Corpul: definiție și exemple; corpul claselor de resturi modulo un număr prim

Ia o ecuație cât se poate de banală, $3x=5$, și pune-ți întrebarea în care stă toată lecția aceasta de clasa a 12-a: în ce mulțime are ea soluție? În $\mathbb{Z}$, nu are. În $\mathbb{Q}$, are, și una singură. Deosebirea nu vine de la ecuație, ci de la mulțime: în $\mathbb{Q}$ numărul $3$ are un invers, iar în $\mathbb{Z}$ nu are. Structura în care fiecare element nenul are invers se numește corp. Corpul este inelul în care $1\ne 0$ și în care orice element nenul are invers la înmulțire; în el algebra funcționează așa cum ești obișnuit din școală: se împarte, se simplifică, se rezolvă.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Ai construit deja inelul la lecția Inelul: definiție, axiome și exemple și ai văzut, la Elementele inversabile ale unui inel; grupul unităților, că într-un inel oarecare doar unele elemente sunt inversabile. Astăzi mergem la capătul acestei idei și, ca răsplată, obținem cea mai frumoasă teoremă a capitolului: mulțimea claselor de resturi ${\mathbb{Z}}_n$ este corp exact atunci când $n$ este număr prim.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corpul ca inel cu $1\ne 0$ în care orice element nenul este inversabil și să scrii mulțimea $K^{\ast }$.
• Vei ști să decizi, pentru mulțimile uzuale de numere, de matrice sau de clase de resturi, dacă structura este corp și să justifici răspunsul cu un contraexemplu când nu este.
• Vei ști să demonstrezi că un corp nu are divizori ai lui zero și să folosești regula de simplificare care rezultă de aici.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema: $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim.
• Vei ști să determini inversele tuturor claselor nenule dintr-un ${\mathbb{Z}}_p$ concret și să rezolvi ecuații și sisteme cu clase de resturi.
• Vei ști să arăți că mulțimea numerelor de forma $a+b\sqrt{2}$, cu $a,b$ raționale, este corp.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un corp?

Pornim de la structura pe care o ai deja. Un inel $(A,+,\cdot )$ are două operații: $(A,+)$ este grup comutativ, $(A,\cdot )$ este monoid, iar înmulțirea este distributivă față de adunare. Ce mai poate fi cerut? Un singur lucru, dar unul foarte tare: ca toate elementele nenule să fie inversabile.

Definiție. Corpul este un inel $(K,+,\cdot )$ în care $1\ne 0$ și în care orice element nenul este inversabil, adică pentru orice $x\in K$, $x\ne 0$, există $x^{-1}\in K$ cu $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1$. Notăm $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$ mulțimea elementelor nenule ale corpului.

Condiția $1\ne 0$ nu e un moft. Într-un inel în care $1=0$ avem, pentru orice $x$, egalitatea $x=x\cdot 1=x\cdot 0=0$, deci inelul are un singur element. Un asemenea inel nu merită numele de corp: în el nu există niciun element nenul, deci a cere ca „toate elementele nenule să fie inversabile" ar fi o cerință goală, îndeplinită automat. Cerând $1\ne 0$, excludem acest caz degenerat.

Observație (o singură dată, valabilă în tot cursul). Toate corpurile pe care le întâlnim în această clasă sunt comutative, adică au și înmulțirea comutativă. Există și structuri necomutative în care orice element nenul e inversabil, dar ele nu fac obiectul programei, așa că de acum înainte, când spunem „corp", subînțelegem „corp comutativ".

O reformulare foarte utilă: $(K,+,\cdot )$ este corp dacă și numai dacă $(K,+)$ este grup comutativ, $(K^{\ast },\cdot )$ este grup comutativ și înmulțirea este distributivă față de adunare. Într-adevăr, a spune că orice element nenul e inversabil, plus faptul că produsul a două elemente nenule este nenul (vezi subsecțiunea 3), înseamnă exact că $K^{\ast }$ este parte stabilă și grup față de înmulțire. Legătura cu Elementele inversabile ale unui inel; grupul unităților este directă: un inel comutativ nenul este corp exact atunci când $U(K)=K^{\ast }$.

2. Care sunt corpurile pe care le cunoști deja?

Răspunsul scurt: aproape toate mulțimile de numere cu care lucrezi de ani buni.

• $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ este corp: inversul lui $\frac{p}{q}\ne 0$ este $\frac{q}{p}$.
• $(\mathbb{R},+,\cdot )$ este corp: inversul lui $x\ne 0$ este $\frac{1}{x}$.
• $(\mathbb{C},+,\cdot )$ este corp: inversul lui $z\ne 0$ este $\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$, formulă pe care ai dedus-o la Împărțirea numerelor complexe.

Și acum contraexemplele, la fel de importante:

• $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ nu este corp. Este inel, chiar inel integru, dar singurele elemente inversabile sunt $1$ și $-1$: $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$. Numărul $3$ nu are invers întreg, deci $3x=5$ nu are soluție în $\mathbb{Z}$.
• $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+,\cdot )$ nu este corp, din două motive independente: înmulțirea nu e comutativă și, mai grav, există matrice nenule neinversabile. Exemplul-etalon de la lecția Reguli de calcul într-un inel; divizori ai lui zero rămâne valabil: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=O_2$, deși niciunul dintre factori nu este $O_2$.
• $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ nu este corp: $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, iar $\hat{2}$ nu are invers.

