Criteriul cleștelui. Aria discului ca aplicație

Arhimede a calculat aria discului fără să aibă noțiunea de limită și fără să știe vreo zecimală exactă a lui $\pi$. A făcut altceva: a prins discul între două poligoane regulate — unul înscris, mai mic, și unul circumscris, mai mare — și a mărit numărul de laturi până când cele două arii au ajuns să difere cu mai puțin decât precizia cerută. Aria discului nu a fost niciodată calculată direct; a fost strivită între două valori care se apropiau una de alta.

Lecția aceasta transformă ideea lui Arhimede în teoremă. În lecția anterioară, despre criteriul majorării, aveai o singură margine: distanța până la limită stătea sub un șir care tindea la zero. Acum lucrăm cu două margini care se strâng, de sus și de jos, în jurul termenului general. E instrumentul potrivit când nu poți calcula $a_n$, dar poți spune între ce valori se află — situație tipică pentru sumele cu $n$ termeni, pentru radicalii de ordin $n$ și pentru mărimile geometrice obținute prin aproximări succesive.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi criteriul cleștelui: dacă $b_n\le a_n\le c_n$ de la un rang încolo și $b_n$, $c_n$ au aceeași limită $\ell$, atunci și $a_n\to \ell$.
• Vei ști să construiești cele două margini pentru o sumă cu $n$ termeni, înlocuind fiecare termen cu cel mai mic, respectiv cel mai mare dintre ei.
• Vei ști să calculezi $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}$ pentru $a>0$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_1^n+\cdots +a_k^n}$.
• Vei ști să folosești încadrarea părții întregi, $x-1<[x]\le x$, ca sursă naturală de clește.
• Vei ști să deduci aria discului, $\mathcal{S}=\pi R^2$, ca limită a ariilor poligoanelor regulate înscrise și circumscrise.
• Vei ști să deosebești situațiile în care cleștele funcționează de cele în care marginile au limite diferite și nu se poate conchide nimic.

Hai să descoperim împreună

1. De la o margine la două

Criteriul majorării rezolvă cazul în care bănuiești limita și poți controla distanța până la ea. Dar ia șirul $$a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\cdots +\frac{1}{n^2+n}.$$ Aici nu ai ce diferență să formezi: suma are $n$ termeni, iar numărul lor crește odată cu $n$, deci nici măcar nu poți aplica regula sumei de la operațiile cu șiruri convergente — aceea se referă la un număr fix de șiruri.

Ce poți face, în schimb, este să compari fiecare termen cu cel mai mic și cu cel mai mare dintre ei. Cum $1\le k\le n$, numitorul $n^2+k$ este cuprins între $n^2+1$ și $n^2+n$, deci fiecare fracție este cuprinsă între $\frac{1}{n^2+n}$ și $\frac{1}{n^2+1}$. Adunând cele $n$ inegalități, $$\frac{n}{n^2+n}\le a_n\le \frac{n}{n^2+1}.$$ Ambele margini tind la $0$. Intuiția spune că și $a_n$ tinde la $0$ — și exact această intuiție o legitimează teorema de mai jos.

2. Criteriul cleștelui — enunț și demonstrație

Teoremă (criteriul cleștelui). Fie $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ trei șiruri de numere reale și $\ell \in \mathbb{R}$. Dacă există un rang $n_0$ astfel încât $$b_n\le a_n\le c_n\text{pentru orice }n\ge n_0,$$ și dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\ell$, atunci șirul $(a_n)$ este convergent și $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$.

Demonstrație. Scădem $\ell$ în toate trei membrii inegalității: pentru $n\ge n_0$, $$b_n-\ell \le a_n-\ell \le c_n-\ell .$$ Din inegalitatea din dreapta obținem $a_n-\ell \le c_n-\ell \le |c_n-\ell |$, iar din cea din stânga, $-(a_n-\ell )\le -(b_n-\ell )\le |b_n-\ell |$. Cum modulul unui număr este cel mai mare dintre el și opusul lui, rezultă $$|a_n-\ell |\le |b_n-\ell |+|c_n-\ell |.$$ Notăm $d_n=|b_n-\ell |+|c_n-\ell |$. Din $b_n\to \ell$ și $c_n\to \ell$ avem $|b_n-\ell |\to 0$ și $|c_n-\ell |\to 0$, deci $d_n\to 0$ ca sumă a două șiruri nule. Aplicăm criteriul majorării șirului $(a_n)$, cu majorantul $d_n$: obținem $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$. $■$

Observă că demonstrația nu a inventat nimic: cleștele se reduce la criteriul majorării. Motivul pentru care merită totuși o teoremă separată este practic — la sume și la radicali, cele două margini se scriu imediat, în timp ce un majorant al distanței ar trebui construit cu efort.

