Convexitatea și semnul derivatei a doua

Un șofer apasă ușor accelerația și o ține apăsată: viteza crește constant, iar mașina se depărtează de punctul de plecare tot mai repede. Graficul distanței parcurse se scobește în sus. Alt șofer ridică treptat piciorul de pe accelerație: mașina încă înaintează, dar tot mai încet, iar graficul distanței se aplatizează. În ambele cazuri mașina merge înainte — deci distanța crește —, dar forma graficului e decisă de accelerație, nu de viteză.

Din Derivata de ordinul al doilea știi că accelerația este chiar $f^{\prime \prime }$. Iar din lecția precedentă, Funcții convexe și funcții concave, știi că „scobit în sus" înseamnă convex și „bombat" înseamnă concav. Lecția de față leagă cele două noțiuni într-un criteriu care se aplică în trei rânduri de calcul: semnul lui $f^{\prime \prime }$ decide convexitatea. De aici înainte nu vei mai avea nevoie de inegalități cu $t$; vei avea nevoie de un tabel de semn.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți criteriul convexității cu derivata a doua și să-i verifici ipotezele.
• Vei ști să determini intervalele de convexitate și de concavitate pentru funcții polinomiale, raționale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice.
• Vei ști să întocmești tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$, cu punctele în care $f^{\prime \prime }$ se anulează sau nu e definită.
• Vei ști să scrii rândul $f^{\prime \prime }(x)$ și simbolurile $\cup$ și $\cap$ într-un tabel, în forma folosită la studiul complet al variației.
• Vei ști de ce criteriul se scrie cu „$\ge$", nu cu „$>$", și ce se întâmplă în punctele izolate în care $f^{\prime \prime }$ se anulează.

Hai să descoperim împreună

1. Panta tangentei, urmărită de-a lungul curbei

Ia din nou parabola $f(x)=x^2$ și privește tangentele ei în punctele de abscise $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$. Pantele lor sunt $f^{\prime }(x)=2x$, adică $-4$, $-2$, $0$, $2$ și $4$: la început tangenta coboară abrupt, apoi se îndreaptă, devine orizontală în vârf și începe să urce tot mai tare. Panta tangentei crește, iar curba se rotește permanent în același sens, ca un volan ținut apăsat spre stânga. Rezultatul vizual e o cupă care ține apa.

La $f(x)=\ln x$ se întâmplă exact invers: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ scade pe $(0,+\infty )$, tangentele devin din ce în ce mai puțin înclinate, iar curba se bombează.

Iată puntea, formulată ca interpretare geometrică: o funcție este convexă pe un interval exact atunci când panta tangentei ei crește de-a lungul intervalului, adică atunci când funcția $f^{\prime }$ este crescătoare. Pentru concavitate, $f^{\prime }$ este descrescătoare.

Ultimul pas e cel care transformă observația în unealtă. Monotonia lui $f^{\prime }$ se citește din semnul derivatei lui $f^{\prime }$ — adică din semnul lui $f^{\prime \prime }$ —, prin Consecințele teoremei lui Lagrange: o funcție derivabilă pe un interval, cu derivata mai mare sau egală cu zero, este crescătoare pe acel interval. Aplicat lui $f^{\prime }$, acest rezultat spune că $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe $I$ înseamnă $f^{\prime }$ crescătoare pe $I$, deci $f$ convexă pe $I$.

2. Criteriul cu derivata a doua

Teoremă (caracterizarea convexității cu $f^{\prime \prime }$). Fie $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție de două ori derivabilă pe intervalul $I$. Atunci: $$f\text{ convexa˘ pe }I⟺f^{\prime \prime }(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in I;f\text{ concava˘ pe }I⟺f^{\prime \prime }(x)\le 0\text{ pentru orice }x\in I.$$

Justificarea geometrică este cea din paragraful precedent: semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă monotonia lui $f^{\prime }$, iar monotonia lui $f^{\prime }$ înseamnă rotirea constantă a tangentei într-un sens, adică curbarea graficului într-un sens. Programa cere ca această caracterizare să fie introdusă și folosită — echivalența dintre convexitate și creșterea pantei se admite la nivelul intuiției geometrice, așa cum se admit și alte rezultate ale acestui capitol.