Reține tiparul: pentru a arăta că o structură este corp, verifici axiomele și arăți că orice element nenul are invers; pentru a arăta că nu este corp, e suficient un singur element nenul fără invers.

3. De ce un corp nu are divizori ai lui zero?

Aceasta este prima proprietate care se demonstrează și cea mai folosită dintre toate.

Propoziție. Fie $K$ un corp și $x,y\in K$. Dacă $xy=0$, atunci $x=0$ sau $y=0$.

Demonstrație. Presupunem $xy=0$ și $x\ne 0$. Cum $K$ este corp, $x$ este inversabil, deci există $x^{-1}$. Înmulțim egalitatea $xy=0$ la stânga cu $x^{-1}$: $$x^{-1}(xy)=x^{-1}\cdot 0⟹(x^{-1}x)y=0⟹1\cdot y=0⟹y=0.$$ Am folosit asociativitatea înmulțirii și Propoziția 1 din lecția Reguli de calcul într-un inel; divizori ai lui zero, adică regula $a\cdot 0=0$. Prin urmare, dacă $x\ne 0$, obligatoriu $y=0$. $■$

Consecință (orice corp este inel integru). Un corp este comutativ, nenul și fără divizori ai lui zero, deci este inel integru. Reciproca este falsă: $\mathbb{Z}$ este inel integru, dar nu e corp.

Consecință (regula de simplificare). Într-un corp, din $ax=ay$ și $a\ne 0$ rezultă $x=y$. Este chiar Propoziția 3 a lecției Reguli de calcul într-un inel; divizori ai lui zero, aplicată în cea mai bună situație posibilă: într-un corp, orice element nenul îndeplinește ipoteza «nu este divizor al lui zero», deci simplificarea se poate face cu orice factor nenul, fără verificări suplimentare. Într-adevăr, $ax-ay=0$ dă $a(x-y)=0$, iar cum $a\ne 0$ obținem $x-y=0$. Atenție: regula cere $a\ne 0$; fără această ipoteză, din $0\cdot 3=0\cdot 5$ ar rezulta $3=5$.

Consecință (ecuația de gradul întâi). Într-un corp $K$, ecuația $ax=b$ cu $a\ne 0$ are soluția unică $x=a^{-1}b$. Existența: $a(a^{-1}b)=(a{a}^{-1})b=b$. Unicitatea: dacă $a{x}_1=a{x}_2=b$, regula de simplificare dă $x_1=x_2$. Exact acest lucru se strică în $\mathbb{Z}$ și în ${\mathbb{Z}}_6$.

4. Tabla înmulțirii în ${\mathbb{Z}}_5$ și în ${\mathbb{Z}}_6$: o deosebire care se vede

Scriem cele două table una lângă alta și privim doar liniile claselor nenule. În ${\mathbb{Z}}_5$:

Pe fiecare dintre liniile $\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$ apare $\hat{1}$, exact o dată. Asta înseamnă că fiecare clasă nenulă are invers: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$. Mai mult, în interiorul tablei (liniile și coloanele nenule) nu apare niciun $\hat{0}$.

Acum ${\mathbb{Z}}_6$:

Liniile lui $\hat{2}$, $\hat{3}$ și $\hat{4}$ nu conțin $\hat{1}$ nicăieri, deci aceste trei clase nu sunt inversabile; în schimb, conțin $\hat{0}$, semn că sunt divizori ai lui zero. Numai $\hat{1}$ și $\hat{5}$ au invers. Deosebirea dintre cele două table nu ține de mărimea lui $n$, ci de aritmetica lui: $5$ este prim, $6=2\cdot 3$ nu este.

5. Când este ${\mathbb{Z}}_n$ corp?

Ceea ce am observat pe două exemple este de fapt o lege. O enunțăm și o demonstrăm — este teorema-cheie a acestei lecții și una dintre cele mai cerute demonstrații scurte din supliment.

Teoremă. Fie $n\ge 2$ un număr natural. Atunci $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim.

Demonstrație. Reamintim că ${\mathbb{Z}}_n$ este inel comutativ cu $\hat{1}\ne \hat{0}$ (aici se folosește $n\ge 2$), aceasta fiind materia lecțiilor Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor și Înmulțirea claselor de resturi modulo n. Rămâne de discutat doar inversabilitatea.

„$\Leftarrow$" Dacă $n=p$ este prim, atunci ${\mathbb{Z}}_p$ este corp. Fie $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_p$ cu $\hat{a}\ne \hat{0}$, adică $p\nmid a$. Considerăm funcția $\phi :{\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$, $\phi (\hat{x})=\hat{a}\cdot \hat{x}$, și arătăm că este injectivă. Dacă $\hat{a}\hat{x}=\hat{a}\hat{y}$, atunci $\hat{a}(\hat{x}-\hat{y})=\hat{0}$, adică $p\mid a(x-y)$. Cum $p$ este prim și $p\nmid a$, rezultă $p\mid x-y$, deci $\hat{x}=\hat{y}$. Așadar $\phi$ este injectivă; fiind o funcție de la o mulțime finită la ea însăși, este și surjectivă, așa cum știi din Funcții injective, surjective, bijective. În particular, clasa $\hat{1}$ este atinsă: există $\hat{x}$ cu $\hat{a}\hat{x}=\hat{1}$, adică $\hat{a}$ este inversabilă. Cum $\hat{a}$ a fost o clasă nenulă oarecare, ${\mathbb{Z}}_p$ este corp.

