Continuitatea unei funcții într-un punct: pe scurt

Definiție. $f:D\to \mathbb{R}$ este continuă în $x_0\in D$ dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Egalitatea împachetează trei cerințe, punctate separat la examen: $x_0$ să fie în domeniu; limita să existe și să fie finită; cele două să fie egale. Continuitatea este o proprietate locală și punctuală — se afirmă despre o funcție și un punct. Dacă $x_0$ este punct izolat al domeniului, $f$ e continuă acolo prin convenție.

Criteriul cu șiruri: $f$ e continuă în $x_0$ dacă și numai dacă pentru orice șir $(x_n)$ din $D$ cu $x_n\to x_0$ avem $f(x_n)\to f(x_0)$. Spre deosebire de definiția limitei, aici termenii au voie să fie egali cu $x_0$. Ca să infirmi continuitatea e de ajuns un singur contraexemplu.

Forma de lucru este lanțul de trei egalități $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$; la un capăt închis al domeniului se cere doar continuitatea laterală dinspre interior.

Funcțiile uzuale sunt continue în fiecare punct al domeniului lor — graficul se trasează fără să ridici creionul. Rețeta are trei pași: valoarea (de pe ramura care conține punctul), cele două limite laterale, comparația.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$ pentru $x<3$ și $f(x)=5x-4$ pentru $x\ge 3$. Atunci:

   • a) $f$ nu este continuă în $3$, deoarece $l_s(3)=11$ și $l_d(3)=15$
   • b) $f$ este continuă în $3$
   • c) $f$ nu este continuă în $3$, deoarece $f(3)=11$ și $l_s(3)=9$
   • d) $f$ nu este continuă în $3$, deoarece ramurile au formule diferite
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $f$ este continuă în $3$

   Punctul $3$ verifică $x\ge 3$, deci $f(3)=5\cdot 3-4=11$. Apoi $l_s(3)=3^2+2=11$ și $l_d(3)=5\cdot 3-4=11$. Lanțul $11=11=11$ se închide, deci $f$ este continuă în $3$. Varianta d) confundă forma expresiei cu comportarea funcției — acolada cere doar să verifici racordul.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}$ pentru $x\ne 5$ și $f(5)=8$. Atunci:

   • a) $f$ este continuă în $5$
   • b) $f$ nu este continuă în $5$, deoarece limita ei în $5$ nu există
   • c) $f$ nu este continuă în $5$, deoarece $5$ nu aparține domeniului
   • d) $f$ nu este continuă în $5$, deoarece $\underset{x\to 5}{\lim }f(x)=10\ne 8=f(5)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ nu este continuă în $5$, deoarece $\underset{x\to 5}{\lim }f(x)=10\ne 8=f(5)$

   Pentru $x\ne 5$ avem $\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=x+5$, deci limita în $5$ există și este $10$. Valoarea impusă prin enunț este $8$, iar $10\ne 8$: a treia cerință a definiției cade. Varianta c) e falsă — domeniul este $\mathbb{R}$, funcția fiind definită și în $5$.

3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) Dacă $l_s(x_0)=l_d(x_0)$, atunci $f$ este continuă în $x_0$
   • b) Continuitatea se afirmă despre o funcție, nu despre o funcție și un punct
   • c) Dacă $x_0$ este punct izolat al domeniului, $f$ este continuă în $x_0$ prin convenție
   • d) O funcție continuă în $x_0$ poate avea $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) Dacă $x_0$ este punct izolat al domeniului, $f$ este continuă în $x_0$ prin convenție

   Într-un punct izolat limita nici nu se definește, iar funcția nu are cum să „sară”, neavând vecini cu care să se compare. a) e incompletă: lanțul cere și egalitatea cu $f(x_0)$. b) e falsă — aceeași funcție poate fi continuă în $2$ și discontinuă în $5$. d) e falsă: limita trebuie să fie finită, egală cu un număr real.