Continuitatea unei funcții într-un punct

Temperatura din camera ta la ora $7:00$ nu poate sări de la $18$ la $25$ de grade fără să treacă prin $21$. Nivelul apei dintr-un pahar care se umple nu poate face un salt. În schimb, cifra afișată de un ceas digital sare, iar prețul unui bilet de parcare crește dintr-odată la ora fixă. Ambele feluri de mărimi există în lume — și amândouă se pot scrie ca funcții. Diferența dintre ele este exact noțiunea pe care o construiești astăzi.

Până acum ai calculat limita unei funcții într-un punct, adică ai urmărit spre ce se îndreaptă valorile ei când $x$ se apropie de $x_0$. Ai calculat separat și valoarea $f(x_0)$, atunci când punctul e în domeniu. Cele două numere sunt, prin definiție, lucruri diferite: limita nu se uită deloc la ce se întâmplă în $x_0$, ci doar în jurul lui. Continuitatea este afirmația că, pentru funcția respectivă și pentru punctul respectiv, cele două numere coincid. Atât. Din această egalitate aparent modestă se nasc, în lunile următoare, proprietatea valorilor intermediare, tabelele de semn, derivata și tot studiul variației funcțiilor.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția continuității într-un punct: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, cu cele trei condiții pe care le ascunde.
• Vei ști să folosești criteriul cu șiruri, forma echivalentă cerută de programă, atât pentru a demonstra continuitatea, cât și pentru a o infirma.
• Vei ști să verifici continuitatea laterală (la stânga și la dreapta) și să o folosești ca teoremă de decizie la funcțiile definite pe ramuri.
• Vei ști de ce funcțiile uzuale sunt continue în fiecare punct al domeniului lor și cum se citește acest lucru pe grafic.
• Vei ști ce se întâmplă în punctele izolate ale domeniului și la capetele închise ale unui interval.
• Vei ști să scrii o rezolvare completă, în ordinea cerută de baremele de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Trei numere, o singură întrebare

Fixează o funcție $f:D\to \mathbb{R}$ și un punct $x_0\in D$ care este punct de acumulare al lui $D$ (lecția despre puncte de acumulare). În jurul lui $x_0$ poți vorbi despre trei numere:

1. valoarea $f(x_0)$ — există întotdeauna, pentru că $x_0$ e în domeniu;
2. limita la stânga $l_s(x_0)$ și limita la dreapta $l_d(x_0)$ — pot exista sau nu, pot fi finite sau infinite;
3. limita $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ — există exact atunci când cele două limite laterale există și sunt egale (lecția despre limite laterale).

Limita descrie drumul către $x_0$; valoarea descrie destinația. Nimic din matematica de până acum nu te obligă ca drumul să ducă în destinație: poți avea o funcție care se apropie de $2$ și în punct valorează $7$. Când drumul chiar duce în destinație, spunem că funcția este continuă în acel punct.

2. Definiția

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$. Spunem că $f$ este continuă în $x_0$ dacă $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$$ *O funcție care nu este continuă în $x_0$ se numește discontinuă în $x_0$, iar $x_0$ se numește punct de discontinuitate.*

Egalitatea aceasta conține, împachetate, trei cerințe, iar la examen se punctează separat:

• $x_0$ trebuie să fie în domeniul lui $f$, altfel $f(x_0)$ nici nu se poate scrie;
• limita din stânga egalității trebuie să existe și să fie finită (dacă ar fi infinită, nu ar putea fi egală cu un număr real);
• cele două trebuie să fie egale.

Continuitatea este, prin urmare, o proprietate locală și punctuală: se afirmă despre o funcție și un punct, niciodată despre o funcție singură. Are sens perfect ca aceeași funcție să fie continuă în $2$ și discontinuă în $5$.

O precizare care închide un caz special. Dacă $x_0\in D$ este punct izolat — adică nu e punct de acumulare al lui $D$ —, atunci limita în $x_0$ nici nu se definește. În această situație spunem, prin convenție, că $f$ este continuă în $x_0$. Convenția nu e capricioasă: într-un punct izolat funcția nu are cum să „sară", pentru că nu are vecini cu care să se compare.

3. Criteriul cu șiruri

Definiția limitei de funcție a fost dată, așa cum cere programa, cu șiruri. Transcriind-o în cazul $\ell =f(x_0)$, obținem forma de lucru a continuității.