„$\Rightarrow$" Dacă ${\mathbb{Z}}_n$ este corp, atunci $n$ este prim. Presupunem, prin reducere la absurd, că $n$ nu este prim. Cum $n\ge 2$, înseamnă că $n$ se scrie $n=d\cdot d^{\prime }$ cu $1<d<n$ și $1<d^{\prime }<n$. Atunci $\hat{d}\ne \hat{0}$ și $\widehat{d^{\prime }}\ne \hat{0}$, pentru că $0<d<n$ și $0<d^{\prime }<n$. Pe de altă parte, $\hat{d}\cdot \widehat{d^{\prime }}=\widehat{d{d}^{\prime }}=\hat{n}=\hat{0}$. Am obținut două elemente nenule cu produsul nul, adică divizori ai lui zero — imposibil într-un corp, după propoziția din subsecțiunea 3. Contradicția arată că $n$ este prim. $■$

Cele mai mici valori pentru care ${\mathbb{Z}}_n$ este corp sunt, prin urmare, $n\in \{2,3,5,7,11,13,\dots \}$. Iar ${\mathbb{Z}}_2=\{\hat{0},\hat{1}\}$ este cel mai mic corp existent: are exact două elemente, zeroul și unitatea, iar singurul element nenul, $\hat{1}$, este propriul său invers.

Reține și forma echivalentă, folosită tot timpul în rezolvări: $\hat{a}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$ dacă și numai dacă $(a,n)=1$ — criteriul demonstrat la Elementele inversabile din mulțimea claselor de resturi. Când $n=p$ este prim, condiția $(a,p)=1$ este îndeplinită de toate clasele nenule deodată, și de aici teorema.

6. Corpuri de numere: mulțimea numerelor de forma $a+b\sqrt{2}$

Nu toate corpurile sunt „mari" ca $\mathbb{R}$ sau „finite" ca ${\mathbb{Z}}_p$. Iată un exemplu care stă la mijloc și care va reveni la lecția următoare, dar și la Inele de matrice cu structură remarcabilă.

Fie $K=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$. Suma și produsul a două astfel de numere rămân de aceeași formă: $$(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2},(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.$$ Aplicăm rețeta în trei pași fixată la lecția Inelul: definiție, axiome și exemple. Pasul 1: cele două egalități de mai sus arată că $K$ este parte stabilă față de ambele operații. Pasul 2: asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea se moștenesc din $\mathbb{R}$, fără nicio verificare. Pasul 3: $0=0+0\sqrt{2}\in K$, $1=1+0\sqrt{2}\in K$, iar opusul lui $a+b\sqrt{2}$ este $-a-b\sqrt{2}\in K$. Prin urmare $K$ este inel comutativ. Un asemenea corp cuprins într-un altul, cu operațiile induse, se mai numește și subcorp al lui $(\mathbb{R},+,\cdot )$. Observă că, fiind submulțime a lui $\mathbb{R}$ și conținând pe $0$ și pe $1$, mulțimea $K$ este integră direct prin criteriul de integritate moștenită de la lecția despre divizorii lui zero — dar noi vom demonstra mai mult, anume că este corp.

A rămas partea interesantă: inversul. Fie $a+b\sqrt{2}\ne 0$. Amplificăm cu expresia conjugată, procedeu pe care îl folosești din clasa a IX-a, de la Radicali: proprietăți și expresii conjugate: $$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}.$$ Numitorul $a^2-2b^2$ este nenul: dacă am avea $a^2=2b^2$ cu $b\ne 0$, ar rezulta ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=2$, adică $\sqrt{2}$ ar fi rațional — fals; iar dacă $b=0$, atunci $a\ne 0$ și numitorul este $a^2\ne 0$. Prin urmare inversul există și are tot forma cerută, deci $K$ este corp.

Exemplu numeric: $(3+2\sqrt{2}{)}^{-1}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}$, iar verificarea este imediată: $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1$.

7. Cum se rezolvă ecuațiile într-un corp?

Într-un corp, ecuația de gradul întâi se rezolvă exact ca în $\mathbb{R}$: izolezi termenul cu necunoscuta și înmulțești cu inversul coeficientului. Rețeta, în trei pași:

1. treci termenii liberi în membrul drept, folosind opusul (în ${\mathbb{Z}}_n$, opusul lui $\hat{b}$ este $\widehat{n-b}$);
2. calculează inversul coeficientului necunoscutei — în ${\mathbb{Z}}_p$ îl cauți încercând clasele, pentru că mulțimea e finită;
3. înmulțește ambii membri cu acest invers și reduci.

Într-un corp, o astfel de ecuație are exact o soluție. Deosebirea față de un ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus este spectaculoasă: acolo, ecuația $\hat{2}x=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ are două soluții, $\hat{0}$ și $\hat{3}$, iar ecuația $\hat{2}x=\hat{1}$ nu are niciuna. Într-un corp, aceste accidente nu se pot întâmpla.