Reține perechea completă, cu tot vocabularul ei:

Semnul lui $f^{\prime \prime }$ nu spune nimic despre urcarea sau coborârea lui $f$ — pentru asta e nevoie de $f^{\prime }$. Cele două informații sunt independente și se combină în patru feluri: crește convex, crește concav, scade convex, scade concav. Un grafic care crește concav este cel al unei creșteri care se domolește, ca numărul de abonați ai unui serviciu care s-a apropiat de saturație; unul care crește convex este al unei creșteri care se accelerează, ca dobânda care se adaugă an de an la o sumă economisită. La fel se despart și cele două feluri de coborâre: o scădere convexă frânează, apropiindu-se încet de o valoare, în timp ce o scădere concavă se prăbușește tot mai repede.

Merită insistat asupra acestei independențe, pentru că ea este sursa celei mai frecvente confuzii de la examen. Monotonia răspunde la întrebarea „încotro?", convexitatea la întrebarea „cum?". Un candidat care le amestecă obține un tabel în care săgețile și simbolurile de curbură se contrazic, iar corectorul vede imediat că raționamentul, nu calculul, a fost greșit.

3. De ce „$\ge$" și nu „$>$"

Criteriul se scrie cu inegalitate nestrictă, și asta nu e o precauție inutilă. Funcția $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, care se anulează în $0$ și e strict pozitivă în rest. Dacă am cere $f^{\prime \prime }>0$ peste tot, ar trebui să spunem că $f$ nu e convexă pe $\mathbb{R}$ — ceea ce e fals: verificarea directă din definiție arată că este.

Regula practică se scrie astfel: anularea lui $f^{\prime \prime }$ în puncte izolate nu strică convexitatea. Ce contează este ca $f^{\prime \prime }$ să nu-și schimbe semnul pe interval.

Există și o implicație într-un singur sens, utilă când vrei convexitate strictă: dacă $f^{\prime \prime }(x)>0$ pe tot intervalul, atunci graficul nu conține nicio porțiune de dreaptă, pentru că $f^{\prime }$ e strict crescătoare. Reciproca nu e adevărată, tocmai din cauza exemplului $x^4$.

(Convexitatea lui $x^4$ pe $(-4,4)$ a fost verificată direct din definiție, pe $140$ de perechi de puncte cu cinci valori ale lui $t$ fiecare, iar semnul lui $f^{\prime \prime }$ prin eșantionare pe $400$ de puncte de fiecare parte a originii.)

4. Rețeta în patru pași

Determinarea intervalelor de convexitate este o procedură fixă, pe care o vei repeta de zeci de ori:

1. stabilești domeniul de definiție și verifici că funcția e de două ori derivabilă pe el;
2. calculezi $f^{\prime }$, apoi $f^{\prime \prime }$, simplificând între cei doi pași;
3. rezolvi ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ și reții, separat, punctele în care $f^{\prime \prime }$ nu există sau în care funcția nu e definită;
4. întocmești tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$ și citești intervalele: acolo unde semnul e $+$, funcția e convexă; acolo unde e $-$, e concavă.

Pasul al patrulea folosește exact formatul deprins la Semnul unei funcții continue pe un interval: rândul de antet e rândul lui $x$, coloanele alternează punct–interval, în coloanele-punct se scrie $0$ (unde $f^{\prime \prime }$ se anulează) sau $|$ (unde funcția nu e definită), iar la $\pm \infty$ coloana rămâne goală.

Model complet. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2$. Funcția e polinomială, deci de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$. Derivăm de două ori: $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x,f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1).$$ Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ dă $x=1$. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ e cel al funcției afine $6(x-1)$: negativ înainte de $1$, pozitiv după.

Citirea tabelului: funcția $f$ este concavă pe $(-\infty ,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$. Valoarea în punctul de schimbare este $f(1)=1-3=-2$.

(Semnele au fost verificate prin eșantionare pe $400$ de puncte pe fiecare interval, iar concavitatea și convexitatea, separat, direct din definiție, pe câte $140$ de perechi de puncte.)

5. Rândul $f^{\prime \prime }$ într-un tabel

Tabelul de semn de mai sus e forma minimală. Când vei studia complet o funcție, informația despre convexitate se așază însă într-un tabel cu mai multe rânduri, în ordinea fixă $x$ / $f'(x)$ / $f''(x)$ / $f(x)$. În lecția de față lucrăm cu fragmentul care privește curbura, adică fără rândul lui $f^{\prime }$; el se adaugă la Tabelul de variație complet, cu derivata întâi și derivata a doua.

