Criteriul majorării și consecințele lui

Un satelit GPS nu îți transmite niciodată poziția exactă. Îți transmite o poziție estimată și o eroare maximă: „ești undeva într-un cerc de trei metri". Dacă, pe măsură ce trec secundele, raza acelui cerc scade spre zero, atunci poziția estimată se apropie de cea reală — indiferent cât de haotic sare punctul în interiorul cercului. Nimeni nu a calculat vreodată poziția exactă; s-a controlat doar eroarea.

Exact aceasta este ideea lecției de față. Până acum ai calculat limitele prelucrând termenul general: aduceai la același numitor, dădeai factor forțat, foloseai operațiile cu șiruri convergente. Metoda funcționează atâta timp cât fiecare bucată a expresiei are limită. Dar ce faci cu $\frac{2n+\cos n}{n+3}$, în care $\cos n$ nu are limită? Nu ai ce descompune. Criteriul majorării schimbă întrebarea: în loc să calculezi $a_n$, controlezi distanța dintre $a_n$ și numărul spre care bănuiești că se duce. Dacă acea distanță e prinsă sub un șir care tinde la zero, limita e demonstrată.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi criteriul majorării: dacă $|a_n-\ell |\le b_n$ de la un rang încolo și $b_n\to 0$, atunci $a_n\to \ell$.
• Vei ști să alegi majorantul, adică să treci de la o expresie complicată la una simplă, printr-o inegalitate pe care o poți justifica.
• Vei ști să folosești consecința „șir mărginit înmulțit cu șir nul dă șir nul" — cea mai des întâlnită la Bacalaureat M1.
• Vei ști că $a_n\to 0$ dacă și numai dacă $|a_n|\to 0$, și de ce această echivalență nu se păstrează pentru limite nenule.
• Vei ști să folosești criteriul de comparație pentru limite infinite: un șir care stă deasupra unui șir ce tinde la $+\infty$ tinde tot la $+\infty$.
• Vei ști să recunoști situațiile în care operațiile cu limite se blochează și criteriul majorării este singura ieșire.

Hai să descoperim împreună

1. Unde se blochează metodele de până acum

Fie $a_n=\frac{2n+\cos n}{n+3}$. Reflexul învățat la nedeterminarea $\frac{\infty }{\infty }$ este să dai factor forțat pe $n$: $$a_n=\frac{n\left(2+\frac{\cos n}{n}\right)}{n\left(1+\frac{3}{n}\right)}=\frac{2+\frac{\cos n}{n}}{1+\frac{3}{n}}.$$ Numitorul tinde la $1$, dar la numărător apare $\frac{\cos n}{n}$, iar despre $\cos n$ știm doar că oscilează: nu are limită, deci regula „limita produsului este produsul limitelor" nu se poate aplica, pur și simplu pentru că una dintre limite nu există.

Merită lămurit de ce șirul $(\cos n)$ chiar nu are limită, ca să nu rămână o afirmație aruncată. Rangul $n$ se măsoară aici în radiani, iar un radian nu este o fracțiune din ocolul complet al cercului: numerele $1,2,3,\dots$ cad pe cercul trigonometric în poziții care nu se repetă niciodată și care, cu cât mergi mai departe, umplu tot mai des cercul. Așa se face că printre termenii șirului găsești oricât de târziu valori apropiate de $1$ și, la fel de târziu, valori apropiate de $-1$. Un șir care revine mereu și în vecinătatea lui $1$, și în vecinătatea lui $-1$, nu se poate apropia de un singur număr, deci nu are limită.

Și totuși ceva știm despre el: este mărginit, $-1\le \cos n\le 1$. Iar $\frac{1}{n}\to 0$. Intuitiv, un număr care nu depășește niciodată $1$, împărțit la un număr care crește nemărginit, trebuie să se strivească spre zero. Această intuiție are nevoie de un instrument care să o transforme în demonstrație — și instrumentul acesta va fi bun pentru toate situațiile de același fel, nu doar pentru cosinus.

2. Ideea: nu urmărim termenul, ci distanța

Reia definiția limitei din lecția Limita unui șir: $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$ înseamnă că în afara oricărei vecinătăți a lui $\ell$ rămân cel mult un număr finit de termeni. Cum vecinătatea canonică este intervalul $(\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon )$, condiția „$a_n$ se află în ea" se scrie compact $$|a_n-\ell |<\epsilon .$$ Așadar întreaga informație despre convergență stă în șirul distanțelor $d_n=|a_n-\ell |$. Un șir converge la $\ell$ exact atunci când șirul distanțelor tinde la zero.

