Cum alegi metoda de integrare

Ai învățat, pe rând, toate metodele de calcul al primitivelor: tabelul funcțiilor uzuale, liniaritatea, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, descompunerea în fracții simple, tehnicile pentru funcții trigonometrice, cu radicali și cu exponențiale, iar la lecția despre relațiile de recurență ai văzut și cum se rezolvă familiile de integrale care depind de un număr natural. Fiecare metodă a fost prezentată pe integralele care i se potriveau cel mai bine, așa că fiecare părea, la momentul ei, cea evidentă. La un subiect de examen, însă, nimeni nu-ți spune ce metodă să folosești: aceasta este lecția de clasa a XII-a care închide unitatea și adaugă exact ce lipsea — criteriul de alegere.

Nu vei învăța nicio metodă nouă. Vei învăța ordinea în care se pun întrebările și semnalul după care se recunoaște fiecare drum, ca să te uiți la un integrand și să știi, în zece secunde, cu ce începi. La Bacalaureat M1 diferența e vizibilă: o alegere bună scurtează rezolvarea de la o pagină la trei rânduri, iar o alegere proastă nu dă rezultat greșit, dar te lasă fără timp.

Ce vei învăța

• Vei ști să faci pasul zero — rescrierea algebrică a integrandului — înainte de a alege orice metodă.
• Vei ști semnalul fiecărei metode: ce anume din integrand te trimite la tabel, la substituție, la părți sau la fracții simple.
• Vei ști să folosești arborele de decizie, punând întrebările într-o ordine fixă.
• Vei ști să deosebești integrale care arată aproape la fel, dar se rezolvă prin metode diferite.
• Vei ști că aceeași integrală poate fi calculată pe mai multe drumuri și de ce rezultatele diferă printr-o constantă.
• Vei ști să clasifici zece integrale înainte de a le calcula, ca la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este arborele de decizie la integrare?

Arborele de decizie la integrare este șirul de întrebări puse într-o ordine fixă asupra integrandului, la care te oprești la primul „da": fiecare răspuns afirmativ trimite la o metodă anume, iar ordinea întrebărilor e aleasă astfel încât drumul cel mai scurt să fie găsit primul.

Înainte de prima întrebare există însă un pas zero, care nu e o metodă și pe care nu ai voie să-l sari: rescrie integrandul. Multe integrale care par grele devin banale după o transformare algebrică pe care o știi din gimnaziu sau din clasa a X-a:

• desfaci parantezele: $\int x(x-2)dx=\int \left(x^2-2x\right)dx$;
• împarți termen cu termen: $\int \frac{x^2+1}{x}dx=\int \left(x+\frac{1}{x}\right)dx$;
• simplifici fracția: $\int \frac{x+3}{x^2-9}dx=\int \frac{1}{x-3}dx$;
• faci împărțirea cu rest, când gradul numărătorului e mai mare sau egal cu al numitorului;
• folosești o formulă trigonometrică: $\int {\sin }^{2}xdx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}dx$.

Există și o rescriere mai subtilă, care se învață o dată și se folosește apoi mereu: adună și scade același termen ca să separi o fracție. De pildă,

$$\int \frac{x^2}{x^2+1}dx=\int \frac{x^2+1-1}{x^2+1}dx=\int \left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)dx=x-\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}.$$

Rescrierea e „gratuită": nu costă nicio metodă și, de multe ori, mută integrala direct în tabel. Abia dacă integrandul rezistă rescrierii intri în arbore. Verificarea e imediată: derivata rezultatului este $1-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}$ ✓.

2. Prima ramură: integrandul este deja în tabel?

Semnalul: integrandul e una dintre cele zece funcții de bază din tabelul primitivelor funcțiilor uzuale sau dintre cele șase adăugate la lecția despre primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm — ori o combinație liniară de asemenea funcții.

Aici lucrează liniaritatea integralei nedefinite, demonstrată la lecția despre integrala nedefinită:

$$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx.$$

Exemplu: $\int \left(3x^2-\frac{2}{x}+5\right)dx=x^3-2\ln |x|+5x+\mathcal{C}$. Trei rânduri de tabel, o singură constantă la final — nu se scrie câte una după fiecare termen.

⚠️ Nu confunda liniaritatea cu ceva ce nu există: integrala unui produs nu e produsul integralelor, iar integrala unui cât nu e câtul integralelor. Pentru produse și câturi există ramurile următoare.