Ipoteza care nu se poate slăbi: cele două margini trebuie să aibă aceeași limită. Dacă $b_n\to 1$ și $c_n\to 2$, despre $(a_n)$ nu se poate spune absolut nimic: poate converge la orice număr din $[1,2]$ sau poate să nu aibă limită deloc. Un exemplu care lămurește definitiv lucrurile: luând $b_n=1$ și $c_n=2$ pentru orice $n$, șirurile $a_n=1$, $a_n=\frac{3}{2}$ și șirul care ia alternativ valorile $1$ și $2$ respectă toate încadrarea, dar au comportări complet diferite. Cleștele funcționează numai când se închide.

La fel de important: inegalitățile se cer, ca și la criteriul majorării, doar de la un rang încolo. Multe încadrări naturale se sparg la primele valori — de pildă una care presupune $n\ge 3$ —, iar asta nu strică nimic: termenii dinaintea acelui rang sunt în număr finit și nu influențează limita.

3. Legătura cu limitele infinite

Pentru limite infinite, „cleștele" se reduce la o singură falcă — ceea ce ai văzut deja ca urmare a criteriului majorării:

• dacă $a_n\ge b_n$ pentru $n\ge n_0$ și $b_n\to +\infty$, atunci $a_n\to +\infty$ (nu ai nevoie de margine superioară: nimic nu îl poate opri pe $a_n$ să urce);
• dacă $a_n\le c_n$ pentru $n\ge n_0$ și $c_n\to -\infty$, atunci $a_n\to -\infty$.

Formularea corectă, pe care baremele o cer: aceste limite există în dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}$, dar șirurile respective nu sunt convergente.

4. Rețeta pentru sume cu $n$ termeni

Aceasta este situația în care cleștele apare cel mai des la Bacalaureat M1. Procedezi în trei pași.

1. Identifici indicele care variază — de obicei $k$, cu $1\le k\le n$ — și partea din termen în care apare.
2. Încadrezi un termen oarecare între cel mai mic și cel mai mare termen al sumei. Atenție la sensul inegalității: dacă $k$ apare la numitor, termenul cel mai mare se obține pentru $k$ cel mai mic.
3. Aduni cele $n$ inegalități. Fiindcă suma are exact $n$ termeni, marginile devin $n\cdot (\text{termenul minim})$ și $n\cdot (\text{termenul maxim})$.

Aplicat șirului din §1: $$\frac{n}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+1},\frac{n}{n^2+n}\to 0,\frac{n}{n^2+1}\to 0,$$ deci limita este $0$. Verificare numerică: pentru $n=100$ suma valorează aproximativ $0,009950$, iar marginile sunt $0,009901$ și $0,009999$. ✓

Aici se ascunde însă capcana cea mai des întâlnită a capitolului. Ai putea fi tentat să spui: „fiecare termen tinde la zero, deci și suma tinde la zero". Raționamentul este greșit, chiar dacă în exemplul de mai sus concluzia se nimerește adevărată. Motivul este că numărul termenilor crește odată cu $n$, iar regula sumei limitelor se aplică unui număr fix de șiruri. Cel mai bun antidot este Exemplul 1 de mai jos: acolo fiecare termen tinde tot la zero, dar suma tinde la $1$. De aceea încadrarea nu este o formalitate, ci singura cale corectă.

5. Radicalul de ordin $n$ dintr-un număr fix

Propoziție. Pentru orice $a>0$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$.

Demonstrație (cazul $a>1$). Notăm $x_n=\sqrt[n]{a}-1$. Cum $a>1$, avem $\sqrt[n]{a}>1$, deci $x_n>0$. Ridicăm la puterea $n$: $$a={\left(1+x_n\right)}^n\ge 1+n{x}_n,$$ folosind inegalitatea lui Bernoulli, $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ pentru $x\ge -1$, care se demonstrează prin inducție matematică. De aici $x_n\le \frac{a-1}{n}$ și, prin urmare, $$1\le \sqrt[n]{a}\le 1+\frac{a-1}{n}.$$ Ambele margini tind la $1$, deci, prin criteriul cleștelui, $\sqrt[n]{a}\to 1$.

Pentru $a=1$ șirul este constant. Pentru $0<a<1$ se scrie $\sqrt[n]{a}=\frac{1}{\sqrt[n]{1/a}}$, iar numitorul tinde la $1$ prin cazul deja tratat. $■$

Consecința care se cere la examen: pentru $0<a_1\le a_2\le \cdots \le a_k$, $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_k^n}=a_k,$$ pentru că $a_k\le \sqrt[n]{a_1^n+\cdots +a_k^n}\le \sqrt[n]{k\cdot a_k^n}=a_k\sqrt[n]{k}\to a_k$. Pe scurt: la radical de ordin $n$, rămâne baza cea mai mare.

