cele două proprietăți sunt complet independente, iar toate cele patru situații apar în exemple pe care le cunoști deja:

Tabelul acesta merită copiat în caiet. El răspunde dintr-o dată la două dintre cele mai frecvente afirmații false de la examen: „dacă e comutativă, e și asociativă" și „dacă e asociativă, e și comutativă". Ambele sunt false, iar contraexemplele sunt pe rândurile a treia și a doua.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O lege comutativă, citită din formulă

Se consideră legea $x\ast y=xy+2x+2y+2$ pe $\mathbb{R}$. Arată că este comutativă.

Rezolvare. Schimbăm între ele literele $x$ și $y$: $y\ast x=yx+2y+2x+2$. Cum înmulțirea numerelor reale este comutativă ($yx=xy$), iar adunarea permite rearanjarea termenilor, obținem $y\ast x=xy+2x+2y+2=x\ast y$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. Legea este deci comutativă.

Observație utilă: aceeași lege se scrie $x\ast y=(x+2)(y+2)-2$, adică are forma $(x-a)(y-a)+a$ cu $a=-2$, deci este și asociativă. Cele două proprietăți s-au nimerit împreună aici, dar au fost verificate separat.

Exemplul 2 — O lege necomutativă

Se consideră legea $x\ast y=2x+3y$ pe $\mathbb{R}$. Este ea comutativă?

Rezolvare. Scriem $y\ast x=2y+3x$ și comparăm cu $x\ast y=2x+3y$. Expresiile diferă prin coeficienții literelor, deci căutăm un contraexemplu în care asimetria se vede: luăm $x=1$ și $y=0$. Obținem $1\ast 0=2\cdot 1+3\cdot 0=2$ și $0\ast 1=2\cdot 0+3\cdot 1=3$. Cum $2\ne 3$, legea nu este comutativă.

Redactarea completă cuprinde perechea aleasă, ambele calcule și concluzia — exact ca la contraexemplele de asociativitate.

Exemplul 3 — Comutativitatea citită din tablă

Pe mulțimea $M=\{a,b,c\}$ se dă legea din tabla de mai jos. Stabilește dacă este comutativă.

Rezolvare. Verificăm cele $C_3^2=3$ perechi de elemente distincte. Perechea $(a,b)$: $a\ast b=b$ și $b\ast a=b$ — la fel. Perechea $(a,c)$: $a\ast c=c$ și $c\ast a=c$ — la fel. Perechea $(b,c)$: $b\ast c=a$, dar $c\ast b=b$, iar $a\ne b$.

Am găsit o pereche de celule oglindă cu conținut diferit, deci tabla nu este simetrică față de diagonala principală, iar legea nu este comutativă. Contraexemplul de scris în lucrare este chiar $b\ast c=a\ne b=c\ast b$.

Exemplul 4 — Compunerea funcțiilor și înmulțirea matricelor

a) Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g(x)=3x$. Calculează $f\circ g$ și $g\circ f$.

b) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$. Calculează $AB$ și $BA$.

Rezolvare. a) $(f\circ g)(x)=f(3x)=3x+1$, iar $(g\circ f)(x)=g(x+1)=3x+3$. Cele două funcții sunt diferite (în $x=0$ dau $1$, respectiv $3$), deci compunerea nu e comutativă pe mulțimea acestor funcții.

b) Calculăm după regula „linie cu coloană":

$$AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right).$$

Cum $AB\ne BA$, înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Exemplul 5 — Elemente care comută

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Arată că $A$ comută cu $A^2$ și cu $I_2$, dar nu comută cu $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Avem $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$. Atunci $A\cdot A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$, deci $A$ și $A^2$ comută — de altfel, ambele produse sunt $A^3$, iar asociativitatea înmulțirii garantează egalitatea. Pentru matricea unitate, $A{I}_2=I_{2}A=A$, deci $A$ și $I_2$ comută.

În schimb, $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci $A$ și $B$ nu comută. Concluzia: într-o lege necomutativă, unele perechi comută și altele nu — iar afirmația „legea nu e comutativă" se referă la existența măcar a unei perechi rebele.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=xy-5x-5y+30$. (Este tipul de problemă din Subiectul al II-lea.)

a) Arată că $x\ast y=(x-5)(y-5)+5$ și că legea este comutativă.

b) Arată că intervalul $(5,+\infty )$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$.

c) Calculează $6\ast 7\ast 8$.

