Conicele: secțiuni ale conului și exemple din lumea reală

Aprinde o lanternă și îndreapt-o perpendicular pe perete: pata de lumină e un cerc. Înclină lanterna încet — cercul se alungește într-un oval. Continuă să o înclini, și în clipa în care marginea conului de lumină ajunge paralelă cu peretele ovalul se rupe: capătul lui fuge la infinit și rămâne o curbă deschisă. Mai mult, și curba se desface în două ramuri. Ai obținut, cu o lanternă, cele patru curbe pe care clasa a XII-a le numește conice. Conicele sunt cele patru curbe — cercul, elipsa, parabola și hiperbola — care se obțin intersectând un con circular cu un plan; fiecare se poate defini și ca loc geometric și primește, într-un reper cartezian, o ecuație de gradul al doilea.

Nu e o coincidență de bucătărie. Toate patru sunt intersecții ale aceluiași con cu plane așezate diferit, iar grecii le studiau sub acest nume acum două mii trei sute de ani. Ce aduce nou matematica-informatică de liceu este că fiecare dintre ele primește o ecuație — o egalitate între $x$ și $y$ pe care punctele curbei o verifică și punctele din afara ei nu. Unitatea de față, cea mai geometrică din tot anul, face exact acest drum: de la o curbă desenată la o ecuație, și înapoi. Lecția aceasta e harta ei.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii conul circular drept și să spui, pentru fiecare poziție a planului de tăiere, ce curbă apare.
• Vei ști să recunoști cele patru conice — cercul, elipsa, parabola, hiperbola — după forma lor și după numele elementelor caracteristice.
• Vei ști cele patru definiții ca loc geometric, cu focarele și cu directoarea parabolei, și vei înțelege de ce descriu aceleași curbe ca secțiunile din con.
• Vei ști să citești tabelul ecuațiilor canonice și să spui, dintr-o ecuație dată, cu ce conică ai de-a face.
• Vei ști să verifici prin calcul că un punct dat aparține unei conice date.
• Vei ști unde apar conicele în afara caietului: orbite, antene, oglinzi, sisteme de poziționare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o conică?

Conica este curba pe care o obții tăind un con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful conului. După înclinarea planului față de axa conului rezultă exact patru curbe diferite: cercul, elipsa, parabola și hiperbola. De la această construcție unică le vine numele comun de „secțiuni conice", scurtat în manuale la conice.

Ca să fie precisă, construcția are nevoie de un con anume. Ia o dreaptă $a$, numită axă, și o a doua dreaptă $g$ care o taie în punctul $V$ sub un unghi ascuțit $\alpha$. Rotește dreapta $g$ în jurul axei, ținând punctul $V$ fix: suprafața măturată se numește con circular drept cu vârful $V$ și unghiul $\alpha$. Fiecare poziție a lui $g$ e o generatoare. Atenție la un detaliu care schimbă totul: conul matematic are două pânze, una de fiecare parte a vârfului, pentru că dreapta $g$ e infinită în ambele sensuri. Conul de carton din copilărie e doar jumătate din el.

2. Cum se schimbă curba când se înclină planul?

Fie $\beta$ unghiul dintre planul de tăiere și axa conului. Comparând $\beta$ cu unghiul $\alpha$ al conului obții, pe rând, toate cele patru curbe.

• $\beta =90^{\circ }$ — planul e perpendicular pe axă. Secțiunea este un cerc.
• $\alpha <\beta <90^{\circ }$ — planul e înclinat, dar mai „ridicat" decât generatoarele. El taie complet o singură pânză, iar secțiunea este o curbă închisă și alungită: elipsa.
• $\beta =\alpha$ — planul e paralel cu exact o generatoare. Curba nu se mai închide: e parabola, o curbă deschisă, cu o singură ramură.
• $\beta <\alpha$ — planul e prea „culcat" și ajunge să taie ambele pânze. Secțiunea are două bucăți separate, numite ramuri: e hiperbola.

Merită observat de ce elipsa se închide și parabola nu. Cât timp $\beta >\alpha$, planul întâlnește fiecare generatoare a pânzei de sus, deci curba face un tur complet. Când $\beta$ scade până la $\alpha$, exact o generatoare devine paralelă cu planul și scapă neintersectată: pe acolo „se scurge" curba spre infinit. Sub această valoare, generatoarele care scapă sunt două, iar planul prinde și pânza cealaltă — de aici cele două ramuri.

