Criteriul cleștelui: pe scurt

Teoremă. Dacă $b_n\le a_n\le c_n$ de la un rang încolo și $b_n$, $c_n$ au aceeași limită $\ell$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$. Demonstrația reduce cleștele la criteriul majorării, prin $|a_n-\ell |\le |b_n-\ell |+|c_n-\ell |$. Ipoteza esențială este ca cele două fălci să se închidă: din $1\le a_n\le 2$ nu rezultă nimic.

La sume cu $n$ termeni — situația tipică — încadrezi un termen oarecare între cel mai mic și cel mai mare termen, apoi aduni cele $n$ inegalități; marginile devin $n$ ori termenul minim, respectiv $n$ ori termenul maxim. Atenție la sens: dacă indicele apare la numitor, termenul cel mai mare corespunde celui mai mic indice. Raționamentul „fiecare termen tinde la zero, deci suma tinde la zero” este greșit: numărul termenilor crește o dată cu $n$.

Rezultate care ies din clește: $\sqrt[n]{a}\to 1$ pentru orice $a>0$; la $\sqrt[n]{a_1^n+\cdots +a_k^n}$ rămâne baza cea mai mare; partea întreagă dă un clește gata făcut, $x-1<[x]\le x$.

Aplicația cerută de programă: discul se prinde între poligonul regulat înscris și cel circumscris, ${\mathcal{S}}_n\le \mathcal{S}\le {\mathcal{S}}_n^{\prime }$; ambele margini tind la $\pi R^2$, deci $\mathcal{S}=\pi R^2$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru șirul $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$, încadrarea corectă este:

   • a) $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$
   • b) $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$
   • c) $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$
   • d) $n\le a_n\le n^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$

   Pentru $1\le k\le n$ avem $\sqrt{n^2+1}\le \sqrt{n^2+k}\le \sqrt{n^2+n}$, deci fiecare fracție este cuprinsă între $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ și $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$. Suma având exact $n$ termeni, marginile se înmulțesc cu $n$ — pasul pe care îl uită varianta a). Varianta b) are sensul întors. Ambele margini tind la $1$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$.

2. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2^n+7^n+4^n}$ este:

   • a) $13$
   • b) $7$
   • c) $1$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $7$

   Baza cea mai mare este $7$. Minorăm păstrând doar termenul dominant și majorăm înlocuind toți termenii cu cel mai mare: $\sqrt[n]{7^n}\le a_n\le \sqrt[n]{3\cdot 7^n}$, adică $7\le a_n\le 7\sqrt[n]{3}$. Cum $\sqrt[n]{3}\to 1$, ambele margini tind la $7$. Varianta a) ar fi suma bazelor — o greșeală frecventă.

3. Se știe că $b_n\le a_n\le c_n$ pentru orice $n\ge 1$, cu $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=1$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=3$. Atunci:

   • a) $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$
   • b) $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$
   • c) șirul $(a_n)$ este convergent
   • d) nu se poate spune nimic despre limita lui $(a_n)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu se poate spune nimic despre limita lui $(a_n)$

   Cleștele funcționează numai când cele două fălci au aceeași limită. Cu $b_n=1$ și $c_n=3$ constante, încadrarea este respectată deopotrivă de șirul constant $2$, de șirul $1+\frac{1}{n}$ și de șirul care ia alternativ valorile $1$ și $3$ — primele două converg, la valori diferite, iar al treilea nu are limită.