Rezolvare.

a) Dezvoltăm: $(x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30=x\ast y$. ✓ Din forma factorizată se citește imediat comutativitatea: $(x-5)(y-5)=(y-5)(x-5)$, pentru că înmulțirea numerelor reale e comutativă, deci $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

b) Fie $x,y\in (5,+\infty )$, adică $x-5>0$ și $y-5>0$. Atunci $(x-5)(y-5)>0$, deci $x\ast y=(x-5)(y-5)+5>5$, adică $x\ast y\in (5,+\infty )$. Intervalul este deci parte stabilă.

c) Legea este asociativă (are forma $(x-a)(y-a)+a$ cu $a=5$), deci scriem compunerea fără paranteze și folosim formula produsului:

$$6\ast 7\ast 8=(6-5)(7-5)(8-5)+5=1\cdot 2\cdot 3+5=11.$$

Verificare pas cu pas: $6\ast 7=42-30-35+30=7$, apoi $7\ast 8=56-35-40+30=11$. ✓

Să exersăm

Înainte de fiecare exercițiu, hotărăște ce ai de făcut: demonstrezi comutativitatea (lucrezi cu litere sau invoci simetria formulei) sau o infirmi (cauți o pereche concretă). La tablele de operații, caută prima pereche de celule oglindă care diferă.

1. Arată că legea $x\ast y=x+y-4$, definită pe $\mathbb{R}$, este comutativă.

2. Stabilește dacă legea $x\ast y=3x-y$, definită pe $\mathbb{R}$, este comutativă; dacă nu, dă un contraexemplu.

3. Arată că legea $x\ast y=xy-7x-7y+56$, definită pe $\mathbb{R}$, este comutativă, folosind forma factorizată.

4. Arată, cu o pereche concretă de numere, că scăderea nu este o lege comutativă pe $\mathbb{Z}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o lege de compoziție este asociativă, atunci este și comutativă."

6. Arată, cu o pereche concretă, că împărțirea nu este o lege comutativă pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$.

7. Pe $M=\{a,b,c\}$ se dă legea din tabla următoare. Este comutativă? Justifică prin simetrie.

8. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g(x)=3x$. Calculează $f\circ g$ și $g\circ f$ și compară-le în punctul $x=2$.

9. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$. Calculează $AB$ și $BA$.

10. Câte perechi trebuie verificate pentru a stabili comutativitatea unei legi pe o mulțime cu $5$ elemente? Dar câte triplete ar cere asociativitatea?

11. Stabilește dacă legea $x\ast y=x^2+y^2$, definită pe $\mathbb{R}$, este comutativă și dacă este asociativă; pentru a doua întrebare folosește tripletul $(1,1,0)$.

12. (Problemă aplicată.) Un robot execută două comenzi: „înaintează un metru" și „rotește-te cu $90^{\circ }$ spre dreapta". Explică, fără calcule, de ce compunerea celor două comenzi nu este comutativă și descrie cele două poziții finale.

13. Pe $M=\{a,b,c\}$ se definește $x\ast y=x$. Scrie tabla și arată că legea este asociativă, dar nu este comutativă.

14. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Arată că $A$ comută cu $A^2$, dar nu comută cu $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=xy-2x-2y+6$. a) Arată că $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ și deduce comutativitatea. b) Arată că $(2,+\infty )$ este parte stabilă. c) Calculează $3\ast 4\ast 5$.

16. Fie $M$ o mulțime nevidă. Arată că diferența simetrică a două submulțimi ale lui $M$ este o lege comutativă pe mulțimea părților lui $M$, folosind definiția ei din Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă prima linie a tablei coincide cu prima coloană, atunci legea este comutativă."

18. (Provocare.) Fie $\ast$ o lege asociativă și comutativă pe mulțimea $M$. Demonstrează că $(x\ast y)\ast (z\ast t)=(x\ast z)\ast (y\ast t)$ pentru orice $x,y,z,t\in M$.

Răspunsuri și explicații

1. $y\ast x=y+x-4=x+y-4=x\ast y$, folosind comutativitatea adunării numerelor reale. Legea este comutativă.

