Alegerea metodei de integrare: pe scurt

Înainte de orice metodă vine pasul zero: rescrierea algebrică a integrandului — desfacerea parantezelor, împărțirea când gradul numărătorului îl depășește pe cel al numitorului, simplificarea unei fracții sau o formulă trigonometrică. Pasul zero nu este o metodă de integrare, dar scutește de drumuri inutile: $\frac{x^2-5x+6}{x-2}$ se simplifică la $x-3$ și integrala se încheie într-un rând.

Arborele de decizie pune întrebările într-o ordine fixă și te oprești la primul „da”: este integrandul în tabel? se vede derivata dinăuntru (tiparele $\frac{u{}^{\prime }}{u}$ și $u^{n}u{}^{\prime }$)? este un produs de tipuri diferite? este o funcție rațională? este trigonometric, cu radicali sau exponențial? cere o relație de recurență?

Semnalul schimbării de variabilă este prezența derivatei interiorului, iar semnalul integrării prin părți este produsul de tipuri diferite; alegerea factorilor se face cu regula descreșterii — derivezi ce se simplifică (polinom, $\ln$, $\mathrm{arctg}$), integrezi ce nu se complică ($e^x$, $\sin$, $\cos$, puteri).

Numărătorul decide, nu numitorul: $\int \frac{dx}{x^2+9}$ este un rând din tabel și dă $\mathrm{arctg}$, iar $\int \frac{xdx}{x^2+9}$ este o substituție și dă logaritm. Două rezolvări corecte pot da forme diferite, care diferă printr-o constantă; singura verificare validă este derivarea rezultatului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ce metodă indică integrala $\int \frac{x}{x^2+9}dx$, pe $\mathbb{R}$?

   • a) rândul din tabel care dă $\mathrm{arctg}$
   • b) integrarea prin părți
   • c) schimbarea de variabilă $u=x^2+9$
   • d) descompunerea în fracții simple
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) schimbarea de variabilă $u=x^2+9$

   La numărător stă, până la factorul $2$, derivata numitorului: $\left(x^2+9\right){}^{\prime }=2x$. Este tiparul $\frac{u{}^{\prime }}{u}$, deci substituția $u=x^2+9$ duce la $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+9\right)+\mathcal{C}$. Rândul cu $\mathrm{arctg}$ se aplică atunci când numărătorul este constant.

2. Pe $(2,+\infty )$, $\int \frac{x^2-5x+6}{x-2}dx$ este egală cu:

   • a) $\frac{x^2}{2}-3x+\mathcal{C}$
   • b) $\ln |x-2|+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{x^2}{2}-3x+\ln |x-2|+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+6x}{\frac{x^2}{2}-2x}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{x^2}{2}-3x+\mathcal{C}$

   Pasul zero: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, deci integrandul se simplifică la $x-3$ pe $(2,+\infty )$, iar primitivele sunt $\frac{x^2}{2}-3x+\mathcal{C}$. Varianta d) presupune, greșit, că integrala unui cât ar fi câtul integralelor; variantele b) și c) pornesc la fracții simple fără a fi observat simplificarea.

3. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{1}{x^2+9}dx$ este egală cu:

   • a) $\frac{1}{9}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+\mathcal{C}$
   • b) $\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+9\right)+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+\mathcal{C}$

   Este rândul $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$, cu $a=3$. Varianta c) este rezultatul integralei surori $\int \frac{xdx}{x^2+9}$ — confuzia clasică; variantele b) și a) greșesc factorul din față, care se verifică imediat prin derivare.