Teoremă (criteriul cu șiruri). $f$ este continuă în $x_0\in D$ dacă și numai dacă pentru orice șir $(x_n)$ de puncte din $D$ cu $x_n\to x_0$ avem $f(x_n)\to f(x_0)$.

Observă o diferență fină, dar importantă, față de definiția limitei: acolo șirurile se luau din $D\setminus \{x_0\}$, adică aveau voie să evite punctul; aici termenii $x_n$ pot fi egali cu $x_0$, fără ca nimic să se strice — dacă $x_n=x_0$, atunci $f(x_n)=f(x_0)$, exact valoarea către care oricum tindem.

Criteriul se folosește în două direcții:

• ca să demonstrezi continuitatea, iei un șir oarecare $x_n\to x_0$ și transporți limita prin expresia funcției, cu operațiile cu limite de șiruri (lecția despre operații cu șiruri convergente);
• ca să infirmi continuitatea, e de ajuns un singur șir $x_n\to x_0$ pentru care $f(x_n)\nrightarrow f(x_0)$; sau două șiruri ale căror imagini au limite diferite, caz în care limita funcției nici nu există.

A doua direcție e cea mai rentabilă: pentru a dărâma continuitatea nu ai nevoie de „orice șir", ci de un contraexemplu. Este exact tiparul care va rezolva, în lecția următoare, cazurile în care limitele laterale nu există deloc.

Merită spus și de ce programa alege tocmai această formă, în locul uneia cu vecinătăți. Motivul e economic: despre șiruri știi deja foarte multe. Ai criterii de convergență, ai operații, ai criteriul cleștelui, ai teorema lui Weierstrass. Criteriul cu șiruri este puntea prin care tot acest arsenal, construit în lunile trecute pentru șiruri, se mută la funcții fără să fie reconstruit. De fiecare dată când transporți o limită prin expresia unei funcții, folosești de fapt teoreme despre șiruri — doar că nu mai ai nevoie să le numești.

4. Continuitate laterală

Când funcția e definită altfel la stânga și altfel la dreapta lui $x_0$, e mai comod să spargi definiția în două jumătăți.

Definiție. $f$ este continuă la stânga în $x_0$ dacă $$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)=f(x_0),$$ și continuă la dreapta în $x_0$ dacă $$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)=f(x_0).$$

Notațiile compacte $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$, introduse în lecția despre limite laterale pentru cele două limite de mai sus, le vom folosi de aici încolo ca prescurtare, ori de câte ori forma completă ar îngreuna citirea. Cele două definiții devin, pe scurt, $l_s(x_0)=f(x_0)$ și $l_d(x_0)=f(x_0)$.

Teoremă. $f$ este continuă în $x_0$ dacă și numai dacă este continuă la stânga și la dreapta în $x_0$, adică $$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)=f(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x),\text{pe scurt}{l}_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0).$$

Acest lanț de trei egalități este forma practică a definiției și scheletul oricărei rezolvări. El împachetează într-o singură linie tot ce trebuie verificat, iar ordinea în care scrii cele trei numere — stânga, valoare, dreapta — te ferește de greșeala clasică de a compara doar limitele laterale între ele și de a uita valoarea din punct.

Un caz care merită spus separat: dacă $x_0$ este capătul închis al unui interval din domeniu (de exemplu $0$ pentru $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$), atunci dintr-o parte nu există puncte ale domeniului, iar continuitatea cerută este doar cea laterală dinspre interior. La $\sqrt{x}$ în $0$ se verifică numai $l_d(0)=f(0)$, pentru că la stânga lui $0$ funcția nici nu e definită.

5. De ce funcțiile uzuale sunt continue pe domeniul lor

Ai calculat deja limitele funcțiilor putere, radical, exponențială, logaritmică și trigonometrice în punctele de acumulare ale domeniului maxim (limitele funcțiilor putere și radical, limitele funcțiilor exponențială și logaritmică, limitele funcțiilor trigonometrice). De fiecare dată ai obținut același lucru: într-un punct din domeniu, limita este chiar valoarea funcției.

$$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^3=8=f(2),\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1=\cos 0,\underset{x\to 1}{\lim }\ln x=0=\ln 1.$$

Formulat cu vocabularul de azi: funcțiile uzuale sunt continue în fiecare punct al domeniului lor de definiție.