3. A doua ramură: se vede derivata dinăuntru?

Semnalul: integrandul e de forma $f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$, adică pe lângă o funcție compusă apare (eventual înmulțit cu o constantă) derivata funcției dinăuntru. Atunci se aplică formula de la lecția despre schimbarea de variabilă:

$$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C},\text{unde }F\text{ e o primitiva˘ a lui }f.$$

Ea vine direct din regula de derivare a funcțiilor compuse, învățată la clasa a XI-a în lecția despre derivarea funcțiilor compuse: $(F\circ u{)}^{\prime }=(F^{\prime }\circ u)\cdot u^{\prime }$.

Cele două tipare pe care le recunoști cel mai des sunt:

$$\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+\mathcal{C},\int u^n(x)u^{\prime }(x)dx=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}+\mathcal{C},n\ne -1.$$

Substituțiile tipice — $u=ax+b$, $u=x^2+a$, $u=\sin x$, $u=\cos x$, $u=\ln x$, $u=e^x$, $u=\sqrt{\cdots }$ — sunt inventariate în lecția despre recunoașterea derivatei și substituțiile tipice. Reflexul de căpătat: te uiți dacă un factor al integrandului e, până la o constantă, derivata a ceea ce se află în interiorul altui factor.

Exemplu: în $\int \frac{x}{x^2+4}dx$, interiorul este $u=x^2+4$, cu $u^{\prime }=2x$; factorul $x$ este $\frac{u^{\prime }}{2}$, deci integrala este $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)+\mathcal{C}$.

4. A treia ramură: este un produs de tipuri diferite?

Semnalul: integrandul e un produs de funcții de naturi diferite — polinom cu exponențială, polinom cu trigonometrică, polinom cu logaritm — sau este o singură funcție „greu de integrat, ușor de derivat" ($\ln x$, $\mathrm{arctg}x$, $\arcsin x$), pe care o înmulțești mental cu $1$.

Se aplică formula de la lecția despre integrarea prin părți:

$$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx.$$

Alegerea părților se face după regula descreșterii, fixată la lecția despre alegerea părților și aplicarea repetată: se derivează factorul care se simplifică prin derivare (polinomul, $\ln$, $\mathrm{arctg}$) și se integrează cel care nu se complică ($e^x$, $\sin$, $\cos$, puterile).

Exemplu: în $\int x{e}^{x}dx$ derivăm $x$ (devine $1$) și integrăm $e^x$ (rămâne $e^x$), obținând $x{e}^x-\int e^{x}dx=(x-1)e^x+\mathcal{C}$. Dacă am fi ales invers, am fi ajuns la $\frac{x^2}{2}{e}^x-\int \frac{x^2}{2}{e}^{x}dx$ — o integrală mai grea decât cea de la care am plecat. Acesta e testul rapid: dacă noua integrală arată mai rău, ai ales părțile pe dos.

Ramura părților are două sub-cazuri de recunoscut din prima:

• polinomul de grad $k$ cere aplicarea formulei de $k$ ori, pentru că gradul scade cu $1$ la fiecare pas — exact aplicarea repetată de la lecția $91$;
• funcția singură ($\ln x$, $\mathrm{arctg}x$, $\arcsin x$) se scrie ca produs cu $1$ și se integrează factorul $1$, care devine $x$; așa se calculează $\int \ln xdx=x\ln x-x+\mathcal{C}$.

Când, după două aplicări, reapare integrala de la care ai plecat, nu ești blocat: egalitatea obținută devine o ecuație în care necunoscuta e chiar integrala — cazul circular, rezolvat tot la lecția $91$. Situațiile în care se înlănțuie ramuri diferite ale arborelui sunt tratate la lecția despre metodele de integrare combinate.

5. A patra ramură: este o funcție rațională?

Semnalul: integrandul e un raport de două polinoame. Aici arborele mai pune trei întrebări, în această ordine (ele nu înlocuiesc rețeta fracțiilor simple, care are patru etape proprii, la lecția $95$; doar spun pe care ramură intri):

1. Dacă gradul numărătorului este mai mare sau egal cu al numitorului, faci întâi împărțirea și scrii integrandul ca sumă dintre un polinom și o fracție cu numărătorul de grad mai mic. Fără acest pas, descompunerea nu funcționează.
2. Dacă numitorul e un trinom de gradul al doilea fără rădăcini reale, folosești rețeta trinomului din lecția despre primitive cu trinom de gradul al doilea: aduci trinomul la forma canonică $(x+p{)}^2+q^2$ și ajungi la rândul cu $\mathrm{arctg}$ din tabel.
3. Dacă numitorul se descompune în factori, folosești rețeta fracțiilor simple din lecția despre descompunerea în fracții simple, cu cazurile de rădăcini multiple din lecția despre rădăcini multiple și factori de gradul al doilea. Programa limitează gradul numitorului la cel mult $4$.