2. Nu este. Avem $y\ast x=3y-x$, care diferă de $x\ast y=3x-y$. Contraexemplu: $1\ast 0=3$, iar $0\ast 1=-1$. Cum $3\ne -1$, legea nu este comutativă.

3. $xy-7x-7y+56=(x-7)(y-7)+7$, pentru că $(x-7)(y-7)=xy-7x-7y+49$. Cum $(x-7)(y-7)=(y-7)(x-7)$, rezultă $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$, deci legea este comutativă.

4. $5-3=2$, iar $3-5=-2$. Cum $2\ne -2$, scăderea nu este comutativă pe $\mathbb{Z}$.

5. Fals. Înmulțirea matricelor pătratice de ordinul al doilea este asociativă, dar nu comutativă: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ avem $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=BA$. La fel se comportă compunerea funcțiilor.

6. $8:2=4$, iar $2:8=\frac{1}{4}$. Cum $4\ne \frac{1}{4}$, împărțirea nu este comutativă pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$.

7. Este comutativă. Verificăm cele trei perechi de elemente distincte: $a\ast b=a=b\ast a$; $a\ast c=b=c\ast a$; $b\ast c=c=c\ast b$. Tabla este deci simetrică față de diagonala principală (celulele $c$, $b$, $a$).

8. $(f\circ g)(x)=f(3x)=3x+1$ și $(g\circ f)(x)=g(x+1)=3x+3$. În $x=2$ obținem $7$, respectiv $9$; funcțiile sunt diferite, deci compunerea nu e comutativă.

9. $AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$. Produsele diferă, deci matricele $A$ și $B$ nu comută.

10. Comutativitatea cere $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ perechi de elemente distincte (cele de pe diagonala principală sunt automat în regulă). Asociativitatea ar cere $5^3=125$ de triplete — de peste zece ori mai mult.

11. Este comutativă, pentru că $y\ast x=y^2+x^2=x^2+y^2=x\ast y$. Nu este asociativă: $1\ast 1=2$, deci $(1\ast 1)\ast 0=2\ast 0=4$; pe de altă parte, $1\ast 0=1$, deci $1\ast (1\ast 0)=1\ast 1=2$. Cum $4\ne 2$, legea nu e asociativă. Încă un exemplu de lege comutativă și neasociativă.

12. Dacă robotul înaintează un metru și apoi se rotește, ajunge la un metru în față de punctul de plecare, orientat spre dreapta. Dacă se rotește întâi și apoi înaintează, rămâne pe loc cât timp se rotește și pleacă apoi lateral, ajungând la un metru în dreapta punctului de plecare. Pozițiile finale sunt diferite, deci compunerea comenzilor nu este comutativă.

13. Tabla are liniile constante:

Legea este asociativă, pentru că $(x\ast y)\ast z=x\ast z=x$ și $x\ast (y\ast z)=x\ast y=x$, deci ambii membri sunt $x$. Nu este comutativă: $a\ast b=a$, dar $b\ast a=b$, iar $a\ne b$.

14. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar $A\cdot A^2=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$, deci $A$ și $A^2$ comută (ambele produse sunt $A^3$). În schimb $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci $A$ și $B$ nu comută.

15. a) $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6$ ✓; cum $(x-2)(y-2)=(y-2)(x-2)$, legea e comutativă. b) Pentru $x,y>2$ avem $x-2>0$ și $y-2>0$, deci $(x-2)(y-2)>0$ și $x\ast y>2$; intervalul e parte stabilă. c) $3\ast 4\ast 5=(3-2)(4-2)(5-2)+2=1\cdot 2\cdot 3+2=8$. Verificare: $3\ast 4=12-6-8+6=4$, apoi $4\ast 5=20-8-10+6=8$. ✓

16. Diferența simetrică a mulțimilor $A$ și $B$ este formată din elementele care aparțin exact uneia dintre ele. Condiția „exact una" nu deosebește între prima și a doua mulțime, deci elementul aparține diferenței simetrice a lui $A$ cu $B$ dacă și numai dacă aparține diferenței simetrice a lui $B$ cu $A$. Cele două mulțimi au aceleași elemente, deci sunt egale, iar legea este comutativă.

