Funcții continue definite pe ramuri. Determinarea parametrilor

Un stat care impozitează veniturile în trepte are o problemă tehnică de rezolvat: la pragul dintre două trepte, formula se schimbă. Dacă cele două formule nu se potrivesc exact la prag, apare o absurditate — cine câștigă cu un leu mai mult rămâne acasă cu mai puțin. Legiuitorul nu are voie să aleagă coeficienții la întâmplare: el trebuie să-i determine astfel încât cele două ramuri ale formulei să se lipească perfect. Exact aceeași sarcină, cuvânt cu cuvânt, o vei rezolva în această lecție — cu deosebirea că, în locul cotelor de impozit, coeficientul necunoscut se numește $a$.

Ai deja toate uneltele. Știi să calculezi limite laterale, știi definiția continuității într-un punct și știi să recunoști o discontinuitate. Ce se adaugă acum este o schimbare de rol: continuitatea nu mai e ceva ce constați, ci ceva ce impui, transformând lanțul de egalități într-o ecuație cu necunoscuta $a$. Este tiparul de exercițiu care apare la aproape fiecare sesiune de Bacalaureat M1 și pe care merită să-l stăpânești mecanic, până la automatism.

Ce vei învăța

• Vei ști ce sunt punctele de racord ale unei funcții definite pe ramuri și de ce numai acolo se pune problema continuității.
• Vei ști să transformi lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$ într-o ecuație cu parametrul necunoscut.
• Vei ști să rezolvi cazul cu doi parametri și două racorduri, printr-un sistem de două ecuații liniare.
• Vei ști să tratezi cazurile în care ecuația în parametru este de gradul al doilea (două soluții) sau nu are soluție (funcția nu poate fi făcută continuă).
• Vei ști să calculezi limitele laterale care cer o prelucrare prealabilă: factorizare, conjugată, limită fundamentală.
• Vei ști să verifici soluția prin substituție, așa cum cer baremele.

Hai să descoperim împreună

1. Funcții definite pe ramuri și punctele de racord

O funcție este definită pe ramuri (sau „pe cazuri") când domeniul ei se împarte în mai multe bucăți, iar pe fiecare bucată acționează altă expresie. Scrierea standard, cu acoladă: $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3,& x\le 2\\ x^2+1,& x>2\end{array}$$

Punctul de racord este punctul în care se schimbă formula — aici $x_0=2$. Într-o funcție cu trei ramuri există două puncte de racord, într-una cu $n$ ramuri sunt $n-1$.

Două observații de scriere, care par mărunte și nu sunt:

• condițiile ramurilor trebuie să acopere tot domeniul și să nu se suprapună. În exemplul de mai sus, $x\le 2$ și $x>2$ acoperă exact $\mathbb{R}$, iar punctul $2$ aparține primei ramuri;
• valoarea $f(x_0)$ se citește de pe ramura care îl conține efectiv pe $x_0$. Aici $f(2)=2+3=5$, nu $2^2+1=5$ — chiar dacă în acest caz numerele coincid, raționamentul trebuie să fie corect, pentru că la exercițiul următor nu vor mai coincide.

2. De ce se decide totul în punctele de racord

În interiorul fiecărei ramuri, funcția este dată de o singură expresie uzuală — polinomială, rațională, cu radical, exponențială, logaritmică sau trigonometrică. Pentru astfel de expresii, operațiile cu limite de funcții dau, în orice punct $x_1$ din interiorul ramurii, $$\underset{x\to x_1}{\lim }f(x)=f(x_1),$$ adică exact definiția continuității. De pildă, pentru ramura $x^2+1$ și $x_1=5$: limita sumei este suma limitelor, limita lui $x^2$ este $25$, deci limita e $26=f(5)$.

Prin urmare, continuitatea în punctele care nu sunt de racord vine gratuit și se justifică într-un rând. Tot ce rămâne de studiat sunt punctele de racord, unde funcția e „cusută" din două bucăți diferite și unde cusătura poate ceda.

Enunțul general care sistematizează această observație — suma, produsul, câtul și compunerea funcțiilor continue sunt continue — se dă în lecția Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue. Până atunci îl obținem, de fiecare dată, din operațiile cu limite; iar în redactare scriem: „pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,2)$ și $(2,+\infty )$, funcția este dată de o expresie uzuală, deci limita ei în orice punct al intervalului este valoarea funcției în acel punct".