De aici, ideea criteriului: dacă nu poți calcula $d_n$, ajunge să-l strivești sub un șir mai simplu, despre care știi deja că tinde la zero.

3. Criteriul majorării — enunț și demonstrație

Teoremă (criteriul majorării). Fie $(a_n{)}_{n\ge 1}$ un șir de numere reale, $\ell \in \mathbb{R}$ și $(b_n{)}_{n\ge 1}$ un șir cu $b_n\ge 0$. Dacă există un rang $n_0$ astfel încât $$|a_n-\ell |\le b_n\text{pentru orice }n\ge n_0,\text{și}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0,$$ atunci șirul $(a_n)$ este convergent și $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$.

Demonstrație. Fie $V$ o vecinătate oarecare a lui $\ell$. Din definiția vecinătății există $\epsilon >0$ cu $(\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon )\subseteq V$. Intervalul $(-\epsilon ,\epsilon )$ este o vecinătate a lui $0$, iar $b_n\to 0$, deci există un rang $n_1$ astfel încât $b_n<\epsilon$ pentru orice $n\ge n_1$.

Notăm $N=\max (n_0,n_1)$. Pentru orice $n\ge N$ avem simultan $|a_n-\ell |\le b_n$ și $b_n<\epsilon$, deci $$|a_n-\ell |<\epsilon ,\text{adica˘}{a}_n\in (\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon )\subseteq V.$$ Prin urmare, în afara vecinătății $V$ se pot afla cel mult termenii de rang mai mic decât $N$, adică un număr finit. Cum $V$ a fost aleasă arbitrar, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$. $■$

Două observații care se plătesc la corectare:

• inegalitatea trebuie să fie valabilă de la un rang încolo, nu neapărat pentru toți termenii. Motivul se vede chiar în demonstrație: acolo am lucrat de la rangul $N=\max (n_0,n_1)$ în sus, iar termenii dinaintea lui, oricât de departe ar fi de $\ell$, sunt în număr finit și nu pot strica apartenența „aproape a tuturor" termenilor la vecinătate. Practic, asta îți dă voie să folosești majorări care se sparg la primele valori — de pildă una valabilă doar pentru $n\ge 4$;
• $\ell$ trebuie ghicit înainte. Criteriul nu produce limita, ci o confirmă. De obicei o bănuiești din partea „dominantă" a expresiei, iar restul îl arunci în majorant. Dacă ai ghicit greșit, lucrul se vede imediat: expresia pe care o obții după majorare nu tinde la zero, ci la o constantă nenulă sau la infinit. În acel moment nu ai greșit metoda, ci ținta — reiei pasul întâi cu o altă valoare a lui $\ell$;
• $b_n\ge 0$ nu este o condiție în plus, ci o consecință: modulul din stânga este deja pozitiv, deci orice șir care îl majorează are, automat, termeni pozitivi de la acel rang încolo. O scriem în enunț doar ca să nu se strecoare, din neatenție, un majorant negativ.

4. Prima consecință: modulul decide convergența la zero

Consecința 1. Pentru orice șir $(a_n)$: $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0⟺\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=0$.

Demonstrație. Cele două afirmații se traduc, prin definiția limitei, în aceeași condiție. Într-adevăr, $$|a_n-0|=|a_n|\text{și}\left||a_n|-0\right|=|a_n|,$$ deci „$a_n$ se află în vecinătatea $(-\epsilon ,\epsilon )$ a lui $0$ de la un rang încolo" și „$|a_n|$ se află în aceeași vecinătate de la un rang încolo" sunt una și aceeași cerință. Nu avem, așadar, ce demonstra: condițiile coincid. $■$

Atenție: echivalența funcționează numai pentru limita $0$, și se vede de ce: pentru $\ell \ne 0$, distanțele $|a_n-\ell |$ și $\left||a_n|-|\ell |\right|$ nu mai coincid. Șirul $a_n=(-1{)}^n$ are $|a_n|=1\to 1$, dar $(a_n)$ nu are limită. Din „modulul converge" nu rezultă, în general, că șirul converge.

5. A doua consecință: mărginit ori nul dă nul

Consecința 2. Dacă $(x_n)$ este un șir mărginit și $(y_n)$ este un șir cu $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$.

