Consecințele teoremei lui Lagrange

Un contor inteligent montat pe conducta de apă a unui bloc nu măsoară niciodată cât de plin e rezervorul. El măsoară doar debitul, adică viteza cu care se schimbă cantitatea, secundă de secundă. Și totuși administratorul poate spune, uitându-se doar la debit, dacă rezervorul stă pe loc, dacă se umple sau dacă se golește — și chiar cu cât s-a schimbat nivelul între două ore. Informația locală, despre rata de variație, decide comportarea globală.

Exact aceasta este trecerea pe care o face teorema lui Lagrange, iar în lecția de față o folosim în direcția utilă: de la derivată la funcție. Vom demonstra trei rezultate, numite pe scurt Consecința 1, Consecința 2 și Consecința 3. Primul spune că o derivată nulă înseamnă funcție constantă; al doilea, că semnul derivatei dă sensul de variație; al treilea, că limita derivatei poate decide dacă o funcție este derivabilă într-un punct de racord. Toate trei se demonstrează în același fel — se aplică formula creșterilor finite pe un interval convenabil ales — și toate trei sunt cerute explicit de programă la capitolul „Funcții derivabile".

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi Consecința 1: pe un interval, derivata nulă înseamnă funcție constantă.
• Vei ști să folosești corolarul ei: două funcții cu aceeași derivată pe un interval diferă printr-o constantă.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi Consecința 2: semnul derivatei pe un interval dă stricta monotonie a funcției pe acel interval.
• Vei ști de ce concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale, și vei putea explica contraexemplul funcției $\frac{1}{x}$.
• Vei ști să demonstrezi inegalități cu ajutorul monotoniei, construind funcția-diferență potrivită.
• Vei ști să aplici Consecința 3 (limita derivatei) la funcțiile definite pe ramuri, inclusiv la problemele cu parametri.

Hai să descoperim împreună

1. O egalitate, trei teoreme

Punctul de plecare este formula demonstrată în lecția Teorema lui Lagrange: dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, atunci există $c\in (a,b)$ cu $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a).$$

Citește-o ca pe o balanță. În stânga stă diferența valorilor, ceea ce vrem să aflăm. În dreapta stă un produs: lungimea intervalului, care e pozitivă, înmulțită cu o valoare a derivatei, despre care avem informații. Dacă știm ceva despre semnul lui $f^{\prime }$, aflăm imediat semnul diferenței $f(b)-f(a)$ — iar semnul acestei diferențe este exact definiția monotoniei.

Ordinea de lucru va fi mereu aceeași: alegem două puncte oarecare din interval, aplicăm formula pe intervalul dintre ele, citim semnul. Simplitatea acestui tipar explică de ce cele trei rezultate de mai jos, deși par foarte diferite, se demonstrează aproape identic.

O precizare de vocabular, valabilă în toată lecția: prin interval înțelegem un interval propriu-zis — $(a,b)$, $[a,b]$, $(a,+\infty )$, $\mathbb{R}$ și așa mai departe —, adică o mulțime „dintr-o singură bucată". Mulțimi precum ${\mathbb{R}}^{\ast }=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ nu sunt intervale, iar toată lecția se va sprijini pe această deosebire.

2. Consecința 1 (funcția constantă)

Consecința 1 (funcția constantă): dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }(x)=0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este constantă pe $I$. (Corolar: dacă $f^{\prime }=g^{\prime }$ pe $I$, atunci $f-g$ e constantă pe $I$.)

Demonstrație. Fie $x_1,x_2\in I$ două puncte oarecare, cu $x_1<x_2$. Cum $I$ e interval, avem $[x_1,x_2]\subseteq I$, deci pe acest subinterval $f$ este derivabilă, prin urmare și continuă. Ipotezele teoremei lui Lagrange sunt îndeplinite pe $[x_1,x_2]$, deci există $c\in (x_1,x_2)$ cu $$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1).$$ Cum $c\in I$, avem $f^{\prime }(c)=0$, deci $f(x_2)-f(x_1)=0$, adică $f(x_1)=f(x_2)$. Punctele fiind alese arbitrar, funcția ia aceeași valoare peste tot pe $I$: este constantă. $■$

Reciproca e imediată și cunoscută: derivata unei funcții constante este nulă. Cele două afirmații împreună dau o caracterizare: pe un interval, o funcție derivabilă este constantă dacă și numai dacă derivata ei este identic nulă.