Rețeta trinomului pe un exemplu. Fie $\int \frac{1}{x^2+6x+13}dx$ pe $\mathbb{R}$. Trinomul are $\Delta =36-52=-16<0$, deci nu se descompune; îl aducem la forma canonică, $x^2+6x+13=(x+3{)}^2+4$, și recunoaștem rândul $12$ din tabel, cu $a=2$ și variabila $x+3$:

$$\int \frac{1}{(x+3{)}^2+4}dx=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+3}{2}+\mathcal{C}.$$

⚠️ Înaintea celor trei pași verifică totuși dacă nu ești cumva pe ramura a doua: dacă numărătorul e chiar derivata numitorului (până la o constantă), integrala e un logaritm și nu ai nevoie de nicio descompunere.

6. Ultimele ramuri: trigonometrice, radicali, exponențiale și recurențe

Funcții trigonometrice (lecția despre primitivele funcțiilor trigonometrice): la puteri impare desprinzi un factor și substitui ($u=\cos x$ pentru puteri impare de sinus, $u=\sin x$ pentru puteri impare de cosinus); la puteri pare liniarizezi, cu formulele de înjumătățire; la produse de sinusuri și cosinusuri, formulele de transformare în sumă.

Radicali și exponențiale (lecția despre primitivele funcțiilor cu radicali și exponențiale): substituția care raționalizează — notezi radicalul cu o literă nouă — sau, la exponențiale, $u=e^x$.

Integrale care depind de un număr natural (lecția despre relațiile de recurență): dacă în integrand apare un exponent $n\in \mathbb{N}$, nu calculezi integrala pentru fiecare $n$, ci stabilești o relație de recurență între $I_n$ și $I_{n-1}$ (de obicei prin părți) și calculezi primul termen.

Semnalul acestei ultime ramuri e cel mai ușor de recunoscut: apare litera $n$ în enunț.

Puterea pară, pe un exemplu. Fie $\int {\cos }^{2}xdx$. Substituția nu ajută (nu apare niciun $\sin x$ care să fie derivata interiorului), deci coborâm puterea cu formula de înjumătățire ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ și rămânem cu două funcții din tabel:

$$\int {\cos }^{2}xdx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+\mathcal{C}.$$

Regula de reținut, valabilă la toate puterile funcțiilor trigonometrice: exponent impar $\Rightarrow$ substituție; toți exponenții pari $\Rightarrow$ liniarizare.

7. Arborele complet, într-un tabel

Pune întrebările în ordinea de mai jos și oprește-te la primul „da".

Aceeași integrală, trei drumuri. Uneori mai multe ramuri se aplică simultan. Fie $\int \sin x\cos xdx$:

• cu $u=\sin x$, $u^{\prime }=\cos x$, obții $\frac{{\sin }^{2}x}{2}+\mathcal{C}$;
• cu $u=\cos x$, $u^{\prime }=-\sin x$, obții $-\frac{{\cos }^{2}x}{2}+\mathcal{C}$;
• rescriind $\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$, obții $-\frac{\cos 2x}{4}+\mathcal{C}$.

Cele trei rezultate arată diferit, dar diferențele lor sunt constante: $\frac{{\sin }^{2}x}{2}-\left(-\frac{{\cos }^{2}x}{2}\right)=\frac{1}{2}$ și $\frac{{\sin }^{2}x}{2}-\left(-\frac{\cos 2x}{4}\right)=\frac{1}{4}$. Toate trei sunt corecte — pe un interval, primitivele aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar constanta e „înghițită" de $\mathcal{C}$. Deci, dacă rezultatul tău diferă de cel din barem printr-o constantă, nu e greșit; verificarea corectă e derivarea, nu compararea formelor.

8. Zece integrale clasificate înainte de a fi rezolvate

Exercițiul care fixează lecția: te uiți la zece integrale și scrii numai metoda, fără să calculezi nimic. Abia apoi calculezi. Vei recunoaște printre ele exemplele-etalon ale lecțiilor în care metodele au fost introduse — reluarea e intenționată: aici nu contează calculul, ci clasificarea, iar pe integrale deja cunoscute se vede limpede ce semnal a decis metoda.