6. Aria discului — aplicația cerută de programă

Fixăm un cerc de rază $R$ și, pentru fiecare $n\ge 3$, construim poligonul regulat cu $n$ laturi înscris în cerc. Unind centrul cu vârfurile, obținem $n$ triunghiuri isoscele congruente, fiecare cu unghiul la centru egal cu $\frac{2\pi }{n}$. Înălțimea dusă din centru împarte un astfel de triunghi în două triunghiuri dreptunghice, cu unghiul $\frac{\pi }{n}$ la centru și ipotenuza $R$. Din definițiile de pe cercul trigonometric, cateta opusă unghiului este $R\sin \frac{\pi }{n}$ (jumătate de latură), iar cea alăturată este $R\cos \frac{\pi }{n}$ (apotema). Așadar $${\ell }_n=2R\sin \frac{\pi }{n},P_n=2nR\sin \frac{\pi }{n},a_n=R\cos \frac{\pi }{n},{\mathcal{S}}_n=\frac{1}{2}{P}_n{a}_n=n{R}^2\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}.$$

Poligonul regulat cu $n$ laturi circumscris cercului are apotema chiar $R$, iar jumătatea laturii $R\mathrm{tg}\frac{\pi }{n}$, deci $${\mathcal{S}}_n^{\prime }=n{R}^2\mathrm{tg}\frac{\pi }{n}=\frac{n{R}^2\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}}{{\cos }^2\frac{\pi }{n}}=\frac{{\mathcal{S}}_n}{{\cos }^2\frac{\pi }{n}}.$$

Înainte de calcule, o lămurire care contează. Ce înseamnă, de fapt, „aria discului"? Pentru un poligon, aria se definește prin descompunere în triunghiuri, iar aria unui triunghi o știi de la geometrie. Pentru o figură mărginită de o linie curbă, o astfel de definiție nu mai există; tot ce putem cere este ca aria discului să fie un număr cuprins între ariile oricărui poligon inclus în disc și ariile oricărui poligon care îl conține. Ceea ce demonstrăm mai jos este că această cerință determină un singur număr — și că el este $\pi R^2$. Cleștele nu este aici o metodă de calcul, ci chiar argumentul care arată că mărimea căutată este bine definită.

Ce se admite. Lungimea cercului se definește ca limita perimetrelor poligoanelor regulate înscrise, iar numărul $\pi$ este, prin definiție, raportul dintre lungimea cercului și diametrul lui. Cu alte cuvinte, egalitatea $$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=2\pi R$$ nu este dedusă aici, ci este chiar definiția cu care lucrăm. La fel se admite, din geometrie, că poligonul înscris este inclus în disc, iar discul în poligonul circumscris, deci ariile respectă ${\mathcal{S}}_n\le \mathcal{S}\le {\mathcal{S}}_n^{\prime }$.

Pasul de analiză: apotema tinde la $R$. Pe cercul trigonometric, pentru $t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, numărul $\sin t$ este distanța de la punctul $M$ la axa $Ox$; ea este cel mult egală cu lungimea coardei care unește $M$ de punctul $A(1,0)$, iar coarda este mai scurtă decât arcul, a cărui lungime este chiar $t$. Deci $0<\sin t<t$. Luând $t=\frac{\pi }{n}$ și folosind formula fundamentală a trigonometriei, $${\cos }^2\frac{\pi }{n}=1-{\sin }^2\frac{\pi }{n}\ge 1-\frac{{\pi }^2}{n^2}.$$ Pentru $n\ge 3$ avem $0<\cos \frac{\pi }{n}\le 1$, deci $\cos \frac{\pi }{n}\ge {\cos }^2\frac{\pi }{n}$, ceea ce dă cleștele $$1-\frac{{\pi }^2}{n^2}\le \cos \frac{\pi }{n}\le 1.$$ Ambele margini tind la $1$, deci $\cos \frac{\pi }{n}\to 1$ și, prin urmare, $a_n=R\cos \frac{\pi }{n}\to R$.