Pentru ecuațiile de grad mai mare, în ${\mathbb{Z}}_p$ ai o metodă pe care în $\mathbb{R}$ nu o ai: verifici toate cele $p$ clase. Mulțimea e finită, deci căutarea se termină întotdeauna. Este metoda folosită și în exemplele de mai jos, iar teoria care o organizează vine la Funcția polinomială și rădăcinile polinoamelor cu coeficienți clase de resturi. Cât despre verificarea axiomelor unui corp, ea poate fi ocolită aproape complet: lecția următoare, Morfisme și izomorfisme de inele și corpuri; transportul de structură, arată cum se mută structura dintr-un corp cunoscut într-unul nou, fără să reiei nimic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Corpul ${\mathbb{Z}}_7$ și tabelul inverselor

Arătăm că $({\mathbb{Z}}_7,+,\cdot )$ este corp și determinăm inversul fiecărei clase nenule.

Cum $7$ este număr prim, teorema din subsecțiunea 5 ne dă direct concluzia. Pentru inverse căutăm, pentru fiecare $\hat{a}$, clasa $\hat{b}$ cu $\widehat{ab}=\hat{1}$, adică $7\mid (ab-1)$:

Verificările: $2\cdot 4=8=7+1$; $3\cdot 5=15=14+1$; $6\cdot 6=36=35+1$. Observă simetria: dacă ${\hat{a}}^{-1}=\hat{b}$, atunci ${\hat{b}}^{-1}=\hat{a}$, iar două clase sunt propriile lor inverse, $\hat{1}$ și $\hat{6}=\widehat{-1}$.

Exemplul 2. De ce ${\mathbb{Z}}_{12}$ nu este corp

Aici $12=3\cdot 4$ nu este prim, deci teorema spune că ${\mathbb{Z}}_{12}$ nu este corp. Vedem și concret: clasele inversabile sunt cele cu $(a,12)=1$, adică $\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}$ — doar patru din unsprezece clase nenule. Toate celelalte sunt divizori ai lui zero; de pildă $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$, cu ambii factori nenuli. Ecuația $\hat{3}x=\hat{1}$ nu are nicio soluție în ${\mathbb{Z}}_{12}$, iar ecuația $\hat{3}x=\hat{0}$ are trei soluții: $\hat{0}$, $\hat{4}$ și $\hat{8}$. Într-un corp, ambele situații sunt imposibile.

Exemplul 3. Inversul unui număr din corpul $\{a+b\sqrt{2}\}$

Calculăm inversul lui $1+\sqrt{2}$ în corpul $K=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$.

Aplicăm formula dedusă mai sus, cu $a=1$ și $b=1$: numitorul este $a^2-2b^2=1-2=-1$, deci $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=-1+\sqrt{2}.$$ Verificare: $(1+\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+2=1$. Corect. Observă că inversul a ieșit cu coeficienți întregi — o coincidență plăcută, care nu se întâmplă mereu: inversul lui $2+\sqrt{2}$ este $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$, cu coeficienți raționali, dar nu întregi.

Exemplul 4. O ecuație de gradul întâi în ${\mathbb{Z}}_{11}$

Rezolvăm $\hat{4}x+\hat{7}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$.

Pasul 1. Adunăm opusul lui $\hat{7}$, adică $\hat{4}$: obținem $\hat{4}x=\hat{2}+\hat{4}=\hat{6}$. Pasul 2. Căutăm inversul lui $\hat{4}$. Încercăm: $4\cdot 3=12=11+1$, deci ${\hat{4}}^{-1}=\hat{3}$. Pasul 3. Înmulțim cu $\hat{3}$: $x=\hat{3}\cdot \hat{6}=\widehat{18}=\hat{7}$, pentru că $18=11+7$.

Verificare: $\hat{4}\cdot \hat{7}+\hat{7}=\widehat{28}+\hat{7}=\hat{6}+\hat{7}=\widehat{13}=\hat{2}$. Corect, iar cum $11$ e prim, aceasta este singura soluție.

Exemplul 5. Un sistem cu clase de resturi în ${\mathbb{Z}}_5$

Rezolvăm sistemul $\{\begin{array}{l}\hat{2}x+\hat{3}y=\hat{4}\\ \hat{3}x+\hat{y}=\hat{2}\end{array}$ în ${\mathbb{Z}}_5$.

Pentru că ${\mathbb{Z}}_5$ este corp, metoda reducerii funcționează întocmai ca în $\mathbb{R}$. Înmulțim a doua ecuație cu $\hat{3}$: $\hat{9}x+\hat{3}y=\hat{6}$, adică $\hat{4}x+\hat{3}y=\hat{1}$. Scădem prima ecuație: $(\hat{4}-\hat{2})x=\hat{1}-\hat{4}$, deci $\hat{2}x=\widehat{-3}=\hat{2}$. Înmulțim cu ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$ (căci $2\cdot 3=6=5+1$) și obținem $x=\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{6}=\hat{1}$.

Înlocuim în a doua ecuație: $\hat{3}\cdot \hat{1}+y=\hat{2}$, deci $y=\hat{2}-\hat{3}=\widehat{-1}=\hat{4}$.