3. Ce se întâmplă când planul trece prin vârf?

Dacă planul de tăiere trece chiar prin vârful $V$, curba se strivește. Cele trei situații posibile se numesc conice degenerate și, deși nu fac obiectul programei, e bine să știi că există, ca să nu te surprindă mai târziu o ecuație care nu descrie nicio curbă adevărată:

• planul atinge conul numai în vârf: rămâne un singur punct;
• planul conține exact o generatoare: rămâne o dreaptă;
• planul conține două generatoare: rămân două drepte concurente.

Vei întâlni primele două cazuri și pe cale algebrică. La ecuația generală a cercului vei vedea că anumite ecuații de gradul al doilea, care „arată" a cerc, dau de fapt un singur punct sau nimic. Cazurile degenerate nu sunt curiozități: sunt exact granițele dintre curbele adevărate.

4. Aceleași curbe, altă definiție: locurile geometrice

Secțiunea în con explică de unde vin conicele, dar nu ajută la calcul. Pentru calcul avem nevoie de o descriere care să vorbească despre distanțe — pentru că distanța dintre două puncte are, din clasa a XI-a, o formulă în coordonate, în lecția despre reperul cartezian, distanța și mijlocul unui segment.

Descrierea aceasta există și e uimitor de simplă. Fiecare conică este un loc geometric: mulțimea punctelor din plan care satisfac o condiție de distanță. Iată-le pe toate patru, cu numele fixate pe care le vom folosi tot restul unității.

Cercul. Fie $C$ un punct fix și $r>0$. Cercul de centru $C$ și rază $r$ este mulțimea punctelor $M$ din plan cu $$MC=r.$$

Elipsa. Fie $F$ și $F^{\prime }$ două puncte fixe, numite focare, și $2a>F{F}^{\prime }$. Elipsa este mulțimea punctelor $M$ cu $$MF+M{F}^{\prime }=2a.$$

Hiperbola. Cu aceleași focare $F$ și $F^{\prime }$, dar cu $0<2a<F{F}^{\prime }$, hiperbola este mulțimea punctelor $M$ cu $$|MF-M{F}^{\prime }|=2a.$$

Parabola. Fie $F$ un punct fix, numit focar, și $d$ o dreaptă fixă care nu îl conține, numită directoare. Parabola este mulțimea punctelor $M$ egal depărtate de focar și de directoare: $$MF=d(M,d),$$ unde $d(M,d)$ este distanța de la punct la dreaptă, cu formula din lecția distanța de la un punct la o dreaptă.

Cele patru definiții sunt anunțate aici, nu exploatate: fiecare își are lecția ei, în care condiția de distanță se traduce în coordonate și se obține ecuația. Faptul că locurile geometrice de mai sus coincid cu secțiunile din con este o teoremă frumoasă și veche (sferele lui Dandelin); demonstrația ei nu intră în programa de matematică-informatică, dar merită căutată, pentru că explică dintr-o singură figură de ce apar focarele.

5. Harta unității: ecuațiile canonice

Într-un reper ales convenabil — cu centrul curbei în origine și cu axele reperului suprapuse peste axele de simetrie ale curbei — fiecare conică primește o ecuație scurtă, numită ecuație canonică. Tabelul următor e harta întregii unități; nu-l învăța acum pe de rost, ci întoarce-te la el după fiecare lecție.

Trei observații care se pot face de pe acum.

Semnul dintre termeni decide totul. Plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă. Cercul e cazul particular al elipsei cu $a=b$, scris mai simplu. Iar parabola se recunoaște instantaneu: e singura în care una dintre variabile apare la puterea întâi.

Numărul $\frac{c}{a}$ se numește excentricitate și se notează $e$. El măsoară cât de „turtită" e curba și apare, cu valorile lui, în lecțiile despre elipsă și despre hiperbolă. Reține de pe acum că în toată această unitate litera $e$ înseamnă excentricitate — nu elementul neutru al unei legi de compoziție și nici baza logaritmului natural.

Ecuația canonică e legată de reper. Aceeași curbă, mutată în altă parte a planului, are altă ecuație. Cercul e singurul dintre cei patru care primește, la ecuația generală a cercului, o formă valabilă pentru orice poziție a centrului; pentru celelalte trei, programa cere numai forma canonică.

6. De ce ai mai văzut deja o parabolă și o hiperbolă

Două dintre conice nu sunt chiar noi pentru tine, deși le-ai întâlnit sub alt nume.

