Conicele și analiza matematică: tangente cu derivata și pregătirea calculului de arii

Programa de matematică-informatică cere ca reprezentarea grafică a unei conice să se facă „atât folosind proprietățile geometrice ale conicei, cât și utilizând cunoștințele de analiză matematică". Prima cale a fost parcursă în toată unitatea de până acum: dreptunghiuri-schelet, vârfuri, focare, controale rapide ale desenului. A doua cale este subiectul acestei lecții de clasa a 12-a: aceleași curbe, privite ca grafice de funcții și studiate cu derivata, exact cum ai studiat toată toamna funcțiile din analiză.

Câștigul nu e doar teoretic. Derivata dă panta tangentei fără niciun artificiu de memorat, confirmă independent regula de dedublare, explică de ce în vârfuri tangenta este verticală și arată de ce toate ramurile de sus ale conicelor sunt concave. Iar la final deschide drumul spre arii — deocamdată doar spre acelea care se calculează cu formule de gimnaziu, pentru că instrumentul care le calculează pe toate celelalte, integrala, vine mai târziu în acest an.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii funcțiile-ramură ale unei conice, cu domeniile lor exacte, și să le derivezi.
• Vei ști să obții panta tangentei într-un punct al unei conice ca valoare a derivatei funcției-ramură.
• Vei ști să confirmi cu derivata ecuația tangentei obținută prin dedublare, pe toate cele patru conice.
• Vei ști de ce în vârfurile de pe axa focală tangenta este verticală și cum se scrie ea.
• Vei ști să demonstrezi, cu derivata a doua, că ramura de deasupra axei $Ox$ este concavă la orice conică din capitol.
• Vei ști să calculezi elementar ariile care nu cer integrală: dreptunghiul fundamental și triunghiul format de o tangentă cu axele.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o funcție-ramură a unei conice?

Funcțiile-ramură ale unei conice sunt cele două funcții obținute scoțând $y$ din ecuația ei, cu cele două semne ale radicalului; reuniunea graficelor lor este chiar conica. Ele au fost scrise la lecția despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic, unde au apărut ca răspuns la întrebarea „de ce nu e conica graficul unei funcții". Acum devin instrument de lucru: fiind funcții obișnuite, li se aplică tot ce știi despre derivate.

Ideea centrală a lecției încape într-o propoziție: orice proprietate locală a unei conice — tangentă, pantă, concavitate — se citește pe funcția-ramură care trece prin punctul studiat. Global, conica nu e grafic de funcție; local, în vecinătatea oricărui punct care nu e vârf pe axa focală, ea este.

2. Care sunt funcțiile-ramură și domeniile lor?

Le strângem într-un singur tabel, cu derivata alături. Peste tot, $f_1$ este ramura de deasupra axei de simetrie orizontale, iar $f_2=-f_1$ (respectiv simetrica față de dreapta $y=b$, la cercul cu centrul în $C(a,b)$).

Toate derivatele ies din regula de derivare a funcției compuse și din tabelul derivatelor fixat la clasa a XI-a; funcțiile cu radical de acest tip au fost studiate la lecția despre graficul funcțiilor cu radicali.

⚠️ Domeniul de derivabilitate este mai mic decât domeniul funcției. La elipsă, $f_1$ e definită pe intervalul închis $[-a,a]$, dar derivabilă doar pe intervalul deschis $(-a,a)$: în capete, numitorul se anulează. La hiperbolă, la fel, în $x=\pm a$. Aceasta e observația care va explica, la punctul $5$, tangentele verticale din vârfuri.

3. Cum se calculează panta tangentei cu derivata?

Panta tangentei la graficul unei funcții în punctul de abscisă $x_0$ este $f^{\prime }(x_0)$ — rezultatul central al lecției despre interpretarea geometrică a derivatei, din clasa a XI-a. Aplicat unei conice, el se scrie mult mai frumos dacă în expresia derivatei recunoaștem chiar ordonata punctului.

Pe elipsă, de pildă, cu $y_0=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x_0^2}$ avem $\sqrt{a^2-x_0^2}=\frac{a{y}_0}{b}$, deci $$f_1^{\prime }(x_0)=-\frac{b}{a}\cdot \frac{x_0}{\frac{a{y}_0}{b}}=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}.$$ Un calcul identic, cu semnele schimbate, se face pe celelalte conice. Rezultatul merită memorat ca tabel:

Două observații de citit din tabel. Prima: formulele sunt valabile și pe ramura de jos, unde $y_0<0$ — semnul se schimbă singur, pentru că $y_0$ apare la numitor. A doua: la cerc regăsim exact regula de gimnaziu, „tangenta este perpendiculară pe rază", pentru că panta razei $C{M}_0$ este $\frac{y_0-b}{x_0-a}$, iar produsul celor două pante este $-1$.