Justificarea grafică, cerută explicit de sugestiile metodologice ale programei, este cea mai convingătoare. Desenează graficul funcției $f(x)=x^2$ și pune degetul pe el, la stânga lui $x_0=2$; plimbă-l spre dreapta. Ordonata punctului tău urcă spre $4$ și ajunge la $4$ exact când abscisa ajunge la $2$; dacă vii din partea cealaltă, se întâmplă la fel. Curba nu are nici gaură, nici treaptă deasupra lui $2$: e trasată dintr-o singură mișcare, fără să ridici creionul. Aceeași lectură funcționează pe graficul funcției radical, al exponențialei (funcția exponențială) sau al sinusului — și tot ea explică de ce citirea unei limite de pe grafic, în punctele domeniului, se reduce la citirea unei valori.

Justificarea prin calcul este la fel de scurtă. Pentru o funcție polinomială, operațiile cu limite de funcții dau, în orice $x_0$ real, $$\underset{x\to x_0}{\lim }\left(a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0\right)=a_n{x}_0^n+\cdots +a_1{x}_0+a_0=f(x_0),$$ deci egalitatea din definiție e verificată. La fel se procedează cu o funcție rațională, în orice punct în care numitorul nu se anulează: limita câtului este câtul limitelor, iar rezultatul este exact valoarea funcției.

Enunțul general — suma, produsul, câtul și compunerea funcțiilor continue sunt continue — se dă sistematic în lecția Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue. Până atunci nu-l invocăm ca teoremă: de fiecare dată când avem nevoie de continuitatea unei expresii uzuale, o obținem, în două rânduri, din operațiile cu limite.

6. Rețeta de lucru, în trei pași

La orice cerință de tipul „studiați continuitatea funcției $f$ în punctul $x_0$", scrii, în această ordine:

1. valoarea $f(x_0)$ — și, dacă funcția e dată pe ramuri, precizezi de pe ce ramură o iei (cea care conține efectiv punctul $x_0$, adică cea a cărei condiție e satisfăcută de $x_0$);
2. limitele laterale $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$, calculate fiecare pe ramura ei, cu tehnicile de eliminare a nedeterminărilor deja învățate;
3. comparația: dacă $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$, funcția este continuă în $x_0$; altfel, este discontinuă și spui exact care egalitate cade.

Pasul 1 este cel mai des sărit și cel mai des sancționat. Într-o funcție dată pe ramuri, valoarea $f(x_0)$ nu e nici $l_s$, nici $l_d$: e o a treia informație, citită din enunț.

Când funcția nu e dată pe ramuri și în $x_0$ nu apare nicio nedeterminare, cei trei pași se prăbușesc într-unul singur: limita este valoarea, iar continuitatea e imediată. De aceea, în practică, întrebarea „unde poate să nu fie continuă?" are un răspuns scurt: în punctele de racord ale ramurilor și în punctele unde apare o nedeterminare — restul domeniului este continuu din construcție.

7. Lectura grafică

Pe un grafic, continuitatea în $x_0$ înseamnă un singur lucru: deasupra lui $x_0$, curba este nesparta. Trei tipare arată contrariul și le vei recunoaște imediat:

• cerculeț gol plus punct plin în altă parte — limita există, dar nu e valoarea;
• două ramuri la înălțimi diferite — limitele laterale există, dar diferă;
• ramuri care fug spre $\pm \infty$ sau oscilează fără să se așeze — o limită laterală nu e finită sau nici nu există.

Toate trei sunt clasificate riguros în lecția Puncte de discontinuitate; aici te interesează doar să le vezi. Exersează citirea și în sens invers, pornind de la un grafic dat (graficul unei funcții și lectura grafică): pune degetul pe curbă, apropie-te de $x_0$ din stânga, notează unde ajungi; repetă din dreapta; compară cu punctul desenat plin deasupra lui $x_0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție polinomială

Studiați continuitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$, în punctul $x_0=2$.

Rezolvare. Valoarea: $f(2)=4-6+2=0$.

Limita: funcția fiind polinomială, prin operațiile cu limite obținem $$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2-3x+2\right)=2^2-3\cdot 2+2=0.$$

Comparația: limita este egală cu valoarea, deci $f$ este continuă în $x_0=2$. Același raționament merge în orice punct real, deci $f$ este continuă în fiecare punct al lui $\mathbb{R}$.

Exemplul 2 — Funcție pe ramuri, cu racord reușit

Studiați continuitatea în $x_0=1$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 1\\ 2x,& x>1\end{array}$.