Reține și consecința asupra formulării: „$f$ este continuă pe $\mathbb{R}$" înseamnă, prin definiție, „$f$ este continuă în fiecare punct al lui $\mathbb{R}$". Cu observația de mai sus, verificarea acestei afirmații se reduce la punctele de racord.

Iată de ce contează formularea. Un elev care scrie doar „am determinat $a$, deci funcția este continuă pe $\mathbb{R}$" a demonstrat, de fapt, continuitatea într-un singur punct. Rezolvarea completă are două părți: una scurtă, care lichidează restul domeniului („pe fiecare interval dintre racorduri funcția este dată de o expresie uzuală, deci este continuă acolo"), și una lungă, care rezolvă racordul. Prima parte se scrie într-o frază, dar fără ea concluzia rămâne mai slabă decât cerința. Ordinea în care le pui pe hârtie nu contează; prezența amândurora, da.

O ultimă observație de citire a enunțului: nu orice funcție scrisă cu acoladă are un racord problematic. Dacă ramurile sunt, de pildă, $x^2$ pentru $x\le 0$ și $-x^2$ pentru $x>0$, ele se întâlnesc în $0$ la aceeași valoare, iar funcția e continuă fără să fie nevoie de niciun parametru. Acolada semnalează doar că trebuie să verifici racordul, nu că el e neapărat stricat.

3. Algoritmul, în cinci pași

Fie $x_0$ un punct de racord și $a$ parametrul necunoscut din enunț. Procedezi întotdeauna la fel:

1. Scrii $f(x_0)$, de pe ramura care conține punctul.
2. Calculezi $l_s(x_0)$, pe ramura din stânga, eliminând nedeterminarea dacă apare.
3. Calculezi $l_d(x_0)$, pe ramura din dreapta, la fel.
4. Impui lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$ și rezolvi ecuația (sau sistemul) în parametri.
5. Verifici înlocuind valoarea găsită în cele trei expresii de la pașii 1–3 și arătând că lanțul chiar se închide.

Pasul 5 nu e formalitate. La ecuațiile de gradul al doilea în parametru, verificarea îți spune dacă ambele rădăcini sunt bune; la enunțurile cu parametru în mai multe ramuri, ea prinde soluțiile pierdute pe drum; iar la examen, o valoare scrisă fără verificare rămâne o afirmație nesusținută.

Merită să știi și cum se împarte punctajul, pentru că el îți spune ce nu ai voie să sari. Un barem obișnuit acordă puncte separate pentru: calculul limitei la stânga, calculul limitei la dreapta, scrierea valorii funcției în punct, formularea condiției de continuitate și rezolvarea ecuației. Cinci pași, cinci grupe de puncte. Un elev care „vede" răspunsul și scrie direct „$a=3$" pierde cea mai mare parte a punctajului, chiar dacă valoarea e corectă — pentru că nimic din raționament nu apare pe foaie. Invers, un elev care scrie corect cei patru pași și greșește doar aritmetica de la final pierde foarte puțin. Concluzia practică: scrie fiecare pas, chiar și pe cel care ți se pare evident.

Un obicei bun, care nu costă nimic: notează cele trei numere unul sub altul, pe rânduri separate, înainte de a le pune egale. Când sunt aliniate pe verticală, vezi imediat care dintre ele conține parametrul și, prin urmare, din care egalitate se va naște ecuația.

4. Un singur parametru: ecuația de gradul întâi

Cel mai frecvent tipar are parametrul într-o singură ramură, iar lanțul de egalități produce o ecuație de gradul întâi. Fie $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\{\begin{array}{ll}x+a,& x\le 1\\ 3x-1,& x>1\end{array}$$

Avem $f(1)=1+a$, apoi $l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x+a)=1+a$ și $l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(3x-1)=2$. Lanțul devine $$1+a=1+a=2⟹a=1.$$

Observă structura: prima egalitate se realizează automat, pentru că ramura din stânga este continuă și îl conține pe $x_0$; toată informația stă în a doua. Așa se întâmplă ori de câte ori punctul de racord aparține ramurii din stânga și acea ramură nu are nedeterminare — un tipar care îți scurtează mult calculul, cu condiția să-l fi verificat, nu presupus.