4. De ce dă dedublarea aceeași tangentă?

Metoda dedublării, fixată la lecția despre tangenta într-un punct al unei conice, dă ecuația tangentei dintr-o singură înlocuire, după regula $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$; ea se aplică în cele trei etape fixate acolo, iar Etapa 1 rămâne verificarea apartenenței punctului la conică. Nu o redemonstrăm — lecția aceea a dedus-o din condiția $\Delta =0$, adică din cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică. Aici o verificăm cu derivata, unealtă pe care demonstrația de acolo nu a folosit-o: e cea mai bună formă de control independent pe care o poți face în timpul unei lucrări.

Pe elipsă, dedublarea dă dreapta $$\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1.$$ Scrisă sub forma $\alpha x+\beta y+\gamma =0$, ea are $\alpha =\frac{x_0}{a^2}$ și $\beta =\frac{y_0}{b^2}$, deci panta ei este $$-\frac{\alpha }{\beta }=-\frac{\frac{x_0}{a^2}}{\frac{y_0}{b^2}}=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0},$$ adică exact valoarea $f_1^{\prime }(x_0)$ calculată la punctul $3$. Cum dreapta trece și prin $M_0$ — se verifică imediat, pentru că $M_0$ e pe conică —, cele două drepte coincid.

Același calcul, pe rând: la hiperbolă dedublarea dă panta $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$; la parabolă, din $y{y}_0=p(x+x_0)$ rezultă panta $\frac{p}{y_0}$; la cerc, din $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$ rezultă panta $-\frac{x_0-a}{y_0-b}$. De fiecare dată, aceleași numere ca în tabelul derivatelor.

Modelul de redactare, când problema cere ambele drumuri: (i) verifici că $M_0$ este pe conică; (ii) scrii tangenta prin dedublare; (iii) scrii funcția-ramură care trece prin $M_0$, o derivezi și arăți că $f^{\prime }(x_0)$ este panta dreptei găsite. Al treilea pas nu e o repetiție inutilă: e singura verificare independentă a semnului.

5. Ce se întâmplă în vârfuri?

În vârful $A(a,0)$ al elipsei, funcția-ramură nu mai e derivabilă: numitorul $\sqrt{a^2-x^2}$ tinde la zero. Mai precis, $$\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }{f}_1^{\prime }(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }\left(-\frac{b}{a}\cdot \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)=-\infty .$$ Conform convenției din clasa a XI-a, o derivată infinită înseamnă tangentă verticală: dreapta $x=a$. Rezultatul se potrivește perfect cu desenul — în vârf, elipsa atinge dreptunghiul-schelet, iar latura verticală a dreptunghiului este chiar tangenta.

Se potrivește și cu dedublarea: pentru $M_0(a,0)$, formula $\frac{x\cdot a}{a^2}+\frac{y\cdot 0}{b^2}=1$ dă $x=a$, adică aceeași dreaptă verticală. Iar la hiperbolă, în vârful $(a,0)$, dedublarea dă tot $x=a$, iar limita derivatei este $+\infty$ dinspre dreapta.

Reține deosebirea de vocabular: în vârf există tangentă, dar ea nu are pantă, pentru că este verticală. Formula $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ nu se poate scrie acolo; se scrie direct $x=x_0$.

6. De ce este ramura de sus a oricărei conice concavă?

Aici analiza matematică spune ceva ce desenul doar sugerează. Calculăm derivata a doua a ramurii de sus a elipsei, plecând de la $f_1^{\prime }(x)=-\frac{b}{a}x(a^2-x^2{)}^{-1/2}$: $$f_1^{\prime \prime }(x)=-\frac{b}{a}\left[(a^2-x^2{)}^{-1/2}+x^2(a^2-x^2{)}^{-3/2}\right]=-\frac{b}{a}\cdot \frac{(a^2-x^2)+x^2}{(a^2-x^2{)}^{3/2}}=-\frac{ab}{{\left(a^2-x^2\right)}^{3/2}}.$$ Expresia este strict negativă pe tot intervalul $(-a,a)$, deci ramura de sus a elipsei este concavă, fără niciun punct de inflexiune. Calcule identice dau, pe celelalte conice: $$f_1^{\prime \prime }(x)=-\frac{ab}{{\left(x^2-a^2\right)}^{3/2}}\text{ la hiperbola˘},f_1^{\prime \prime }(x)=-\frac{p^2}{(2px{)}^{3/2}}\text{ la parabola˘},$$ amândouă negative pe domeniul de derivabilitate. Cercul e cazul $a=b=r$ al elipsei.

Concluzia, valabilă în tot capitolul: ramura de deasupra axei de simetrie este concavă la cerc, la elipsă, la hiperbolă și la parabolă; ramura de dedesubt, fiind simetrica ei, este convexă. Nicio conică din capitol nu are puncte de inflexiune.