Iar acum rezolvările, pe scurt. 1. $x^3-2\ln |x|+5x+\mathcal{C}$. 2. $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)+\mathcal{C}$. 3. $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}$. 4. $(x-1)e^x+\mathcal{C}$. 5. cu $f(x)=\ln x$ și $g(x)=x$: $x\ln x-\int 1dx=x\ln x-x+\mathcal{C}$. 6. $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$, deci $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}+\mathcal{C}$. 7. din $\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}$ rezultă $2\ln |x-1|+3\ln |x+2|+\mathcal{C}$. 8. $\int \left(1-{\cos }^{2}x\right)\sin xdx=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$. 9. $\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$, deci $\frac{x^2}{2}+x+\ln |x-1|+\mathcal{C}$. 10. este etalonul lecției $91$: prin părți se obține $I_n=x^n{e}^x-n{I}_{n-1}$, cu $I_0=e^x$; de aici $I_1=(x-1)e^x+\mathcal{C}$ și $I_2=\left(x^2-2x+2\right)e^x+\mathcal{C}$.

Compară numerele $2$ și $3$: aceleași cinci simboluri la numitor, un singur $x$ diferență la numărător — și două metode complet diferite. Semnalul stă în amănunt, nu în aspectul general.

Trei semnale înșelătoare, de recunoscut din prima. Primul: prezența unui radical nu trimite automat la substituția care raționalizează — în $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$ se vede derivata interiorului, deci e ramura a doua. Al doilea: prezența unui produs nu trimite automat la părți — în $\int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$ produsul e tot de forma $u^n{u}^{\prime }$, deci tot ramura a doua; părțile cer tipuri diferite, nu doar doi factori. Al treilea: un numitor care se descompune nu cere automat fracții simple — dacă numărătorul se simplifică cu un factor al numitorului, pasul zero rezolvă totul, ca în exemplul $3$ de mai jos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Derivata numitorului la numărător

Calculați $\int \frac{2x+1}{x^2+x+3}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Metoda: schimbare de variabilă — numărătorul este exact derivata numitorului. Cu $u(x)=x^2+x+3$ avem $u^{\prime }(x)=2x+1$, iar trinomul are $\Delta =1-12<0$, deci e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$. Prin urmare

$$\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln \left(x^2+x+3\right)+\mathcal{C}.$$

Verificare prin derivare: $\frac{2x+1}{x^2+x+3}$ ✓. Observă că am scris logaritmul fără modul, pentru că argumentul e strict pozitiv.

Exemplul 2 — Produs de tipuri diferite

Calculați $\int (x+2)\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Metoda: părți — produs între un polinom și o funcție trigonometrică. Prin regula descreșterii derivăm polinomul și integrăm cosinusul: $f(x)=x+2$, $g^{\prime }(x)=\cos x$, deci $f^{\prime }(x)=1$, $g(x)=\sin x$ și

$$\int (x+2)\cos xdx=(x+2)\sin x-\int \sin xdx=(x+2)\sin x+\cos x+\mathcal{C}.$$

Verificare: $\sin x+(x+2)\cos x-\sin x=(x+2)\cos x$ ✓.

Exemplul 3 — Pasul zero rezolvă totul

Calculați $\int \frac{x+3}{x^2-9}dx$, $x\in (3,+\infty )$.

Rezolvare. Metoda: pasul zero — rescrierea. Cine sare peste ea pornește pe fracții simple și pierde trei minute. Descompunem numitorul: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ și simplificăm cu $x+3$, nenul pe intervalul dat:

$$\int \frac{x+3}{(x-3)(x+3)}dx=\int \frac{1}{x-3}dx=\ln |x-3|+\mathcal{C}=\ln (x-3)+\mathcal{C}.$$

Morala: descompune numitorul înainte de a alege metoda — s-ar putea să se simplifice.

Exemplul 4 — Trei surori, trei metode

Calculați, pe intervalul $(2,+\infty )$: a) $\int \frac{1}{x^2-4}dx$; b) $\int \frac{x}{x^2-4}dx$; c) $\int \frac{x^2}{x^2-4}dx$.