5. Doi parametri, două racorduri: un sistem liniar

Când funcția are trei ramuri, ramura din mijloc conține de obicei doi parametri, iar cele două racorduri dau două ecuații. Fie $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ ax+b,& 1<x<3\\ 2x+1,& x\ge 3\end{array}$$

În $x_0=1$: $f(1)=1$, $l_s(1)=1$, $l_d(1)=a+b$, deci prima condiție este $a+b=1$. În $x_0=3$: $f(3)=7$, $l_d(3)=7$, $l_s(3)=3a+b$, deci a doua condiție este $3a+b=7$.

Am obținut un sistem liniar de două ecuații cu două necunoscute, exact tipul studiat în unitatea de sisteme. Rezolvat cu regula lui Cramer: determinantul sistemului este $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|=1-3=-2\ne 0,$$ deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică. Cu ${\Delta }_a=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 7& 1\end{array}\right|=-6$ și ${\Delta }_b=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 7\end{array}\right|=4$ obținem $$a=\frac{{\Delta }_a}{\Delta }=3,b=\frac{{\Delta }_b}{\Delta }=-2.$$

Verificare: $a+b=3-2=1$ ✓ și $3a+b=9-2=7$ ✓. Ramura din mijloc devine $3x-2$, iar cele două cusături se închid.

6. Când ecuația nu e de gradul întâi — și când nu are soluție

Parametrul la pătrat. Dacă parametrul apare la puterea a doua într-una dintre ramuri, ecuația de la pasul 4 devine de gradul al doilea și poate avea două soluții, ambele valabile. Vei vedea acest caz în Exemplul 3; concluzia se scrie ca mulțime: $a\in \{-4,1\}$.

Fără soluție. Se întâmplă atunci când parametrul dispare din ecuație. Fie $$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+1,& x<0\\ x^2+3,& x\ge 0\end{array}$$ Aici $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }(ax+1)=1$ oricare ar fi $a$, pentru că $ax\to 0$; iar $f(0)=3$. Condiția $1=3$ este falsă, deci nu există nicio valoare a lui $a$ pentru care funcția să fie continuă în $0$. Răspunsul corect nu e „$a$ oarecare", ci „mulțimea soluțiilor este vidă", cu justificarea.

Racord cu limită infinită. Dacă pe una dintre ramuri limita laterală în punctul de racord este infinită — de pildă ramura $\frac{1}{x}$ la stânga lui $0$ —, atunci niciun parametru nu poate salva situația: continuitatea cere o limită finită, iar punctul rămâne de speța a II-a, indiferent de $a$ (puncte de discontinuitate).

7. Racorduri cu nedeterminare

Deseori una dintre ramuri produce, în punctul de racord, o nedeterminare $\frac{0}{0}$. Atunci pasul 2 sau 3 cere o prelucrare prealabilă, cu tehnicile deja învățate:

• factorizare și simplificare, la funcții raționale: $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$ pentru $x\ne 3$ (nedeterminări la funcții raționale);
• amplificare cu conjugata, la expresii cu radicali (nedeterminări cu radicali);
• limitele fundamentale, la expresii cu sinus, exponențială sau logaritm (limita fundamentală $\frac{\sin x}{x}$, limitele fundamentale cu exponențială și logaritm).

Regula de aur în aceste cazuri: nu înlocui niciodată $x$ cu $x_0$ înainte de a fi eliminat nedeterminarea. Un $\frac{0}{0}$ nu are valoare; scrierea „$\frac{0}{0}=1$" e o greșeală gravă și se depunctează integral.

Există și o capcană de ordine, mai subtilă. Când parametrul se află chiar în ramura cu nedeterminare, tentația e să-l determini din condiția ca nedeterminarea să dispară, și abia apoi să calculezi limita. Uneori chiar așa se procedează — este exact situația din exercițiul 18, unde numărătorul trebuie să se anuleze în punctul de racord ca limita să fie finită. Dar atenție: acea condiție nu înlocuiește condiția de continuitate, ci se adaugă la ea. Ordinea corectă este: întâi impui ce trebuie ca limita să existe și să fie finită, apoi calculezi limita cu ce a rămas și abia la final o egalezi cu valoarea funcției. Două condiții, două ecuații, doi parametri determinați.