Pentru elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$, cu $a=6$ și $b=2\sqrt{5}$, tabelul de variație al ramurii de sus arată așa:

Citirea tabelului: funcția crește pe $[-6,0]$ și scade pe $[0,6]$, cu maximul $f_1(0)=2\sqrt{5}=b$, atins în vârful de pe axa mică; este concavă pe tot intervalul; în capete are tangente verticale, $x=-6$ și $x=6$. Desenând graficul după acest tabel și simetrizându-l față de axa $Ox$, obții elipsa — a doua cale de reprezentare grafică cerută de programă.

7. Ce arii se pot calcula fără integrală?

Nu toate ariile legate de conice cer instrumente noi. Trei dintre ele se calculează cu formule de gimnaziu și merită știute, pentru că apar des ca subpuncte.

Aria dreptunghiului fundamental. Revenim la hiperbola-etalon $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$: dreptunghiul cu vârfurile $(\pm 3,\pm 4)$, ale cărui diagonale sunt asimptotele, are laturile $2a=6$ și $2b=8$, deci aria $4ab=48$. Aceeași formulă dă aria dreptunghiului-schelet al unei elipse: $4ab$. Pentru elipsa noastră, $4\cdot 6\cdot 2\sqrt{5}=48\sqrt{5}\approx 107,3$.

Aria triunghiului format de tangentă cu axele. Tangenta la elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ în $M\left(4,\frac{10}{3}\right)$ este $2x+3y=18$; ea taie axele în $(9,0)$ și $(0,6)$, deci triunghiul dreptunghic determinat are aria $\frac{9\cdot 6}{2}=27$. În general, dedublarea dă tăieturile $\left(\frac{a^2}{x_0},0\right)$ și $\left(0,\frac{b^2}{y_0}\right)$, deci aria este $\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}$.

Aria constantă de la hiperbola echilateră. Pe $xy=k$, cu $k>0$, tangenta în $M(x_0,y_0)$ taie axele în $(2x_0,0)$ și $\left(0,2y_0\right)$ — punctul de tangență este mijlocul segmentului —, deci aria triunghiului cu vârful în origine este $$\mathcal{S}=\frac{2x_0\cdot 2y_0}{2}=2x_0{y}_0=2k,$$ aceeași pentru orice punct al curbei. Pe $xy=6$, oriunde ai duce tangenta, triunghiul are aria $12$. Cum asimptotele hiperbolei echilatere sunt chiar axele, rezultatul se citește și așa: triunghiul determinat de o tangentă cu cele două asimptote are arie constantă.

8. Ce urmează după această lecție?

Ariile pe care le-am calculat sunt mărginite de segmente de dreaptă. Aria mărginită de curba însăși — interiorul unei elipse, suprafața dintre o parabolă și o coardă a ei, regiunea dintre o hiperbolă și o dreaptă — nu se poate obține cu formule de gimnaziu, pentru că frontiera nu mai e formată din segmente.

Există totuși o comparație care spune cât de departe suntem. Interiorul elipsei este cuprins în dreptunghiul-schelet, de arie $4ab$, deci aria lui este mai mică decât $4ab$; iar la sfârșitul anului vei demonstra că este exact $\pi ab$, adică $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$ din aria dreptunghiului. Instrumentul care duce acolo — integrala definită, aplicată chiar funcțiilor-ramură scrise la punctul $2$ — se construiește în ultimele unități ale anului, iar rezultatele se strâng la lecțiile despre aria discului și a interiorului elipsei și despre ariile delimitate de parabole, hiperbole și drepte. Până atunci, tot ce ai nevoie este scrierea corectă a funcțiilor-ramură, cu domeniile lor — exact ce ai exersat aici. Dacă vrei să reiei drumul invers, de la condiții geometrice la ecuație, el este la lecția precedentă, despre determinarea conicelor din condiții date; iar toată unitatea, cu lista ei de control și cu cele opt capcane, se strânge la lecția următoare, sinteza conicelor în format de examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tangenta la cerc, pe două drumuri

Enunț. Se consideră cercul $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ și punctul $M(4,6)$. Arătați că $M$ aparține cercului și scrieți tangenta în $M$ prin dedublare, apoi confirmați panta cu derivata funcției-ramură.

Rezolvare. Apartenența: $(4-1{)}^2+(6-2{)}^2=9+16=25$ ✓.

Prin dedublare: $(x-1)(4-1)+(y-2)(6-2)=25$, adică $3x-3+4y-8=25$, deci $3x+4y=36$. Panta ei este $-\frac{3}{4}$.

Cu derivata: punctul are ordonata $6>2$, deci se află pe ramura de sus, $f_1(x)=2+\sqrt{25-(x-1{)}^2}$, definită pe $[-4,6]$. Atunci $f_1(4)=2+\sqrt{16}=6$ ✓ și $$f_1^{\prime }(x)=-\frac{x-1}{\sqrt{25-(x-1{)}^2}}⟹f_1^{\prime }(4)=-\frac{3}{4}.$$ Aceeași pantă ✓. Control geometric: panta razei $CM$ este $\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$, iar $\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-1$, deci tangenta e perpendiculară pe rază ✓.