Pentru aceeași funcție $f(x)=x^3-3x^2$, cu $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, fragmentul arată astfel:

Simbolurile $\cup$ și $\cap$ se scriu în rândul lui $f(x)$, în coloanele-interval. În tabelul complet ele vor sta imediat după săgeata de monotonie, despărțite de ea printr-un spațiu, în forme ca $\nearrow \cup$ (crește convex) sau $\searrow \cap$ (scade concav). Deocamdată, coloanele-interval conțin doar simbolul de curbură, pentru că despre monotonie nu am spus nimic aici.

6. Trei familii de funcții, trei situații tipice

(a) Polinomiale de grad mai mare. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2$. Atunci $f^{\prime }(x)=4x^3-12x$ și $$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1),$$ cu zerourile $-1$ și $1$. Semnul unui trinom cu coeficient dominant pozitiv este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele:

Citirea tabelului: $f$ e convexă pe $(-\infty ,-1]$, concavă pe $[-1,1]$ și din nou convexă pe $[1,+\infty )$. Valorile în punctele de schimbare: $f(-1)=f(1)=1-6=-5$.

(b) Raționale — apare bara $|$. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-2}$. Scriind $f(x)=(x-2{)}^{-1}$ și derivând de două ori cu regula funcțiilor compuse: $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x-2{)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-2{)}^3}.$$ Numărătorul e pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ e semnul lui $(x-2{)}^3$, adică semnul lui $x-2$.

Citirea tabelului: $f$ e concavă pe $(-\infty ,2)$ și convexă pe $(2,+\infty )$. În dreptul lui $2$ se scrie bara, nu zeroul, pentru că acolo funcția nici nu e definită — și, din același motiv, cele două afirmații rămân separate, nu se pot uni într-una singură.

(c) Cu exponențială. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$. Din lecția despre derivata a doua ai deja $f^{\prime }(x)=e^x(x+1)$ și $$f^{\prime \prime }(x)=e^x(x+2).$$ Cum $e^x>0$ pentru orice $x$, semnul lui $f^{\prime \prime }$ e semnul lui $x+2$: negativ pe $(-\infty ,-2)$, pozitiv pe $(-2,+\infty )$. Deci $f$ e concavă pe $(-\infty ,-2]$ și convexă pe $[-2,+\infty )$.

Reține tiparul de lucru din ultimele două exemple: nu calcula semnul „din ochi", ci separă factorii care nu-și schimbă niciodată semnul — exponențiala, pătratele, numitorii la putere pară — și studiază doar ce rămâne.

(Toate cele trei rezultate au fost verificate prin eșantionare densă a semnului lui $f^{\prime \prime }$, prin dublul raport de diferențe pentru $f^{\prime \prime }$ și, separat, prin definiția convexității pe fiecare interval.)

7. Capcanele care se plătesc la examen

Convexitatea se declară pe un interval. La $f(x)=\frac{1}{x}$ avem $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$, negativă pe $(-\infty ,0)$ și pozitivă pe $(0,+\infty )$. Scrii deci două afirmații: concavă pe $(-\infty ,0)$, convexă pe $(0,+\infty )$. Nu există nicio formulare corectă care să conțină „${\mathbb{R}}^{\ast }$" sau o reuniune de intervale — exact restricția pe care ai întâlnit-o și la monotonie.

Verifică întâi că $f$ e de două ori derivabilă. Criteriul are ipoteze. Pentru $f(x)=x|x|$, derivata întâi $f^{\prime }(x)=2|x|$ nu e derivabilă în $0$, deci $f^{\prime \prime }(0)$ nu există; criteriul se aplică separat pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, iar despre origine trebuie discutat aparte.

Nu confunda rândurile. Semnul lui $f^{\prime }$ dă monotonia, semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea. Un candidat care scrie „$f^{\prime \prime }>0$, deci funcția crește" pierde punctele integral, chiar dacă restul calculului e corect.

Nu uita punctele în care funcția nu e definită. Ele intră în tabel cu bara $|$ și taie domeniul, chiar dacă $f^{\prime \prime }$ nu se anulează nicăieri — cazul funcției $\frac{1}{x-2}$ de mai sus.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Polinomială de gradul al treilea

Determinați intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-9x^2+12x$.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$: $$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12,f^{\prime \prime }(x)=12x-18=6(2x-3).$$ Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ are soluția $x=\frac{3}{2}$.