Unde se folosește. Cel mai des la cerințe de tipul „determinați funcția $f$ știind că $f^{\prime }(x)=\dots$ și $f(x_0)=\dots$". Se caută o funcție cu derivata dată, apoi corolarul garantează că orice altă soluție diferă de ea printr-o constantă, iar condiția $f(x_0)$ fixează constanta.

Exemplu. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ derivabilă, cu $f^{\prime }(x)=3x^2$ pentru orice $x$ și $f(1)=5$. Funcția $g(x)=x^3$ are aceeași derivată, deci, prin corolar, $f-g$ e constantă pe $\mathbb{R}$: $f(x)=x^3+k$. Din $f(1)=1+k=5$ rezultă $k=4$, deci $f(x)=x^3+4$.

3. De ce „pe un interval" nu e o formalitate

Ipoteza „$I$ interval" a fost folosită într-un loc precis al demonstrației: la afirmația $[x_1,x_2]\subseteq I$. Fără ea, cele două puncte pot sta în „bucăți" diferite ale domeniului, iar formula creșterilor finite nu le mai leagă.

Contraexemplul. Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{|x|}{x}$, adică funcția care ia valoarea $-1$ pe $(-\infty ,0)$ și valoarea $1$ pe $(0,+\infty )$. Pe fiecare dintre cele două intervale ea este constantă, deci derivabilă, cu $f^{\prime }(x)=0$ pentru orice $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Și totuși $f$ nu este constantă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: $f(-3)=-1$, iar $f(2)=1$.

Nu e nicio contradicție: ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu e interval. Concluzia corectă, singura pe care o dă Consecința 1, este că $f$ e constantă pe fiecare interval din domeniu, luat separat.

4. Consecința 2 (monotonia)

Consecința 2 (monotonia): fie $f$ derivabilă pe intervalul $I$. Dacă $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ e strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }(x)<0$, e strict descrescătoare. (Cu $\ge$, respectiv $\le$, se obține monotonia nestrictă.)

Demonstrație. Fie $x_1,x_2\in I$ cu $x_1<x_2$. Ca mai sus, $[x_1,x_2]\subseteq I$, ipotezele teoremei lui Lagrange sunt îndeplinite și există $c\in (x_1,x_2)$ cu $$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1).$$ Al doilea factor este strict pozitiv, pentru că $x_1<x_2$. Dacă $f^{\prime }(c)>0$, produsul e strict pozitiv, deci $f(x_2)>f(x_1)$: funcția e strict crescătoare. Dacă $f^{\prime }(c)<0$, produsul e strict negativ, deci $f(x_2)<f(x_1)$: funcția e strict descrescătoare. Cu inegalități nestricte pentru $f^{\prime }$ se obțin, prin același raționament, inegalități nestricte între valori. $■$

Geometric, rezultatul spune ceva de bun-simț: dacă tangenta urcă în fiecare punct, curba urcă. Ceea ce nu era deloc de la sine înțeles înainte de Lagrange este că informația despre tangente, care sunt obiecte locale, se poate transporta la comportarea curbei între două puncte oricât de depărtate.

⚠️ Atenție la formulare: concluzia se scrie pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$, definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, are $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ pe tot domeniul. Și totuși ea nu este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: din $-1<1$ ar trebui să rezulte $f(-1)>f(1)$, dar $f(-1)=-1$ și $f(1)=1$, deci $f(-1)<f(1)$. Enunțul corect este: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$, iar între cele două ramuri nu se compară nimic. Aceeași grijă se cere la orice funcție cu domeniu format din mai multe intervale.

5. Consecința 2 la lucru: inegalități

A doua mare aplicație a Consecinței 2, cerută frecvent la Bacalaureat M1, este demonstrarea inegalităților. Procedura are trei pași și e mereu aceeași.

1. Muți totul într-un membru și numești diferența $g$: inegalitatea $u(x)>v(x)$ devine $g(x)>0$, cu $g=u-v$.
2. Studiezi semnul lui $g^{\prime }$ pe intervalul cerut și deduci monotonia lui $g$ acolo.
3. Compari cu valoarea dintr-un capăt: dacă $g$ e strict crescătoare pe $[x_0,+\infty )$ și $g(x_0)=0$, atunci $g(x)>0$ pentru orice $x>x_0$.