Exemplul 2 — Elipsă: tangenta și triunghiul cu axele

Enunț. Se consideră elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ și punctul $M\left(4,\frac{10}{3}\right)$. a) Determinați elementele elipsei. b) Scrieți tangenta în $M$ și confirmați panta cu derivata. c) Calculați aria triunghiului format de tangentă cu axele de coordonate.

Rezolvare. a) $a=6$, $b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, $c=\sqrt{36-20}=4$, focarele $(\pm 4,0)$, $e=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Apartenența lui $M$: $\frac{16}{36}+\frac{\frac{100}{9}}{20}=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$ ✓.

b) Dedublare: $\frac{4x}{36}+\frac{\frac{10}{3}y}{20}=1$, adică $\frac{x}{9}+\frac{y}{6}=1$, deci $2x+3y=18$, cu panta $-\frac{2}{3}$.

Cu derivata: $f_1(x)=\frac{2\sqrt{5}}{6}\sqrt{36-x^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}\sqrt{36-x^2}$, cu $f_1(4)=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot 2\sqrt{5}=\frac{10}{3}$ ✓ și $$f_1^{\prime }(4)=-\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{4}{\sqrt{20}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{4}{2\sqrt{5}}=-\frac{2}{3}✓.$$ Sau, cu formula din tabel: $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}=-\frac{20\cdot 4}{36\cdot \frac{10}{3}}=-\frac{80}{120}=-\frac{2}{3}$ ✓.

c) Tangenta taie axa $Ox$ în $(9,0)$ și axa $Oy$ în $(0,6)$, deci aria este $\frac{9\cdot 6}{2}=27$. Control cu formula generală: $\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}=\frac{36\cdot 20}{2\cdot 4\cdot \frac{10}{3}}=27$ ✓.

Exemplul 3 — Hiperbolă: panta din derivată

Enunț. Arătați că punctul $M\left(3,\frac{5}{2}\right)$ aparține hiperbolei $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$, scrieți tangenta în $M$ și verificați panta cu derivata funcției-ramură.

Rezolvare. Apartenența: $\frac{9}{4}-\frac{\frac{25}{4}}{5}=\frac{9}{4}-\frac{5}{4}=1$ ✓. Elementele: $a=2$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{4+5}=3$, $e=\frac{3}{2}$, asimptotele $y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x$.

Dedublare: $\frac{3x}{4}-\frac{\frac{5}{2}y}{5}=1$, adică $\frac{3x}{4}-\frac{y}{2}=1$, deci $3x-2y=4$, cu panta $\frac{3}{2}$.

Cu derivata: ramura de sus este $f_1(x)=\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{x^2-4}$, definită pe $[2,+\infty )$ pentru ramura din dreapta. Avem $f_1(3)=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \sqrt{5}=\frac{5}{2}$ ✓ și $$f_1^{\prime }(3)=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{9-4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3}{2}✓.$$ Formula din tabel confirmă: $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}=\frac{5\cdot 3}{4\cdot \frac{5}{2}}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$ ✓.

Exemplul 4 — Parabolă: tangenta și triunghiul

Enunț. Se consideră parabola $y^2=72x$ și punctul $M(2,12)$. a) Determinați focarul și directoarea. b) Scrieți tangenta în $M$, cu ambele metode. c) Calculați aria triunghiului format de tangentă cu axele.

Rezolvare. a) $2p=72$, deci $p=36$, focarul este $F(18,0)$, iar directoarea $x=-18$. Apartenența lui $M$: $144=72\cdot 2$ ✓.

b) Dedublare: $y\cdot 12=36(x+2)$, adică $y=3x+6$, cu panta $3$. ⚠️ Coeficientul din formula de dedublare este $p=36$, jumătate din numărul citit în ecuație — capcana semnalată la lecția despre metoda dedublării.

Cu derivata: $f_1(x)=\sqrt{72x}$ pe $[0,+\infty )$, cu $f_1(2)=12$ ✓ și $f_1^{\prime }(x)=\frac{36}{\sqrt{72x}}$, deci $f_1^{\prime }(2)=\frac{36}{12}=3$ ✓. Formula din tabel: $\frac{p}{y_0}=\frac{36}{12}=3$ ✓.

c) Tangenta $y=3x+6$ taie axa $Ox$ în $(-2,0)$ și axa $Oy$ în $(0,6)$, deci aria este $\frac{2\cdot 6}{2}=6$. Control cu formula generală $\frac{x_0{y}_0}{4}=\frac{24}{4}=6$ ✓. Reține și un fapt frumos, valabil la orice parabolă $y^2=2px$: tangenta într-un punct taie axa $Ox$ în punctul de abscisă $-x_0$, simetricul proiecției punctului față de vârf.