Demonstrație. Din mărginire există $M>0$ cu $|x_n|\le M$ pentru orice $n$. Atunci $$|x_n{y}_n-0|=|x_n|\cdot |y_n|\le M|y_n|.$$ Din Consecința 1, $|y_n|\to 0$, iar înmulțirea cu constanta $M$ păstrează limita (operații cu șiruri convergente), deci $M|y_n|\to 0$. Criteriul majorării, cu $b_n=M|y_n|$, încheie demonstrația. $■$

Aceasta este consecința cea mai productivă a lecției. Ea rezolvă dintr-o mișcare tot ce conține $\sin$, $\cos$, $(-1{)}^n$ sau parte întreagă la numărător și o creștere nemărginită la numitor: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-1{)}^n}{n^2+1}=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cos \left(n^2\right)}{\sqrt{n}}=0.$$ În fiecare caz, primul factor este mărginit, al doilea tinde la $0$. Nu se spune „limita lui $\sin n$ este ceva"; se spune „$\sin n$ este mărginit".

Atenție la ordinea logică: mărginirea se cere pentru factorul care nu are limită, iar convergența la zero pentru celălalt. Dacă amândoi factorii sunt mărginiți, dar niciunul nu tinde la zero, consecința nu se aplică — produsul $(-1{)}^n\cdot (-1{)}^n=1$ arată că, în astfel de cazuri, se poate întâmpla orice. Iar dacă factorul nemărginit este cel care crește, situația se schimbă complet: $n\cdot \frac{1}{n}=1$ nu tinde la zero, deși al doilea factor este nul. Consecința 2 este o afirmație despre o pereche foarte precisă: mărginit ori nul.

6. Consecințele pentru limite infinite: criteriul de comparație

Criteriul de mai sus are sens doar pentru limite finite (nu poți scrie $|a_n-\infty |$). Pentru limite infinite, versiunea corespunzătoare este o comparație directă.

Consecința 3 (comparație spre $+\infty$). Dacă $a_n\ge b_n$ pentru orice $n\ge n_0$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=+\infty$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$.

Demonstrație. Fie $V$ o vecinătate a lui $+\infty$; ea conține un interval $(\alpha ,+\infty ]$. Cum $b_n\to +\infty$, există $n_1$ cu $b_n>\alpha$ pentru $n\ge n_1$. Atunci, pentru $n\ge \max (n_0,n_1)$, avem $a_n\ge b_n>\alpha$, deci $a_n\in V$. $■$

Consecința 4 (comparație spre $-\infty$). Dacă $a_n\le b_n$ pentru $n\ge n_0$ și $b_n\to -\infty$, atunci $a_n\to -\infty$.

Ține minte formularea corectă, pe care baremele o cer: $\lim a_n=+\infty$ este o limită care există (în dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}$), dar șirul nu este convergent, pentru că nu are limită finită. „Nu are limită" se spune numai atunci când chiar nu are — cazul șirului $\left((-1{)}^n\right)$, tratat în lecția Șiruri convergente și divergente.

Merită observat că cele două consecințe se citesc într-un singur sens: dacă un șir stă deasupra unuia care urcă la infinit, urcă și el; dacă stă dedesubtul unuia care coboară la $-\infty$, coboară și el. Inegalitatea în sens invers nu spune nimic: din $a_n\le b_n$ și $b_n\to +\infty$ nu rezultă nimic despre $(a_n)$.

7. Rețeta practică: cum alegi majorantul

La orice exercițiu, procedezi în trei pași.

1. Ghicești limita $\ell$. Te uiți la partea dominantă a expresiei și ignori tot ce e mărginit. La $\frac{2n+\cos n}{n+3}$, partea dominantă este $\frac{2n}{n}$, deci bănuiești $\ell =2$.
2. Formezi diferența și o aduci la o singură fracție. Aici: $a_n-2=\frac{2n+\cos n-2n-6}{n+3}=\frac{\cos n-6}{n+3}$.
3. Majorezi grosolan. La numărător folosești mărginirea, la numitor micșorezi: $|\cos n-6|\le |\cos n|+6\le 7$ și $n+3>n$, deci $$|a_n-2|\le \frac{7}{n}\underset{n\to \infty }{\to }0.$$

Cuvântul-cheie este grosolan. Nu ai nevoie de cel mai bun majorant, ci de unul simplu, care tinde la zero. Un elev care pierde vremea căutând constanta optimă face muncă în plus fără să câștige niciun punct: în exemplul de mai sus, $\frac{7}{n+3}$ ar fi fost o margine mai fină decât $\frac{7}{n}$, dar amândouă tind la zero, deci amândouă închid demonstrația la fel de bine.

Cele trei mișcări care rezolvă aproape orice majorare sunt, în ordinea utilității: înlocuiești ce e mărginit cu marginea lui (orice $\sin$, $\cos$ sau $(-1{)}^n$ devine $1$ în modul), micșorezi numitorul ca să mărești fracția (de obicei ștergi termenii pozitivi adunați la $n$), și folosești inegalitatea triunghiului, $|x+y|\le |x|+|y|$, ca să spargi o sumă incomodă în bucăți pe care le poți evalua separat.