Verificare în prima ecuație: $\hat{2}\cdot \hat{1}+\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{2}+\widehat{12}=\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}$. Corect. Soluția este perechea $(x,y)=(\hat{1},\hat{4})$, unică.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea ${\mathbb{Z}}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$, cu adunarea și înmulțirea claselor de resturi modulo $5$.

a) Calculați $\hat{3}\cdot \hat{4}+\hat{2}$.

$\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{2}$, pentru că $12=2\cdot 5+2$. Atunci $\hat{3}\cdot \hat{4}+\hat{2}=\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}$.

b) Determinați inversele tuturor elementelor nenule și arătați că $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$ este corp.

Din tabla înmulțirii scrisă în subsecțiunea 4 citim: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$. Verificări: $2\cdot 3=6=5+1$ și $4\cdot 4=16=15+1$. Cum ${\mathbb{Z}}_5$ este inel comutativ cu $\hat{1}\ne \hat{0}$ și orice element nenul este inversabil, $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$ este corp. (Același lucru rezultă direct din teoremă, pentru că $5$ este prim.)

c) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_5$ ecuația $\hat{2}{x}^2+\hat{3}x+\hat{1}=\hat{0}$.

Mulțimea are cinci elemente, deci le verificăm pe toate. Notăm $E(x)=\hat{2}{x}^2+\hat{3}x+\hat{1}$: $$E(\hat{0})=\hat{1},E(\hat{1})=\hat{2}+\hat{3}+\hat{1}=\hat{6}=\hat{1},E(\hat{2})=\hat{8}+\hat{6}+\hat{1}=\widehat{15}=\hat{0},$$ $$E(\hat{3})=\widehat{18}+\hat{9}+\hat{1}=\widehat{28}=\hat{3},E(\hat{4})=\widehat{32}+\widehat{12}+\hat{1}=\widehat{45}=\hat{0}.$$ Soluțiile ecuației sunt $x=\hat{2}$ și $x=\hat{4}$. Este exact tipul de subpunct c) care apare în Subiectul al II-lea la Bacalaureat M1: enunțul e scurt, iar rezolvarea cere doar răbdare și calcul corect cu clase.

Să exersăm

La fiecare exercițiu cu clase de resturi, verifică-ți răspunsul înlocuindu-l în enunț: în ${\mathbb{Z}}_n$ verificarea durează câteva secunde și îți salvează punctajul.

1. Care dintre structurile $(\mathbb{Z},+,\cdot )$, $(\mathbb{Q},+,\cdot )$, $(\mathbb{R},+,\cdot )$, $(\mathbb{C},+,\cdot )$ sunt corpuri? Justifică fiecare răspuns.

2. Scrie explicit mulțimea $K^{\ast }$ pentru $K=\mathbb{Q}$, $K=\mathbb{R}$ și $K={\mathbb{Z}}_7$.

3. Pentru care valori ale lui $n\in \{2,3,\dots ,12\}$ este ${\mathbb{Z}}_n$ corp?

4. Determină inversele tuturor elementelor nenule din ${\mathbb{Z}}_{13}$ pentru clasele $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{5}$ și $\widehat{12}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea ${\mathbb{Z}}_9$ este corp, pentru că $9$ este putere a unui număr prim."

6. Arată că $\hat{6}$ este divizor al lui zero în ${\mathbb{Z}}_{15}$, găsind o clasă nenulă $\hat{b}$ cu $\hat{6}\cdot \hat{b}=\hat{0}$.

7. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{3}x=\hat{5}$.

8. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{13}$ ecuația $\hat{5}x+\hat{4}=\hat{1}$.

9. Fie $K$ un corp și $x,y\in K$ cu $xy=0$ și $y\ne 0$. Demonstrează că $x=0$.

10. Arată că mulțimea $\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ este corp și calculează inversul lui $2+\sqrt{3}$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice corp este inel integru, dar există inele integre care nu sunt corpuri."

12. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_5$ ecuația $x^2=\hat{4}$.

13. (Problemă aplicată.) Codul ISBN-10 al unei cărți folosește o cifră de control calculată modulo $11$, nu modulo $10$. Explică, folosind teorema din lecție, de ce alegerea lui $11$ garantează că orice greșeală la o singură cifră este detectată.

14. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ sistemul $\{\begin{array}{l}\hat{2}x+\hat{3}y=\hat{1}\\ \hat{4}x+\hat{5}y=\hat{3}\end{array}$.

15. Arată că ${\mathbb{Z}}_4$ nu este corp și determină toți divizorii lui zero din ${\mathbb{Z}}_4$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră corpul ${\mathbb{Z}}_{11}$. a) Determină ${\hat{7}}^{-1}$. b) Rezolvă ecuația $\hat{7}x=\hat{3}$. c) Arată că ecuația $x^2=\hat{5}$ are exact două soluții în ${\mathbb{Z}}_{11}$.

17. Demonstrează că, într-un corp $K$, ecuația $ax=b$ cu $a\ne 0$ are soluție unică, și scrie-o.

18. (Provocare.) Determină câte clase inversabile are ${\mathbb{Z}}_{36}$, numărând clasele $\hat{a}$ cu $(a,36)=1$, și explică în două fraze de ce ${\mathbb{Z}}_{36}$ nu poate fi corp, fără să calculezi niciun invers.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ sunt corpuri: orice element nenul are invers ($\frac{q}{p}$, $\frac{1}{x}$, respectiv $\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$). $\mathbb{Z}$ nu este corp: $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, deci de exemplu $2$ nu are invers întreg.