Exemplu. Arătăm că $e^x>x+1$ pentru orice $x>0$. Fie $g:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^x-x-1$. Funcția e continuă pe $[0,+\infty )$ și derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $g^{\prime }(x)=e^x-1$. Pentru $x>0$ avem $e^x>e^0=1$, deci $g^{\prime }(x)>0$: prin Consecința 2, $g$ e strict crescătoare pe $[0,+\infty )$. Cum $g(0)=1-0-1=0$, rezultă $g(x)>g(0)=0$ pentru orice $x>0$, adică $e^x>x+1$. (Verificat numeric în patru puncte de probă.)

Exemplu. Arătăm că $\ln (1+x)<x$ pentru orice $x>0$. Fie $g(x)=x-\ln (1+x)$ pe $[0,+\infty )$. Atunci $g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$ pentru $x>0$, deci $g$ e strict crescătoare, iar $g(0)=0$ dă $g(x)>0$, adică inegalitatea cerută.

Observă că ambele demonstrații folosesc monotonia pe un singur interval și o valoare cunoscută într-un capăt. Nu construim niciun tablou și nu comparăm intervale între ele — studiul sistematic al variației, cu tabelul complet, este subiectul lecției Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi și al celor care urmează după ea.

6. Consecința 3 (limita derivatei)

Ultimul rezultat rezolvă o problemă foarte concretă: cum decizi dacă o funcție definită pe ramuri este derivabilă în punctul de racord, fără să calculezi limita raportului de variație, care în multe cazuri e greu de manevrat.

Consecința 3 (limita derivatei): dacă $f$ e continuă în $x_0$, derivabilă pe o vecinătate a lui $x_0$ mai puțin în $x_0$, și există $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, atunci $f$ are derivată în $x_0$ și $f^{\prime }(x_0)=\ell$; dacă $\ell$ e finit, $f$ e derivabilă în $x_0$. (Analog, pe fiecare parte, pentru derivatele laterale.)

Demonstrație (pe partea dreaptă). Fie $x>x_0$, apropiat de $x_0$. Pe intervalul $[x_0,x]$ funcția e continuă (în $x_0$ prin ipoteză, în rest fiind derivabilă) și derivabilă pe $(x_0,x)$, deci teorema lui Lagrange dă un punct $c_x\in (x_0,x)$ cu $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(c_x).$$ Când $x\to x_0$, punctul $c_x$, fiind prins între $x_0$ și $x$, tinde și el la $x_0$ prin criteriul cleștelui, deci $f^{\prime }(c_x)\to \ell$. Prin urmare raportul din stânga are limită la dreapta egală cu $\ell$, adică $f_d^{\prime }(x_0)=\ell$. Raționamentul de pe partea stângă este identic, cu $x<x_0$. $■$

Cum se folosește, pas cu pas.

1. Verifici continuitatea în $x_0$ — este ipoteză, nu detaliu. Din lecția Legătura dintre derivabilitate și continuitate știi că o funcție discontinuă nu poate fi derivabilă, deci acest pas nu se sare niciodată.
2. Calculezi $f^{\prime }$ pe fiecare ramură, cu regulile obișnuite de derivare.
3. Calculezi limitele laterale ale lui $f^{\prime }$ în $x_0$.
4. Concluzionezi: dacă cele două limite există, sunt finite și egale, funcția e derivabilă în $x_0$ și $f^{\prime }(x_0)$ e valoarea comună; dacă sunt finite și diferite, punctul e unghiular; dacă sunt infinite de semne contrare, e punct de întoarcere — clasificarea completă e în lecția Puncte unghiulare și puncte de întoarcere.

Exemplu. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=2x-1$ pentru $x>1$. Continuitatea în $1$: valoarea funcției este $1$, iar limita la dreapta este $2\cdot 1-1=1$, deci funcția e continuă. Derivatele pe ramuri: $f^{\prime }(x)=2x$ pentru $x<1$, cu limită $2$; $f^{\prime }(x)=2$ pentru $x>1$, cu limită $2$. Limitele laterale sunt finite și egale, deci $f$ e derivabilă în $1$ și $f^{\prime }(1)=2$. (Verificat și direct, cu raportul de diferențe la pasul $10^{-15}$.)

