Consecințele teoremei lui Lagrange: pe scurt

Formula creșterilor finite se citește ca o balanță: în stânga stă diferența valorilor, în dreapta un produs dintre lungimea intervalului (pozitivă) și o valoare a derivatei. Cunoscând semnul lui $f^{\prime }$, afli semnul diferenței — adică monotonia.

Consecința 1 (funcția constantă): dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }(x)=0$ pe $I$, atunci $f$ este constantă pe $I$. Corolar: dacă $f^{\prime }=g^{\prime }$ pe $I$, atunci $f-g$ e constantă — de aici forma răspunsului la cerințele „determinați $f$ știind că $f^{\prime }(x)=\dots$ și $f(x_0)=\dots$".

Consecința 2 (monotonia): dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }(x)>0$ pe $I$, atunci $f$ e strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }(x)<0$, e strict descrescătoare.

⚠️ Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f^{\prime }<0$ pe tot domeniul, dar nu este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: $-1<1$, iar $f(-1)=-1<1=f(1)$. Corect: strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, separat.

Rețeta inegalităților: muți totul într-un membru, arăți că diferența $g$ are derivată de semn constant și compari cu valoarea dintr-un capăt, unde $g$ se anulează.

Consecința 3 (limita derivatei): dacă $f$ e continuă în $x_0$ și $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\ell$, atunci $f$ are derivată în $x_0$, egală cu $\ell$. Continuitatea se verifică prima — fără ea, concluzia e falsă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+4x$, este:

   • a) strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$
   • b) constantă pe $\mathbb{R}$
   • c) strict crescătoare pe $\mathbb{R}$
   • d) crescătoare pe $(0,+\infty )$ și descrescătoare pe $(-\infty ,0)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) strict crescătoare pe $\mathbb{R}$

   $f^{\prime }(x)=5x^4+4\ge 4>0$ pentru orice $x$ real, iar $\mathbb{R}$ este interval; prin Consecința 2, funcția e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Faptul că $x^5$ ia valori negative la stânga originii nu schimbă nimic: contează semnul derivatei, nu al funcției.

2. Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, are $f^{\prime }(x)<0$ în fiecare punct al domeniului. Formularea corectă a monotoniei este:

   • a) $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$
   • b) $f$ este strict descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • c) $f$ este strict crescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • d) $f$ este constantă pe fiecare interval al domeniului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$

   Consecința 2 se aplică numai pe intervale, iar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval. Că a doua variantă e falsă se vede direct: $-1<1$, dar $f(-1)=-1<1=f(1)$. Monotonia se enunță pe fiecare interval al domeniului, separat, iar între ramuri nu se compară nimic.

3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ derivabilă, cu $f^{\prime }(x)=6x^2$ pentru orice $x$ real și $f(1)=10$. Atunci:

   • a) $f(x)=6x^3+4$
   • b) $f(x)=2x^3$
   • c) $f(x)=2x^3+10$
   • d) $f(x)=2x^3+8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f(x)=2x^3+8$

   Funcția $g(x)=2x^3$ are aceeași derivată, iar $\mathbb{R}$ este interval, deci prin corolarul Consecinței 1 diferența $f-g$ este constantă: $f(x)=2x^3+k$. Din $f(1)=2+k=10$ rezultă $k=8$. Constanta se determină din condiția dată, nu se copiază valoarea $f(1)$.