2. ${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$, ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar ${\mathbb{Z}}_7^{\ast }=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\}$, adică toate clasele în afară de $\hat{0}$.

3. Pentru $n\in \{2,3,5,7,11\}$ — exact numerele prime din interval. Pentru $n\in \{4,6,8,9,10,12\}$ structura nu este corp, pentru că $n$ este compus.

4. ${\hat{2}}^{-1}=\hat{7}$ ($14=13+1$), ${\hat{3}}^{-1}=\hat{9}$ ($27=26+1$), ${\hat{5}}^{-1}=\hat{8}$ ($40=39+1$), ${\widehat{12}}^{-1}=\widehat{12}$ ($144=143+1$; se vede și din $\widehat{12}=\widehat{-1}$).

5. Fals. Teorema cere ca $n$ însuși să fie prim, nu doar putere de prim. Contraexemplul concret: $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_9$, deci $\hat{3}$ este divizor al lui zero și nu este inversabil.

6. De exemplu $\hat{b}=\hat{5}$: $\hat{6}\cdot \hat{5}=\widehat{30}=\hat{0}$, pentru că $30=2\cdot 15$. Merge și $\hat{b}=\widehat{10}$, căci $60=4\cdot 15$.

7. Inversul lui $\hat{3}$ este $\hat{5}$ ($15=14+1$). Deci $x=\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{4}$. Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{5}$. Corect.

8. $\hat{5}x=\hat{1}-\hat{4}=\widehat{-3}=\widehat{10}$. Inversul lui $\hat{5}$ este $\hat{8}$ ($40=39+1$), deci $x=\hat{8}\cdot \widehat{10}=\widehat{80}=\hat{2}$ ($80=6\cdot 13+2$). Verificare: $\hat{5}\cdot \hat{2}+\hat{4}=\widehat{10}+\hat{4}=\widehat{14}=\hat{1}$.

9. Cum $y\ne 0$ și $K$ e corp, $y$ este inversabil. Înmulțim $xy=0$ la dreapta cu $y^{-1}$: $x(y{y}^{-1})=0\cdot y^{-1}$, deci $x\cdot 1=0$, adică $x=0$.

10. Mulțimea e parte stabilă față de adunare și înmulțire, pentru că $(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}$; conține $0$ și $1$, iar opusul rămâne în mulțime. Inversul: $\frac{1}{a+b\sqrt{3}}=\frac{a-b\sqrt{3}}{a^2-3b^2}$, cu numitorul nenul (altfel $\sqrt{3}$ ar fi rațional). Pentru $2+\sqrt{3}$: $a^2-3b^2=4-3=1$, deci inversul este $2-\sqrt{3}$. Verificare: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$.

11. Adevărat. Prima parte e consecința demonstrată în subsecțiunea 3. A doua parte are drept contraexemplu $\mathbb{Z}$: este inel integru (produsul a doi întregi nenuli e nenul), dar nu e corp.

12. Verificăm toate clasele: ${\hat{0}}^2=\hat{0}$, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{4}$, ${\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{1}$. Soluțiile sunt $x=\hat{2}$ și $x=\hat{3}$.

13. Cifra de control se obține dintr-o sumă ponderată a cifrelor, redusă modulo $11$. Dacă o singură cifră este greșită cu $e\ne 0$, suma se schimbă cu $\hat{k}\cdot \hat{e}$, unde $\hat{k}$ este ponderea poziției respective. Cum $11$ este prim, ${\mathbb{Z}}_{11}$ este corp, deci $\hat{k}\ne \hat{0}$ și $\hat{e}\ne \hat{0}$ implică $\hat{k}\hat{e}\ne \hat{0}$ — suma se schimbă obligatoriu, iar eroarea se vede. Modulo $10$ acest lucru s-ar putea rata: în ${\mathbb{Z}}_{10}$ avem, de exemplu, $\hat{2}\cdot \hat{5}=\hat{0}$.

14. Înmulțim prima ecuație cu $\hat{2}$: $\hat{4}x+\hat{6}y=\hat{2}$. Scădem a doua: $(\hat{6}-\hat{5})y=\hat{2}-\hat{3}$, deci $y=\widehat{-1}=\hat{6}$. Din prima: $\hat{2}x=\hat{1}-\hat{3}\cdot \hat{6}=\hat{1}-\widehat{18}=\hat{1}-\hat{4}=\widehat{-3}=\hat{4}$, deci $x={\hat{2}}^{-1}\hat{4}=\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{2}$ (căci ${\hat{2}}^{-1}=\hat{4}$, din $8=7+1$). Soluția: $(x,y)=(\hat{2},\hat{6})$. Verificare în a doua ecuație: $\hat{4}\cdot \hat{2}+\hat{5}\cdot \hat{6}=\hat{8}+\widehat{30}=\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}$.

15. $4=2\cdot 2$ nu este prim, deci ${\mathbb{Z}}_4$ nu este corp. Concret, $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{0}$, deci $\hat{2}$ este divizor al lui zero și nu are invers. Singurul divizor al lui zero este $\hat{2}$; clasele $\hat{1}$ și $\hat{3}$ sunt inversabile ($\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{1}$).