Încheierea. Prin operațiile cu șiruri convergente, $${\mathcal{S}}_n=\frac{1}{2}{P}_n{a}_n⟶\frac{1}{2}\cdot 2\pi R\cdot R=\pi R^2,{\mathcal{S}}_n^{\prime }=\frac{{\mathcal{S}}_n}{{\cos }^2\frac{\pi }{n}}⟶\frac{\pi R^2}{1}=\pi R^2.$$ Cele două șiruri încadrează numărul constant $\mathcal{S}$ și au aceeași limită, deci criteriul cleștelui, aplicat șirului constant $(\mathcal{S})$, dă $$\mathcal{S}=\pi R^2.$$

7. Cât de repede se strânge cleștele lui Arhimede

Pentru $R=1$, aria discului este chiar $\pi =3,141593\dots$ Tabelul de mai jos arată cum se apropie cele două margini (valorile sunt rotunjite la șase zecimale):

La $n=1000$ cele două margini diferă prin mai puțin de $0,00004$, deci aria discului este determinată cu patru zecimale exacte — fără să fi calculat vreodată direct aria unei figuri cu laturi curbe.

Citirea tabelului merită făcută pe îndelete. Hexagonul înscris acoperă doar aproximativ $83\%$ din disc, ceea ce se vede și cu ochiul liber pe desen. Dodecagonul ajunge deja la circa $95\%$, iar diferența dintre cele două margini se micșorează de aproximativ patru ori de fiecare dată când dublezi numărul de laturi. Acesta este și motivul pentru care Arhimede a putut lucra cu poligoane de $96$ de laturi și a obținut, cu instrumentele antichității, încadrarea $\frac{223}{71}<\pi <\frac{22}{7}$ — o precizie de două zecimale, atinsă cu peste două mii de ani înainte ca noțiunea de limită să fie formulată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sumă cu numitori care variază

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}\right)$.

Rezolvare. Pentru $1\le k\le n$ avem $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$, deci $$\frac{n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+k}\le \frac{n}{n^2+1}.$$ Adunând cele $n$ inegalități: $$\frac{n\cdot n}{n^2+n}\le a_n\le \frac{n\cdot n}{n^2+1},\text{adica˘}\frac{n}{n+1}\le a_n\le \frac{n^2}{n^2+1}.$$ Ambele margini tind la $1$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$.

Verificare: pentru $n=1000$, marginile sunt $0,999001$ și $0,999999$, iar suma valorează $0,999500$. ✓

Exemplul 2 — Când falca de jos este constantă

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}\right)$.

Rezolvare. Aici $k$ apare și la numărător, deci nu putem încadra termenii între ei; încadrăm doar numitorul: $$\frac{k}{n^2+n}\le \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1}.$$ Adunăm pentru $k=1,2,\dots ,n$ și folosim $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$: $$\frac{n(n+1)}{2\left(n^2+n\right)}\le a_n\le \frac{n(n+1)}{2\left(n^2+1\right)}.$$ Marginea din stânga se simplifică exact: $\frac{n(n+1)}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}$ pentru orice $n$. Marginea din dreapta tinde tot la $\frac{1}{2}$. Prin criteriul cleștelui, $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{1}{2}.$$

Exemplul 3 — Radical de ordin $n$ dintr-o sumă de puteri

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}$.

Rezolvare. Baza cea mai mare este $5$. Minorăm păstrând doar termenul dominant și majorăm înlocuind toți termenii cu cel mai mare: $$\sqrt[n]{5^n}\le \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}\le \sqrt[n]{3\cdot 5^n},$$ adică $5\le a_n\le 5\sqrt[n]{3}$. Din propoziția demonstrată la §5, $\sqrt[n]{3}\to 1$, deci ambele margini tind la $5$ și $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}=5.$$

Exemplul 4 — Partea întreagă

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left[n\sqrt{3}\right]}{n}$, unde $[x]$ este partea întreagă a lui $x$.

Rezolvare. Pentru orice număr real $x$ are loc încadrarea $x-1<[x]\le x$, cunoscută de la funcția parte întreagă. Cu $x=n\sqrt{3}$: $$n\sqrt{3}-1<\left[n\sqrt{3}\right]\le n\sqrt{3}.$$ Împărțind la $n>0$: $$\sqrt{3}-\frac{1}{n}<\frac{\left[n\sqrt{3}\right]}{n}\le \sqrt{3}.$$ Ambele margini tind la $\sqrt{3}$, deci limita este $\sqrt{3}$. Verificare: pentru $n=1000$, $\left[1000\sqrt{3}\right]=1732$, iar $\frac{1732}{1000}=1,732$, foarte aproape de $\sqrt{3}\approx 1,732051$. ✓

Exemplul 5 — Aria unui disc, numeric

Un rezervor circular are raza $R=2$ m. Aproximați aria fundului lui cu ajutorul hexagonului regulat înscris și al celui circumscris și comparați cu valoarea exactă.