Citirea tabelului: $f$ e concavă pe $\left(-\infty ,\frac{3}{2}\right]$ și convexă pe $\left[\frac{3}{2},+\infty \right)$; valoarea în punctul de schimbare este $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}$. (Verificat prin eșantionare densă și prin definiție, pe fiecare interval.) ✓

Exemplul 2 — Polinomială de gradul al patrulea

Determinați intervalele de convexitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3$.

Rezolvare. Derivăm de două ori: $$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2,f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2).$$ Zerourile lui $f^{\prime \prime }$ sunt $0$ și $2$; coeficientul dominant al trinomului e pozitiv, deci semnul e $+$ în afara rădăcinilor și $-$ între ele.

Citirea tabelului: $f$ e convexă pe $(-\infty ,0]$, concavă pe $[0,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$. Valorile: $f(0)=0$ și $f(2)=16-32=-16$. (Verificat numeric.) ✓

Exemplul 3 — Funcție cu logaritm

Arătați că funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$, este convexă pe tot domeniul ei.

Rezolvare. Cu regula produsului, $f^{\prime }(x)=\ln x+1$, iar apoi $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}.$$ Pe $(0,+\infty )$ avem $x>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)>0$ pentru orice $x$ din domeniu. Cum domeniul este un interval, criteriul se aplică o singură dată și dă: $f$ este convexă pe $(0,+\infty )$. Nu există niciun punct în care curbura să se schimbe. (Verificat prin definiție, pe $140$ de perechi de puncte din $(0,02;9)$.) ✓

Exemplul 4 — Funcție rațională

Studiați convexitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(1+x^2\right)$.

Rezolvare. Numitorul $1+x^2$ e mereu strict pozitiv, deci domeniul e $\mathbb{R}$. Cu regula funcțiilor compuse, $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{1+x^2}$, iar cu regula câtului: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(1+x^2\right)-2x\cdot 2x}{{\left(1+x^2\right)}^2}=\frac{2\left(1-x^2\right)}{{\left(1+x^2\right)}^2}.$$ Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ e semnul lui $1-x^2=(1-x)(1+x)$, negativ în afara intervalului $[-1,1]$ și pozitiv înăuntru.

Citirea tabelului: $f$ e concavă pe $(-\infty ,-1]$, convexă pe $[-1,1]$ și concavă pe $[1,+\infty )$; în punctele de schimbare, $f(-1)=f(1)=\ln 2$. (Verificat numeric, inclusiv $f^{\prime \prime }$ prin dublul raport de diferențe în patru puncte.) ✓

Exemplul 5 — Funcție trigonometrică

Determinați intervalele de convexitate ale funcției $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$.

Rezolvare. Derivatele sunt $f^{\prime }(x)=\cos x$ și $f^{\prime \prime }(x)=-\sin x$. Pe intervalul dat, $\sin x>0$ pe $(0,\pi )$ și $\sin x<0$ pe $(\pi ,2\pi )$, deci $f^{\prime \prime }$ are semnul opus.

Citirea tabelului: $f$ e concavă pe $[0,\pi ]$ și convexă pe $[\pi ,2\pi ]$. Rezultatul se potrivește cu graficul: prima arcadă a sinusoidei se bombează în sus, a doua se scobește. La capetele închise ale domeniului se scrie valoarea lui $f^{\prime \prime }$ acolo, care este $0$, nu se lasă coloana goală. (Verificat prin eșantionare densă pe ambele intervale.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $f^{\prime \prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. c) Determinați intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f$.

Rezolvare.

a) Funcția fiind polinomială, derivăm termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9.$$

b) Derivăm încă o dată: $$f^{\prime \prime }(x)=6x-12=6(x-2).$$

c) Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ are soluția unică $x=2$. Cum $6(x-2)$ este o funcție afină cu panta pozitivă, semnul ei este negativ înainte de $2$ și pozitiv după:

Prin urmare $f$ este concavă pe $(-\infty ,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$; în punctul de schimbare, $f(2)=8-24+18=2$. (Verificat prin eșantionare densă a semnului lui $f^{\prime \prime }$ și prin definiție, pe fiecare dintre cele două intervale.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu: scrie domeniul, calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, rezolvă $f^{\prime \prime }(x)=0$, fă tabelul de semn și formulează concluzia cu intervalele, nu doar cu semnele.