Graficul funcției de gradul al doilea, studiat în clasa a IX-a în lecția despre parabolă: vârf, axă de simetrie, ramuri, se numea deja parabolă. Este aceeași curbă ca a noastră, doar că stă cu axa de simetrie verticală, în timp ce ecuația canonică $y^2=2px$ o așază cu axa orizontală. Legătura exactă dintre cele două scrieri se face la lecția despre elementele parabolei și reprezentarea ei grafică.

La fel, cele două ramuri desenate în unitatea precedentă pentru funcțiile omografice, în lecția despre graficul funcțiilor raționale, sunt ramuri de hiperbolă — cu asimptotele nu în poziția din tabel, ci rotite. Legătura se lămurește la lecția despre hiperbola echilateră raportată la asimptote, unde vei vedea că $xy=k$ și $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ descriu aceeași familie de curbe, privită din două repere diferite.

7. Unde întâlnești conicele în afara caietului?

Programa cere explicit exemple din viața cotidiană, și ele nu sunt decorative: fiecare aplicație folosește o proprietate matematică precisă a curbei.

Orbite eliptice. Prima lege a lui Kepler spune că planetele se mișcă pe elipse, cu Soarele într-unul dintre focare. Pentru Pământ, excentricitatea e mică — orbita e aproape circulară — dar pentru cometa Halley e foarte aproape de $1$, ceea ce explică orbita ei lungă și subțire. Sateliții artificiali de comunicații folosesc adesea orbite eliptice alese astfel încât satelitul să „zăbovească" deasupra unei regiuni.

Antene și oglinzi parabolice. O parabolă rotită în jurul axei ei dă un paraboloid. Proprietatea lui: toate razele care sosesc paralel cu axa se reflectă exact în focar. De aceea antenele de satelit, telescoapele și radarele au formă parabolică, iar receptorul stă montat pe un braț, în focar. Invers, un bec plasat în focarul unui far de mașină trimite înapoi un fascicul paralel.

Secțiuni optice hiperbolice. În telescopul Cassegrain, oglinda mare e parabolică, iar cea mică e hiperbolică: hiperbola are proprietatea că o rază îndreptată spre unul dintre focare se reflectă spre celălalt, ceea ce permite scurtarea drastică a tubului. Tot pe hiperbole se bazează, geometric, sistemele de poziționare prin diferență de timp: dacă știi doar diferența distanțelor până la două stații, punctul tău se află pe o hiperbolă cu focarele în cele două stații.

Cercuri. Cele mai vechi și mai banale: roți, cadrane, arene. Într-un sistem de poziționare, un receptor care cunoaște distanța până la un emițător știe că se află pe un cerc; cu trei emițători, intersecția cercurilor îi dă poziția — exact tipul de problemă pe care îl vei rezolva la ecuația generală a cercului.

8. Ce urmează în unitate

Unitatea are optsprezece lecții și un fir logic simplu: mai întâi fiecare conică pe rând, apoi ce se întâmplă când o tai cu o dreaptă sau cu altă conică.

Lecția de față închide, în același timp, ceva: unitatea precedentă s-a terminat cu sinteza studiului complet al unei funcții, unde fiecare curbă era graficul unei funcții. De aici încolo curbele nu mai sunt grafice de funcții — cercul are, pentru un $x$ dat, două valori ale lui $y$. Trecerea de la „funcție" la „ecuație în două necunoscute" e schimbarea de perspectivă a acestei unități.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ce curbă dă planul?

Enunț. Un con circular drept are unghiul $\alpha =30^{\circ }$ între axă și generatoare. Precizați ce curbă se obține tăind conul cu un plan care nu trece prin vârf și face cu axa un unghi de: a) $90^{\circ }$; b) $60^{\circ }$; c) $30^{\circ }$; d) $10^{\circ }$.

Rezolvare. Comparăm de fiecare dată $\beta$ cu $\alpha =30^{\circ }$.

a) $\beta =90^{\circ }$: planul e perpendicular pe axă, deci secțiunea este un cerc.

b) $30^{\circ }<60^{\circ }<90^{\circ }$, adică $\alpha <\beta <90^{\circ }$: secțiunea este o elipsă.

c) $\beta =\alpha =30^{\circ }$: planul e paralel cu o generatoare, deci secțiunea este o parabolă.

d) $\beta =10^{\circ }<30^{\circ }=\alpha$: planul taie ambele pânze, deci secțiunea este o hiperbolă.