Rezolvare. Pentru $n=6$ și $R=2$: $${\mathcal{S}}_6=6R^2\sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{6}=6\cdot 4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,392305{\text{m}}^2,$$ $${\mathcal{S}}_6^{\prime }=6R^2\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=6\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\approx 13,856406{\text{m}}^2.$$ Aria exactă este $\mathcal{S}=\pi R^2=4\pi \approx 12,566371$ m${}^2$, într-adevăr cuprinsă între cele două. Media celor două margini, $7\sqrt{3}\approx 12,124356$, este deja o estimare rezonabilă; cu $n=100$ marginile devin $12,558104$ și $12,570506$, deci eroarea scade sub o sutime de metru pătrat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$. a) Calculați $a_1$. b) Arătați că $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$ pentru orice $n\ge 1$. c) Determinați $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.

Rezolvare.

a) Pentru $n=1$ suma are un singur termen: $a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Pentru $1\le k\le n$ avem $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$, deci, radicalul fiind strict crescător, $$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.$$ Adunând cele $n$ inegalități obținem exact încadrarea cerută.

c) Ambele margini se prelucrează la fel: dăm factor forțat pe $n$ sub radical, $$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\to 1,\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to 1.$$ Prin criteriul cleștelui, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$.

Verificare: pentru $n=100$, marginile sunt $0,995037$ și $0,999950$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie ambele inegalități ale cleștelui și justifică-le; baremul acordă puncte separate pentru fiecare margine.

1. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{1}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2+n^2}\right)$.

2. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{5}$.

3. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2^n+7^n}$.

4. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left[n\sqrt{5}\right]}{n}$.

5. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}\right)$, refăcând singur încadrarea din Exemplul 1.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $b_n\le a_n\le c_n$ pentru orice $n$, $b_n\to 1$ și $c_n\to 2$, atunci șirul $(a_n)$ are limită."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Criteriul cleștelui cere ca cele două șiruri care încadrează să aibă aceeași limită."

8. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1^2}{n^3+1}+\frac{2^2}{n^3+2}+\cdots +\frac{n^2}{n^3+n}\right)$, folosind $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

9. Scrie aria poligonului regulat cu $n$ laturi înscris într-un cerc de rază $R=3$ și calculează valoarea ei pentru $n=4$ și pentru $n=6$.

10. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{4n^2+1}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{4n^2+n}}\right)$.

11. (Problemă aplicată.) O pistă circulară de atletism are raza $R=50$ m. Un topograf o măsoară punând jaloane în vârfurile unui poligon regulat cu $36$ de laturi înscris în ea. Scrie perimetrul măsurat, $P_{36}=72R\sin \frac{\pi }{36}$, și compară-l cu lungimea reală $2\pi R$.

12. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin 1+\sin 2+\cdots +\sin n}{n^2+1}=0$, prin clește, pornind de la $-n\le \sin 1+\cdots +\sin n\le n$.

13. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a^n+b^n}$, unde $0<a<b$.

14. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \frac{\pi }{n}=1$, refăcând încadrarea din §6.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}$. Arată că $\frac{1}{2}\le a_n\le \frac{n(n+1)}{2\left(n^2+1\right)}$ și determină limita șirului.

16. Fie $(a_n)$ un șir cu $\frac{2n-1}{n+1}\le a_n\le \frac{2n+3}{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$. Determină $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.

17. Arată, folosind o singură falcă, că $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n+\sqrt{n}\sin n\right)=+\infty$.

18. (Provocare.) Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$. Indicație: notează $x_n=\sqrt[n]{n}-1\ge 0$, scrie $n=(1+x_n{)}^n$ și păstrează din dezvoltarea cu binomul lui Newton doar termenul $C_n^2{x}_n^2$.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $1\le k\le n$: $n^2+1\le n^2+k^2\le 2n^2$, deci $\frac{n}{2n^2}\le a_n\le \frac{n}{n^2+1}$. Ambele margini tind la $0$, deci limita este $0$.

2. Din §5, $\sqrt[n]{a}\to 1$ pentru orice $a>0$; aici $1\le \sqrt[n]{5}\le 1+\frac{4}{n}$, deci limita este $1$.

3. $7\le \sqrt[n]{2^n+7^n}\le \sqrt[n]{2\cdot 7^n}=7\sqrt[n]{2}\to 7$, deci limita este $7$.

4. Din $n\sqrt{5}-1<\left[n\sqrt{5}\right]\le n\sqrt{5}$, împărțind la $n$: $\sqrt{5}-\frac{1}{n}<a_n\le \sqrt{5}$. Limita este $\sqrt{5}$.

5. $\frac{n}{n+1}\le a_n\le \frac{n^2}{n^2+1}$, ambele tind la $1$; limita este $1$.