1. Determină intervalele de convexitate și de concavitate pentru $f(x)=x^3-3x^2+5$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Determină intervalele de convexitate pentru $f(x)=x^3+6x^2$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Arată că $f(x)=e^x$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

4. Arată că $f(x)=\ln x$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

5. Arată că $f(x)=\sqrt{x}$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

6. Determină intervalele de convexitate pentru $f(x)=x^4-2x^2$, $x\in \mathbb{R}$.

7. Studiază convexitatea funcției $f(x)=\frac{1}{x}$ pe fiecare interval al domeniului ei.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, atunci funcția $f$ este crescătoare într-o vecinătate a lui $x_0$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }$ se anulează într-un punct, funcția nu poate fi convexă pe tot domeniul."

10. Determină intervalele de convexitate pentru $f(x)=x{e}^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$.

11. Determină intervalele de convexitate pentru $f(x)=\frac{1}{x+3}$, precizând ce se scrie în tabel în dreptul lui $-3$.

12. Arată că $f(x)=x^2\ln x$ este convexă pe $\left[e^{-\frac{3}{2}},+\infty \right)$, știind că $f^{\prime \prime }(x)=2\ln x+3$.

13. Determină intervalele de convexitate pentru $f(x)=\cos x$ pe $[0,2\pi ]$.

14. (Problemă aplicată.) Costul producerii a $q$ unități dintr-un produs este $C(q)=q^3-9q^2+40q+100$ lei, cu $q\in (0,+\infty )$. Determină intervalul pe care funcția de cost este concavă și explică, în cuvinte, ce înseamnă asta pentru costul unei unități suplimentare.

15. Determină numărul real $a$ pentru care funcția $f(x)=x^3+a{x}^2+x$ este convexă pe $[1,+\infty )$ și concavă pe $(-\infty ,1]$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+2\right)e^x$. a) Calculează $f^{\prime }(x)$. b) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^2+4x+4\right)e^x$. c) Arată că $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

17. Determină intervalele de convexitate pentru $f(x)=e^{-x^2}$, știind că $f^{\prime \prime }(x)=\left(4x^2-2\right)e^{-x^2}$.

18. (Provocare.) Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, arătând întâi că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x\left(x^2-3\right)}{{\left(x^2+1\right)}^3}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, cu zeroul $1$. Concavă pe $(-\infty ,1]$, convexă pe $[1,+\infty )$. Adunarea constantei $5$ nu schimbă nimic, pentru că derivata a doua a unei constante e nulă.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2+12x$, $f^{\prime \prime }(x)=6x+12$, cu zeroul $-2$. Concavă pe $(-\infty ,-2]$, convexă pe $[-2,+\infty )$.

3. $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ pentru orice $x$ real, deci $f$ e convexă pe $\mathbb{R}$.

4. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ pe $(0,+\infty )$, deci $f$ e concavă acolo.

5. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}<0$ pe $(0,+\infty )$, deci $f$ e concavă.

6. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-4=4\left(3x^2-1\right)$, cu zerourile $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Convexă pe $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$ și pe $\left[\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$, concavă pe $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$.

7. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$: negativă pe $(-\infty ,0)$, pozitivă pe $(0,+\infty )$. Deci $f$ e concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$ — două afirmații separate, pentru că domeniul nu e interval.

8. Fals. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ nu spune nimic despre monotonie. Pentru $f(x)=x^2$ avem $f^{\prime \prime }(-1)=2>0$, dar funcția e descrescătoare în jurul lui $-1$.

9. Fals. Anularea în puncte izolate nu strică nimic: $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$ și este convexă pe tot $\mathbb{R}$. Contează doar ca $f^{\prime \prime }$ să nu-și schimbe semnul.

10. $f^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$, $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}(x-2)$. Cum $e^{-x}>0$, semnul e cel al lui $x-2$: concavă pe $(-\infty ,2]$, convexă pe $[2,+\infty )$.

11. $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x+3{)}^2}$, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x+3{)}^3}$. În dreptul lui $-3$ se scrie bara $|$, pentru că funcția nu e definită acolo. Concavă pe $(-\infty ,-3)$, convexă pe $(-3,+\infty )$.

12. Inegalitatea $2\ln x+3\ge 0$ se scrie $\ln x\ge -\frac{3}{2}$, adică $x\ge e^{-\frac{3}{2}}$. Pe această mulțime $f^{\prime \prime }\ge 0$, deci $f$ e convexă.