În sfârșit, o observație despre citirea rezultatului. Parametrul găsit nu e întotdeauna un număr „frumos": poate fi o fracție, ca $\frac{3}{2}$, sau un logaritm, ca $\ln 2$. Nu încerca să-l aproximezi zecimal în răspunsul final — forma exactă este cea corectă, iar aproximarea are rost doar ca verificare mentală a ordinului de mărime.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un parametru, racord simplu

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+a,& x\le 1\\ 3x-1,& x>1\end{array}$, este continuă în $x_0=1$.

Rezolvare. Punctul $1$ verifică $x\le 1$, deci $f(1)=1+a$. $$l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x+a)=1+a,l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(3x-1)=2.$$

Condiția de continuitate $l_s(1)=f(1)=l_d(1)$ devine $1+a=2$, deci $a=1$.

Verificare: pentru $a=1$, ramura din stânga este $x+1$, cu $f(1)=2$ și $l_s(1)=2$, iar $l_d(1)=2$. Lanțul $2=2=2$ se închide. ✓

Exemplul 2 — Parametrul ca valoare într-un punct

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ pentru $x\ne 3$ și $f(3)=a$, este continuă în $x_0=3$.

Rezolvare. În $x_0=3$ apare nedeterminarea $\frac{0}{0}$, deci factorizăm întâi: $$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\text{pentru }x\ne 3.$$ Simplificarea e legitimă tocmai pentru că limita nu se uită la ce se întâmplă în $3$, ci doar în jurul lui, unde $x-3\ne 0$. Prin urmare $$l_s(3)=l_d(3)=\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)=6.$$

Cum $f(3)=a$, condiția de continuitate dă $a=6$.

Verificare: $f(2,999)=5,999$ și $f(3,001)=6,001$ — valorile se strâng în jurul lui $6$. ✓

Exemplul 3 — Parametrul la pătrat: două soluții

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{a}^{2}x,& x\le 1\\ 4x-3a,& x>1\end{array}$, este continuă în $x_0=1$.

Rezolvare. $f(1)=a^2$, $l_s(1)=a^2$, iar $l_d(1)=4-3a$. Condiția devine $$a^2=4-3a⟺a^2+3a-4=0⟺(a-1)(a+4)=0,$$ deci $a\in \{-4,1\}$.

Verificare, pentru fiecare rădăcină:

• $a=1$: ramurile sunt $x$ și $4x-3$; $f(1)=1$, $l_s(1)=1$, $l_d(1)=4-3=1$ ✓;
• $a=-4$: ramurile sunt $16x$ și $4x+12$; $f(1)=16$, $l_s(1)=16$, $l_d(1)=4+12=16$ ✓.

Ambele valori convin, deci răspunsul este $a\in \{-4,1\}$. Verificarea nu era opțională: dacă una dintre rădăcini ar fi ieșit din domeniul de valabilitate al enunțului (de exemplu la o cerință cu $a>0$), ar fi trebuit eliminată.

Exemplul 4 — Doi parametri, două racorduri

Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ ax+b,& 1<x<3\\ 2x+1,& x\ge 3\end{array}$, este continuă pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,1)$, $(1,3)$ și $(3,+\infty )$ funcția e dată de o expresie polinomială, deci limita ei în orice punct al intervalului este valoarea din acel punct: continuitatea acolo e asigurată. Rămân cele două puncte de racord.

În $x_0=1$: $f(1)=1$, $l_s(1)=1$, $l_d(1)=a+b$. Condiția: $a+b=1$.

În $x_0=3$: $f(3)=7$, $l_d(3)=7$, $l_s(3)=3a+b$. Condiția: $3a+b=7$.

Sistemul $\{\begin{array}{l}a+b=1\\ 3a+b=7\end{array}$ are $\Delta =-2\ne 0$, deci este de tip Cramer, cu soluția unică $a=3$, $b=-2$.

Verificare: cu $a=3$ și $b=-2$, ramura din mijloc este $3x-2$. În $1$: $l_d(1)=1=f(1)=l_s(1)$ ✓. În $3$: $l_s(3)=7=f(3)=l_d(3)$ ✓. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$.

Exemplul 5 — Racord cu limită fundamentală

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2^x-1}{x},& x<0\\ x+a,& x\ge 0\end{array}$, este continuă în $x_0=0$.

