Conicele ca secțiuni ale conului: pe scurt

Conica este curba obținută tăind un con circular drept cu un plan care nu trece prin vârf. Conul matematic are două pânze, iar tipul curbei e decis de comparația dintre unghiul $\beta$ al planului cu axa și unghiul $\alpha$ al conului: $\beta =90^{\circ }$ dă cerc, $\alpha <\beta <90^{\circ }$ dă elipsă, $\beta =\alpha$ dă parabolă, iar $\beta <\alpha$ dă hiperbolă, pentru că planul prinde amândouă pânzele. Planele care trec prin vârf dau conicele degenerate: un punct, o dreaptă sau două drepte concurente.

Aceleași patru curbe se descriu și prin distanțe, ca locuri geometrice: $MC=r$ pentru cerc, $MF+M{F}^{\prime }=2a$ pentru elipsă, $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$ pentru hiperbolă și $MF=d(M,d)$ pentru parabolă, unde $d$ este directoarea. Descrierea prin distanțe e cea care se traduce în coordonate și dă ecuațiile.

Într-un reper potrivit ales, ecuațiile canonice sunt $x^2+y^2=r^2$, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ și $y^2=2px$. Recunoașterea rapidă: plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă, o variabilă la puterea întâi înseamnă parabolă. Nu confunda formulele: la elipsă $c=\sqrt{a^2-b^2}$, la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Litera $e$ înseamnă în toată unitatea excentricitate, $e=\frac{c}{a}$. În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un plan care nu trece prin vârful conului taie amândouă pânzele acestuia. Curba obținută este:

   • a) o parabolă
   • b) o hiperbolă
   • c) un cerc
   • d) o elipsă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) o hiperbolă

   Planul prinde ambele pânze numai când unghiul $\beta$ pe care îl face cu axa este mai mic decât unghiul $\alpha$ al conului; secțiunea are atunci două bucăți separate, adică cele două ramuri ale hiperbolei. Cercul și elipsa taie o singură pânză și se închid, iar parabola apare exact la $\beta =\alpha$, când o generatoare scapă neintersectată.

2. Curba de ecuație $x^2-4y=0$ este:

   • a) o elipsă
   • b) o hiperbolă
   • c) o parabolă
   • d) un cerc
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) o parabolă

   Ecuația se scrie $x^2=4y$, deci o singură variabilă apare la pătrat, iar cealaltă la puterea întâi: este semnătura parabolei. Aici axa de simetrie este $Oy$, curba se deschide în sus, iar $2p=4$. Elipsa și hiperbola au amândouă variabilele la pătrat, cu plus, respectiv cu minus între ele.

3. Distanța dintre focarele hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ este:

   • a) $5$
   • b) $2\sqrt{7}$
   • c) $6$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $10$

   La hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$, deci focarele sunt $(\pm 5,0)$ și distanța dintre ele este $2c=10$. Varianta $2\sqrt{7}$ vine din folosirea formulei elipsei, $\sqrt{a^2-b^2}$; varianta $5$ confundă $c$ cu $2c$, iar $6$ este $2a$, distanța dintre vârfuri.