⚠️ Capcana: dacă sari peste verificarea continuității, rezultatul e fals. Pentru $f(x)=x$ când $x<0$ și $f(x)=x+1$ când $x\ge 0$, derivata este $1$ pe ambele ramuri, deci ambele limite laterale ale lui $f^{\prime }$ sunt $1$. Și totuși funcția nu e derivabilă în $0$, pentru că nici măcar nu e continuă acolo: limita la stânga este $0$, iar $f(0)=1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Determinarea unei funcții din derivata ei

Determinați funcția derivabilă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ care satisface $f^{\prime }(x)=2x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ și $f(1)=3$.

Rezolvare. Funcția $g(x)=x^2$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și are $g^{\prime }(x)=2x$, deci $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ pentru orice $x$. Cum $\mathbb{R}$ este interval, corolarul Consecinței 1 dă: $f-g$ e constantă, adică există $k\in \mathbb{R}$ cu $f(x)=x^2+k$.

Din $f(1)=1+k=3$ rezultă $k=2$, deci $f(x)=x^2+2$. Verificare: $f^{\prime }(x)=2x$ ✓ și $f(1)=3$ ✓. ✓

Exemplul 2 — Două funcții cu aceeași derivată

Arătați că funcțiile $u(x)={\sin }^{2}x$ și $v(x)=-{\cos }^{2}x$, definite pe $\mathbb{R}$, diferă printr-o constantă, și determinați constanta.

Rezolvare. Derivăm, cu regula funcțiilor compuse: $u^{\prime }(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$ și $v^{\prime }(x)=-2\cos x\cdot (-\sin x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Așadar $u^{\prime }=v^{\prime }$ pe $\mathbb{R}$, care e interval.

Prin corolarul Consecinței 1, $u-v$ este constantă pe $\mathbb{R}$. Constanta se află calculând într-un punct comod: $u(0)-v(0)=0-(-1)=1$. Deci ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pentru orice $x$ — formula fundamentală a trigonometriei, redemonstrată aici pe cale analitică. (Verificat numeric în trei puncte, cu abatere sub $10^{-40}$.) ✓

Exemplul 3 — Monotonie strictă și unicitatea soluției

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și deduceți că ecuația $x^3+x=5$ are exact o soluție reală.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Pentru orice $x$ real, $3x^2\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\ge 1>0$. Cum $\mathbb{R}$ e interval, Consecința 2 dă: $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

O funcție strict crescătoare e injectivă, deci ia valoarea $5$ cel mult o dată: ecuația are cel mult o soluție. Existența se obține cu argumentul din lecția Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale: $f$ e continuă, $f(1)=2<5$ și $f(2)=10>5$, deci ecuația $f(x)=5$ are o soluție în $(1,2)$. În concluzie, exact o soluție reală. ✓

Exemplul 4 — O inegalitate clasică

Arătați că $\sin x<x$ pentru orice $x>0$.

Rezolvare. Fie $g:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-\sin x$, continuă pe $[0,+\infty )$ și derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $g^{\prime }(x)=1-\cos x$.

Pentru $x>0$ avem $\cos x\le 1$, deci $g^{\prime }(x)\ge 0$, iar egalitatea $g^{\prime }(x)=0$ are loc doar în punctele izolate $x=2k\pi$. Prin Consecința 2 (varianta nestrictă), $g$ este crescătoare pe $[0,+\infty )$.

Creșterea este chiar strictă, și iată argumentul complet: dacă ar exista $0\le x_1<x_2$ cu $g(x_1)=g(x_2)$, atunci, fiind crescătoare și luând valori egale la capete, $g$ ar fi constantă pe $[x_1,x_2]$; prin Consecința 1 aplicată invers, derivata ei ar fi identic nulă pe acest interval, ceea ce e imposibil, pentru că $g^{\prime }$ se anulează doar în puncte izolate. Cum $g(0)=0-\sin 0=0$, rezultă $g(x)>0$ pentru $x>0$, adică $x>\sin x$. (Verificat numeric în patru puncte de probă.) ✓

Exemplul 5 — Derivabilitate într-un punct de racord

Studiați derivabilitatea în $0$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-1$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=\ln (1+x)$ pentru $x>0$.

Rezolvare. Pasul 1 — continuitatea în $0$. Avem $f(0)=e^0-1=0$. Limita la stânga: $\lim (e^x-1)=0$. Limita la dreapta: $\lim \ln (1+x)=\ln 1=0$. Toate trei coincid, deci $f$ e continuă în $0$.

Pasul 2 — derivatele pe ramuri. Pentru $x<0$: $f^{\prime }(x)=e^x$. Pentru $x>0$: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}$.