Exemplul 2 — Recunoașterea conicei din ecuație

Enunț. Precizați ce conică descrie fiecare ecuație: a) $x^2+y^2=25$; b) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$; c) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$; d) $y^2=8x$.

Rezolvare. a) Sumă de pătrate egală cu o constantă pozitivă, cu aceiași coeficienți: cerc de centru $O$ și rază $r=5$.

b) Sumă de fracții egală cu $1$, cu numitori diferiți: elipsă, cu $a^2=25$ și $b^2=9$, adică $a=5$, $b=3$.

c) Diferență de fracții egală cu $1$: hiperbolă, cu $a=3$ și $b=4$.

d) $y$ apare la pătrat, $x$ la puterea întâi: parabolă. Din $2p=8$ obținem $p=4$.

Reține criteriul de recunoaștere rapidă: semnul dintre termeni (plus/minus) separă elipsa de hiperbolă, iar prezența unei variabile la puterea întâi trădează parabola.

Exemplul 3 — Un punct pe elipsă și cele două distanțe

Enunț. Se consideră elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, cu focarele $F(4,0)$ și $F^{\prime }(-4,0)$. a) Arătați că punctul $M\left(3,\frac{12}{5}\right)$ aparține elipsei. b) Calculați $MF$ și $M{F}^{\prime }$ și verificați definiția geometrică.

Rezolvare. a) Înlocuim: $\frac{9}{25}+\frac{{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}{9}=\frac{9}{25}+\frac{\frac{144}{25}}{9}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓. Deci $M$ este pe elipsă.

b) Cu formula distanței, $$MF=\sqrt{(3-4{)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{169}{25}}=\frac{13}{5},$$ $$M{F}^{\prime }=\sqrt{(3+4{)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\sqrt{49+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{1369}{25}}=\frac{37}{5}.$$ Suma este $\frac{13}{5}+\frac{37}{5}=\frac{50}{5}=10=2a$, cu $a=5$ ✓. Definiția geometrică se confirmă.

Exemplul 4 — Un punct pe hiperbolă

Enunț. Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, cu focarele $F(5,0)$ și $F^{\prime }(-5,0)$. Arătați că $M\left(5,\frac{16}{3}\right)$ aparține hiperbolei și verificați definiția geometrică.

Rezolvare. Substituim: $\frac{25}{9}-\frac{{\left(\frac{16}{3}\right)}^2}{16}=\frac{25}{9}-\frac{\frac{256}{9}}{16}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ ✓.

Distanțele: $MF=\sqrt{0+{\left(\frac{16}{3}\right)}^2}=\frac{16}{3}$ și $$M{F}^{\prime }=\sqrt{10^2+{\left(\frac{16}{3}\right)}^2}=\sqrt{100+\frac{256}{9}}=\sqrt{\frac{1156}{9}}=\frac{34}{3}.$$ Diferența în modul: $\left|\frac{16}{3}-\frac{34}{3}\right|=\frac{18}{3}=6=2a$, cu $a=3$ ✓.

Observă contrastul cu exemplul anterior: la elipsă se adună distanțele, la hiperbolă se scad. Focarele joacă același rol, condiția e alta.

Exemplul 5 — Focarul și directoarea unei parabole

Enunț. Se consideră parabola $y^2=8x$, cu focarul $F(2,0)$ și directoarea $d:x=-2$. Verificați definiția geometrică pentru punctele $M(2,4)$ și $N(8,8)$.

Rezolvare. Din $2p=8$ avem $p=4$, deci focarul $\left(\frac{p}{2},0\right)=(2,0)$ și directoarea $x=-\frac{p}{2}=-2$ ✓.

Pentru $M(2,4)$: apartenența, $4^2=16=8\cdot 2$ ✓. Apoi $MF=\sqrt{(2-2{)}^2+4^2}=4$, iar distanța la dreapta verticală $x=-2$ este $2-(-2)=4$. Egale ✓.

Pentru $N(8,8)$: $8^2=64=8\cdot 8$ ✓. Apoi $NF=\sqrt{(8-2{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$, iar distanța la directoare este $8+2=10$. Egale ✓.

Cazul dreptei verticale e comod: distanța de la $M(x_0,y_0)$ la $x=-\frac{p}{2}$ este pur și simplu $x_0+\frac{p}{2}$, pentru punctele cu $x_0\ge 0$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră curba de ecuație $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. a) Precizați tipul conicei și valorile lui $a$ și $b$. b) Determinați coordonatele focarelor. c) Determinați valorile lui $t$ pentru care punctul $P(-4,t)$ aparține curbei.

