Criteriul majorării: pe scurt

Când o bucată a expresiei nu are limită — $\sin n$, $\cos n$, $(-1{)}^n$, o sumă imprevizibilă — operațiile cu șiruri convergente se blochează. Criteriul majorării schimbă întrebarea: nu urmărim termenul, ci distanța până la valoarea bănuită.

Teoremă. Dacă $|a_n-\ell |\le b_n$ de la un rang încolo și $b_n\to 0$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$. Criteriul confirmă o limită ghicită, nu o produce: dacă ai ghicit greșit, expresia majorantă nu tinde la zero.

Consecința 1: $a_n\to 0⟺|a_n|\to 0$ — valabilă numai pentru limita zero ($a_n=(-1{)}^n$ are $|a_n|\to 1$, dar nu are limită). Consecința 2, cea mai folosită: șir mărginit înmulțit cu șir nul dă șir nul. Consecințele 3 și 4 (comparație): dacă $a_n\ge b_n$ și $b_n\to +\infty$, atunci $a_n\to +\infty$; simetric pentru $-\infty$. Inegalitatea în sens invers nu spune nimic.

Rețeta în trei pași: ghicești $\ell$ din partea dominantă, aduci $a_n-\ell$ la o singură fracție, majorezi grosolan — înlocuiești ce e mărginit cu marginea lui, micșorezi numitorul, folosești $|x+y|\le |x|+|y|$. Nu cauți majorantul optim, ci unul simplu care tinde la zero.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+\sin n}{n+5}$ este:

   • a) $0$
   • b) $3$
   • c) $4$
   • d) limita nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $3$

   Bănuim $\ell =3$ din partea dominantă $\frac{3n}{n}$ și formăm diferența: $a_n-3=\frac{3n+\sin n-3n-15}{n+5}=\frac{\sin n-15}{n+5}$. Din $|\sin n|\le 1$ avem $|\sin n-15|\le 16$, iar $n+5>n$, deci $|a_n-3|\le \frac{16}{n}\to 0$. Criteriul majorării dă limita $3$. Control numeric: pentru $n=10^4$ valoarea este $2,9985$.

2. Pentru a arăta că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cos (3n)}{\sqrt{n}}=0$, argumentul corect este:

   • a) șirul $\left(\cos (3n)\right)$ este mărginit, iar $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$
   • b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos (3n)=0$
   • c) $\cos (3n)$ are limita cuprinsă între $-1$ și $1$
   • d) limita produsului este produsul limitelor
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) șirul $\left(\cos (3n)\right)$ este mărginit, iar $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$

   Este Consecința 2: mărginit ori nul dă nul. Șirul $\left(\cos (3n)\right)$ nu are limită, deci b) și d) sunt greșite — regula produsului cere ca ambele limite să existe. Formularea din c) este și ea greșită: un șir mărginit poate să nu aibă limită, deci nu se spune „are limita cuprinsă între…”, ci „este mărginit”.

3. Se știe că $\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=4$. Rezultă că:

   • a) $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=4$
   • b) $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-4$
   • c) nu rezultă că șirul $(a_n)$ are limită
   • d) șirul $(a_n)$ este nemărginit
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu rezultă că șirul $(a_n)$ are limită

   Echivalența „$a_n\to 0⟺|a_n|\to 0$” funcționează numai pentru limita zero. Contraexemplu: $a_n=4\cdot (-1{)}^n$ are $|a_n|=4$ pentru orice $n$, deci modulul converge la $4$, dar șirul însuși nu are limită (subșirurile de rang par și impar dau $4$ și $-4$).