Exemplul 5 — Concavitatea și tangenta verticală

Enunț. Pentru elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$: a) arătați că ramura de sus este concavă; b) determinați tangenta în vârful $A(6,0)$; c) calculați aria dreptunghiului-schelet și comparați-o cu $\pi ab$.

Rezolvare. a) Cu $a=6$ și $b=2\sqrt{5}$, formula stabilită la punctul $6$ dă $$f_1^{\prime \prime }(x)=-\frac{ab}{{\left(a^2-x^2\right)}^{3/2}}=-\frac{12\sqrt{5}}{{\left(36-x^2\right)}^{3/2}}<0\text{pentru orice }x\in (-6,6),$$ deci ramura de sus este concavă pe tot intervalul, fără puncte de inflexiune. Control în $x=0$: $f_1^{\prime \prime }(0)=-\frac{12\sqrt{5}}{216}=-\frac{\sqrt{5}}{18}\approx -0,1242$.

b) În $x=6$ funcția-ramură nu e derivabilă, iar $\underset{\begin{array}{c}x\to 6\\ x<6\end{array}}{\lim }{f}_1^{\prime }(x)=-\infty$, deci tangenta este verticală: dreapta $x=6$. Dedublarea confirmă: $\frac{6x}{36}+\frac{0\cdot y}{20}=1$ dă $x=6$ ✓.

c) Dreptunghiul-schelet are laturile $2a=12$ și $2b=4\sqrt{5}$, deci aria $48\sqrt{5}\approx 107,33$. Aria interiorului elipsei, $\pi ab=12\sqrt{5}\pi \approx 84,30$, este mai mică — raportul lor este $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$. Prima arie se calculează acum, cu formula dreptunghiului; a doua se va demonstra la sfârșitul anului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră hiperbola echilateră $xy=6$ și punctul $M(2,3)$. a) Arătați că $M$ aparține curbei și scrieți ecuația tangentei în $M$. b) Arătați că punctul de tangență este mijlocul segmentului determinat de tangentă pe axele de coordonate. c) Arătați că aria triunghiului format de tangentă cu axele este aceeași pentru orice punct al ramurii din primul cadran.

Rezolvare. a) Apartenența: $2\cdot 3=6$ ✓. Curba este graficul funcției $f(x)=\frac{6}{x}$, cu $f^{\prime }(x)=-\frac{6}{x^2}$, deci $f^{\prime }(2)=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$. Tangenta: $$y-3=-\frac{3}{2}(x-2)⟺3x+2y=12.$$

b) Tangenta taie axa $Ox$ în $(4,0)$ — punând $y=0$ — și axa $Oy$ în $(0,6)$. Mijlocul segmentului determinat de aceste două puncte are coordonatele $\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)=M$ ✓.

c) Fie $M_0\left(x_0,\frac{6}{x_0}\right)$ un punct oarecare al ramurii, cu $x_0>0$. Panta tangentei este $-\frac{6}{x_0^2}$, deci ecuația ei este $y-\frac{6}{x_0}=-\frac{6}{x_0^2}(x-x_0)$, adică $y=-\frac{6}{x_0^2}x+\frac{12}{x_0}$. Tăieturile sunt $(2x_0,0)$ și $\left(0,\frac{12}{x_0}\right)$, deci aria triunghiului dreptunghic cu vârful în origine este $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 2x_0\cdot \frac{12}{x_0}=12,$$ valoare independentă de $x_0$ ✓. Ea este exact $2k$, cu $k=6$. Verificare pe încă un punct: în $(1,6)$ tangenta este $y=-6x+12$, cu tăieturile $(2,0)$ și $(0,12)$, iar aria $\frac{2\cdot 12}{2}=12$ ✓.

Să exersăm

1. Scrieți funcțiile-ramură ale cercului $x^2+y^2=49$ și precizați-le domeniul.

2. Scrieți funcțiile-ramură ale elipsei $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ și derivata ramurii de sus.

3. Scrieți funcțiile-ramură ale hiperbolei $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ și precizați-le domeniul.

4. Calculați $f_1^{\prime }(4)$ pentru ramura de sus a elipsei $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ și comparați cu formula $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$.

5. Scrieți tangenta la cercul $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ în punctul $M(4,6)$, prin dedublare, și verificați panta cu derivata.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O conică este graficul unei funcții, deci i se poate aplica direct formula tangentei."

7. Scrieți tangenta la parabola $y^2=72x$ în punctul $(2,12)$ și calculați aria triunghiului format de ea cu axele.

8. Determinați tangenta la hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ în punctul $\left(3,\frac{5}{2}\right)$ și panta ei.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În vârful $A(a,0)$ al unei elipse, tangenta are panta $0$."

10. Arătați, cu derivata a doua, că ramura de sus a parabolei $y^2=72x$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

11. Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f_1(x)=\frac{\sqrt{5}}{3}\sqrt{36-x^2}$ pe $[-6,6]$.