6. Fals. Marginile trebuie să aibă aceeași limită. Contraexemplu: $b_n=1$, $c_n=2$ și $a_n=\frac{3+(-1{)}^n}{2}$, care ia alternativ valorile $1$ și $2$ și nu are limită.

7. Adevărat. Este ipoteza esențială a teoremei; fără ea, concluzia cade, așa cum arată exercițiul precedent.

8. Încadrăm numitorul: $\frac{k^2}{n^3+n}\le \frac{k^2}{n^3+k}\le \frac{k^2}{n^3+1}$. Adunând și folosind formula sumei pătratelor, $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6\left(n^3+n\right)}\le a_n\le \frac{n(n+1)(2n+1)}{6\left(n^3+1\right)}$. Ambele margini tind la $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, deci limita este $\frac{1}{3}$.

9. ${\mathcal{S}}_n=n\cdot 9\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}$. Pentru $n=4$: $4\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=18$. Pentru $n=6$: $6\cdot 9\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{2}\approx 23,382686$. (Aria discului este $9\pi \approx 28,274334$.)

10. Pentru $1\le k\le n$: $\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{4n^2+1}}$. Dând factor forțat pe $n$ sub radical, ambele margini tind la $\frac{1}{2}$, deci limita este $\frac{1}{2}$.

11. $P_{36}=72\cdot 50\cdot \sin \frac{\pi }{36}=3600\sin 5^{\circ }\approx 313,761$ m, în timp ce $2\pi R=100\pi \approx 314,159$ m. Eroarea este de circa $0,4$ m, adică sub $0,13\%$ — poligonul cu $36$ de laturi este deja o aproximare foarte bună a cercului. Măsurătoarea prin jaloane dă întotdeauna o valoare mai mică decât realitatea, pentru că fiecare coardă este mai scurtă decât arcul pe care îl subîntinde; de aceea topograful știe dinainte în ce sens greșește și poate corecta rezultatul.

12. Din $|\sin k|\le 1$ rezultă $-n\le \sin 1+\cdots +\sin n\le n$, deci $\frac{-n}{n^2+1}\le a_n\le \frac{n}{n^2+1}$. Ambele margini tind la $0$, deci limita este $0$.

13. $b\le \sqrt[n]{a^n+b^n}\le \sqrt[n]{2b^n}=b\sqrt[n]{2}\to b$, deci limita este $b$: rămâne baza cea mai mare.

14. Din $0<\sin t<t$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și din formula fundamentală, ${\cos }^2\frac{\pi }{n}\ge 1-\frac{{\pi }^2}{n^2}$; cum $0<\cos \frac{\pi }{n}\le 1$, avem $\cos \frac{\pi }{n}\ge {\cos }^2\frac{\pi }{n}\ge 1-\frac{{\pi }^2}{n^2}$. Cleștele $1-\frac{{\pi }^2}{n^2}\le \cos \frac{\pi }{n}\le 1$ dă limita $1$.

15. Încadrăm numitorul, ca în Exemplul 2: $\frac{k}{n^2+n}\le \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1}$. Adunând, marginea din stânga este $\frac{n(n+1)}{2\left(n^2+n\right)}=\frac{1}{2}$, iar cea din dreapta $\frac{n(n+1)}{2\left(n^2+1\right)}$, care tinde tot la $\frac{1}{2}$. Limita este $\frac{1}{2}$.

16. Ambele margini tind la $2$ (raport de polinoame de același grad), deci, prin criteriul cleștelui, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$. Observă că nu a fost nevoie să cunoaștem formula lui $a_n$ — și nici măcar nu există un singur șir care să respecte încadrarea: infinit de multe șiruri o respectă, iar toate au aceeași limită. Acesta este, de fapt, conținutul teoremei.

17. Din $\sin n\ge -1$ rezultă $n+\sqrt{n}\sin n\ge n-\sqrt{n}$. Pentru $n\ge 4$ avem $\sqrt{n}\le \frac{n}{2}$, deci $n-\sqrt{n}\ge \frac{n}{2}\to +\infty$. Prin comparație, limita este $+\infty$. Aici o singură falcă, cea de jos, este suficientă.

18. Din $n=(1+x_n{)}^n=1+C_n^1{x}_n+C_n^2{x}_n^2+\cdots \ge C_n^2{x}_n^2=\frac{n(n-1)}{2}{x}_n^2$ (toți termenii dezvoltării sunt pozitivi) rezultă $x_n^2\le \frac{2}{n-1}$ pentru $n\ge 2$, deci $0\le x_n\le \sqrt{\frac{2}{n-1}}$. Ambele margini tind la $0$, deci $x_n\to 0$ și $\sqrt[n]{n}=1+x_n\to 1$.