Rezolvare. a) Ecuația are sumă de fracții egală cu $1$, deci curba este o elipsă. Din $a^2=25$ și $b^2=9$, cu $a>b>0$, obținem $a=5$ și $b=3$.

b) Focarele stau pe axa $Ox$, în $(\pm c,0)$, cu $$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$ Deci $F(4,0)$ și $F^{\prime }(-4,0)$.

c) Punem $x=-4$ în ecuație: $$\frac{16}{25}+\frac{t^2}{9}=1⟺\frac{t^2}{9}=\frac{9}{25}⟺t^2=\frac{81}{25}⟺t=\pm \frac{9}{5}.$$ Verificare, pentru $t=\frac{9}{5}$: $\frac{16}{25}+\frac{81/25}{9}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓.

Să exersăm

1. Un con are unghiul $\alpha =45^{\circ }$ între axă și generatoare. Ce curbă dă un plan care nu trece prin vârf și face cu axa un unghi de $70^{\circ }$?

2. Același con ca la exercițiul $1$. Ce curbă dă un plan care face cu axa un unghi de $45^{\circ }$? Dar unul de $20^{\circ }$?

3. Precizați tipul conicei descrise de fiecare ecuație: a) $x^2+y^2=49$; b) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$; c) $y^2=12x$; d) $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$.

4. Pentru elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, determinați $a$, $b$ și coordonatele focarelor.

5. Pentru hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$, determinați $a$, $b$, coordonatele focarelor și ecuațiile asimptotelor.

6. Pentru parabola $y^2=20x$, determinați $p$, coordonatele focarului și ecuația directoarei.

7. Verificați prin substituție că punctul $M(-4,3)$ aparține cercului $x^2+y^2=25$ și calculați distanța de la $M$ la origine.

8. Verificați că $M\left(-4,\frac{9}{5}\right)$ aparține elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, apoi calculați $MF$ și $M{F}^{\prime }$ pentru $F(4,0)$, $F^{\prime }(-4,0)$ și verificați definiția geometrică.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice plan care taie un con circular drept determină o curbă închisă.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Cercul este cazul particular al elipsei în care cele două semiaxe sunt egale.

11. Verificați că $M\left(\frac{1}{2},2\right)$ aparține parabolei $y^2=8x$ și că distanța de la $M$ la focarul $F(2,0)$ este egală cu distanța de la $M$ la directoarea $x=-2$.

12. (Problemă aplicată.) O antenă de satelit are secțiunea axială o parabolă cu ecuația $y^2=8x$, măsurată în decimetri. Unde trebuie montat receptorul și la ce distanță de vârful antenei?

13. Determinați valorile lui $t$ pentru care punctul $Q(3,t)$ aparține elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

14. Determinați valorile lui $t$ pentru care punctul $R(-5,t)$ aparține hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră curba de ecuație $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$. a) Precizați tipul conicei și valorile lui $a$ și $b$. b) Determinați coordonatele focarelor. c) Verificați dacă punctul $M(3,0)$ aparține curbei.

16. Explicați, folosind comparația unghiurilor $\alpha$ și $\beta$, de ce hiperbola are două ramuri, iar parabola una singură.

17. Arătați că punctele $A(5,0)$ și $B(0,3)$ aparțin elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ și calculați, pentru fiecare, suma distanțelor la focarele $F(4,0)$ și $F^{\prime }(-4,0)$.

18. (Provocare.) Fie elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ cu $a>b>0$ și $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Arătați, folosind numai formula distanței, că punctul $B(0,b)$ verifică $BF+B{F}^{\prime }=2a$, unde $F(c,0)$ și $F^{\prime }(-c,0)$. Explicați de ce acest calcul justifică formula $c=\sqrt{a^2-b^2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\alpha =45^{\circ }<\beta =70^{\circ }<90^{\circ }$, deci secțiunea este o elipsă.

2. Pentru $\beta =45^{\circ }=\alpha$ planul e paralel cu o generatoare: parabolă. Pentru $\beta =20^{\circ }<45^{\circ }$ planul taie ambele pânze: hiperbolă.

3. a) cerc de rază $7$; b) hiperbolă; c) parabolă; d) elipsă. Criteriul: sumă de pătrate cu aceiași coeficienți — cerc; sumă de fracții egală cu $1$ — elipsă; diferență — hiperbolă; o variabilă la puterea întâi — parabolă.