Pasul 3 — limitele laterale ale derivatei. La stânga: $\lim e^x=e^0=1$. La dreapta: $\lim \frac{1}{1+x}=1$.

Pasul 4 — concluzia. Ambele limite există, sunt finite și egale cu $1$. Prin Consecința 3, $f$ este derivabilă în $0$ și $f^{\prime }(0)=1$. (Verificat cu raportul de diferențe centrat, pas $10^{-15}$: valoarea obținută este $1$ cu $12$ zecimale exacte.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(x)=b\ln x+2$ pentru $x>1$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. a) Determinați $a$ astfel încât $f$ să fie continuă în $x_0=1$. b) Pentru valoarea găsită, determinați $b$ astfel încât $f$ să fie derivabilă în $x_0=1$. c) Calculați $f^{\prime }(1)$.

Rezolvare.

a) Valoarea funcției în $1$ este $f(1)=1+a$, iar limita la dreapta este $\lim (b\ln x+2)=b\ln 1+2=2$. Continuitatea cere $1+a=2$, deci $a=1$.

b) Cu $a=1$, funcția e continuă în $1$, deci Consecința 3 se poate aplica. Derivatele pe ramuri: pentru $x\in (0,1)$, $f^{\prime }(x)=2x+1$, cu limita la stânga $2\cdot 1+1=3$; pentru $x>1$, $f^{\prime }(x)=\frac{b}{x}$, cu limita la dreapta $\frac{b}{1}=b$. Derivabilitatea cere ca cele două limite să fie finite și egale: $b=3$.

c) Valoarea comună a limitelor este $3$, deci $f^{\prime }(1)=3$. (Verificat numeric: cu $a=1$ și $b=3$ ramurile se racordează la valoarea $2$, iar raportul de diferențe în $1$ dă $3$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare aplicare a unei consecințe, precizează pe ce interval lucrezi — este cerința pe care baremele o punctează separat.

1. Determină funcția derivabilă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ cu $f^{\prime }(x)=4x^3$ și $f(1)=7$.

2. Determină funcția derivabilă $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ cu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ și $f(1)=5$.

3. Arată că funcția $f(x)=x^5+3x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

4. Arată că funcția $f(x)=-x^3-x+4$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

5. Arată că funcția $f(x)=\ln x-x$ este strict descrescătoare pe intervalul $(1,+\infty )$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x$ din domeniul lui $f$, atunci $f$ este descrescătoare pe tot domeniul."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $f^{\prime }=0$ pe $\mathbb{R}$, atunci $f$ e constantă."

8. Arată că funcțiile $u(x)=\ln (2x)$ și $v(x)=\ln x$, definite pe $(0,+\infty )$, diferă printr-o constantă și determină constanta.

9. Arată că $e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$ pentru orice $x>0$. (Indicație: derivează diferența și folosește inegalitatea $e^x>1+x$.)

10. Arată că $\ln (1+x)>\frac{x}{1+x}$ pentru orice $x>0$.

11. Studiază derivabilitatea în $0$ a funcției $f(x)=x^2$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=x^3$ pentru $x>0$.

12. Studiază derivabilitatea în $1$ a funcției $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=3x-2$ pentru $x>1$.

13. (Problemă aplicată.) Debitul de apă care intră într-un rezervor este, la momentul $t$, egal cu $D(t)=0$ litri pe minut, pentru orice $t$ din intervalul $[0,60]$. Ce poți spune despre cantitatea de apă din rezervor pe acest interval și pe ce rezultat teoretic te sprijini?

14. Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât funcția $f(x)=ax+b$ pentru $x\le 2$ și $f(x)=x^2$ pentru $x>2$ să fie derivabilă în $2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+3x+1$. Arată că $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ real și deduce că $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

16. Explică de ce funcția $f(x)=\frac{1}{x^2}$ nu este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deși are derivata negativă în fiecare punct al domeniului.

17. Fie $f$ derivabilă pe $\mathbb{R}$ cu $f^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x$ și $f(0)=1$. Arată că funcția $g(x)=f(x)e^{-x}$ este constantă și deduce forma lui $f$.

18. (Provocare.) Fie $f$ continuă pe $[0,+\infty )$, derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $f(0)=0$ și $f^{\prime }$ crescătoare pe $(0,+\infty )$. Arată că funcția $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ este crescătoare pe $(0,+\infty )$. (Indicație: aplică teorema lui Lagrange lui $f$ pe $[0,x]$.)