8. Când criteriul nu ajută

Criteriul majorării nu este universal, și e bine să știi de la început unde se oprește. El nu se aplică atunci când nu ai o limită de bănuit — de pildă la $a_n=(-1{)}^n$, unde orice valoare ai încerca, distanța nu tinde la zero, pentru că șirul chiar nu are limită. Nu se aplică nici atunci când expresia nu se lasă majorată de un șir nul, ci de unul care tinde la o constantă nenulă: aceasta este exact situația în care ai ghicit greșit ținta.

În schimb, criteriul nu cere absolut nimic despre monotonie, despre semn sau despre forma termenului general. Poți avea un șir care sare de o parte și de alta a limitei, cu salturi de mărimi diferite, și tot îl poți controla — atâta timp cât găsești o pătură care se lasă peste el și coboară la zero. Aceasta este și diferența față de metodele din lecțiile următoare, care au nevoie de mai multă structură: criteriul cleștelui cere două margini, iar teorema lui Weierstrass cere monotonie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Șirul din deschidere, complet

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+\cos n}{n+3}$.

Rezolvare. Bănuim $\ell =2$. Calculăm diferența: $$a_n-2=\frac{2n+\cos n}{n+3}-2=\frac{2n+\cos n-2n-6}{n+3}=\frac{\cos n-6}{n+3}.$$ Din $-1\le \cos n\le 1$ obținem $-7\le \cos n-6\le -5$, deci $|\cos n-6|\le 7$. Cum $n+3>n$, avem $$|a_n-2|=\frac{|\cos n-6|}{n+3}\le \frac{7}{n}.$$ Șirul $\left(\frac{7}{n}\right)$ tinde la $0$, deci, prin criteriul majorării, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$.

Verificare numerică: pentru $n=100$, $a_n\approx 1,93$; pentru $n=10000$, $a_n\approx 1,9994$. ✓

Exemplul 2 — Semn alternant

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-1{)}^n\cdot n}{n^2+1}$.

Rezolvare. Aici partea dominantă este $\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$, care tinde la $0$; bănuim $\ell =0$. Atunci $$|a_n-0|=\frac{\left|(-1{)}^n\right|\cdot n}{n^2+1}=\frac{n}{n^2+1}\le \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.$$ Cum $\frac{1}{n}\to 0$, rezultă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$.

Alternativ, se putea folosi Consecința 2: $\left((-1{)}^n\right)$ este mărginit, iar $\frac{n}{n^2+1}\to 0$.

Exemplul 3 — O sumă cu termeni imprevizibili

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin 1+\sin 2+\cdots +\sin n}{n^2}$.

Rezolvare. Nu putem calcula suma de la numărător, dar o putem majora în modul, folosind inegalitatea triunghiului și $|\sin k|\le 1$: $$|\sin 1+\sin 2+\cdots +\sin n|\le |\sin 1|+\cdots +|\sin n|\le \underset{n\text{ termeni}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=n.$$ Prin urmare $$|a_n-0|\le \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\to 0,$$ deci limita este $0$. Observă cât de puțin am folosit: doar că fiecare termen are modulul cel mult $1$.

Exemplul 4 — Factorial împotriva puterii

Arătați că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=0$.

Rezolvare. Scriem raportul cu factorii puși unul sub altul: $$\frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{n\cdot n\cdot n\cdots n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n}\cdots \frac{n}{n}.$$ Toți factorii, în afară de primul, sunt cel mult egali cu $1$, iar toți sunt pozitivi. Deci $$0<\frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{n}\cdot 1\cdot 1\cdots 1=\frac{1}{n}.$$ Cum $\frac{1}{n}\to 0$, criteriul majorării dă $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=0$.

Verificare: $\frac{5!}{5^5}=\frac{120}{3125}=0,0384$, iar $\frac{1}{5}=0,2$ — inegalitatea se respectă cu mult. ✓

Exemplul 5 — Comparație spre infinit

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n+3\sin n\right)$.

Rezolvare. Termenul $3\sin n$ nu are limită, deci nu putem folosi „limita sumei". În schimb, din $\sin n\ge -1$ obținem $$n+3\sin n\ge n-3\text{pentru orice }n\ge 1.$$ Șirul $(n-3)$ tinde la $+\infty$, deci, prin Consecința 3, $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n+3\sin n\right)=+\infty .$$ Reține formularea: limita există și este $+\infty$; șirul este divergent, pentru că nu are limită finită.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_n=\frac{n+(-1{)}^n}{2n+1}$. a) Calculați $a_1$, $a_2$ și $a_3$. b) Arătați că $\left|a_n-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{n}$ pentru orice $n\ge 1$. c) Deduceți limita șirului $(a_n)$.