De reținut

• Criteriul cleștelui: dacă $b_n\le a_n\le c_n$ de la un rang încolo și $b_n\to \ell$, $c_n\to \ell$ (aceeași limită), atunci $a_n\to \ell$. Se demonstrează reducându-l la criteriul majorării.
• La sume cu $n$ termeni, încadrarea se face termen cu termen, iar apoi se adună cele $n$ inegalități: marginile devin $n$ ori termenul minim, respectiv $n$ ori termenul maxim.
• $\sqrt[n]{a}\to 1$ pentru orice $a>0$, iar la $\sqrt[n]{a_1^n+\cdots +a_k^n}$ rămâne baza cea mai mare.
• Partea întreagă dă un clește gata făcut: $x-1<[x]\le x$.
• Aria discului se obține prinzând discul între poligonul regulat înscris și cel circumscris: ${\mathcal{S}}_n\le \mathcal{S}\le {\mathcal{S}}_n^{\prime }$, ambele margini tind la $\pi R^2$, deci $\mathcal{S}=\pi R^2$.

Greșeli frecvente

• Aplici cleștele cu o singură inegalitate sau cu margini care au limite diferite. Cleștele are, prin definiție, două fălci care se închid: o rezolvare care doar majorează demonstrează cel mult că șirul nu depășește ceva, iar din $1\le a_n\le 2$ nu rezultă nimic despre limită. Prima verificare, înainte de orice concluzie: am scris ambele margini și au ele aceeași limită? Dacă îți este de ajuns una singură, atunci instrumentul potrivit nu este cleștele, ci criteriul majorării — și trebuie spus explicit care dintre ele îl folosești.
• Greșești sensul inegalității la fracții. Dacă $k$ apare la numitor, atunci termenul cel mai mare corespunde celui mai mic $k$. Un semn întors face ca ambele margini să fie false, chiar dacă limita iese, din întâmplare, corectă.
• Uiți că suma are exact $n$ termeni. După ce încadrezi un termen oarecare, trebuie să înmulțești cu $n$, nu să lași marginea nemodificată.
• Folosești regula sumei limitelor la o sumă cu $n$ termeni. Regula se aplică unui număr fix de șiruri. Aici numărul termenilor crește cu $n$, iar concluzia „fiecare termen tinde la zero, deci suma tinde la zero" este falsă — Exemplul 1 are limita $1$, deși fiecare termen tinde la $0$.
• Confunzi ${\mathcal{S}}_n$ cu $\mathcal{S}$. Ariile poligoanelor sunt termenii unui șir; aria discului este numărul spre care converge șirul. Egalitatea $\mathcal{S}=\pi R^2$ se obține abia după ce ambele margini au fost trecute la limită.

Aplică acasă

1. Refă măsurătoarea lui Arhimede. Desenează pe hârtie milimetrică un cerc de rază $5$ cm, apoi înscrie-i, cu raportorul, un pătrat, un hexagon și un dodecagon regulat. Calculează ariile cu formula ${\mathcal{S}}_n=n{R}^2\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}$ și compară-le cu $25\pi \approx 78,54$ cm². Vei vedea că dodecagonul ajunge deja la circa $95\%$ din aria discului.

2. Cleștele într-un tabel. Într-un tabel de calcul, pe trei coloane, scrie pentru $n$ de la $1$ la $50$ valorile $\frac{n}{n+1}$, suma $\frac{n}{n^2+1}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}$ și $\frac{n^2}{n^2+1}$. Reprezintă-le grafic: vei vedea literalmente cum se închide cleștele în jurul valorii $1$. Adaugă o a patra coloană cu diferența dintre marginea de sus și cea de jos și observă cât de repede scade — este chiar viteza cu care demonstrația „strânge" rezultatul.

3. Caută cleștele în viața de zi cu zi. Notează trei situații în care o mărime este cunoscută doar prin două estimări, una prin lipsă și una prin adaos: ora de sosire a unui autobuz, greutatea unui bagaj cântărit cu un cântar cu diviziuni mari, prețul final al unei comenzi. În fiecare caz, ce ar însemna „cleștele se închide"? Scrie, pentru fiecare, ce anume ar trebui îmbunătățit ca marginile să se apropie: mai multe măsurători, un instrument mai fin sau mai multă informație despre situație.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide perechea de criterii de existență a limitei cerute de programă și conține aplicația nominalizată explicit în programă: determinarea ariei discului. Ideea centrală este că existența unei limite se poate demonstra fără a calcula termenul general — ajunge să-l prinzi între două șiruri cu aceeași limită.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a ambelor inegalități, cu justificare pentru fiecare; (2) tehnica de încadrare la sumele cu $n$ termeni, unde numărul termenilor crește; (3) înțelegerea faptului că ipoteza „aceeași limită" nu este decorativă; (4) reconstituirea raționamentului lui Arhimede pentru aria discului, cu distincția clară între ce se admite (lungimea cercului, deci definiția lui $\pi$; incluziunile geometrice) și ce se demonstrează (trecerea la limită). Întrebări bune de control: „De ce nu putem spune că suma tinde la zero, dacă fiecare termen tinde la zero?", „Ce se întâmplă dacă marginile tind la numere diferite?", „De unde știm că apotema tinde la rază?".