4. $a^2=25$, $b^2=16$, deci $a=5$, $b=4$. Atunci $c=\sqrt{25-16}=3$ și focarele sunt $F(3,0)$, $F^{\prime }(-3,0)$.

5. $a=4$, $b=3$; $c=\sqrt{16+9}=5$, deci $F(5,0)$ și $F^{\prime }(-5,0)$. Asimptotele: $y=\pm \frac{3}{4}x$. Atenție la semn: la hiperbolă $c$ se obține cu plus sub radical.

6. Din $2p=20$ rezultă $p=10$; focarul este $\left(\frac{p}{2},0\right)=(5,0)$, iar directoarea $x=-5$.

7. $(-4{)}^2+3^2=16+9=25$ ✓. Distanța la origine este $\sqrt{16+9}=5$, adică exact raza — ceea ce era de așteptat, fiindcă $M$ e pe cerc.

8. Substituție: $\frac{16}{25}+\frac{81/25}{9}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓. Apoi $MF=\sqrt{64+\frac{81}{25}}=\sqrt{\frac{1681}{25}}=\frac{41}{5}$ și $M{F}^{\prime }=\sqrt{0+\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$. Suma: $\frac{41}{5}+\frac{9}{5}=10=2a$ ✓.

9. Fals. Numai cercul și elipsa sunt curbe închise. Când planul e paralel cu o generatoare ($\beta =\alpha$) se obține o parabolă, curbă deschisă; când $\beta <\alpha$ se obține o hiperbolă, cu două ramuri deschise.

10. Adevărat. Punând $a=b=r$ în $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ obținem $\frac{x^2+y^2}{r^2}=1$, adică $x^2+y^2=r^2$. Atunci $c=\sqrt{a^2-b^2}=0$: cele două focare se suprapun în centru.

11. $2^2=4=8\cdot \frac{1}{2}$ ✓. Distanța la focar: $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}-2\right)}^2+4}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$. Distanța la directoare: $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$. Egale ✓.

12. Din $2p=8$ avem $p=4$, deci focarul este $\left(\frac{p}{2},0\right)=(2,0)$, iar vârful antenei este originea. Receptorul se montează în focar, la $2$ decimetri de vârf, pe axa antenei. Motivul fizic: razele sosite paralel cu axa se reflectă toate în focar.

13. $\frac{9}{25}+\frac{t^2}{9}=1⟺\frac{t^2}{9}=\frac{16}{25}⟺t^2=\frac{144}{25}⟺t=\pm \frac{12}{5}$. Verificare pentru $t=\frac{12}{5}$: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓.

14. $\frac{25}{9}-\frac{t^2}{16}=1⟺\frac{t^2}{16}=\frac{16}{9}⟺t^2=\frac{256}{9}⟺t=\pm \frac{16}{3}$. Verificare pentru $t=\frac{16}{3}$: $\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ ✓.

15. a) Diferență de fracții egală cu $1$, deci hiperbolă, cu $a=3$ și $b=4$. b) $c=\sqrt{9+16}=5$, deci $F(5,0)$ și $F^{\prime }(-5,0)$. c) $\frac{9}{9}-\frac{0}{16}=1$ ✓, deci $M(3,0)$ aparține curbei; este chiar vârful din dreapta.

16. Cât timp $\beta >\alpha$, planul întâlnește toate generatoarele unei singure pânze, deci curba se închide. La $\beta =\alpha$ exact o generatoare devine paralelă cu planul și nu mai e tăiată: curba se deschide pe acolo, dar rămâne pe o singură pânză — o ramură. La $\beta <\alpha$, planul înclinat destul de mult ajunge să taie și pânza opusă, iar rezultatul are câte o bucată pe fiecare pânză: două ramuri.

17. $A(5,0)$: $\frac{25}{25}+0=1$ ✓; $AF=|5-4|=1$, $A{F}^{\prime }=|5+4|=9$, suma $10=2a$ ✓. $B(0,3)$: $0+\frac{9}{9}=1$ ✓; $BF=\sqrt{16+9}=5$, $B{F}^{\prime }=\sqrt{16+9}=5$, suma $10=2a$ ✓. Punctul $B$ e simetric față de cele două focare, deci distanțele sunt egale.