Rezolvare.

a) $a_1=\frac{1-1}{3}=0$; $a_2=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$; $a_3=\frac{3-1}{7}=\frac{2}{7}$.

b) Aducem diferența la o singură fracție: $$a_n-\frac{1}{2}=\frac{n+(-1{)}^n}{2n+1}-\frac{1}{2}=\frac{2n+2(-1{)}^n-(2n+1)}{2(2n+1)}=\frac{2(-1{)}^n-1}{2(2n+1)}.$$ Numărătorul ia doar valorile $1$ (pentru $n$ par) și $-3$ (pentru $n$ impar), deci $\left|2(-1{)}^n-1\right|\le 3$. Cum $2(2n+1)=4n+2>4n$, obținem $$\left|a_n-\frac{1}{2}\right|\le \frac{3}{4n}\le \frac{1}{n}.$$

c) Șirul $\left(\frac{1}{n}\right)$ tinde la $0$, deci prin criteriul majorării $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{1}{2}$.

Verificare: $a_{100}=\frac{101}{201}\approx 0,5025$, iar $a_{101}=\frac{100}{203}\approx 0,4926$ — ambele foarte aproape de $0,5$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie explicit cele trei etape: limita bănuită, diferența adusă la o fracție, majorantul care tinde la zero.

1. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$, folosind mărginirea funcției sinus.

2. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-1{)}^n}{n+5}$.

3. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+\sin n}{n}$, arătând că $\left|a_n-3\right|\le \frac{1}{n}$.

4. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cos \left(n^2\right)}{n^2}$.

5. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2+(-1{)}^{n}n}{n^2+1}=5$, folosind majorantul $\frac{6}{n}$.

6. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n+(-1{)}^n}{2^n}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $|a_n|\to 1$, atunci $a_n\to 1$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $(x_n)$ este mărginit și $y_n\to 0$, atunci $x_n{y}_n\to 0$."

9. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2-5n\right)=+\infty$, folosind comparația cu șirul $(n)$ pentru $n\ge 6$.

10. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cos 1+\cos 2+\cdots +\cos n}{n^2+n}$.

11. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^n}{n!}=0$, majorând raportul cu $\frac{27}{2}\cdot \frac{1}{n}$ pentru $n\ge 4$.

12. (Problemă aplicată.) Un senzor măsoară temperatura și are, la a $n$-a citire, o eroare de cel mult $\frac{2}{n}$ grade față de valoarea reală, care este constant $21^{\circ }$C. Scrie inegalitatea satisfăcută de șirul citirilor și deduce limita lui.

13. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-n+4\cos n\right)=-\infty$.

14. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+\sin \left(n^3\right)}{n+1}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $a_n=\frac{2n+(-1{)}^n}{n+3}$. Arată că $\left|a_n-2\right|\le \frac{7}{n}$ și determină limita șirului.

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a_n\le b_n$ pentru orice $n$ și $b_n\to +\infty$, atunci $a_n\to +\infty$."

17. Fie $(a_n)$ un șir cu $|a_n|\le \frac{1}{\sqrt{n}}$ pentru orice $n\ge 1$. Arată că $a_n\to 0$ și dă un exemplu de astfel de șir care nu este monoton.

18. (Provocare.) Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(\left[1\cdot \sqrt{2}\right]+\left[2\sqrt{2}\right]+\cdots +\left[n\sqrt{2}\right]\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, folosind încadrarea $x-1<[x]\le x$ a părții întregi și formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice.

Răspunsuri și explicații

1. $\left|\frac{\sin n}{n}-0\right|=\frac{|\sin n|}{n}\le \frac{1}{n}\to 0$, deci limita este $0$. (Se putea și prin Consecința 2: $(\sin n)$ mărginit, $\left(\frac{1}{n}\right)$ nul.)

2. $\left|\frac{(-1{)}^n}{n+5}\right|=\frac{1}{n+5}\le \frac{1}{n}\to 0$, deci limita este $0$.

3. $a_n-3=\frac{3n+\sin n-3n}{n}=\frac{\sin n}{n}$, deci $|a_n-3|\le \frac{1}{n}\to 0$ și limita este $3$.

4. $\left|\frac{\cos \left(n^2\right)}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}\to 0$, deci limita este $0$.