12. Calculați aria dreptunghiului fundamental al hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

13. (Problemă aplicată.) O placă are forma dreptunghiului-schelet al elipsei $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$, cu unitatea în decimetri, iar din ea se decupează interiorul elipsei. Ce procent din placă rămâne, știind că aria interiorului elipsei este $\pi ab$?

14. Scrieți tangenta la hiperbola echilateră $xy=6$ în punctul $(3,2)$ și calculați aria triunghiului format de ea cu axele.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ramura de dedesubt a unei elipse este concavă."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$. a) Determinați focarele și excentricitatea. b) Scrieți tangenta în punctul $M\left(4,\frac{10}{3}\right)$ și confirmați panta cu derivata. c) Determinați tangentele la elipsă care sunt paralele cu axa $Oy$.

17. Determinați punctele hiperbolei echilatere $xy=6$ în care tangenta are panta $-\frac{2}{3}$.

18. (Provocare.) Arătați că, dintre toate tangentele duse în punctele arcului de elipsă $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ situat în primul cadran, cea care determină cu axele triunghiul de arie minimă este cea din punctul $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$, iar aria minimă este $ab$.

Răspunsuri și explicații

1. $f_{1,2}:[-7,7]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \sqrt{49-x^2}$. Domeniul vine din condiția $49-x^2\ge 0$; derivabilitatea are loc doar pe $(-7,7)$.

2. $f_{1,2}:[-6,6]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\sqrt{36-x^2}$, iar $f_1^{\prime }(x)=-\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{x}{\sqrt{36-x^2}}$ pe $(-6,6)$.

3. $f_{1,2}(x)=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{x^2-4}$, definite pe $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$, cu derivabilitate pe interiorul fiecărei semidrepte.

4. $f_1^{\prime }(4)=-\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{4}{\sqrt{20}}=-\frac{2}{3}$; formula dă $-\frac{20\cdot 4}{36\cdot \frac{10}{3}}=-\frac{2}{3}$ ✓.

5. Dedublare: $3(x-1)+4(y-2)=25$, adică $3x+4y=36$, cu panta $-\frac{3}{4}$. Derivata: $f_1(x)=2+\sqrt{25-(x-1{)}^2}$, $f_1^{\prime }(4)=-\frac{3}{4}$ ✓.

6. Fals. Doar $x^2=\pm 2py$ și $xy=k$ sunt grafice de funcții; celelalte conice cad la testul verticalei. Formula tangentei se aplică funcției-ramură care trece prin punctul studiat, nu conicei ca întreg.

7. Dedublare: $12y=36(x+2)$, adică $y=3x+6$. Tăieturile sunt $(-2,0)$ și $(0,6)$, deci aria este $\frac{2\cdot 6}{2}=6$.

8. $\frac{3x}{4}-\frac{y}{2}=1$, adică $3x-2y=4$, cu panta $\frac{3}{2}$; derivata ramurii de sus dă $\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3}{2}$ ✓.

9. Fals. Tangenta acolo este verticală, dreapta $x=a$, deci nu are pantă. Panta $0$ ar însemna tangentă orizontală, ceea ce se întâmplă în vârfurile de pe axa mică, $(0,\pm b)$.

10. $f_1(x)=\sqrt{72x}$, $f_1^{\prime }(x)=\frac{36}{\sqrt{72x}}$ și $f_1^{\prime \prime }(x)=-\frac{1296}{{\left(72x\right)}^{3/2}}<0$ pentru orice $x>0$, deci ramura este concavă. Control în $x=2$: $f_1^{\prime \prime }(2)=-\frac{1296}{1728}=-\frac{3}{4}$.

11. Tabelul este cel din paragraful $6$: pe $[-6,0]$ funcția crește, pe $[0,6]$ scade, maximul este $2\sqrt{5}$ în $x=0$, derivata a doua este negativă peste tot, iar în capete derivata este $+\infty$, respectiv $-\infty$, deci tangentele sunt verticale.

12. $a=3$, $b=4$, deci dreptunghiul are laturile $6$ și $8$, iar aria $4ab=48$. Diagonalele lui sunt asimptotele, iar semidiagonala are lungimea $c=5$.

13. Aria dreptunghiului este $4ab=48\sqrt{5}\approx 107,33$ decimetri pătrați, iar a elipsei $\pi ab=12\sqrt{5}\pi \approx 84,30$. Rămâne aproximativ $23,03$, adică $1-\frac{\pi }{4}\approx 21,5\%$ din placă.

14. $f(x)=\frac{6}{x}$, $f^{\prime }(3)=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$, deci $y-2=-\frac{2}{3}(x-3)$, adică $2x+3y=12$. Tăieturile sunt $(6,0)$ și $(0,4)$, deci aria este $\frac{6\cdot 4}{2}=12=2k$ ✓ — aceeași ca în Exemplul $6$.

15. Fals. Ramura de dedesubt este $f_2=-f_1$, deci $f_2^{\prime \prime }=-f_1^{\prime \prime }>0$: ea este convexă. Concavă este ramura de deasupra axei de simetrie.