17. Fals. Condiția privește doar prima linie și prima coloană, adică o mică parte din tablă. Contraexemplul este chiar tabla din exemplul 3: prima linie este $a$, $b$, $c$ și prima coloană este tot $a$, $b$, $c$, dar $b\ast c=a$, în timp ce $c\ast b=b$. Simetria trebuie verificată pe toate perechile de celule oglindă.

18. Folosim asociativitatea pentru a scrie fără paranteze și comutativitatea pentru a schimba ordinea celor două elemente din mijloc:

$$(x\ast y)\ast (z\ast t)=x\ast y\ast z\ast t=x\ast (y\ast z)\ast t=x\ast (z\ast y)\ast t=x\ast z\ast y\ast t=(x\ast z)\ast (y\ast t).$$

Am folosit asociativitatea de patru ori (pentru a muta parantezele) și comutativitatea o singură dată, pe perechea $(y,z)$.

De reținut

• O lege de compoziție $\ast$ pe mulțimea $M$ este comutativă dacă $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in M$, adică dacă ordinea elementelor compuse nu schimbă rezultatul.
• O lege dată printr-o formulă este comutativă dacă și numai dacă formula este simetrică în $x$ și $y$, iar toate legile de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ sunt comutative.
• Legea dată printr-o tablă este comutativă dacă și numai dacă tabla este simetrică față de diagonala principală, pentru că celulele $x\ast y$ și $y\ast x$ sunt oglindite una față de cealaltă.
• Comutativitatea cere doar $C_n^2$ verificări pe o mulțime cu $n$ elemente, față de $n^3$ triplete cerute de asociativitate, iar la tablă se citește dintr-o privire.
• Scăderea, împărțirea, compunerea funcțiilor și înmulțirea matricelor nu sunt comutative, iar ultimele două sunt totuși asociative — semn că cele două proprietăți sunt independente.

Greșeli frecvente

• „Formula nu e simetrică, deci legea nu e comutativă." Asimetria scrierii este doar un indiciu; dovada cerută este perechea concretă de numere, cu ambele calcule și cu concluzia. O formulă poate arăta asimetric și totuși să se reducă la una simetrică.
• Confundarea comutativității cu asociativitatea. Comutativitatea schimbă ordinea a două elemente, asociativitatea mută parantezele între trei. Nici una nu o implică pe cealaltă, iar tabelul cu cele patru combinații rezolvă orice ezitare.
• Citirea simetriei pe direcția greșită. Oglinda se face față de diagonala principală, cea care merge din colțul din stânga-sus spre colțul din dreapta-jos. Diagonala secundară nu are nicio semnificație pentru comutativitate.
• „Legea nu e comutativă, deci nicio pereche nu comută." Fals: într-o lege necomutativă există de obicei multe perechi care comută, de pildă orice matrice cu $I_2$ și cu propriile puteri. Necomutativitatea înseamnă doar că egalitatea cade măcar o dată.
• Verificarea doar a primei linii și a primei coloane. Coincidența lor nu garantează simetria întregii table. Trebuie parcurse toate perechile de celule oglindă, adică toate cele $C_n^2$ perechi de elemente distincte.

Aplică acasă

1. Tabla ta. Alcătuiește pe o foaie două table de operație pe mulțimea $\{a,b,c\}$: una simetrică față de diagonala principală și una nesimetrică. Pentru a doua, notează perechea de celule oglindă care diferă și scrie contraexemplul complet, ca într-o lucrare.

2. Ordinea acțiunilor. Notează trei perechi de acțiuni din viața de zi cu zi la care ordinea schimbă rezultatul (de pildă „deschid ușa" și „ies din cameră") și două perechi la care nu îl schimbă. Explică în câte o frază de ce, făcând legătura cu definiția comutativității.

3. Zece formule. Scrie zece legi de compoziție pe $\mathbb{R}$, definite prin formule inventate de tine, și clasifică-le rapid în comutative și necomutative, folosind doar criteriul simetriei. Pentru cele necomutative, găsește câte o pereche de numere care o dovedește.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un obiectiv dublu: definiția riguroasă a comutativității și criteriul vizual al tablei. Programa de matematică-informatică cere explicit „stabilirea legăturii dintre tabla operației unei legi de compoziție definite pe o mulțime finită și comutativitatea acesteia", deci criteriul nu este un truc, ci conținut evaluabil. Elevul trebuie să știe să îl și justifice, nu doar să îl aplice: celulele $x\ast y$ și $y\ast x$ sunt simetrice față de diagonala principală, deci simetria tablei este chiar definiția comutativității, scrisă în tabel.