5. $a_n-5=\frac{5n^2+(-1{)}^{n}n-5n^2-5}{n^2+1}=\frac{(-1{)}^{n}n-5}{n^2+1}$. Numărătorul are modulul cel mult $n+5\le 6n$, iar $n^2+1>n^2$, deci $|a_n-5|\le \frac{6n}{n^2}=\frac{6}{n}\to 0$. Limita este $5$.

6. $a_n-1=\frac{(-1{)}^n}{2^n}$, deci $|a_n-1|=\frac{1}{2^n}\to 0$ (limita lui $q^n$ pentru $|q|<1$). Limita este $1$.

7. Fals. Contraexemplu: $a_n=(-1{)}^n$ are $|a_n|=1\to 1$, dar $(a_n)$ nu are limită. Echivalența din Consecința 1 este valabilă numai pentru limita $0$.

8. Adevărat. Este exact Consecința 2: din $|x_n|\le M$ rezultă $|x_n{y}_n|\le M|y_n|\to 0$.

9. Pentru $n\ge 6$ avem $n-5\ge 1$, deci $n^2-5n=n(n-5)\ge n$, iar $(n)\to +\infty$; prin Consecința 3, limita este $+\infty$. Inegalitatea nu ține pentru $n\le 5$ — pentru $n=3$, de pildă, membrul stâng este negativ —, dar criteriul cere doar „de la un rang încolo", iar cei cinci termeni de la început nu schimbă nimic.

10. Numărătorul are modulul cel mult $n$ (fiecare cosinus are modulul cel mult $1$), iar $n^2+n>n^2$, deci $|a_n|\le \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\to 0$. Limita este $0$.

11. Pentru $n\ge 4$: $\frac{3^n}{n!}=\frac{3^3}{3!}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{5}\cdots \frac{3}{n}$. Toți factorii de la $\frac{3}{4}$ până la $\frac{3}{n-1}$ sunt cel mult $1$, iar ultimul este $\frac{3}{n}$, deci $\frac{3^n}{n!}\le \frac{27}{6}\cdot \frac{3}{n}=\frac{27}{2}\cdot \frac{1}{n}\to 0$. Limita este $0$.

12. Notând cu $t_n$ a $n$-a citire, ipoteza se scrie $|t_n-21|\le \frac{2}{n}$. Cum $\frac{2}{n}\to 0$, criteriul majorării dă $\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_n=21$: șirul citirilor converge la temperatura reală, deși nicio citire nu este exactă și deși nu știm nimic despre felul în care variază eroarea de la o măsurătoare la alta. Observă că problema nu ne-a dat formula lui $t_n$, ci doar o margine pentru eroare — exact tiparul în care criteriul majorării este singurul instrument disponibil.

13. Din $\cos n\le 1$ rezultă $-n+4\cos n\le -n+4$, iar $(-n+4)\to -\infty$; prin Consecința 4, limita este $-\infty$.

14. $a_n-1=\frac{n+\sin \left(n^3\right)-n-1}{n+1}=\frac{\sin \left(n^3\right)-1}{n+1}$, deci $|a_n-1|\le \frac{2}{n+1}\le \frac{2}{n}\to 0$. Limita este $1$.

15. $a_n-2=\frac{2n+(-1{)}^n-2n-6}{n+3}=\frac{(-1{)}^n-6}{n+3}$, iar $\left|(-1{)}^n-6\right|\le 7$ și $n+3>n$, deci $|a_n-2|\le \frac{7}{n}\to 0$. Limita este $2$.

16. Fals. Inegalitatea merge în sensul greșit: $a_n=-n$ și $b_n=n$ verifică $a_n\le b_n$ și $b_n\to +\infty$, dar $a_n\to -\infty$. Consecința 3 cere ca șirul studiat să stea deasupra.

17. Din $|a_n-0|\le \frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$ rezultă $a_n\to 0$. Un exemplu nemonoton: $a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$, ai cărui termeni schimbă semnul la fiecare pas, dar al cărui modul respectă încadrarea. Exercițiul arată că ipoteza criteriului nu spune nimic despre forma șirului: nu cerem nici monotonie, nici semn constant, nici măcar o formulă explicită — doar o margine pentru distanța până la limită.

18. Din $k\sqrt{2}-1<\left[k\sqrt{2}\right]\le k\sqrt{2}$, sumând pentru $k$ de la $1$ la $n$ și folosind $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$, obținem $\frac{n(n+1)\sqrt{2}}{2}-n<S_n\le \frac{n(n+1)\sqrt{2}}{2}$. Împărțind la $n^2$ și notând $c_n=\frac{S_n}{n^2}$, rezultă $\left|c_n-\frac{(n+1)\sqrt{2}}{2n}\right|\le \frac{1}{n}$. Cum $\frac{(n+1)\sqrt{2}}{2n}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\to \frac{\sqrt{2}}{2}$, se obține $c_n\to \frac{\sqrt{2}}{2}$.

