Conicele și analiza matematică: pe scurt

O conică nu este graficul unei funcții, dar local este: scoțând $y$ din ecuație se obțin funcțiile-ramură, de pildă $f_{1,2}:[-a,a]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ pentru elipsă. Toate proprietățile locale ale curbei se citesc atunci cu derivata acelei funcții.

Panta tangentei în $M_0(x_0,y_0)$ este $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la elipsă, $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la hiperbolă, $\frac{p}{y_0}$ la parabolă și $-\frac{x_0-a}{y_0-b}$ la cercul de centru $C(a,b)$. Sunt exact pantele dreptelor obținute prin dedublare, deci derivata confirmă metoda, fără să o înlocuiască.

În vârfurile de pe axa focală funcția-ramură nu mai este derivabilă, iar limita derivatei este infinită: acolo tangenta este verticală și se scrie $x=x_0$, fără pantă. Derivata a doua a ramurii de deasupra axei de simetrie este strict negativă la toate conicele capitolului, deci ramura este concavă și nicio conică nu are puncte de inflexiune.

Ariile mărginite numai de segmente se calculează elementar: dreptunghiul fundamental are aria $4ab$, iar triunghiul format de o tangentă la $xy=k$ cu axele are aria constantă $2k$, punctul de tangență fiind mijlocul segmentului. Aria interiorului elipsei, $\pi ab$, cere integrala.

Exerciții din această mini-lecție

1. Panta tangentei la cercul $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$ în punctul $M(4,2)$ este:

   • a) $-\frac{4}{3}$
   • b) $\frac{4}{3}$
   • c) $-\frac{3}{4}$
   • d) $\frac{3}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-\frac{3}{4}$

   Punctul aparține cercului: $(4-1{)}^2+(2+2{)}^2=9+16=25$. Panta este $-\frac{x_0-a}{y_0-b}=-\frac{4-1}{2+2}=-\frac{3}{4}$. Valoarea $\frac{4}{3}$ este panta razei $CM$, iar tangenta este perpendiculară pe rază, deci pantele lor au produsul $-1$.

2. În vârful $A(a,0)$ al elipsei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, tangenta este dreapta:

   • a) $x=a$
   • b) $y=a$
   • c) $y=\frac{b}{a}(x-a)$
   • d) $y=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x=a$

   Funcția-ramură este derivabilă doar pe $(-a,a)$; în $x=a$ limita derivatei este infinită, deci tangenta este verticală: $x=a$. Dedublarea dă același lucru: $\frac{x\cdot a}{a^2}+\frac{y\cdot 0}{b^2}=1$, adică $x=a$. Tangentele orizontale sunt cele din vârfurile $(0,\pm b)$.

3. Fie $f:[-a,a]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, ramura de deasupra axei $Ox$ a unei elipse. Care afirmație este adevărată?

   • a) $f$ este derivabilă pe $[-a,a]$
   • b) $f$ este convexă pe $(-a,a)$
   • c) $f$ are un punct de inflexiune în $x=0$
   • d) $f$ este concavă pe $(-a,a)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ este concavă pe $(-a,a)$

   Derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{ab}{{\left(a^2-x^2\right)}^{3/2}}<0$ pe tot intervalul $(-a,a)$, deci $f$ este concavă și nu își schimbă concavitatea nicăieri: nu există punct de inflexiune. În capetele $\pm a$ funcția este continuă, dar nederivabilă, iar acolo tangenta este verticală.