Rezolvare. a) Metoda: tabel, rândul $11$, cu $a=2$:

$$\int \frac{1}{x^2-4}dx=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+\mathcal{C}.$$

b) Metoda: schimbare de variabilă, pentru că $x$ e jumătate din derivata lui $x^2-4$:

$$\int \frac{x}{x^2-4}dx=\frac{1}{2}\ln \left|x^2-4\right|+\mathcal{C}.$$

c) Metoda: pasul zero (împărțire), pentru că gradele sunt egale: $\frac{x^2}{x^2-4}=1+\frac{4}{x^2-4}$. Folosind punctul a),

$$\int \frac{x^2}{x^2-4}dx=x+4\cdot \frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+\mathcal{C}=x+\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+\mathcal{C}.$$

Trei integrande care diferă printr-un singur factor la numărător, trei ramuri diferite ale arborelui.

Exemplul 5 — Tiparul „derivata sus, funcția jos"

Calculați $\int \frac{\cos x}{2+\sin x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Metoda: schimbare de variabilă, tiparul $\frac{u^{\prime }}{u}$. Cu $u(x)=2+\sin x$ avem $u^{\prime }(x)=\cos x$, adică exact numărătorul; în plus $u(x)\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, deci logaritmul se scrie fără modul:

$$\int \frac{\cos x}{2+\sin x}dx=\ln (2+\sin x)+\mathcal{C}.$$

Verificare prin derivare: $\frac{\cos x}{2+\sin x}$ ✓. Tiparul „derivata sus, funcția jos" e cel mai rentabil de învățat: apare la fiecare a treia integrală de examen, sub cele mai diferite înfățișări.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2x+1)e^x$. a) Precizați metoda de integrare potrivită și justificați alegerea. b) Determinați mulțimea primitivelor funcției $f$. c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F(0)=0$.

Rezolvare. a) Integrandul e un produs de tipuri diferite — polinom de gradul întâi înmulțit cu exponențială — deci ramura potrivită e integrarea prin părți. Prin regula descreșterii, derivăm polinomul (devine constantă) și integrăm exponențiala (rămâne exponențială).

b) Cu $f_1(x)=2x+1$ și $g^{\prime }(x)=e^x$, deci $f_1^{\prime }(x)=2$ și $g(x)=e^x$:

$$\int (2x+1)e^{x}dx=(2x+1)e^x-\int 2e^{x}dx=(2x+1)e^x-2e^x+\mathcal{C}=(2x-1)e^x+\mathcal{C}.$$

Verificare: $((2x-1)e^x{)}^{\prime }=2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x$ ✓.

c) $F(x)=(2x-1)e^x+c$; din $F(0)=-1+c=0$ rezultă $c=1$, deci $F(x)=(2x-1)e^x+1$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi metoda și semnalul care ți-a indicat-o, abia apoi calculează. Alegerea contează la fel de mult ca rezultatul.

1. Calculează $\int \left(x^3-\frac{3}{x}\right)dx$ pe $(0,+\infty )$ și precizează metoda.

2. Calculează $\int \frac{1}{3x+1}dx$ pe $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$.

3. Calculează $\int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$ pe $\mathbb{R}$.

4. Calculează $\int \sin 2xdx$ pe $\mathbb{R}$.

5. Calculează $\int x\ln xdx$ pe $(0,+\infty )$.

6. Calculează $\int \mathrm{arctg}xdx$ pe $\mathbb{R}$.

7. Calculează $\int {\sin }^{2}x\cos xdx$ pe $\mathbb{R}$.

8. Calculează $\int \sqrt{x+1}dx$ pe $(-1,+\infty )$.

9. Calculează $\int \frac{4x^3}{x^4+1}dx$ pe $\mathbb{R}$.

10. Calculează $\int x{e}^{x^2}dx$ pe $\mathbb{R}$.

11. Calculează $\int \frac{x}{x+1}dx$ pe $(-1,+\infty )$.

12. Calculează $\int \frac{x+1}{(x-1)(x-2)}dx$ pe $(2,+\infty )$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Integrarea prin părți se poate aplica oricărui produs de două funcții și duce întotdeauna la o integrală mai simplă."

14. Precizează, fără să calculezi, metoda pentru fiecare dintre integralele $\int \frac{2x}{x^2+7}dx$, $\int \frac{1}{x^2+7}dx$, $\int x\cos xdx$, $\int \frac{x^3}{x+2}dx$ și $\int {\cos }^{3}xdx$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă rezultatul tău diferă de cel din barem printr-o constantă, rezolvarea e greșită."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+2)e^{-x}$. a) Precizați metoda de integrare și justificați alegerea. b) Determinați mulțimea primitivelor lui $f$. c) Determinați primitiva $F$ cu $F(0)=0$.

