Debit, volum de lichid și energie: pe scurt

Debitul $Q$ este cantitatea de lichid care trece printr-o secțiune în unitatea de timp, iar volumul scurs pe intervalul $[t_1,t_2]$ este $V={\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt$. Notația se păstrează distinctă: $V$ este un volum de lichid, acumulat în timp, în timp ce $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ este volumul unui corp de rotație — nici formula, nici unitatea de intrare, nici simbolul nu coincid. Modelarea urmează cele patru etape: variabila și intervalul, funcția cu unitățile ei, integrala, răspunsul cu unitate și control. Integrala definită dă direct cantitatea acumulată între două momente, fără constantă de integrare: aceasta se simplifică în diferența $F(t_2)-F(t_1)$ și apare doar dacă se cere funcția $V(t)$ însăși. Debitul mediu este $\frac{V}{t_2-t_1}$, adică valoarea medie a lui $Q$, iar prin teorema de medie el este efectiv atins într-un moment al intervalului. Energia consumată de un aparat cu puterea instantanee $P(t)$ este $E={\int }_{t_1}^{t_2}P(t)dt$; cu puterea în kilowați și timpul în ore rezultatul iese direct în kilowatt-ore, unde $1$ kWh $=3,6\cdot 10^6$ jouli, iar conversia se face numai când problema o cere. Unitățile de timp nu se amestecă, iar la ecuațiile de tipul „după cât timp” soluția din afara intervalului se respinge în scris.

Exerciții din această mini-lecție

1. Debitul unei conducte este $Q(t)=9-t^2$ (în metri cubi pe minut), pentru $t\in [0,3]$ minute. Volumul de lichid scurs în acest interval este:

   • a) $18$ m${}^3$
   • b) $27$ m${}^3$
   • c) $9$ m${}^3$
   • d) $6$ m${}^3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $18$ m${}^3$

   $V={\int }_0^3\left(9-t^2\right)dt=\left(9t-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^3=27-9=18$ m${}^3$. Varianta $27$ ignoră termenul $-t^2$, iar $9$ confundă volumul cu debitul de la momentul inițial. Control: debitul scade de la $9$ la $0$ în $3$ minute, deci volumul este între $0$ și $27$.

2. Într-o problemă apar atât $V={\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt$, cât și $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Ce reprezintă fiecare?

   • a) amândouă volume de corpuri de rotație
   • b) amândouă volume de lichid, scrise diferit
   • c) $V$ = volumul unui corp, $\mathcal{V}$ = volum de lichid
   • d) $V$ = volum de lichid acumulat în timp, $\mathcal{V}$ = volumul unui corp de rotație
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $V$ = volum de lichid acumulat în timp, $\mathcal{V}$ = volumul unui corp de rotație

   Cele două noțiuni păstrează deliberat notații diferite: $V$ acumulează un debit în timp și are ca variabilă timpul, iar $\mathcal{V}$ măsoară un corp geometric și are ca variabilă o coordonată spațială. Nu au aceeași formulă, aceeași unitate de intrare și nici același simbol; confundarea lor este greșeala tipică a lecției.

3. Se cere volumul de lichid scurs între minutele $2$ și $5$. În rezolvare, constanta de integrare:

   • a) se adaugă la rezultat
   • b) se determină din valoarea inițială
   • c) nu apare, pentru că se simplifică în diferență
   • d) se ia egală cu zero prin convenție
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu apare, pentru că se simplifică în diferență

   La integrala definită se calculează $F(t_2)-F(t_1)$, iar orice constantă adăugată lui $F$ se scade pe ea însăși: nu apare și nu trebuie determinată. Constanta intervine doar dacă se cere funcția $V(t)$, ca la primitive, unde se fixează din condiția inițială. Aceasta este puntea „integrala definită nu are nevoie de constantă”.