16. a) $a=6$, $b=2\sqrt{5}$, $c=4$, focarele $(\pm 4,0)$, $e=\frac{2}{3}$. b) $\frac{4x}{36}+\frac{\frac{10}{3}y}{20}=1$, adică $2x+3y=18$, cu panta $-\frac{2}{3}$; derivata ramurii de sus în $x=4$ dă tot $-\frac{2}{3}$ ✓. c) Tangentele paralele cu $Oy$ sunt cele verticale, deci cele din vârfurile de pe axa mare: $x=6$ și $x=-6$.

17. Din $f^{\prime }(x)=-\frac{6}{x^2}=-\frac{2}{3}$ rezultă $x^2=9$, deci $x=3$ sau $x=-3$. Punctele sunt $(3,2)$ și $(-3,-2)$, ambele pe curbă ✓.

18. Tangenta în $M_0(x_0,y_0)$, cu $x_0,y_0>0$, taie axele în $\left(\frac{a^2}{x_0},0\right)$ și $\left(0,\frac{b^2}{y_0}\right)$, deci aria este $\mathcal{S}=\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}$: ea este minimă când produsul $x_0{y}_0$ este maxim. Scriem $x_0=at$ și $y_0=bs$, cu $t^2+s^2=1$ și $t,s>0$; atunci $x_0{y}_0=abts$, iar din $(t-s{)}^2\ge 0$ rezultă $2ts\le t^2+s^2=1$, deci $ts\le \frac{1}{2}$, cu egalitate exact pentru $t=s=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Prin urmare $x_0{y}_0\le \frac{ab}{2}$, iar aria minimă este $\frac{a^2{b}^2}{2\cdot \frac{ab}{2}}=ab$, atinsă în punctul $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$. Pe elipsa din lecție, $ab=12\sqrt{5}\approx 26,83$, mai mic decât aria $27$ obținută în $M\left(4,\frac{10}{3}\right)$ ✓.

De reținut

• Local, orice conică este graficul unei funcții-ramură obținute scoțând $y$ din ecuație, iar toate proprietățile ei locale se studiază cu derivata acelei funcții.
• Panta tangentei într-un punct $M_0(x_0,y_0)$ este $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la elipsă, $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la hiperbolă, $\frac{p}{y_0}$ la parabolă și $-\frac{x_0-a}{y_0-b}$ la cercul de centru $C(a,b)$.
• Dreapta obținută prin dedublare are exact aceste pante, deci derivata confirmă metoda dedublării fără să o înlocuiască.
• În vârfurile de pe axa focală funcția-ramură nu este derivabilă, iar limita derivatei este infinită: acolo tangenta este verticală și se scrie $x=x_0$, fără pantă.
• Ramura de deasupra axei de simetrie este concavă la toate conicele capitolului, pentru că derivata ei a doua este strict negativă; nicio conică nu are puncte de inflexiune.

Greșeli frecvente

• Se aplică formula tangentei conicei, nu funcției-ramură. Se scrie „derivata elipsei" ca și cum elipsa ar fi o funcție. Corect: alegi întâi ramura pe care se află punctul — după semnul lui $y_0$ — și derivezi acea funcție.
• Se uită restrângerea domeniului de derivabilitate. Se calculează $f_1^{\prime }(a)$ la elipsă și se obține o împărțire la zero. Corect: funcția e definită pe $[-a,a]$, dar derivabilă doar pe $(-a,a)$; în capete se calculează limita derivatei și se scrie tangenta verticală.
• Se confundă tangenta verticală cu tangenta de pantă nulă. Se scrie „în vârful $(a,0)$ tangenta este $y=0$". Corect: acolo tangenta este $x=a$; tangentele orizontale sunt cele din vârfurile de pe axa mică, $(0,\pm b)$.
• Se declară inflexiune acolo unde derivata a doua nu există. În $x=\pm a$, $f_1^{\prime \prime }$ tinde la $-\infty$. Corect: derivata a doua păstrează semnul minus pe tot domeniul, deci nu își schimbă semnul și nu există punct de inflexiune; în plus, capetele nu sunt puncte interioare.
• Se calculează arii cu formule de gimnaziu acolo unde frontiera e curbă. Se scrie „aria interiorului elipsei este $4ab$". Corect: $4ab$ este aria dreptunghiului-schelet, care doar conține elipsa; aria interiorului elipsei este $\pi ab$ și se demonstrează la sfârșitul anului.

Aplică acasă

1. Tangenta măsurată. Desenează pe hârtie milimetrică elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ și marchează punctul $M\left(4,\frac{10}{3}\right)$. Trasează cu rigla dreapta $2x+3y=18$ și verifică vizual că atinge curba doar în $M$. Măsoară apoi panta pe desen și compar-o cu $-\frac{2}{3}$.