17. (Problemă aplicată.) Viteza unui mobil este $v(t)=\frac{t}{t^2+1}$ (metri pe secundă), iar la momentul $t=0$ mobilul se află în origine. Determină poziția $x(t)$ și precizează ce metodă ai folosit.

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx$ pe $\mathbb{R}$. Indicație: pasul zero — amplifică fracția cu $e^x$ — apoi caută derivata dinăuntru.

Răspunsuri și explicații

1. Tabel + liniaritate (două funcții din tabel): $\int \left(x^3-\frac{3}{x}\right)dx=\frac{x^4}{4}-3\ln x+\mathcal{C}$ (pe $(0,+\infty )$ modulul se poate scoate).

2. Schimbare de variabilă cu $u=3x+1$, $u^{\prime }=3$: $\int \frac{1}{3x+1}dx=\frac{1}{3}\ln (3x+1)+\mathcal{C}$. Verificare: $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{3x+1}=\frac{1}{3x+1}$ ✓.

3. Schimbare de variabilă cu $u=x^2+1$, $u^{\prime }=2x$, tiparul $u^n{u}^{\prime }$: $\int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx=\frac{{\left(x^2+1\right)}^4}{8}+\mathcal{C}$.

4. Schimbare de variabilă cu $u=2x$: $\int \sin 2xdx=-\frac{1}{2}\cos 2x+\mathcal{C}$. Verificare: $-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x$ ✓.

5. Părți (polinom $\times$ logaritm), derivăm $\ln x$: cu $f(x)=\ln x$, $g(x)=\frac{x^2}{2}$, obținem $\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+\mathcal{C}$.

6. Părți cu $g^{\prime }(x)=1$: $x\mathrm{arctg}x-\int \frac{x}{1+x^2}dx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)+\mathcal{C}$. A doua integrală s-a rezolvat pe ramura a doua — un exemplu de metode înlănțuite.

7. Schimbare de variabilă cu $u=\sin x$, $u^{\prime }=\cos x$: $\int {\sin }^{2}x\cos xdx=\frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$.

8. Schimbare de variabilă cu $u=x+1$ (sau direct rândul $2$ din tabel, cu $r=\frac{1}{2}$): $\int \sqrt{x+1}dx=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}+\mathcal{C}$.

9. Schimbare de variabilă cu $u=x^4+1$, $u^{\prime }=4x^3$ — numărătorul e chiar derivata numitorului, tiparul $\frac{u^{\prime }}{u}$: $\int \frac{4x^3}{x^4+1}dx=\ln \left(x^4+1\right)+\mathcal{C}$, fără modul, pentru că $x^4+1>0$ pe $\mathbb{R}$.

10. Schimbare de variabilă cu $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$: $\int x{e}^{x^2}dx=\frac{e^{x^2}}{2}+\mathcal{C}$. Atenție: $\int e^{x^2}dx$, fără factorul $x$, nu se poate exprima prin funcții elementare — factorul $x$ e cel care face integrala rezolvabilă.

11. Pasul zero (împărțire): $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, deci $\int \frac{x}{x+1}dx=x-\ln (x+1)+\mathcal{C}$.

12. Rețeta fracțiilor simple: $\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$, cu $A(x-2)+B(x-1)=x+1$; pentru $x=1$ obținem $A=-2$, pentru $x=2$ obținem $B=3$. Deci integrala este $-2\ln (x-1)+3\ln (x-2)+\mathcal{C}$.

13. Fals. Formula se poate aplica, dar nu duce automat la ceva mai simplu: alegerea greșită a părților mărește gradul polinomului și complică integrala. Regula descreșterii spune ce derivezi și ce integrezi, iar testul rapid este: dacă noua integrală arată mai rău, ai ales pe dos.

14. $\int \frac{2x}{x^2+7}dx$ — schimbare de variabilă (numărătorul e derivata numitorului). $\int \frac{1}{x^2+7}dx$ — tabel, rândul $12$, cu $a=\sqrt{7}$. $\int x\cos xdx$ — părți. $\int \frac{x^3}{x+2}dx$ — pasul zero, împărțire cu rest. $\int {\cos }^{3}xdx$ — putere impară, substituția $u=\sin x$.

15. Fals. Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar constanta e inclusă în $\mathcal{C}$. Ambele forme sunt corecte; singura verificare care contează este derivarea. Exemplul clasic e $\int \sin x\cos xdx$, cu trei forme diferite ale răspunsului.