18. Din simetrie, $BF=\sqrt{c^2+b^2}$ și $B{F}^{\prime }=\sqrt{c^2+b^2}$, deci $BF+B{F}^{\prime }=2\sqrt{b^2+c^2}$. Condiția $BF+B{F}^{\prime }=2a$ devine $\sqrt{b^2+c^2}=a$, adică $b^2+c^2=a^2$, echivalent cu $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Calculul arată că formula lui $c$ nu e o convenție: e chiar consecința definiției geometrice, citită în vârful $B$ al semiaxei mici. Reține și imaginea: $a$, $b$, $c$ sunt laturile unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$.

De reținut

• Conicele sunt cele patru curbe obținute tăind un con circular drept cu un plan care nu trece prin vârf: cercul, elipsa, parabola și hiperbola.
• Tipul curbei e decis de comparația dintre unghiul $\beta$ al planului cu axa și unghiul $\alpha$ al conului: $\beta =90^{\circ }$ dă cerc, $\alpha <\beta <90^{\circ }$ dă elipsă, $\beta =\alpha$ dă parabolă, $\beta <\alpha$ dă hiperbolă.
• Fiecare conică este și un loc geometric definit prin distanțe: $MC=r$ pentru cerc, $MF+M{F}^{\prime }=2a$ pentru elipsă, $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$ pentru hiperbolă și $MF=d(M,d)$ pentru parabolă.
• Într-un reper potrivit ales, ecuațiile canonice sunt $x^2+y^2=r^2$, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ și $y^2=2px$.
• Recunoașterea rapidă dintr-o ecuație: plus între termeni înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă, iar o variabilă la puterea întâi înseamnă parabolă.

Greșeli frecvente

• Se uită că un con are două pânze. Elevul desenează un singur „coif" și nu înțelege de unde vin cele două ramuri ale hiperbolei. Corect: conul matematic e generat de o dreaptă infinită rotită în jurul axei, deci are două pânze simetrice față de vârf; hiperbola le taie pe amândouă.
• Se confundă formulele lui $c$. Se scrie $c=\sqrt{a^2-b^2}$ și la hiperbolă. Corect: la elipsă $c=\sqrt{a^2-b^2}$ (focarele sunt în interior, deci $c<a$), la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}$ (focarele sunt dincolo de vârfuri, deci $c>a$).
• Se citește ecuația canonică ca „graficul unei funcții". Elevul caută $y$ în funcție de $x$ și se blochează la cerc. Corect: o conică este mulțimea soluțiilor unei ecuații în două necunoscute; pentru un $x$ dat pot exista două valori ale lui $y$, deci curba nu este, în general, graficul unei funcții.
• Se inversează plusul cu minusul la recunoaștere. Se spune „hiperbolă" pentru $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$. Corect: semnul plus dă elipsă (curbă închisă, mărginită), semnul minus dă hiperbolă (două ramuri nemărginite).
• Se confundă $2p$ cu $p$ la parabolă. Din $y^2=8x$ se scrie $p=8$. Corect: ecuația canonică este $y^2=2px$, deci $2p=8$ și $p=4$; focarul este în $\left(\frac{p}{2},0\right)=(2,0)$, nu în $(4,0)$.

Aplică acasă

1. Conul de lumină. Într-o cameră întunecată, îndreaptă fasciculul unei lanterne perpendicular pe perete și marchează conturul petei de lumină cu un creion pe o hârtie lipită. Înclină apoi lanterna în trei trepte și marchează de fiecare dată conturul. Vei obține, pe rând, un cerc, o elipsă și — dacă înclini destul — o curbă care nu se mai închide. Notează la fiecare treaptă cât de mult ai înclinat lanterna.
2. Sfoara și cele două cuie. Bate două cuie într-o scândură, la $8$ cm distanță, și leagă între ele o sfoară de $10$ cm. Ține un creion întins în sfoară și rotește-l: obții o elipsă cu $2a=10$ și $F{F}^{\prime }=8$, deci $a=5$, $c=4$ și $b=3$. Măsoară semiaxele desenului tău și compară-le cu valorile calculate.
3. Antena din cartier. Fotografiază o antenă parabolică de satelit din profil și estimează, pe fotografie, adâncimea farfuriei și diametrul ei. Cu $y^2=2px$ scrisă pentru punctul de pe margine, deduce $p$ și, de aici, la ce distanță de fundul farfuriei ar trebui să se afle receptorul. Compară cu poziția reală a brațului din fotografie.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Capacitatea de a recunoaște cele patru conice, de a le lega de secțiunile plane ale conului și de a citi dintr-o ecuație canonică tipul curbei și elementele ei caracteristice. Competențele vizate sunt XII.CS.1.3, XII.CS.2.3 și XII.CS.3.3. Este o lecție de deschidere de unitate: rolul ei e să dea harta și vocabularul, nu tehnica de calcul, care vine în lecțiile următoare.