Răspunsuri și explicații

1. $g(x)=x^4$ are $g^{\prime }(x)=4x^3$, deci $f(x)=x^4+k$ pe $\mathbb{R}$ (interval). Din $1+k=7$ rezultă $k=6$ și $f(x)=x^4+6$.

2. $g(x)=\ln x$ are $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$, care e interval, deci $f(x)=\ln x+k$. Din $\ln 1+k=5$ rezultă $k=5$ și $f(x)=\ln x+5$.

3. $f^{\prime }(x)=5x^4+3\ge 3>0$ pentru orice $x$ real, iar $\mathbb{R}$ e interval; prin Consecința 2, $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

4. $f^{\prime }(x)=-3x^2-1\le -1<0$ pe $\mathbb{R}$, deci $f$ e strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

5. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$. Pe $(1,+\infty )$ avem $1-x<0$ și $x>0$, deci $f^{\prime }(x)<0$, iar $(1,+\infty )$ e interval: $f$ e strict descrescătoare acolo.

6. Fals. Concluzia se formulează pe un interval. Contraexemplu: $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar $f(-1)=-1<1=f(1)$, deși $-1<1$. Corect: $f$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, separat.

7. Adevărat. $\mathbb{R}$ este interval, deci Consecința 1 se aplică fără rezerve și dă $f$ constantă.

8. $u^{\prime }(x)=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}=v^{\prime }(x)$ pe $(0,+\infty )$, interval, deci $u-v$ e constantă. Calculând în $x=1$: $u(1)-v(1)=\ln 2-0=\ln 2$. Deci $\ln (2x)=\ln x+\ln 2$.

9. Fie $g(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ pe $[0,+\infty )$, cu $g^{\prime }(x)=e^x-1-x$. Din inegalitatea demonstrată în lecție, $e^x>1+x$ pentru $x>0$, deci $g^{\prime }(x)>0$ pe $(0,+\infty )$: $g$ e strict crescătoare acolo. Cum $g(0)=0$, rezultă $g(x)>0$ pentru $x>0$.

10. Fie $g(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$ pe $[0,+\infty )$. Atunci $g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}>0$ pentru $x>0$, deci $g$ e strict crescătoare; cu $g(0)=0$ obținem $g(x)>0$.

11. Continuitatea în $0$: ambele ramuri dau $0$, iar $f(0)=0$. Derivatele: $f^{\prime }(x)=2x$ pentru $x<0$, cu limita $0$; $f^{\prime }(x)=3x^2$ pentru $x>0$, cu limita $0$. Limitele sunt finite și egale, deci $f$ e derivabilă în $0$ și $f^{\prime }(0)=0$.

12. Continuitatea în $1$: valoarea este $1$, iar limita la dreapta $3-2=1$; funcția e continuă. Derivatele: $2x\to 2$ la stânga, $3\to 3$ la dreapta. Limitele sunt finite, dar diferite, deci $f$ nu e derivabilă în $1$; punctul $1$ este punct unghiular, cu $f_s^{\prime }(1)=2$ și $f_d^{\prime }(1)=3$.

13. Cantitatea $Q(t)$ are derivata $Q^{\prime }(t)=D(t)=0$ pe intervalul $[0,60]$, care e interval; prin Consecința 1, $Q$ e constantă pe $[0,60]$: cantitatea de apă nu se schimbă deloc în ora respectivă.

14. Continuitatea în $2$: $2a+b=4$. Derivabilitatea: limita la stânga a derivatei este $a$, cea la dreapta este $2\cdot 2=4$, deci $a=4$. Înlocuind, $8+b=4$, deci $b=-4$. Așadar $a=4$, $b=-4$.

15. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, cu egalitate doar în $x=1$. Prin Consecința 2 (varianta nestrictă), $f$ e crescătoare pe $\mathbb{R}$. Creșterea este chiar strictă: pe niciun interval derivata nu e identic nulă, deci funcția nu poate lua de două ori aceeași valoare, cu argumentul din Exemplul 4.

16. Pentru că ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval, iar Consecința 2 se aplică doar pe intervale. Aici $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^3}$, care e pozitivă pe $(-\infty ,0)$ și negativă pe $(0,+\infty )$: funcția e strict crescătoare pe prima ramură și strict descrescătoare pe a doua, deci nici măcar nu are același sens de variație pe cele două bucăți.