16. a) Produs de tipuri diferite (polinom $\times$ exponențială), deci integrare prin părți, cu derivarea polinomului. b) Cu $f_1(x)=x+2$, $g^{\prime }(x)=e^{-x}$, deci $g(x)=-e^{-x}$: $\int (x+2)e^{-x}dx=-(x+2)e^{-x}+\int e^{-x}dx=-(x+2)e^{-x}-e^{-x}+\mathcal{C}=-(x+3)e^{-x}+\mathcal{C}$. Verificare: $-e^{-x}+(x+3)e^{-x}=(x+2)e^{-x}$ ✓. c) $F(x)=-(x+3)e^{-x}+c$; din $F(0)=-3+c=0$ rezultă $c=3$, deci $F(x)=3-(x+3)e^{-x}$.

17. Poziția e primitiva vitezei cu $x(0)=0$. Metoda: schimbare de variabilă, tiparul $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=t^2+1$, pentru că $t$ e jumătate din $u^{\prime }$. Obținem $x(t)=\frac{1}{2}\ln \left(t^2+1\right)+c$, iar din $x(0)=0$ rezultă $c=0$, deci $x(t)=\frac{1}{2}\ln \left(t^2+1\right)$ metri.

18. Amplificăm cu $e^x$: $\frac{1}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^x}{e^{2x}+1}=\frac{e^x}{{\left(e^x\right)}^2+1}$. Acum se vede derivata dinăuntru: cu $u=e^x$, $u^{\prime }=e^x$, integrandul e $\frac{u^{\prime }}{u^2+1}$, iar rândul $12$ al tabelului (cu $a=1$) dă $\int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx=\mathrm{arctg}\left(e^x\right)+\mathcal{C}$. Verificare: $\frac{e^x}{e^{2x}+1}=\frac{1}{e^x+e^{-x}}$ ✓.

De reținut

• Pasul zero este obligatoriu: înainte de orice metodă, încearcă să rescrii integrandul prin desfacerea parantezelor, împărțire, simplificare sau o formulă trigonometrică.
• Ordinea întrebărilor din arborele de decizie este tabel $\to$ schimbare de variabilă $\to$ părți $\to$ funcții raționale $\to$ trigonometrice, radicali și exponențiale $\to$ recurență, iar te oprești la primul „da".
• Semnalul schimbării de variabilă este prezența derivatei interiorului: caută tiparele $\frac{u^{\prime }}{u}$ și $u^n{u}^{\prime }$.
• Semnalul integrării prin părți este produsul de tipuri diferite, iar alegerea părților se face prin regula descreșterii: derivezi ce se simplifică, integrezi ce nu se complică.
• Aceeași integrală poate avea răspunsuri de forme diferite; ele diferă printr-o constantă și sunt toate corecte, iar singura verificare validă este derivarea rezultatului.

Greșeli frecvente

• Alegerea metodei înainte de rescriere. Integrala $\int \frac{x+3}{x^2-9}dx$ pare o candidată la fracții simple, dar se simplifică într-un logaritm; pierzi minute pe un drum inutil.
• Confuzia dintre $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$ și $\int \frac{x}{x^2+a^2}dx$. Prima e din tabel și dă $\mathrm{arctg}$; a doua e o substituție și dă logaritm. Numărătorul decide, nu numitorul.
• Integrala produsului luată ca produs al integralelor. Nu există o regulă $\int fg=\int f\cdot \int g$; pentru produse se folosesc părțile sau substituția.
• Părțile alese pe dos. La $\int x{e}^{x}dx$, integrarea lui $x$ duce la o integrală mai grea. Aplică regula descreșterii și, dacă noua integrală arată mai rău, schimbă alegerea.
• Fracții simple fără împărțirea prealabilă. Când gradul numărătorului este mai mare sau egal cu al numitorului, descompunerea nu funcționează: se face întâi împărțirea cu rest.

Aplică acasă

1. Fișa arborelui. Copiază tabelul din secțiunea 7 pe o singură foaie și ține-o la vedere. Rezolvă zece integrale scriind, de fiecare dată, întâi metoda; după douăzeci de exerciții alegerea devine automată.

2. Sortarea fără calcul. Ia douăzeci de integrale dintr-o culegere, decupează-le și sortează-le în șase grămezi, câte una pe ramură, fără să calculezi nimic. Cronometrează: ținta e sub zece secunde pe integrală.