De reținut

• Criteriul majorării: dacă $|a_n-\ell |\le b_n$ de la un rang încolo și $b_n\to 0$, atunci $a_n\to \ell$. Criteriul confirmă o limită bănuită; nu o produce.
• Consecința 1: $a_n\to 0⟺|a_n|\to 0$. Valabilă numai pentru limita zero.
• Consecința 2 (cea mai folosită): șir mărginit înmulțit cu șir nul dă șir nul. Aici intră tot ce conține $\sin n$, $\cos n$, $(-1{)}^n$ sau parte întreagă.
• Consecințele 3 și 4 (comparație): un șir situat deasupra unuia care tinde la $+\infty$ tinde la $+\infty$; unul situat dedesubtul unuia care tinde la $-\infty$ tinde la $-\infty$. Inegalitatea în sens invers nu spune nimic.
• Rețeta în trei pași: ghicești $\ell$ din partea dominantă, aduci $a_n-\ell$ la o fracție, majorezi grosolan cu ceva care tinde la zero.

Greșeli frecvente

• Spui „limita lui $\sin n$ este între $-1$ și $1$". Un șir mărginit poate să nu aibă limită deloc — și $(\sin n)$ chiar nu are. Formularea corectă este „$\sin n$ este mărginit", nu „are limita cuprinsă între…".
• Uiți modulul. Scrii $a_n-\ell \le b_n$ în loc de $|a_n-\ell |\le b_n$. Fără modul, inegalitatea nu controlează decât o parte, iar criteriul nu se aplică: din $a_n-2\le \frac{1}{n}$ nu rezultă nimic despre cât de departe pe sub $2$ poate coborî $a_n$.
• Aplici Consecința 1 pentru limite nenule. Din $|a_n|\to 3$ nu rezultă $a_n\to 3$: șirul $a_n=3\cdot (-1{)}^n$ este un contraexemplu.
• Folosești criteriul de comparație în sensul greșit. Din $a_n\le b_n$ și $b_n\to +\infty$ nu rezultă nimic. Ca să tragi șirul în sus, trebuie să-l ții de dedesubt, nu de deasupra.
• Confunzi „divergent" cu „fără limită". Un șir cu limita $+\infty$ are limită în $\overline{\mathbb{R}}$, dar este divergent, pentru că nu are limită finită. „Nu are limită" se rezervă cazurilor de tipul $\left((-1{)}^n\right)$.

Aplică acasă

1. Cercul de eroare. Deschide o aplicație de hărți pe telefon și urmărește, timp de un minut, cercul albastru de precizie. Notează la fiecare zece secunde raza afișată. Ai construit chiar șirul majorantelor $b_n$: dacă razele scad spre zero, poziția afișată converge la cea reală — exact criteriul din lecție, aplicat de un dispozitiv.

2. Rotunjirea repetată. Ia un număr irațional simplu, de pildă $\sqrt{2}=1,41421356\dots$, și scrie șirul rotunjirilor lui la $n$ zecimale: $1,4$; $1,41$; $1,414$; … Arată că diferența față de $\sqrt{2}$ este cel mult $10^{-n}$ și trage concluzia cu criteriul majorării.

3. Majorant cu un coleg. Alegeți fiecare câte un șir de forma $\frac{\text{ceva ma˘rginit}}{\text{ceva care crește}}$, schimbați foile și cereți-vă reciproc doar majorantul, nu limita. Veți vedea că același șir admite mai multe majorante corecte — și că cel mai simplu e, de obicei, cel mai bun. Comparați apoi majorantele găsite: dacă unul dintre voi a scris $\frac{7}{n}$ și celălalt $\frac{7}{n+3}$, amândouă rezolvă exercițiul, dar primul se scrie mai repede la un examen contra cronometru.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce primul dintre cele două criterii de existență a limitei cerute de programă și este, în practică, cea care deblochează exercițiile în care operațiile cu limite nu funcționează. Ideea centrală, pe care elevul trebuie să o poată formula singur, este: convergența înseamnă că distanța până la limită tinde la zero, deci ajunge să controlăm distanța, nu termenul.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a inegalității cu modul; (2) capacitatea de a ghici limita din partea dominantă a expresiei; (3) folosirea mărginirii funcțiilor trigonometrice și a lui $(-1{)}^n$ fără a le atribui, greșit, o limită; (4) sensul corect al comparației pentru limite infinite. Întrebări bune de control: „De ce nu putem spune că $\sin n$ tinde la ceva?", „Ce se schimbă dacă inegalitatea este valabilă doar de la rangul $10$ încolo?", „De ce criteriul nu ne dă limita, ci doar o confirmă?".