Rezolvare. Valoarea: punctul $1$ verifică condiția $x\le 1$, deci se ia de pe prima ramură: $f(1)=1+1=2$.

Limitele laterale: $$l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x+1)=2,l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }2x=2.$$

Comparația: $l_s(1)=f(1)=l_d(1)=2$, deci $f$ este continuă în $x_0=1$.

Verificare numerică: $f(0,999)=1,999$ și $f(1,001)=2,002$ — ambele foarte aproape de $2$. ✓

Exemplul 3 — Continuitate doar de o parte

Studiați continuitatea în $x_0=1$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1\\ 3,& x\ge 1\end{array}$.

Rezolvare. Valoarea: $1$ verifică $x\ge 1$, deci $f(1)=3$.

Limitele laterale: $l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }{x}^2=1$ și $l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }3=3$.

Comparația: $l_d(1)=3=f(1)$, deci $f$ este continuă la dreapta în $1$. Dar $l_s(1)=1\ne 3=f(1)$, deci nu este continuă la stânga, prin urmare nu este continuă în $1$.

Cele două limite laterale există și sunt finite, iar diferența $l_d(1)-l_s(1)=2$ măsoară cât de mare e treapta. Numele acestei situații îl vei fixa în lecția următoare.

Exemplul 4 — La capătul închis al domeniului

Studiați continuitatea în $x_0=0$ a funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

Rezolvare. La stânga lui $0$ nu există puncte din domeniu, deci $0$ nu este punct de acumulare al domeniului „dinspre stânga": se verifică numai continuitatea la dreapta.

$$f(0)=\sqrt{0}=0,l_d(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}=0.$$

Cum $l_d(0)=f(0)$, funcția este continuă în $x_0=0$ (continuitate laterală dinspre interiorul domeniului).

Verificare numerică: $\sqrt{0,000001}=0,001$, iar $\sqrt{10^{-8}}=10^{-4}$ — valorile coboară spre $0$. ✓

Atenție la formulare: nu se spune „$f$ nu e continuă la stânga în $0$", pentru că nu există nimic la stânga de verificat. Cerința de continuitate laterală se pune numai acolo unde funcția are puncte.

Exemplul 5 — Funcția modul

Arătați, folosind criteriul cu șiruri, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-2|$, este continuă în $x_0=2$.

Rezolvare. Avem $f(2)=|0|=0$. Fie $(x_n)$ un șir oarecare de numere reale cu $x_n\to 2$. Atunci $x_n-2\to 0$, iar din inegalitatea $$0\le ||x_n-2|-0|=|x_n-2|$$ și din criteriul cleștelui rezultă $|x_n-2|\to 0=f(2)$.

Cum șirul $(x_n)$ a fost ales arbitrar, criteriul cu șiruri dă continuitatea lui $f$ în $2$. (Funcția modul a fost studiată la funcția modul; graficul ei are un colț în $2$, dar colțul nu strică deloc continuitatea — el va conta abia la derivabilitate.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 3x}{x},& x\ne 0\\ 3,& x=0\end{array}$. a) Calculați $f(0)$ și $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. b) Arătați că $f$ este continuă în $x_0=0$.

Rezolvare.

a) Din enunț, $f(0)=3$. Pentru limită folosim limita fundamentală $\frac{\sin x}{x}$, în forma compusă, cu justificarea completă a substituției: notăm $t=3x$; cum $3x\to 0$ când $x\to 0$ și $3x\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $0$, obținem $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}=3\cdot \underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=3\cdot 1=3.$$

b) Limita este finită și egală cu valoarea: $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=3=f(0)$. Prin definiție, $f$ este continuă în $0$.

Observație de barem: substituția $t=3x$ trebuie scrisă, nu subînțeleasă; baremele de la Bacalaureat M1 acordă punct separat pentru justificarea ei. Verificare numerică: $f(10^{-6})=2,999999999996$. ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie lanțul complet $l_s(x_0)$, $f(x_0)$, $l_d(x_0)$ și abia apoi concluzia.

1. Studiază continuitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-5x+2$, în $x_0=1$.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ pentru $x\ne -1$ și $f(-1)=-2$. Este $f$ continuă în $-1$?

3. Studiază continuitatea în $x_0=3$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1,& x\le 3\\ x+2,& x>3\end{array}$.