3. Aceeași integrală, două drumuri. Calculează $\int \sin x\cos xdx$ pe ambele substituții și verifică prin derivare că amândouă rezultatele sunt primitive ale aceleiași funcții. Apoi scrie diferența lor și arată că e constantă.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu introduce conținut nou: recapitulează metodele de calcul al primitivelor și le pune într-un criteriu de alegere. Programa cere exact acest lucru la competențele XII.CS.5.5 („aplicarea metodelor de integrare adecvate pentru diferite tipuri de funcții, folosind particularitățile acestora") și XII.CS.4.5 („aplicarea unor metode de calcul adecvate pentru determinarea primitivelor unei funcții").

Pasul zero — rescrierea algebrică — nu e o metodă, ci reflexul care le precedă pe toate. Elevii care îl sar pornesc pe drumuri lungi la integrale care se rezolvă într-o linie; este cea mai ieftină sursă de puncte din toată unitatea.

De verificat în caiet: (1) fiecare rezolvare începe cu numele metodei și cu semnalul care a indicat-o; (2) rezultatul e verificat prin derivare; (3) constanta $\mathcal{C}$ apare o singură dată, la final; (4) la funcțiile raționale, împărțirea precedă descompunerea. Întrebări de control: „Ce faci înainte de a alege metoda?"; „Ce te trimite la substituție?"; „Ce derivezi și ce integrezi la părți?"; „Când faci împărțirea cu rest?".

La BAC M1, cerința tipică din Subiectul al III-lea este „determinați primitivele funcției $f$" sau „arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$", fără indicații de metodă; punctele se pierd cel mai des la alegerea greșită a părților și la fracțiile simple aplicate fără împărțire. Semn că elevul a înțeles: se uită la integrandul dat și spune metoda înainte de a scrie primul calcul.

Întrebări frecvente

Cum aleg metoda de integrare potrivită? Te uiți întâi dacă integrandul se rescrie mai simplu, apoi pui întrebările în ordine: e în tabel, se vede derivata interiorului, e produs de tipuri diferite, e funcție rațională, e trigonometric sau cu radicali, apare exponentul $n$. Te oprești la primul răspuns afirmativ, pentru că ordinea e aleasă astfel încât drumul cel mai scurt să apară primul.

Când folosesc integrarea prin părți și când schimbarea de variabilă? Părțile se folosesc la un produs de funcții de naturi diferite — polinom cu exponențială, cu trigonometrică sau cu logaritm — și la funcțiile greu de integrat, dar ușor de derivat, luate singure. Schimbarea de variabilă se folosește când un factor al integrandului este, până la o constantă, derivata a ceea ce se află în interiorul altui factor.

Ce este regula descreșterii? Este criteriul de alegere a părților: derivezi factorul care se simplifică prin derivare — polinomul, $\ln x$, $\mathrm{arctg}x$ — și integrezi factorul care nu se complică prin integrare, adică $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ sau o putere. Testul rapid este simplu: dacă noua integrală arată mai rău decât cea inițială, ai ales părțile pe dos.

De ce trebuie făcută împărțirea la funcțiile raționale? Pentru că descompunerea în fracții simple funcționează numai când gradul numărătorului este strict mai mic decât al numitorului. Împărțirea cu rest scrie integrandul ca sumă între un polinom, care se integrează din tabel, și o fracție cu numărător de grad mic, care intră în rețeta fracțiilor simple.

De ce rezultatul meu diferă de cel din barem? Cel mai probabil printr-o constantă, iar atunci ambele sunt corecte: pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, care este absorbită de $\mathcal{C}$. Verificarea validă nu este compararea formelor, ci derivarea: dacă derivata rezultatului tău este funcția dată, rezolvarea e bună.

Ce fac dacă nicio metodă nu pare să meargă? Recitești integrandul căutând o rescriere pe care ai ratat-o: o simplificare, o împărțire, o formulă trigonometrică sau adunarea și scăderea aceluiași termen. Dacă tot nu iese, încerci o substituție care elimină partea cea mai incomodă — radicalul sau exponențiala — și abia apoi reiei arborele de la capăt.

Cum apare tema la Bacalaureat M1? Ca prim subpunct al problemei de analiză din Subiectul al III-lea, sub forma „determinați primitivele funcției" sau „arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$", urmat de subpuncte care folosesc rezultatul. Alegerea metodei nu se punctează separat, dar decide dacă termini problema în trei minute sau în zece.