17. $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=(f^{\prime }(x)-f(x))e^{-x}=0$ pentru orice $x$, iar $\mathbb{R}$ e interval, deci $g$ e constantă prin Consecința 1. Cum $g(0)=f(0)e^0=1$, avem $f(x)e^{-x}=1$ pentru orice $x$, deci $f(x)=e^x$.

18. Fie $x>0$. Prin teorema lui Lagrange pe $[0,x]$ există $c\in (0,x)$ cu $f(x)-f(0)=f^{\prime }(c)x$, deci $\frac{f(x)}{x}=f^{\prime }(c)$ cu $c<x$. Pe de altă parte, $g^{\prime }(x)=\frac{x{f}^{\prime }(x)-f(x)}{x^2}=\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(c)}{x}$. Cum $f^{\prime }$ e crescătoare și $c<x$, avem $f^{\prime }(x)\ge f^{\prime }(c)$, deci $g^{\prime }(x)\ge 0$ pe $(0,+\infty )$, interval: $g$ e crescătoare acolo.

De reținut

• Consecința 1: pe un interval, $f^{\prime }\equiv 0$ înseamnă $f$ constantă. Corolar: $f^{\prime }=g^{\prime }$ pe un interval înseamnă $f-g$ constantă.
• Consecința 2: pe un interval, $f^{\prime }>0$ dă strict crescătoare, $f^{\prime }<0$ dă strict descrescătoare; cu $\ge$ și $\le$ se obțin variantele nestricte.
• ⚠️ Concluzia se scrie pe un interval, nu pe o reuniune. $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f^{\prime }<0$ pe tot domeniul, dar nu e descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ — se spune „pe $(-\infty ,0)$" și „pe $(0,+\infty )$", separat.
• Rețeta inegalităților: muți totul într-un membru, arăți că diferența are derivată de semn constant și compari cu valoarea dintr-un capăt, unde diferența e nulă.
• Consecința 3: dacă $f$ e continuă în $x_0$ și $f^{\prime }$ are limită $\ell$ în $x_0$, atunci $f$ are derivată în $x_0$ și $f^{\prime }(x_0)=\ell$; pentru $\ell$ finit, $f$ e derivabilă. Continuitatea se verifică prima.

Greșeli frecvente

• Formulezi monotonia pe o reuniune de intervale. „$f(x)=\frac{1}{x}$ e descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$" este fals: $f(-1)<f(1)$, deși $-1<1$. Corect este să enunți monotonia pe fiecare interval al domeniului, separat.
• Aplici Consecința 1 pe un domeniu care nu e interval. Funcția $\frac{|x|}{x}$ are derivata nulă pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar ia două valori diferite. Concluzia corectă e „constantă pe fiecare interval", nu „constantă".
• Folosești Consecința 3 fără să verifici continuitatea. Pentru $f(x)=x$ pe $(-\infty ,0)$ și $f(x)=x+1$ pe $[0,+\infty )$, ambele limite ale derivatei sunt $1$, dar funcția nu e nici măcar continuă în $0$, deci nu e derivabilă acolo.
• Confunzi „derivata se anulează într-un punct" cu „funcția nu mai e strict monotonă". La $f(x)=x^3-3x^2+3x+1$ derivata se anulează în $1$, dar funcția rămâne strict crescătoare pe $\mathbb{R}$: anularea într-un punct izolat nu oprește creșterea.
• Scrii concluzia inegalității fără valoarea din capăt. Monotonia singură nu dă semnul: din „$g$ strict crescătoare pe $[0,+\infty )$" nu rezultă $g>0$ decât dacă adaugi $g(0)=0$.

Aplică acasă

1. Contorul și rezervorul. Notează, din oră în oră, indicația contorului de apă al locuinței tale timp de o zi. Calculează consumul pe fiecare interval, apoi identifică intervalele în care indicația a rămas neschimbată și explică-le prin Consecința 1: derivată nulă înseamnă mărime constantă.

2. Vânătoare de reuniuni. Scrie cinci funcții al căror domeniu maxim de definiție nu este un interval (de pildă funcții raționale sau cu tangentă). Pentru fiecare, calculează derivata, stabilește semnul ei și formulează concluzia corectă de monotonie, pe fiecare interval separat. Compară cu enunțul greșit „pe tot domeniul" și explică unde se rupe raționamentul.