La BAC M1, tiparul din Exemplul 6 este cel mai frecvent: subpunctul b) cere încadrarea, subpunctul c) cere limita. Uneori încadrarea este chiar dată în enunț, iar elevul trebuie doar să o folosească — motiv în plus ca prezența ei să fie recunoscută instantaneu ca invitație la clește. Semne că elevul a înțeles: începe prin a scrie „pentru $1\le k\le n$…" și nu confundă sensurile inegalităților la fracții. Un semn de alarmă, în schimb, este rezolvarea care scrie o singură inegalitate și trage concluzia: ea arată că elevul a memorat forma, nu ideea. Continuarea firească este lecția Teorema lui Weierstrass, care garantează existența limitei chiar și atunci când nu ai nicio pereche de margini convenabilă.

Întrebări frecvente

Ce spune criteriul cleștelui? Spune că, dacă un șir este prins între alte două șiruri care au aceeași limită $\ell$, atunci și el are limita $\ell$. Formal: din $b_n\le a_n\le c_n$ și $b_n\to \ell$, $c_n\to \ell$ rezultă $a_n\to \ell$.

Cu ce diferă de criteriul majorării? Criteriul majorării folosește o singură margine, dar pentru distanța $|a_n-\ell |$, deci cere să bănuiești limita dinainte. Cleștele folosește două margini pentru termenul însuși și produce limita ca rezultat al calculului marginilor. De altfel, cleștele se demonstrează pornind de la criteriul majorării.

Cum aleg cele două margini la o sumă cu $n$ termeni și cum știu care e cea de jos? Compari un termen oarecare, al $k$-lea, cu cel mai mic și cu cel mai mare termen al sumei, apoi aduni cele $n$ inegalități: rezultatul este $n$ ori termenul minim la stânga și $n$ ori termenul maxim la dreapta. Ca să nu greșești sensul, te uiți cum variază expresia când crește $k$. La o fracție cu $k$ doar la numitor, valoarea scade când $k$ crește, deci termenul cel mai mare este cel cu $k=1$, iar cel mai mic, cel cu $k=n$. Dacă $k$ apare și la numărător, nu mai poți compara termenii între ei și încadrezi numai numitorul, ca în Exemplul 2.

De ce nu pot spune că suma tinde la zero, dacă fiecare termen tinde la zero? Pentru că numărul termenilor crește odată cu $n$. Regula „limita sumei este suma limitelor" se aplică unui număr fix de șiruri. În Exemplul 1 fiecare termen tinde la $0$, dar suma tinde la $1$, tocmai pentru că sunt $n$ termeni.

Ce se admite fără demonstrație la aria discului? Se admite că lungimea cercului este limita perimetrelor poligoanelor regulate înscrise — aceasta este chiar definiția lui $\pi$ — și se admit incluziunile geometrice care dau ${\mathcal{S}}_n\le \mathcal{S}\le {\mathcal{S}}_n^{\prime }$. Trecerea la limită și concluzia $\mathcal{S}=\pi R^2$ se demonstrează.

Cât de repede se apropie poligoanele de disc? Foarte repede. Pentru $R=1$, la $n=100$ marginile sunt $3,139526$ și $3,142627$, iar la $n=1000$ ele diferă cu mai puțin de $0,00004$, adică $\pi$ este determinat cu patru zecimale exacte.

Criteriul cleștelui funcționează și pentru limite infinite? În forma cu două margini, nu are sens: la $+\infty$ nu ai margine superioară. Rămâne însă comparația cu o singură falcă — un șir situat deasupra unuia care tinde la $+\infty$ tinde și el la $+\infty$ —, care este consecința criteriului majorării.

Trebuie ca inegalitățile să fie valabile pentru toți termenii? Nu. Este suficient să fie valabile de la un rang încolo, exact ca la criteriul majorării. Termenii dinaintea acelui rang sunt în număr finit și nu influențează limita, deci o încadrare care se sparge la primele valori rămâne perfect utilizabilă — cu condiția să spui explicit de la ce rang o folosești.