16. a) $7\cdot 8=56=5\cdot 11+1$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\hat{8}$. b) $x=\hat{8}\cdot \hat{3}=\widehat{24}=\hat{2}$; verificare: $\hat{7}\cdot \hat{2}=\widehat{14}=\hat{3}$. c) Pătratele claselor sunt: $\hat{1},\hat{4},\hat{9},\hat{5},\hat{3},\hat{3},\hat{5},\hat{9},\hat{4},\hat{1}$ pentru $x=\hat{1},\dots ,\widehat{10}$, iar ${\hat{0}}^2=\hat{0}$. Valoarea $\hat{5}$ apare exact de două ori, pentru $x=\hat{4}$ ($16=11+5$) și $x=\hat{7}$ ($49=44+5$). Deci ecuația are exact două soluții.

17. Existența: $x_0=a^{-1}b$ verifică $a{x}_0=a(a^{-1}b)=(a{a}^{-1})b=1\cdot b=b$. Unicitatea: dacă $a{x}_1=b$ și $a{x}_2=b$, atunci $a(x_1-x_2)=0$; cum $a\ne 0$ și corpul nu are divizori ai lui zero, rezultă $x_1-x_2=0$, deci $x_1=x_2$. Soluția este $x=a^{-1}b$.

18. Numerele din $\{0,1,\dots ,35\}$ prime cu $36=2^2\cdot 3^2$ sunt cele care nu se divid nici cu $2$, nici cu $3$: $1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35$ — douăsprezece la număr. Așadar doar $12$ din cele $35$ de clase nenule sunt inversabile. ${\mathbb{Z}}_{36}$ nu poate fi corp pentru că $36$ nu e prim: se scrie $36=6\cdot 6$, deci $\hat{6}\cdot \hat{6}=\hat{0}$ cu $\hat{6}\ne \hat{0}$, adică există divizori ai lui zero.

De reținut

• Corpul este un inel cu $1\ne 0$ în care orice element nenul este inversabil; mulțimea elementelor nenule se notează $K^{\ast }$ și formează grup față de înmulțire.
• Toate corpurile studiate în clasa a XII-a sunt comutative, iar exemplele de bază sunt $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim.
• Un corp nu are divizori ai lui zero: din $xy=0$ rezultă $x=0$ sau $y=0$, de unde regula de simplificare cu factori nenuli.
• Teorema centrală a lecției spune că $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim, iar demonstrația folosește într-un sens injectivitatea înmulțirii cu o clasă nenulă, iar în celălalt existența divizorilor lui zero.
• Într-un corp, ecuația $ax=b$ cu $a\ne 0$ are exact o soluție, $x=a^{-1}b$, ceea ce face ca sistemele liniare cu clase de resturi modulo un număr prim să se rezolve prin reducere, ca în numere reale.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre inel integru și corp. Lipsa divizorilor lui zero nu garantează existența inverselor: $\mathbb{Z}$ este inel integru, dar $2$ nu are invers în $\mathbb{Z}$. Orice corp e inel integru, niciodată invers.
• Uitarea condiției $1\ne 0$ din definiție. Fără ea, inelul cu un singur element ar trece drept corp. Este singurul loc din definiție care pare formal și chiar contează, mai ales în demonstrația teoremei, unde se folosește $n\ge 2$.
• Aplicarea teoremei la puteri de numere prime. ${\mathbb{Z}}_4$, ${\mathbb{Z}}_8$, ${\mathbb{Z}}_9$, ${\mathbb{Z}}_{25}$ nu sunt corpuri: teorema cere ca $n$ să fie prim, nu putere de prim. Verificarea rapidă: $\hat{p}\cdot {\hat{p}}^{k-1}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_{p^k}$.
• Simplificarea printr-un factor nul sau neinversabil. Din $\hat{2}x=\hat{2}y$ în ${\mathbb{Z}}_6$ nu rezultă $x=y$ (ia $x=\hat{0}$, $y=\hat{3}$). Simplificarea e legitimă doar într-un corp și doar cu un factor nenul.
• Căutarea inversului prin „împărțire". În ${\mathbb{Z}}_n$ nu există împărțire; inversul se găsește căutând clasa $\hat{b}$ cu $\widehat{ab}=\hat{1}$, prin încercări sau prin criteriul $(a,n)=1$. A scrie $\frac{\hat{1}}{\hat{3}}$ este o notație fără sens la Bacalaureat M1.

Aplică acasă

1. Tabla înmulțirii, făcută de mână. Scrie tablele înmulțirii pentru ${\mathbb{Z}}_7$ și pentru ${\mathbb{Z}}_8$, pe hârtie. Colorează cu verde celulele care conțin $\hat{1}$ și cu roșu celulele interioare care conțin $\hat{0}$. Vei vedea imediat, din desen, care dintre cele două este corp și de ce.

2. Corpul de buzunar. Alege un număr prim de două cifre, de exemplu $p=17$, și determină inversele claselor $\hat{2},\hat{3},\dots ,\hat{8}$. Notează, pentru fiecare, produsul care confirmă rezultatul. Apoi rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{17}$ ecuația $\hat{5}x+\hat{9}=\hat{2}$ și verifică soluția.