De verificat în caiet: (1) contraexemplele conțin perechea și ambele calcule; (2) la table se scrie explicit care pereche de celule oglindă diferă; (3) comutativitatea nu e confundată cu asociativitatea, iar tabelul celor patru combinații e prezent; (4) formularea „elementele $x$ și $y$ comută" e folosită corect, pentru o pereche, nu pentru toată legea. Întrebări de control: „Ce înseamnă că o lege e comutativă?"; „Cum se vede asta în tablă și de ce?"; „Dă un exemplu de lege asociativă și necomutativă"; „Câte perechi verifici pe o mulțime cu cinci elemente?".

La BAC M1, comutativitatea apare de regulă ca primul subpunct al problemei de algebră, valorând puncte care se iau rapid dacă redactarea e corectă. Semn că elevul a înțeles: privește formula legii și spune dintr-o dată dacă e simetrică, apoi trece la partea grea a problemei fără să piardă timp.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o lege de compoziție este comutativă? Înseamnă că ordinea elementelor nu schimbă rezultatul: $x\ast y=y\ast x$ pentru orice două elemente $x$ și $y$ ale mulțimii pe care e definită legea. Adunarea și înmulțirea numerelor sunt comutative, în timp ce scăderea, împărțirea, compunerea funcțiilor și înmulțirea matricelor nu sunt.

Cum se citește comutativitatea din tabla operației? Se citește ca simetrie față de diagonala principală, cea care merge din colțul din stânga-sus spre colțul din dreapta-jos. Dacă, oglindind tabla peste această diagonală, fiecare celulă cade peste una cu același conținut, legea este comutativă; dacă găsești măcar o pereche de celule oglindă diferite, legea nu este comutativă.

De ce funcționează criteriul simetriei tablei? Pentru că celula de pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ conține $x\ast y$, iar celula de pe linia lui $y$ și coloana lui $x$ conține $y\ast x$, și cele două sunt exact simetrice față de diagonala principală. Așadar „tabla e simetrică" înseamnă cuvânt cu cuvânt „$x\ast y=y\ast x$ pentru orice pereche".

Care este legătura dintre comutativitate și asociativitate? Nu există nicio implicație între ele. Media aritmetică este comutativă și neasociativă, înmulțirea matricelor este asociativă și necomutativă, adunarea numerelor este și una, și alta, iar scăderea nu este nici una, nici alta. Fiecare proprietate se verifică separat, cu metoda ei.

Cum arăt că o lege nu este comutativă? Alegi o pereche concretă de elemente, calculezi $x\ast y$ și $y\ast x$ și arăți că rezultatele diferă. Redactarea completă cuprinde perechea, ambele calcule și propoziția de concluzie. O alegere bună este $x=1$ și $y=0$, pentru că zerourile fac să dispară termenii care nu contează.

Ce înseamnă că două elemente comută? Înseamnă că pentru acea pereche anume are loc egalitatea $x\ast y=y\ast x$, chiar dacă legea nu este comutativă în general. De exemplu, matricea unitate $I_2$ comută cu orice matrice pătratică de ordinul al doilea, iar orice matrice comută cu puterile ei, deși înmulțirea matricelor nu e comutativă.

Câte verificări cere comutativitatea pe o mulțime finită? Cere $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ verificări pe o mulțime cu $n$ elemente, pentru că perechile formate dintr-un element cu el însuși sunt automat în regulă. Pentru trei elemente sunt trei verificări, pentru cinci sunt zece, iar pentru opt sunt douăzeci și opt.

La ce îmi folosește comutativitatea la Bacalaureat M1? Îți folosește la primul subpunct al problemei de algebră din Subiectul al II-lea, unde se cere de obicei verificarea proprietăților legii, și la calculul compunerilor lungi, unde poți rearanja elementele ca să grupezi termenii convenabili. Împreună cu asociativitatea, îți dă libertatea completă de a rescrie o compunere.