Rezolvare. Punctul $0$ verifică $x\ge 0$, deci $f(0)=a$, iar $l_d(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(x+a)=a$.

Pe ramura din stânga apare nedeterminarea $\frac{0}{0}$, rezolvată de limita fundamentală $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{b^x-1}{x}=\ln b$, scrisă aici cu litera $b$ pentru bază, ca să nu se confunde cu parametrul $a$ din enunț; pentru baza $2$ obținem: $$l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{2^x-1}{x}=\ln 2.$$

Condiția de continuitate devine $\ln 2=a$, deci $a=\ln 2$.

Verificare numerică: pentru $x=-10^{-7}$, ramura din stânga dă $0,69314716$, iar $\ln 2=0,69314718\dots$ ✓ Atenție la capcană: rezultatul limitei este $\ln 2$, nu $1$; valoarea $1$ se obține doar pentru baza $e$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x},& x>0\\ x^2+a,& x\le 0\end{array}$, unde $a$ este număr real. a) Calculați $l_s(0)$ și $f(0)$. b) Determinați $a$ pentru care $f$ este continuă în $x_0=0$. c) Arătați că, pentru valoarea găsită, $f$ este continuă în orice punct real.

Rezolvare.

a) Punctul $0$ verifică $x\le 0$, deci $f(0)=0^2+a=a$, iar $$l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\left(x^2+a\right)=a.$$

b) Pe ramura din dreapta apare nedeterminarea $\frac{0}{0}$; amplificăm cu conjugata $\sqrt{x+4}+2$: $$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{\left(\sqrt{x+4}-2\right)\left(\sqrt{x+4}+2\right)}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\frac{x+4-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}.$$ Ultima expresie nu mai are nedeterminare, deci $$l_d(0)=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$$ Condiția $l_s(0)=f(0)=l_d(0)$ devine $a=\frac{1}{4}$.

c) Pentru $a=\frac{1}{4}$: pe intervalul $(-\infty ,0)$ funcția este polinomială, iar pe $(0,+\infty )$ este câtul a două expresii uzuale cu numitorul nenul; în ambele cazuri, prin operațiile cu limite, limita în orice punct al intervalului este chiar valoarea funcției acolo, deci $f$ este continuă în fiecare astfel de punct. În $x_0=0$, continuitatea a fost obținută la punctul b). Prin urmare $f$ este continuă în orice punct real.

Verificare numerică: pentru $x=10^{-8}$, ramura din dreapta dă $0,2499999998$, iar $f(0)=0,25$. ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie cele trei numere — $l_s(x_0)$, $f(x_0)$, $l_d(x_0)$ —, apoi ecuația, apoi verificarea.

1. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+a,& x\le 2\\ 3x-1,& x>2\end{array}$ este continuă în $x_0=2$.

2. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}$ pentru $x\ne 5$ și $f(5)=a$ este continuă în $5$.

3. Arată că nu există $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+1,& x<0\\ x^2+3,& x\ge 0\end{array}$ să fie continuă în $0$.

4. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+1,& x\le 1\\ 4x-2,& x>1\end{array}$ este continuă în $1$.

5. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+2,& x<1\\ 2x+a^2,& x\ge 1\end{array}$ este continuă în $1$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă fiecare ramură a unei funcții este dată de o expresie continuă, atunci funcția este continuă."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un punct de racord, valoarea $f(x_0)$ se ia de pe ramura a cărei condiție este verificată de $x_0$."

8. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+a,& x\le 0\\ x^2+1,& 0<x<2\\ bx-3,& x\ge 2\end{array}$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

9. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& x\le 1\\ ax+b,& 1<x<4\\ x^2-5,& x\ge 4\end{array}$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

10. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\frac{\sin 5x}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=a$ este continuă în $0$.

11. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3^x-1}{x},& x<0\\ a,& x\ge 0\end{array}$ este continuă în $0$.

12. (Problemă aplicată.) Un taximetrist cere $3$ lei la pornire plus $2$ lei pe kilometru, pentru primii $10$ km, iar peste $10$ km trece la formula $a+1,5x$ lei, unde $x$ este numărul total de kilometri. Determină $a$ astfel încât tariful să nu facă niciun salt la kilometrul $10$.

13. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+1,& x\le 1\\ 2x+3,& x>1\end{array}$ este continuă în $1$.

14. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=a$ este continuă în $2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{x-1},& x<1\\ a,& x=1\\ 2x-3,& x>1\end{array}$. Calculează limitele laterale în $1$ și determină $a$ pentru care $f$ este continuă în $1$.

16. Arată că, pentru $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x<0\\ ax+1,& x\ge 0\end{array}$, punctul $0$ rămâne punct de discontinuitate de speța a II-a, oricare ar fi $a$.

17. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+a,& x\le -1\\ ax+4,& x>-1\end{array}$ este continuă în $-1$.

18. (Provocare.) Determină $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x-1}$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=5$, este continuă în $1$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(2)=2+a=l_s(2)$, iar $l_d(2)=3\cdot 2-1=5$. Din $2+a=5$ rezultă $a=3$. Verificare: ramura din stânga devine $x+3$, cu $f(2)=5$ ✓.

2. $\frac{x^2-25}{x-5}=x+5$ pentru $x\ne 5$, deci limita în $5$ este $10$. Cum $f(5)=a$, avem $a=10$.

3. $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }(ax+1)=1$ pentru orice $a$, fiindcă $ax\to 0$; iar $f(0)=3$. Condiția $1=3$ e falsă, deci nu există niciun $a$. Punctul rămâne de discontinuitate de speța I, cu saltul $2$.

4. $f(1)=a+1=l_s(1)$, $l_d(1)=4-2=2$. Din $a+1=2$ rezultă $a=1$.

5. $l_s(1)=a+2$, $f(1)=2+a^2=l_d(1)$. Din $a+2=2+a^2$ obținem $a^2-a=0$, deci $a\in \{0,1\}$. Verificare: pentru $a=0$ lanțul e $2=2=2$ ✓; pentru $a=1$ este $3=3=3$ ✓.

6. Fals. Continuitatea fiecărei ramuri asigură doar continuitatea în interiorul ramurilor. În punctele de racord funcția poate face un salt — vezi exercițiul 3, unde ambele ramuri sunt polinomiale, deci continue, iar funcția totuși nu e continuă în $0$.

7. Adevărat. Ramurile nu se suprapun, deci $x_0$ aparține exact uneia dintre ele, iar $f(x_0)$ se calculează cu formula acelei ramuri. Este pasul 1 al algoritmului și cel mai des uitat.

8. În $0$: $f(0)=a=l_s(0)$, $l_d(0)=0^2+1=1$, deci $a=1$. În $2$: $l_s(2)=2^2+1=5$, iar $f(2)=2b-3=l_d(2)$, deci $2b-3=5$ și $b=4$. Verificare: ramurile devin $x+1$, $x^2+1$ și $4x-3$, cu lanțurile $1=1=1$ în $0$ și $5=5=5$ în $2$ ✓.

9. În $1$: $f(1)=2$, $l_s(1)=2$, $l_d(1)=a+b$, deci $a+b=2$. În $4$: $f(4)=16-5=11=l_d(4)$, $l_s(4)=4a+b$, deci $4a+b=11$. Scăzând, $3a=9$, deci $a=3$ și $b=-1$. Verificare: $3-1=2$ ✓ și $12-1=11$ ✓.

10. $\frac{\sin 5x}{x}=5\cdot \frac{\sin 5x}{5x}$; notăm $t=5x$, iar cum $5x\to 0$ când $x\to 0$ și $5x\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $0$, substituția e legitimă și limita este $5\cdot 1=5$. Deci $a=5$.

11. $f(0)=a=l_d(0)$ (ramura din dreapta e constantă), iar $l_s(0)=\ln 3$, prin limita fundamentală cu exponențială pentru baza $3$. Deci $a=\ln 3\approx 1,098612$.

12. Tariful este $T(x)=3+2x$ pentru $x\le 10$ și $T(x)=a+1,5x$ pentru $x>10$. În $x_0=10$: $T(10)=23=l_s(10)$, iar $l_d(10)=a+15$. Din $a+15=23$ rezultă $a=8$. Fără această alegere, clientul ar plăti brusc mai mult (sau mai puțin) trecând de kilometrul zece.

13. $f(1)=1+a+1=a+2=l_s(1)$, iar $l_d(1)=2+3=5$. Din $a+2=5$ rezultă $a=3$.