3. Vânătoarea de divizori ai lui zero. Pentru fiecare $n$ de la $2$ la $20$, notează dacă ${\mathbb{Z}}_n$ este corp și, când nu este, scrie o pereche de clase nenule cu produsul $\hat{0}$. Compară lista obținută cu lista numerelor prime până la $20$: trebuie să coincidă.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide construcția structurilor algebrice din supliment: după monoid, grup și inel, corpul este ultima treaptă și, totodată, cea care justifică retroactiv toată aritmetica din gimnaziu. Miezul evaluabil este teorema „${\mathbb{Z}}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim", cu demonstrația ei pe ambele implicații — o demonstrație scurtă, la îndemâna oricărui elev de mate-info, dar care cere disciplină: implicația inversă se face prin reducere la absurd, folosind divizorii lui zero.

De verificat în caiet: (1) definiția conține condiția $1\ne 0$; (2) elevul deosebește inelul integru de corp și dă contraexemplul $\mathbb{Z}$; (3) la fiecare ecuație în ${\mathbb{Z}}_n$ se scrie explicit inversul coeficientului, cu produsul care îl justifică; (4) soluțiile se verifică prin înlocuire. Întrebări de control: „Ce condiție în plus are corpul față de inel?"; „De ce ${\mathbb{Z}}_6$ nu e corp?"; „Cum arăți că ${\mathbb{Z}}_7$ este corp fără să scrii toată tabla?"; „De ce un corp nu are divizori ai lui zero?".

La BAC, în varianta M1 pe programa veche, structura de corp apare aproape exclusiv în Subiectul al II-lea, sub două forme: se cere să se arate că o mulțime de numere sau de matrice, cu operațiile date, este corp, ori se cer calcule și ecuații într-un ${\mathbb{Z}}_p$ concret. Semn că elevul a înțeles: pus în fața lui ${\mathbb{Z}}_{15}$, spune imediat „nu e corp, pentru că $15=3\cdot 5$" și produce pe loc perechea $\hat{3}\cdot \hat{5}=\hat{0}$.

Întrebări frecvente

Ce este un corp la clasa a 12-a? Un corp este un inel comutativ cu cel puțin două elemente, în care orice element diferit de zero are invers față de înmulțire. Practic, este o mulțime în care poți aduna, scădea, înmulți și împărți la orice element nenul, exact ca în mulțimea numerelor raționale sau reale. Notația uzuală pentru elementele nenule este $K^{\ast }$.

Care este diferența dintre inel și corp? Inelul cere doar ca înmulțirea să fie asociativă și cu element unitate, fără să pretindă inverse. Corpul cere în plus ca fiecare element nenul să fie inversabil. Astfel $\mathbb{Z}$ este inel, dar nu corp, pentru că doar $1$ și $-1$ au invers întreg, în timp ce $\mathbb{Q}$ este corp.

Când este mulțimea claselor de resturi modulo n un corp? Exact atunci când $n$ este număr prim. Dacă $n$ este prim, orice clasă nenulă este inversabilă, pentru că înmulțirea cu ea este o funcție injectivă pe o mulțime finită. Dacă $n$ este compus, $n=d\cdot d^{\prime }$ produce două clase nenule cu produsul $\hat{0}$, iar corpurile nu au divizori ai lui zero.

Cum se demonstrează că ${\mathbb{Z}}_5$ este corp? Cel mai rapid, invocând teorema: $5$ este prim, deci ${\mathbb{Z}}_5$ este corp. Dacă se cere verificarea directă, scrii tabla înmulțirii și arăți că pe fiecare linie a unei clase nenule apare $\hat{1}$: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$.

De ce un corp nu poate avea divizori ai lui zero? Pentru că un element nenul are invers. Dacă $xy=0$ și $x\ne 0$, înmulțești egalitatea cu $x^{-1}$ la stânga și obții $y=0$. Deci nu pot exista două elemente nenule cu produsul nul, adică nu există divizori ai lui zero — orice corp este automat inel integru.

Cum se rezolvă o ecuație de gradul întâi în clase de resturi? Treci termenii liberi în membrul drept folosind opusul, apoi determini inversul coeficientului necunoscutei și înmulțești ambii membri cu el. De exemplu, în ${\mathbb{Z}}_{11}$, din $\hat{4}x=\hat{6}$ și ${\hat{4}}^{-1}=\hat{3}$ obții $x=\hat{3}\hat{6}=\widehat{18}=\hat{7}$. Într-un corp, soluția este întotdeauna unică.

Este mulțimea matricelor pătratice un corp? Nu. Mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ este inel, dar înmulțirea nu e comutativă și, mai important, există matrice nenule cu determinantul nul, deci neinversabile. Există însă submulțimi speciale de matrice care formează corp, iar acesta este subiectul lecției despre inelele de matrice cu structură remarcabilă.

Care este cel mai mic corp? Corpul cu două elemente, ${\mathbb{Z}}_2=\{\hat{0},\hat{1}\}$. Are doar zeroul și unitatea, iar singurul element nenul, $\hat{1}$, este propriul său invers. Un corp nu poate avea un singur element, pentru că definiția cere $1\ne 0$, deci doi este minimul posibil.