Convexitatea și derivata a doua: pe scurt

Criteriul care înlocuiește inegalitatea cu coarda printr-un simplu studiu de semn: dacă $f$ este de două ori derivabilă pe intervalul $I$, atunci $f$ este convexă pe $I$ exact când $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe $I$ și concavă exact când $f^{\prime \prime }(x)\le 0$.

Puntea e ușor de ținut minte. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă monotonia lui $f^{\prime }$, adică felul în care se rotește tangenta: dacă panta tangentei crește de-a lungul curbei, graficul se scobește în sus și „ține apa" ($\cup$); dacă panta scade, graficul se bombează și „varsă apa" ($\cap$).

Rețeta are patru pași: domeniul și verificarea că $f$ e de două ori derivabilă; calculul lui $f^{\prime }$, apoi al lui $f^{\prime \prime }$, cu simplificare între ei; ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$, plus punctele în care $f^{\prime \prime }$ nu există sau funcția nu e definită; tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$, din care se citesc intervalele.

Inegalitățile din criteriu sunt nestricte, și nu din prudență: $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$ și rămâne convexă pe tot $\mathbb{R}$. Ce contează este ca $f^{\prime \prime }$ să nu-și schimbe semnul, nu să nu se anuleze.

Două confuzii de evitat: monotonia se citește din $f^{\prime }$, curbura din $f^{\prime \prime }$ — sunt informații independente, care se combină în patru feluri; iar concluzia se scrie pe câte un interval, niciodată pe o reuniune. La calculul semnului, separă factorii care nu schimbă niciodată semnul: exponențiale, pătrate, numitori la putere pară.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+6x^2-5$, este convexă pe:

   • a) $(-\infty ,-1]$
   • b) $\mathbb{R}$
   • c) $[-1,+\infty )$
   • d) $[-2,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $[-1,+\infty )$

   $f^{\prime }(x)=6x^2+12x$, iar $f^{\prime \prime }(x)=12x+12=12(x+1)$, cu zeroul $-1$: semnul este negativ înainte și pozitiv după. Deci $f$ este concavă pe $(-\infty ,-1]$ și convexă pe $[-1,+\infty )$. Valoarea $-2$ este zeroul derivatei întâi, deci ține de monotonie, nu de curbură — exact confuzia pe care o pândește acest tip de exercițiu.

2. Despre funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$, este adevărat că:

   • a) nu este convexă pe $\mathbb{R}$, pentru că $f^{\prime \prime }(0)=0$
   • b) este convexă pe $\mathbb{R}$, deși $f^{\prime \prime }(0)=0$
   • c) este concavă pe $(-\infty ,0]$
   • d) este convexă numai pe $[0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) este convexă pe $\mathbb{R}$, deși $f^{\prime \prime }(0)=0$

   $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, cu anulare doar în origine. Criteriul se scrie cu inegalitate nestrictă tocmai pentru acest caz: un zerou izolat al lui $f^{\prime \prime }$ nu strică nimic, pentru că semnul nu se schimbă la trecerea prin el. Verificarea directă din definiție confirmă convexitatea pe tot $\mathbb{R}$.

3. Fie $f$ de două ori derivabilă pe un interval $I$, cu $f^{\prime \prime }(x)>0$ pentru orice $x\in I$. Atunci:

   • a) $f$ este crescătoare pe $I$
   • b) $f$ are un punct de minim în interiorul lui $I$
   • c) $f^{\prime }$ este descrescătoare pe $I$
   • d) $f^{\prime }$ este crescătoare pe $I$, dar despre monotonia lui $f$ nu se poate spune nimic
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f^{\prime }$ este crescătoare pe $I$, dar despre monotonia lui $f$ nu se poate spune nimic

   Semnul derivatei a doua este semnul derivatei lui $f^{\prime }$, deci dă monotonia pantei, nu a funcției. Un contraexemplu limpede: $f(x)=x^2$ are $f^{\prime \prime }=2>0$ peste tot, dar funcția scade pe $(-\infty ,0]$. Monotonia se citește din $f^{\prime }$, curbura din $f^{\prime \prime }$, iar cele două se combină în patru feluri: crește convex, crește concav, scade convex, scade concav.