4. Studiază continuitatea în $x_0=0$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x<0\\ x+1,& x\ge 0\end{array}$.

5. Studiază continuitatea în $x_0=1$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x<1\\ 3-x,& x\ge 1\end{array}$ și precizează dacă e continuă lateral, măcar de o parte.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ are limită în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este continuă la stânga și la dreapta în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție poate fi continuă într-un punct în care nu este definită."

9. Folosind criteriul cu șiruri, arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$, este continuă în $x_0=3$.

10. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{|x|}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$. Studiază continuitatea laterală în $0$.

11. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$, este continuă în $0$.

12. Fie $f:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-1}$. Ce fel de continuitate se verifică în $x_0=1$ și de ce?

13. (Problemă aplicată.) Un operator taxează convorbirile în două feluri: (A) $0,5$ lei pentru fiecare minut, facturat la secundă; (B) $0,5$ lei pentru fiecare minut început. Scrie costul ca funcție de durata $t$, în minute, și spune care dintre cele două funcții este continuă în $t_0=1$.

14. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=4$. Studiază continuitatea în $2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+1,& x\le 2\\ x^2+3,& x>2\end{array}$, este continuă în $x_0=2$.

16. Studiază continuitatea în $x_0=0$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x\le 0\\ x+1,& x>0\end{array}$.

17. Fie $D=(0,1)\cup \{2\}$ și $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție oarecare. Este $f$ continuă în $x_0=2$? Justifică.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Arată, cu criteriul cu șiruri și cu o majorare, că $f$ este continuă în $0$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(1)=3-5+2=0$, iar limita unei funcții polinomiale în orice punct este valoarea ei: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=0$. Cele două coincid, deci $f$ este continuă în $1$.

2. Pentru $x\ne -1$, $\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$, deci $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=-2$. Cum $f(-1)=-2$, funcția este continuă în $-1$.

3. $f(3)=5$ (de pe prima ramură, fiindcă $3\le 3$); $l_s(3)=2\cdot 3-1=5$; $l_d(3)=3+2=5$. Lanțul $5=5=5$ este verificat, deci $f$ e continuă în $3$.

4. $f(0)=1$ (a doua ramură, $0\ge 0$); $l_s(0)=0^2+1=1$; $l_d(0)=0+1=1$. Funcția este continuă în $0$.

5. $f(1)=3-1=2$; $l_s(1)=1+2=3$; $l_d(1)=2$. Cum $l_d(1)=f(1)$, funcția este continuă la dreapta; cum $l_s(1)=3\ne 2$, nu e continuă la stânga, deci nu e continuă în $1$.

6. Fals. Limita poate exista fără ca punctul să fie în domeniu (de exemplu $\frac{x^2-4}{x-2}$ în $2$) sau poate exista și să difere de valoare (exercițiul 14 cu $f(2)=7$ în loc de $4$). Existența limitei este doar una dintre cele trei cerințe.

7. Adevărat. Este exact teorema din §4: $l_s(x_0)=f(x_0)$ și $l_d(x_0)=f(x_0)$ dau împreună lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$, adică $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

8. Fals. Continuitatea în $x_0$ se afirmă numai pentru $x_0\in D$: fără $f(x_0)$, egalitatea din definiție nu se poate nici măcar scrie.

9. Fie $(x_n)$ un șir oarecare cu $x_n\to 3$. Din operațiile cu șiruri convergente, $2x_n+1\to 2\cdot 3+1=7=f(3)$. Cum șirul a fost arbitrar, criteriul cu șiruri dă continuitatea în $3$.

10. Pentru $x>0$, $\frac{|x|}{x}=1$, deci $l_d(0)=1=f(0)$: funcția e continuă la dreapta. Pentru $x<0$, $\frac{|x|}{x}=-1$, deci $l_s(0)=-1\ne 1$: nu e continuă la stânga, deci nu e continuă în $0$.

11. $f(0)=1$, iar $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ este limita fundamentală. Cele două coincid, deci $f$ este continuă în $0$.

12. La stânga lui $1$ nu există puncte ale domeniului, deci se verifică doar continuitatea la dreapta: $f(1)=0$ și $l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\sqrt{x-1}=0$. Funcția este continuă în $1$.

13. (A) $C_A(t)=0,5t$, funcție de gradul întâi, continuă în orice punct, deci și în $t_0=1$. (B) $C_B$ valorează $0,5$ pentru $t\in (0,1]$ și $1$ pentru $t\in (1,2]$, adică se calculează cu numărul de minute începute: avem $l_s(1)=0,5=C_B(1)$, dar $l_d(1)=1$, deci $C_B$ e continuă doar la stânga în $1$. Modelul cu minute începute face un salt exact la minutul rotund — de acolo vine senzația că „ai plătit un minut întreg pentru o secundă".