14. $\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4$ pentru $x\ne 2$, deci limita în $2$ este $4+4+4=12$. Așadar $a=12$.

15. Pentru $x<1$: $\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$, deci $l_s(1)=-1$. Pentru $x>1$: $l_d(1)=2-3=-1$. Cum $f(1)=a$, condiția de continuitate dă $a=-1$. Verificare: lanțul devine $-1=-1=-1$ ✓.

16. $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$, iar valoarea aceasta nu depinde de $a$. O limită laterală infinită exclude continuitatea (care cere limită finită) și clasifică punctul ca fiind de speța a II-a, indiferent de parametru.

17. $f(-1)=1+a=l_s(-1)$, iar $l_d(-1)=-a+4$. Din $1+a=4-a$ obținem $2a=3$, deci $a=\frac{3}{2}$. Verificare: $1+1,5=2,5$ și $-1,5+4=2,5$ ✓.

18. Pentru ca limita să fie finită, numărătorul trebuie să se anuleze în $1$ (altfel raportul ar avea limită infinită), deci $1+a+b=0$, adică $b=-1-a$. Împărțind, $x^2+ax-1-a=(x-1)\left(x+a+1\right)$, deci pentru $x\ne 1$ avem $f(x)=x+a+1$ și $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=a+2$. Condiția $a+2=5$ dă $a=3$, apoi $b=-4$. Verificare: $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$, deci $f(x)=x+4$ pentru $x\ne 1$, cu limita $5=f(1)$ ✓.

De reținut

• Într-o funcție pe ramuri, continuitatea se decide numai în punctele de racord; în interiorul ramurilor ea vine din operațiile cu limite ale expresiilor uzuale.
• Algoritmul are cinci pași: $f(x_0)$ de pe ramura potrivită, $l_s(x_0)$, $l_d(x_0)$, ecuația $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$, verificarea prin substituție.
• Două racorduri cu doi parametri dau un sistem liniar de două ecuații, rezolvabil cu regula lui Cramer.
• Ecuația în parametru poate fi de gradul al doilea (două valori valabile) sau poate fi imposibilă (nicio valoare) — atunci se scrie explicit că mulțimea soluțiilor este vidă.
• Dacă o limită laterală în punctul de racord este infinită sau nu există, niciun parametru nu poate face funcția continuă acolo.

Greșeli frecvente

• Egalezi doar cele două limite laterale și uiți $f(x_0)$. Din $l_s(x_0)=l_d(x_0)$ rezultă doar existența limitei. La ramuri de tipul „$a$ pentru $x=x_0$", valoarea din punct este chiar necunoscuta, deci ea trebuie să intre în lanț.
• Iei $f(x_0)$ de pe ramura greșită. La $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=ax$ pentru $x>1$, avem $f(1)=1$, nu $a$. Semnul $\le$ față de $<$ hotărăște de unde se citește valoarea.
• Înlocuiești $x$ cu $x_0$ înainte de a elimina nedeterminarea. La $\frac{x^2-9}{x-3}$ în $3$ nu se scrie $\frac{0}{0}$ și nu se sare la o valoare: se factorizează, se simplifică și abia apoi se înlocuiește.
• Nu verifici rădăcinile ecuației în parametru. Când ecuația e de gradul al doilea, ambele soluții trebuie testate în lanțul de egalități și confruntate cu eventualele condiții din enunț ($a>0$, $a$ întreg și așa mai departe).
• Declari continuitatea pe $\mathbb{R}$ fără să spui nimic despre celelalte puncte. Rezolvarea completă are două părți: racordurile (unde se determină parametrii) și o frază care justifică restul domeniului prin faptul că acolo funcția e dată de expresii uzuale.

Aplică acasă

1. Legea impozitului, scrisă de tine. Presupune că un venit până la $4000$ de lei se impozitează cu $10\%$, iar peste $4000$ de lei cu $20\%$ din suma care depășește pragul, plus o sumă fixă $a$. Scrie funcția impozit pe ramuri și determină $a$ astfel încât nimeni să nu piardă bani câștigând un leu în plus. Compară rezultatul cu ce se întâmplă dacă alegi $a=0$.

2. Tarife reale. Găsește pe internet grila de prețuri a unui abonament de telefonie sau de internet care are un prag de trafic. Scrie costul ca funcție pe ramuri și verifică dacă funcția este continuă în punctul de prag. Dacă nu este, calculează saltul și spune cine plătește diferența.