2. Triunghiuri de aceeași arie. Pe curba $xy=6$ alege trei puncte cu abscise diferite, calculează tangentele și desenează triunghiurile formate cu axele. Decupează-le și compară-le suprapunându-le: toate au aria $12$, deși formele diferă.

3. Cât de departe e $\pi ab$. Desenează dreptunghiul-schelet al unei elipse pe hârtie milimetrică, numără pătrățelele din interiorul curbei și împarte la numărul total de pătrățele ale dreptunghiului. Rezultatul ar trebui să se apropie de $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Trecerea de la geometria conicei la analiza funcției: scrierea funcțiilor-ramură cu domeniul corect; derivarea lor și obținerea pantei tangentei; confirmarea metodei dedublării printr-un calcul independent; recunoașterea tangentei verticale în vârfuri; demonstrarea concavității cu derivata a doua; calculul ariilor care nu cer instrumente noi. Competențele vizate sunt XII.CS.3.3, XII.CS.4.3 și XII.CS.1.3, iar lecția răspunde cerinței din programă ca reprezentarea grafică a conicelor să se facă și cu cunoștințele de analiză matematică.

Întrebări de control. „Pe ce ramură se află punctul și care e domeniul ei?"; „Cum obții panta tangentei fără dedublare?"; „De ce nu se poate scrie ecuația tangentei în vârful de pe axa mare?"; „Ce semn are derivata a doua și ce înseamnă asta pentru desen?"; „Ce arii poți calcula acum și care nu?".

Semne că a înțeles. Elevul scrie funcția-ramură cu domeniul înainte de a deriva; obține aceeași pantă pe ambele drumuri și folosește potrivirea lor ca verificare; nu confundă tangenta verticală cu cea orizontală; și spune singur că aria interiorului elipsei nu se poate calcula încă.

Unde apare la BAC M1. Vezi ultima întrebare din secțiunea „Întrebări frecvente" pentru situația conicelor în examen. Formula tangentei $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ este, în schimb, o cerință clasică a Subiectului al III-lea, iar exercițiile de aici o folosesc pe funcții cu radical, adică exact tipul care apare la examen.

Întrebări frecvente

Cum se calculează panta tangentei la o conică cu derivata?

Scrii funcția-ramură care trece prin punctul studiat — obținută scoțând $y$ din ecuație, cu semnul potrivit ordonatei punctului —, o derivezi și calculezi derivata în $x_0$. Rezultatul este panta tangentei. Pe elipsă se obține $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$, pe hiperbolă $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$, iar pe parabola $y^2=2px$ valoarea $\frac{p}{y_0}$.

De ce dă dedublarea aceeași dreaptă ca derivata?

Pentru că dreapta scrisă prin dedublare trece prin punctul de pe conică și are exact panta calculată cu derivata funcției-ramură — verificarea se face scriind ecuația dedublată sub forma $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ și calculând $-\frac{\alpha }{\beta }$. Două drepte care trec prin același punct și au aceeași pantă coincid, deci metodele sunt echivalente.

Care sunt funcțiile-ramură ale unei conice și pe ce domeniu?

Se obțin scoțând $y$ din ecuație și păstrând ambele semne ale radicalului. Elipsa dă $\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ pe $[-a,a]$, hiperbola dă $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ pe reuniunea celor două semidrepte, parabola $y^2=2px$ dă $\pm \sqrt{2px}$ pe $[0,+\infty )$, iar cercul $x^2+y^2=r^2$ dă $\pm \sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$.

De ce este tangenta verticală în vârful elipsei?

Pentru că funcția-ramură nu este derivabilă acolo: limita derivatei, când $x$ tinde la $a$ prin valori mai mici, este $-\infty$. O derivată infinită înseamnă tangentă verticală, deci dreapta $x=a$. Se vede și pe desen: în vârf, elipsa atinge latura verticală a dreptunghiului-schelet.

Ce arii legate de conice se pot calcula fără integrală?

Cele mărginite numai de segmente: dreptunghiul fundamental al hiperbolei și dreptunghiul-schelet al elipsei, ambele de arie $4ab$, și triunghiul determinat de o tangentă cu axele de coordonate. Aria mărginită de curba însăși — interiorul elipsei, de pildă — cere integrala definită și se calculează la sfârșitul anului.

De ce are triunghiul tangentei arie constantă la $xy=k$?

Pentru că tangenta în $M(x_0,y_0)$ taie axele exact în $(2x_0,0)$ și $(0,2y_0)$, deci punctul de tangență este mijlocul segmentului, iar aria triunghiului dreptunghic este $\frac{2x_0\cdot 2y_0}{2}=2x_0{y}_0=2k$. Cum $k$ este fix, aria nu depinde de punctul ales.

Se cere legătura dintre conice și derivate la Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Ecuația tangentei scrisă cu derivata este însă o cerință constantă a Subiectului al III-lea, iar aici o exersezi pe funcții cu radical, cu domeniul precizat — exact combinația cerută la examen.