14. Pentru $x\ne 2$, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$, deci $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$; cum $f(2)=4$, funcția este continuă în $2$. (Dacă enunțul ar fi pus $f(2)=7$, funcția ar fi discontinuă, deși limita există.)

15. $f(2)=3\cdot 2+1=7$ (prima ramură, $2\le 2$); $l_s(2)=7$; $l_d(2)=2^2+3=7$. Lanțul se verifică, deci $f$ este continuă în $2$.

16. $f(0)=e^0=1$; $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }{e}^x=1$; $l_d(0)=0+1=1$. Funcția este continuă în $0$.

17. Da. Punctul $2$ aparține domeniului, dar nu este punct de acumulare al lui $D$ (intervalul $(1,5;2,5)$ nu conține alt punct din $D$ în afară de $2$), deci este punct izolat. Prin convenție, orice funcție este continuă într-un punct izolat al domeniului.

18. Fie $(x_n)$ un șir cu $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$. Cum $\left|\sin \frac{1}{x_n}\right|\le 1$, avem $$0\le \left|x_n\sin \frac{1}{x_n}\right|\le |x_n|\to 0,$$ deci, prin criteriul cleștelui, $f(x_n)\to 0=f(0)$. Dacă șirul are termeni egali cu $0$, pentru aceștia $f(x_n)=0$, deci concluzia nu se schimbă. Prin criteriul cu șiruri, $f$ este continuă în $0$ — deși funcția oscilează de o infinitate de ori în orice vecinătate a lui zero.

De reținut

• Definiția: $f$ este continuă în $x_0\in D$ dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$; egalitatea cere ca punctul să fie în domeniu, ca limita să existe și să fie finită și ca cele două să coincidă.
• Forma de lucru este lanțul de trei egalități $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$; se scrie mereu în această ordine.
• Criteriul cu șiruri: $f$ e continuă în $x_0$ dacă și numai dacă $x_n\to x_0$ implică $f(x_n)\to f(x_0)$, pentru orice șir din domeniu. Un singur contraexemplu dărâmă continuitatea.
• Funcțiile uzuale (polinomiale, raționale, radical, exponențială, logaritmică, trigonometrice) sunt continue în fiecare punct al domeniului lor — se vede pe grafic și se obține din operațiile cu limite.
• Cazuri speciale: într-un punct izolat funcția e continuă prin convenție; la un capăt închis al domeniului se cere doar continuitatea laterală dinspre interior.

Greșeli frecvente

• Compari doar limitele laterale între ele. Din $l_s(x_0)=l_d(x_0)$ rezultă că limita există, nu că funcția e continuă. Valoarea $f(x_0)$ trebuie adăugată în lanț: la $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ prelungită cu $f(2)=7$, limitele laterale sunt egale, dar funcția nu e continuă.
• Iei $f(x_0)$ de pe ramura greșită. Într-o funcție pe ramuri, valoarea se citește de pe ramura a cărei condiție e satisfăcută de $x_0$: la $f(x)=x^2$ pentru $x<1$ și $f(x)=3$ pentru $x\ge 1$, avem $f(1)=3$, nu $1$.
• Vorbești despre continuitate într-un punct din afara domeniului. „$f(x)=\frac{1}{x}$ nu e continuă în $0$" este o afirmație fără sens dacă domeniul e ${\mathbb{R}}^{\ast }$: în $0$ funcția nu are valoare, deci nu are nici continuitate, nici discontinuitate.
• Confunzi continuitatea cu „graficul are colț sau nu". Funcția $|x|$ are un colț în $0$ și este perfect continuă acolo. Colțul contează la derivabilitate, nu la continuitate.
• Uiți că limita trebuie să fie finită. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$, funcția nu e continuă în $x_0$, oricât de „regulat" ar arăta graficul: nu există niciun număr real $f(x_0)$ egal cu $+\infty$.

Aplică acasă

1. Ce e continuu în casa ta. Notează cinci mărimi pe care le poți urmări în timp: temperatura de la robinet după ce dai drumul la apă caldă, nivelul bateriei telefonului, numărul de mesaje necitite, poziția unei perdele trase, prețul afișat la pompa de benzină. Marchează-le cu C (continuă) sau D (cu salturi) și scrie, pentru fiecare mărime cu salturi, în ce moment exact se produce saltul.