3. Racordul desenat. Pe hârtie milimetrică, trasează ramura $y=x^2$ pentru $x\le 1$, apoi încearcă să prelungești graficul cu o dreaptă $y=ax+b$ care pornește exact din capătul curbei. Vei observa că o singură condiție ($a+b=1$) fixează familia de drepte posibile, iar a doua condiție, dintr-un al doilea racord, alege una singură — exact ca în Exemplul 4.

Pentru părinți și profesori

Lecția este cea mai „de examen" din întreaga unitate: tiparul „determinați parametrul real pentru care funcția este continuă" apare la aproape fiecare sesiune de Bacalaureat M1 și este, de regulă, un subiect pe care elevii îl pot rezolva integral, cu condiția să respecte ordinea pașilor. Dificultatea nu este conceptuală, ci de disciplină a redactării: valoarea din punct trebuie citită de pe ramura corectă, nedeterminările trebuie eliminate înainte de înlocuire, iar soluția trebuie verificată.

Ce verifică lecția: (1) identificarea punctelor de racord și justificarea continuității în rest; (2) calculul corect al celor trei numere; (3) transformarea lanțului de egalități într-o ecuație sau într-un sistem; (4) tratarea cazurilor speciale — două soluții, nicio soluție, limită infinită; (5) verificarea prin substituție. Întrebări bune de control: „De ce nu ai nevoie să studiezi și celelalte puncte?", „De pe ce ramură iei valoarea?", „Ce faci dacă parametrul dispare din ecuație?", „De ce nu ajunge să egalezi limitele laterale între ele?".

La BAC M1, subiectul apare atât ca cerință de sine stătătoare, cât și ca punct b) al unei probleme care continuă cu derivabilitatea — pentru că verificarea derivabilității începe întotdeauna cu verificarea continuității (derivate laterale). Semne că elevul a înțeles: scrie spontan cele trei numere, verifică soluția fără să i se ceară și nu confundă „nu există $a$" cu „orice $a$". Recomandarea pentru acasă: două-trei exerciții pe săptămână din acest tipar, până când algoritmul devine reflex.

Întrebări frecvente

Cum determin parametrul pentru care o funcție pe ramuri este continuă? Calculezi cele trei numere din punctul de racord — limita la stânga, valoarea funcției și limita la dreapta —, le pui egale în lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$, rezolvi ecuația obținută și verifici soluția prin substituție.

De ce se studiază continuitatea doar în punctele de racord? Pentru că în interiorul fiecărei ramuri funcția e dată de o expresie uzuală, iar pentru astfel de expresii limita într-un punct al domeniului este chiar valoarea funcției, prin operațiile cu limite. Continuitatea de acolo nu depinde de parametru.

De pe ce ramură iau valoarea $f(x_0)$? De pe ramura a cărei condiție este verificată de $x_0$. Dacă ramura din stânga are condiția $x\le 2$, atunci $f(2)$ se calculează cu formula ei; dacă avea $x<2$, valoarea s-ar lua de pe ramura din dreapta.

Ce fac dacă ecuația în parametru are două soluții? Le păstrezi pe amândouă, dar le verifici pe fiecare în lanțul de egalități și le confrunți cu eventualele condiții suplimentare din enunț. Răspunsul se scrie ca mulțime, de exemplu $a\in \{-4,1\}$.

Ce înseamnă că nu există niciun parametru bun? Înseamnă că ecuația obținută este imposibilă — de obicei pentru că parametrul s-a simplificat și a rămas o egalitate falsă între două numere. Atunci funcția are, în acel punct, o discontinuitate pe care niciun coeficient nu o poate elimina.

Cum procedez când am doi parametri? Scrii câte o ecuație pentru fiecare punct de racord și rezolvi sistemul de două ecuații cu două necunoscute, de exemplu cu regula lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este nenul, soluția este unică.

Ce fac dacă la racord apare o nedeterminare? Elimini nedeterminarea înainte de orice înlocuire: factorizezi și simplifici la funcțiile raționale, amplifici cu conjugata la radicali sau folosești limitele fundamentale la sinus, exponențială și logaritm. Abia apoi scrii valoarea limitei laterale.