Corpul: definiție și exemple: pe scurt

Lecția aparține suplimentului pentru Bacalaureat M1, pe programa sesiunilor 2027–2029. Corpul este un inel $(K,+,\cdot )$ cu $1\ne 0$ în care orice element nenul este inversabil; se notează $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$. Condiția $1\ne 0$ exclude inelul cu un singur element. Toate corpurile din acest curs sunt comutative. Formulare echivalentă: $(K,+,\cdot )$ e corp exact când $(K,+)$ și $(K^{\ast },\cdot )$ sunt grupuri comutative, iar înmulțirea e distributivă — altfel spus, un inel comutativ nenul e corp exact când $U(K)=K^{\ast }$.

Corpuri: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim. Nu sunt corpuri: $\mathbb{Z}$ (doar $\pm 1$ sunt inversabile), ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ și ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus. Un corp nu are divizori ai lui zero: din $xy=0$ și $x\ne 0$, înmulțind cu $x^{-1}$, rezultă $y=0$; deci orice corp este inel integru, dar reciproca e falsă. De aici regula de simplificare cu orice factor nenul și faptul că ecuația $ax=b$ cu $a\ne 0$ are soluția unică $x=a^{-1}b$. Teorema centrală: $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim — într-un sens prin injectivitatea înmulțirii cu o clasă nenulă pe o mulțime finită, în celălalt prin divizorii lui zero produși de o descompunere $n=d{d}^{\prime }$. Cel mai mic corp este ${\mathbb{Z}}_2$. Un alt exemplu: $K=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\right\}$, unde inversul se obține amplificând cu expresia conjugată.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele structuri nu este corp?

   • a) $(\mathbb{Q},+,\cdot )$
   • b) $({\mathbb{Z}}_{13},+,\cdot )$
   • c) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$
   • d) $(\mathbb{C},+,\cdot )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$

   Inelul $\mathbb{Z}$ este integru, dar nu este corp: singurele elemente inversabile sunt $-1$ și $1$, deci $3$ nu are invers întreg, iar ecuația $3x=5$ nu are soluție. $\mathbb{Q}$ și $\mathbb{C}$ sunt corpuri clasice, iar ${\mathbb{Z}}_{13}$ este corp pentru că $13$ este număr prim.

2. În corpul $({\mathbb{Z}}_{13},+,\cdot )$, inversa clasei $\hat{5}$ este:

   • a) $\hat{3}$
   • b) $\hat{5}$
   • c) $\widehat{11}$
   • d) $\hat{8}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\hat{8}$

   Căutăm clasa $\hat{b}$ cu $\hat{5}\cdot \hat{b}=\hat{1}$: din $5\cdot 8=40=3\cdot 13+1$ rezultă ${\hat{5}}^{-1}=\hat{8}$. Existența era garantată de teoremă, pentru că $13$ e prim, deci toate cele $12$ clase nenule sunt inversabile. Varianta $\hat{5}$ ar cere ca elementul să fie propriul invers, ceea ce se întâmplă doar la $\hat{1}$ și la $\widehat{12}$.

3. În corpul $K=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\right\}$, inversul elementului $5+3\sqrt{2}$ este:

   • a) $\frac{5-3\sqrt{2}}{7}$
   • b) $\frac{5-3\sqrt{2}}{43}$
   • c) $5-3\sqrt{2}$
   • d) $\frac{5+3\sqrt{2}}{7}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{5-3\sqrt{2}}{7}$

   Amplificăm cu expresia conjugată: $\frac{1}{5+3\sqrt{2}}=\frac{5-3\sqrt{2}}{(5+3\sqrt{2})(5-3\sqrt{2})}=\frac{5-3\sqrt{2}}{25-18}=\frac{5-3\sqrt{2}}{7}$. Rezultatul are tot forma $a+b\sqrt{2}$ cu $a,b$ raționali, deci aparține lui $K$. Varianta $43$ adună în loc să scadă la numitor, iar varianta $5-3\sqrt{2}$ uită împărțirea.