2. Desenul cu creionul. Trasează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(x)=x^2$ pentru $x\in [-2,2]$, apoi șterge punctul de deasupra lui $x=1$ și pune un punct plin la înălțimea $3$. Ai construit chiar contraexemplul din §1. Arată-i cuiva desenul și cere-i să spună, din trei încercări, ce s-a stricat.

3. Tariful cu salturi. Caută grila de tarife a unei parcări sau a unui abonament de transport din orașul tău și scrie funcția cost în funcție de durată. Găsește primul punct în care apare un salt, calculează cele două limite laterale acolo și spune de care parte este funcția continuă. Este exact tiparul din exercițiul 13.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la calculul limitelor la prima proprietate calitativă a funcțiilor. Pentru elev, dificultatea nu este formula, ci faptul că trebuie ținute simultan în minte trei numere — limita la stânga, valoarea, limita la dreapta —, dintre care valoarea se citește din enunț, iar celelalte două se calculează. Aproape toate erorile de la clasă și de la examen vin din confundarea acestor trei informații sau din omiterea uneia.

Ce verifică lecția: (1) scrierea completă a lanțului $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$; (2) citirea corectă a valorii de pe ramura potrivită; (3) folosirea criteriului cu șiruri în ambele sensuri; (4) înțelegerea faptului că funcțiile uzuale sunt continue pe domeniul lor și că, prin urmare, „locurile suspecte" sunt puține și identificabile dinainte. Întrebări bune de control: „Ce trei numere compari?", „De pe ce ramură iei $f(x_0)$?", „Poate o funcție să fie continuă într-un punct în care nu e definită?", „De ce colțul funcției modul nu strică continuitatea?".

La BAC M1, continuitatea apare aproape la fiecare sesiune, cel mai adesea într-un subiect cu funcție pe ramuri și parametru — tiparul complet este subiectul lecției Funcții continue definite pe ramuri. Semne că elevul a înțeles: scrie spontan cele trei numere unul sub altul, precizează ramura de pe care ia valoarea și nu confundă „limita există" cu „funcția e continuă". Continuarea firească a lecției este clasificarea punctelor de discontinuitate, în Puncte de discontinuitate.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o funcție este continuă într-un punct? Înseamnă că limita funcției în acel punct este exact valoarea funcției acolo: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Intuitiv, graficul nu are nici gaură, nici treaptă deasupra lui $x_0$.

Care este diferența dintre limită și continuitate? Limita se uită doar în jurul punctului, nu și în punct, și poate exista chiar dacă funcția nu e definită în $x_0$. Continuitatea cere în plus ca punctul să fie în domeniu și ca limita să fie egală cu valoarea din punct.

Cum se scrie criteriul cu șiruri pentru continuitate? Funcția $f$ este continuă în $x_0$ dacă și numai dacă, pentru orice șir $(x_n)$ din domeniu cu $x_n\to x_0$, avem $f(x_n)\to f(x_0)$. Este forma cerută de programa de clasa a XI-a și este utilă mai ales pentru a demonstra că o funcție nu e continuă: ajunge un singur șir care nu se comportă.

Ce înseamnă continuitate laterală? Continuă la stânga înseamnă $l_s(x_0)=f(x_0)$, continuă la dreapta înseamnă $l_d(x_0)=f(x_0)$. Funcția e continuă în $x_0$ exact atunci când este continuă și la stânga, și la dreapta.

De unde știu că funcțiile uzuale sunt continue? Din calculele de limite făcute la lecțiile anterioare: în orice punct al domeniului, limita funcțiilor putere, radical, exponențială, logaritmică și trigonometrice este chiar valoarea funcției. Același lucru se citește direct pe graficele lor, care se trasează fără ridicarea creionului.

Poate o funcție să fie continuă într-un punct izolat? Da, și este chiar continuă acolo prin convenție. Într-un punct izolat nu există puncte vecine din domeniu, deci limita nu se poate defini, iar funcția nu are cum să „sară".

Unde caut punctele în care o funcție ar putea să nu fie continuă? În punctele de racord ale ramurilor, dacă funcția e dată pe ramuri, și în punctele în care expresia produce o nedeterminare sau anulează un numitor. În restul domeniului, continuitatea vine gratuit din faptul că expresia e construită din funcții uzuale.