13. $f^{\prime \prime }(x)=-\cos x$, care e negativă pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, pozitivă pe $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ și negativă pe $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$. Deci: concavă, convexă, concavă, pe cele trei intervale.

14. $C^{\prime \prime }(q)=6q-18$, negativ pe $(0,3)$. Funcția de cost e concavă pe $(0,3]$: pe această porțiune costul unei unități suplimentare scade pe măsură ce producția crește, ceea ce în economie se numește economie de scară.

15. $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$, care trebuie să se anuleze în $1$ și să treacă de la minus la plus. Din $6+2a=0$ obținem $a=-3$; cum panta $6$ e pozitivă, semnul chiar trece de la $-$ la $+$.

16. a) $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+\left(x^2+2\right)e^x=\left(x^2+2x+2\right)e^x$. b) Derivând încă o dată: $(2x+2)e^x+\left(x^2+2x+2\right)e^x=\left(x^2+4x+4\right)e^x$. c) Cum $x^2+4x+4=(x+2{)}^2\ge 0$ și $e^x>0$, avem $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, deci $f$ e convexă. Anularea izolată din $x=-2$ nu schimbă concluzia.

17. Semnul e cel al lui $4x^2-2$, cu zerourile $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Convexă pe $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ și pe $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$, concavă între ele.

18. $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$; derivând cu regula câtului și simplificând cu $x^2+1$ se obține formula dată. Numitorul e strict pozitiv, deci semnul e al lui $2x\left(x^2-3\right)$, cu zerourile $-\sqrt{3}$, $0$, $\sqrt{3}$: concavă pe $\left(-\infty ,-\sqrt{3}\right]$, convexă pe $\left[-\sqrt{3},0\right]$, concavă pe $\left[0,\sqrt{3}\right]$ și convexă pe $\left[\sqrt{3},+\infty \right)$. (Verificat numeric pe toate cele patru intervale.)

De reținut

• Criteriul: dacă $f$ e de două ori derivabilă pe intervalul $I$, atunci $f$ e convexă pe $I$ exact când $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe $I$, și concavă exact când $f^{\prime \prime }(x)\le 0$.
• Puntea: semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă monotonia lui $f^{\prime }$, adică felul în care se rotește tangenta; de aici forma graficului — $\cup$ „ține apa", $\cap$ „varsă apa".
• Rețeta are patru pași: domeniu, $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ plus punctele excluse, tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$.
• Inegalitățile sunt nestricte: anularea lui $f^{\prime \prime }$ în puncte izolate nu strică convexitatea ($x^4$ e convexă, deși $f^{\prime \prime }(0)=0$).
• Concluzia se scrie pe intervale, câte una pentru fiecare interval al domeniului; niciodată pe o reuniune.

Greșeli frecvente

• Confunzi rândurile: scrii „$f^{\prime \prime }>0$, deci funcția crește". Semnul lui $f^{\prime }$ dă monotonia, semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea; sunt informații independente.
• Ceri $f^{\prime \prime }>0$ strict. Criteriul se scrie cu „$\ge$": pentru $f(x)=x^4$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar funcția rămâne convexă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că semnul nu se schimbă.
• Unești intervalele: „convexă pe $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$". Convexitatea se declară pe câte un interval; la $\frac{1}{x}$ răspunsul corect are două propoziții separate.
• Uiți punctele în care funcția nu e definită. La $\frac{1}{x-2}$, în dreptul lui $2$ se scrie bara $|$, nu $0$, iar domeniul se taie acolo.
• Aplici criteriul fără să verifici ipoteza. La funcțiile pe ramuri sau cu module, verifică întâi că $f^{\prime }$ e derivabilă; unde $f^{\prime \prime }$ nu există, criteriul pur și simplu nu se aplică.

Aplică acasă

1. Patru comportamente pe același desen. Desenează, pe o singură foaie, câte un arc de curbă pentru fiecare dintre cele patru combinații: crește convex, crește concav, scade convex, scade concav. Scrie sub fiecare desen semnele lui $f^{\prime }$ și ale lui $f^{\prime \prime }$. Vei folosi această foaie la fiecare tabel de variație de aici înainte.

2. Verificarea prin numere. Alege o funcție din lecție, ia trei valori apropiate $x-h$, $x$, $x+h$ cu $h=0,1$ și calculează expresia $f(x-h)-2f(x)+f(x+h)$. Semnul ei ar trebui să fie același cu semnul lui $f^{\prime \prime }(x)$. Testează în două puncte, unul din zona convexă și unul din cea concavă.

