Funcții continue pe ramuri. Determinarea parametrilor: pe scurt

Aici continuitatea nu se mai constată, ci se impune: lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$ devine o ecuație cu necunoscuta $a$.

Punctele de racord sunt cele în care se schimbă formula; o funcție cu $n$ ramuri are $n-1$ racorduri. În interiorul fiecărei ramuri funcția e dată de o expresie uzuală, deci continuitatea acolo vine gratuit și se justifică într-un rând — dar fraza trebuie scrisă, altfel concluzia „continuă pe $\mathbb{R}$” rămâne nesusținută. Valoarea $f(x_0)$ se citește de pe ramura care îl conține efectiv pe $x_0$.

Algoritmul, în cinci pași: scrii $f(x_0)$; calculezi $l_s(x_0)$; calculezi $l_d(x_0)$; impui lanțul și rezolvi; verifici prin substituție. Baremul plătește separat fiecare pas, deci niciunul nu se sare.

Trei situații speciale: parametrul la pătrat dă o ecuație de gradul al doilea, cu două soluții posibile; parametrul poate dispărea din ecuație, iar atunci mulțimea soluțiilor este vidă; iar dacă o limită laterală în punctul de racord este infinită, niciun parametru nu salvează situația — continuitatea cere o limită finită.

Când racordul aduce o nedeterminare, o elimini înainte de a înlocui: factorizare, conjugată sau limită fundamentală.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+a$ pentru $x\le -1$ și $f(x)=x^2-5$ pentru $x>-1$, este continuă în $-1$.

   • a) $a=-2$
   • b) $a=2$
   • c) $a=-6$
   • d) $a=6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a=-2$

   Punctul $-1$ verifică $x\le -1$, deci $f(-1)=-2+a=l_s(-1)$. Pe dreapta, $l_d(-1)=(-1{)}^2-5=-4$. Condiția $-2+a=-4$ dă $a=-2$. Verificare: lanțul devine $-4=-4=-4$. Varianta c) apare dacă se uită pătratul din a doua ramură.

2. Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}$ pentru $x\ne 4$ și $f(4)=a$, este continuă pe $\mathbb{R}$.

   • a) $4$
   • b) $8$
   • c) $16$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $8$

   În $4$ apare $\frac{0}{0}$; pentru $x\ne 4$ avem $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$, deci limita este $8$. Continuitatea cere $a=8$. În celelalte puncte funcția e rațională cu numitor nenul, deci continuă din construcție.

3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+5$ pentru $x<0$ și $f(x)=x^2+2$ pentru $x\ge 0$. Câte valori ale lui $a$ fac funcția continuă în $0$?

   • a) exact una
   • b) exact două
   • c) niciuna
   • d) o infinitate
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) niciuna

   Pe stânga, $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }(ax+5)=5$ oricare ar fi $a$, pentru că $ax\to 0$. Pe de altă parte $f(0)=0^2+2=2$. Condiția $5=2$ este falsă, deci parametrul dispare din ecuație și mulțimea soluțiilor este vidă. Răspunsul corect nu este „$a$ oarecare”, ci „nicio valoare”.