La BAC M1, structura din Exemplul 6 apare frecvent: subpunctul b) cere chiar inegalitatea, iar subpunctul c) cere concluzia — baremul acordă puncte separate pentru majorare și pentru invocarea criteriului. Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea scriind $|a_n-\ell |$, nu $a_n$; și nu se sperie de expresii pe care nu le poate calcula. Un semn de alarmă, în schimb, este majorarea „fină", cu constante căutate cu grijă: ea arată că elevul nu a înțeles încă rolul majorantului, care este doar acela de a coborî la zero, nu de a fi cât mai apropiat de distanța reală. Merită insistat și pe formularea în cuvinte a ipotezei — „un șir mărginit înmulțit cu unul care tinde la zero" —, pentru că în această formă ea se recunoaște mult mai repede în exerciții decât în scriere simbolică. Continuarea firească este lecția Criteriul cleștelui, unde șirul este prins între două margini, nu doar sub una.

Întrebări frecvente

Ce spune, pe scurt, criteriul majorării? Spune că, dacă distanța dintre termenii unui șir și un număr $\ell$ este mai mică decât termenii unui șir care tinde la zero, atunci șirul converge la $\ell$. Formal: din $|a_n-\ell |\le b_n$ și $b_n\to 0$ rezultă $a_n\to \ell$.

Când folosesc criteriul majorării în locul operațiilor cu limite? Îl folosești atunci când o parte a expresiei nu are limită, dar este mărginită — tipic $\sin n$, $\cos n$, $(-1{)}^n$, partea întreagă a unui număr — sau când termenul general este o sumă cu $n$ termeni pe care nu o poți calcula.

Cum îmi dau seama care este limita $\ell$ și ce fac dacă majorantul nu tinde la zero? Limita o citești din partea dominantă a expresiei, ignorând tot ce e mărginit. La $\frac{2n+\cos n}{n+3}$, partea dominantă este $\frac{2n}{n}$, deci $\ell =2$. Dacă majorantul obținut la pasul trei nu tinde la zero, ci la o constantă nenulă sau la infinit, înseamnă aproape întotdeauna că ai ghicit greșit ținta — nu că metoda a eșuat. Reia expresia, uită-te din nou la partea dominantă și încearcă altă valoare. Dacă niciun candidat nu funcționează, e semn că șirul chiar nu are limită finită și trebuie să treci la consecințele de comparație.

De ce trebuie neapărat modul în inegalitate? Pentru că trebuie controlate ambele direcții de abatere. Fără modul, ai ține termenii doar sub $\ell +b_n$, dar nimic nu i-ar împiedica să coboare oricât de mult sub $\ell$, deci convergența nu s-ar putea demonstra.

Ce înseamnă „șir mărginit ori șir nul dă șir nul"? Este consecința cea mai folosită: dacă $|x_n|\le M$ pentru orice $n$ și $y_n\to 0$, atunci produsul $x_n{y}_n$ tinde la $0$. Justificarea are un rând: $|x_n{y}_n|\le M|y_n|$, iar membrul drept tinde la zero.

Criteriul funcționează și pentru limite infinite? Nu în forma cu modul, pentru că nu are sens $|a_n-\infty |$. În schimb, există consecințele de comparație: dacă șirul stă deasupra unuia care tinde la $+\infty$, tinde și el la $+\infty$; dacă stă dedesubtul unuia care tinde la $-\infty$, tinde la $-\infty$.

Dacă $|a_n|$ are limită, are și $a_n$ limită? Numai când acea limită este $0$. Pentru orice altă valoare, afirmația este falsă: $a_n=(-1{)}^n$ are modulul constant $1$, deci convergent, în timp ce șirul însuși nu are limită. Explicația e simplă: modulul șterge semnul, iar tocmai semnul poate fi cel care oscilează.

Trebuie să caut cel mai mic majorant posibil? Nu. Orice șir care majorează distanța și tinde la zero încheie demonstrația la fel de bine. Majorantul fin nu aduce niciun punct în plus la corectare, dar costă timp și crește riscul de greșeală de calcul. Regula practică: majorează grosolan, cu numere rotunde, și verifică doar că expresia obținută tinde la zero.