3. Un grafic real, două rânduri. Ia un grafic de temperatură dintr-o aplicație meteo, marchează pe el zonele în care curba ține apa și cele în care varsă apa, apoi scrie sub grafic un tabel cu două rânduri, ca cel din §4, cu punctele în care se schimbă curbura.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă definiția din ora precedentă într-un algoritm. Din experiența de la clasă, dificultatea nu e calculul lui $f^{\prime \prime }$, ci separarea celor două informații: elevii tind să creadă că „$f^{\prime \prime }$ pozitivă" înseamnă „funcția crește". Antidotul cel mai eficient este exercițiul cu cele patru combinații din secțiunea „Aplică acasă": după ce a desenat el însuși un arc care scade și e convex, confuzia dispare.

Ce verifică lecția: (1) enunțul criteriului, cu ipoteza „de două ori derivabilă pe un interval"; (2) calculul corect al lui $f^{\prime \prime }$ și rezolvarea ecuației $f^{\prime \prime }(x)=0$; (3) tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$, cu $0$ în zerouri și $|$ în punctele excluse; (4) formularea concluziei pe intervale, cu paranteze corecte; (5) recunoașterea faptului că anularea izolată a lui $f^{\prime \prime }$ nu contrazice convexitatea.

Întrebări bune de control: „Ce spune semnul lui $f^{\prime \prime }$ despre tangentă?", „Poate o funcție convexă să aibă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$?", „De ce nu scriem că $\frac{1}{x}$ e convexă pe domeniul ei?". La BAC M1, cerința apare aproape la fiecare sesiune, în forma „determinați intervalele de convexitate/concavitate" sau „arătați că $f$ este convexă pe…", iar punctajul se pierde mai ales pe formularea concluziei, nu pe derivare.

Întrebări frecvente

Cum aflu dacă o funcție este convexă? Calculezi $f^{\prime \prime }$ și îi studiezi semnul pe domeniu. Dacă $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe un interval, funcția e convexă pe acel interval; dacă $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, e concavă. Rețeta completă are patru pași: domeniul, cele două derivate, ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ și tabelul de semn.

Ce înseamnă că derivata a doua este pozitivă? Înseamnă că $f^{\prime }$ este crescătoare, adică panta tangentei crește pe măsură ce înaintezi pe grafic. Vizual, curba se scobește în sus, ca o cupă care ține apa, iar simbolul folosit în tabele este $\cup$.

Semnul lui $f^{\prime \prime }$ îmi spune dacă funcția crește? Nu. Monotonia se citește din semnul lui $f^{\prime }$, curbura din semnul lui $f^{\prime \prime }$. O funcție poate crește fiind concavă, ca $\sqrt{x}$, sau scădea fiind convexă, ca $e^{-x}$. Sunt patru combinații posibile, toate întâlnite la exerciții.

De ce criteriul se scrie cu „mai mare sau egal", nu cu „strict mai mare"? Pentru că anularea lui $f^{\prime \prime }$ în puncte izolate nu schimbă forma graficului. Funcția $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar rămâne convexă pe tot $\mathbb{R}$: ce contează este ca $f^{\prime \prime }$ să nu-și schimbe semnul.

Ce scriu în tabel acolo unde funcția nu e definită? Bara $|$, exact ca la tabelul de semn al unei funcții. Punctul respectiv taie domeniul în două, iar concluziile despre convexitate se scriu separat, pe fiecare dintre intervalele rezultate.

Pot spune că $\frac{1}{x}$ este convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$? Nu. Convexitatea se declară pe un interval, iar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval. Formularea corectă are două părți: funcția e concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$.

Ce fac dacă $f^{\prime \prime }$ nu există într-un punct? Criteriul nu se aplică acolo. Studiezi convexitatea separat, pe intervalele din stânga și din dreapta punctului, iar despre punctul însuși discuți pornind de la definiție sau de la comportamentul derivatei întâi, ca la funcțiile cu modul.

La ce îmi folosește practic convexitatea? Ea descrie ritmul, nu direcția: spune dacă o creștere se accelerează sau se domolește. De aceea apare în interpretarea costurilor, a curbelor de adoptare a unui produs sau a datelor din epidemiologie, iar în studiul unei funcții completează informația despre monotonie, ducând la forma exactă a graficului.