Întrebări de control. „De ce are hiperbola două ramuri?"; „Ce înseamnă că un punct aparține unei conice?"; „Cum deosebești, dintr-o privire, ecuația unei elipse de a unei hiperbole?"; „Ce este un focar și în ce definiție apare?"; „De ce este cercul un caz particular de elipsă?".

Semne că a înțeles. Elevul verifică apartenența unui punct prin substituție, nu prin desen; nu confundă $c=\sqrt{a^2-b^2}$ cu $c=\sqrt{a^2+b^2}$; explică de ce parabola nu se închide, folosind generatoarea paralelă cu planul; și dă cel puțin un exemplu real pentru fiecare conică.

Unde apare la BAC M1. Conicele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă. Până atunci, subiectele de geometrie analitică se opresc la drepte, distanțe și arii — materia clasei a XI-a. Formatul „Exemplu tip Bacalaureat M1" din această unitate anticipează structura cerinței (trei subpuncte a, b, c, cu dificultate crescătoare), nu existența ei în variantele de până acum. Exercițiile rămân valoroase indiferent de sesiune: recunoașterea unei curbe din ecuație și verificarea apartenenței unui punct sunt deprinderi cerute și la facultate, la geometrie analitică și la grafică pe calculator.

Întrebări frecvente

Ce sunt conicele? Conicele sunt cele patru curbe obținute prin tăierea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful conului: cercul, elipsa, parabola și hiperbola. Numele vine chiar de la această construcție, cunoscută încă din matematica greacă. Fiecare dintre ele are, într-un reper potrivit, o ecuație scurtă numită ecuație canonică.

De ce se obțin exact patru curbe și nu mai multe? Pentru că poziția planului față de con se reduce la o singură comparație: unghiul $\beta$ dintre plan și axă față de unghiul $\alpha$ al conului. Există doar patru situații: plan perpendicular pe axă, plan mai ridicat decât generatoarele, plan paralel cu o generatoare și plan mai culcat decât generatoarele. Fiecare dă câte o curbă.

Care este diferența dintre elipsă și hiperbolă? Elipsa este curba pentru care suma distanțelor la cele două focare este constantă; e închisă și mărginită. Hiperbola este curba pentru care modulul diferenței distanțelor la focare este constant; are două ramuri nemărginite și două asimptote. În ecuație, elipsa are semnul plus între termeni, hiperbola are semnul minus.

Ce este un focar? Focarul este un punct fix care intră în definiția prin distanțe a conicei. Elipsa și hiperbola au câte două focare, notate $F$ și $F^{\prime }$; parabola are unul singur, împreună cu o dreaptă fixă numită directoare. Numele vine din optică: razele reflectate de o oglindă parabolică se adună toate în focar.

Cum recunosc tipul conicei dintr-o ecuație dată? Uită-te la puterile variabilelor și la semnul dintre termeni. Dacă ambele apar la pătrat cu semnul plus și cu aceiași coeficienți, e cerc; cu coeficienți diferiți, e elipsă. Dacă apar cu semne opuse, e hiperbolă. Dacă una singură apare la pătrat, iar cealaltă la puterea întâi, e parabolă.

Este cercul o conică? Da. Cercul apare ca secțiune atunci când planul e perpendicular pe axa conului și este, în același timp, cazul particular al elipsei în care cele două semiaxe sunt egale. Atunci $c=0$ și cele două focare se suprapun în centrul cercului. De aceea el se studiază primul în această unitate, la lecția despre ecuația canonică a cercului.

Unde se folosesc conicele în practică? Orbitele planetelor sunt elipse cu Soarele într-un focar; antenele de satelit, farurile și telescoapele folosesc parabole, pentru că adună razele paralele în focar; oglinzile secundare ale telescoapelor și sistemele de poziționare prin diferență de timp folosesc hiperbole; cercurile apar peste tot, de la roți la trilaterație.

Apar conicele la Bacalaureat M1? În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut: geometria analitică cerută la examen se oprea la drepte, distanțe și arii. Ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă. Formatul „Exemplu tip Bacalaureat M1" folosit în această unitate anticipează structura cerinței, cu trei subpuncte de dificultate crescătoare, nu prezența ei în variantele publicate până acum.