3. Trei inegalități în zece minute. Demonstrează, cu rețeta din secțiunea 5, inegalitățile $\cos x>1-\frac{x^2}{2}$ pentru $x>0$, $\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}$ pentru $x>0$ și $x-\frac{x^2}{2}<\ln (1+x)$ pentru $x>0$. Verifică fiecare rezultat numeric, pentru trei valori diferite ale lui $x$.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă teorema lui Lagrange din rezultat teoretic în unealtă de lucru. Programa cere explicit, la competența XI.CS.3.6, „utilizarea consecințelor Teoremei lui Lagrange în studiul unei funcții (semnul derivatei I)", iar de aici pornește toată unitatea următoare, dedicată studiului variației. Cele trei consecințe sunt numerotate și numite consecvent în tot cursul, ca elevul să le poată cita fără ambiguitate.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea și demonstrarea Consecinței 1, cu corolarul ei; (2) enunțarea și demonstrarea Consecinței 2, cu formularea obligatorie pe un interval; (3) recunoașterea contraexemplului $\frac{1}{x}$ și explicarea lui; (4) demonstrarea unei inegalități prin monotonia funcției-diferență; (5) aplicarea Consecinței 3 la funcțiile pe ramuri, cu verificarea prealabilă a continuității.

Întrebări bune de control: „De ce se cere ca $I$ să fie interval?", „Ce se pierde dacă sari peste continuitate la Consecința 3?", „Cum ajungi de la monotonie la o inegalitate?". La BAC M1, aceste rezultate apar în aproape fiecare variantă: fie ca studiu al monotoniei, fie ca demonstrație de inegalitate, fie ca problemă cu parametri într-un punct de racord. Semn că elevul a înțeles: scrie de la sine „pe intervalul…" în concluzie, în loc de „pe domeniu".

Întrebări frecvente

Ce spune prima consecință a teoremei lui Lagrange? Spune că o funcție derivabilă pe un interval, a cărei derivată este nulă în fiecare punct, este constantă pe acel interval. Demonstrația ia două puncte oarecare, aplică formula creșterilor finite între ele și obține valori egale.

De ce două funcții cu aceeași derivată diferă printr-o constantă? Pentru că diferența lor are derivata nulă pe interval, iar prima consecință o face constantă. Este exact motivul pentru care, atunci când se cere o funcție cu derivată dată, răspunsul conține întotdeauna o constantă nedeterminată, fixată apoi de o condiție suplimentară.

Cum deduc monotonia din semnul derivatei? Dacă derivata este strict pozitivă pe un interval, funcția este strict crescătoare acolo; dacă este strict negativă, este strict descrescătoare. Justificarea vine tot din formula creșterilor finite, în care lungimea intervalului este pozitivă, deci semnul diferenței valorilor îl urmează pe cel al derivatei.

De ce nu pot spune că funcția $\frac{1}{x}$ este descrescătoare pe tot domeniul ei? Pentru că domeniul, ${\mathbb{R}}^{\ast }$, nu este un interval, iar consecința despre monotonie se aplică numai pe intervale. Concret, $-1<1$, dar $f(-1)=-1$ este mai mic decât $f(1)=1$, ceea ce contrazice definiția descreșterii.

Cum demonstrez o inegalitate folosind derivata? Muți totul într-un membru și notezi diferența cu $g$, apoi studiezi semnul lui $g^{\prime }$ pe intervalul cerut și afli monotonia lui $g$. Compari în final cu valoarea lui $g$ într-un capăt, de obicei zero, și concluzia despre semnul lui $g$ dă inegalitatea.

Ce este consecința despre limita derivatei și când o folosesc? Este rezultatul care spune că, dacă funcția e continuă într-un punct și derivata are limită acolo, atunci funcția are derivată în acel punct, egală cu limita. Se folosește mai ales la funcțiile definite pe ramuri, unde calculul direct al raportului de variație ar fi anevoios.

De ce trebuie verificată continuitatea înainte de consecința a treia? Pentru că fără ea concluzia devine falsă. Există funcții cu aceeași limită a derivatei de ambele părți, care totuși nu sunt derivabile în punctul respectiv, tocmai fiindcă au acolo un salt: derivabilitatea implică întotdeauna continuitate.

Ce urmează după aceste consecințe? Studiul sistematic al variației: se rezolvă inecuațiile $f^{\prime }(x)>0$ și $f^{\prime }(x)<0$, se citesc intervalele de monotonie, se identifică punctele de extrem și se organizează totul într-un tabel de variație.