Modelări din fizică: debit, volum de lichid și energie consumată

Apometrul din baie și contorul electric fac același lucru: măsoară din secundă în secundă o mărime care curge — litri pe minut, respectiv wați — și afișează la final o singură cifră, cea care ajunge pe factură. Această lecție de clasa a 12-a arată că cifra de pe factură este o integrală definită și că același model, cu aceleași două rânduri de calcul, acoperă apa dintr-o conductă și energia dintr-o priză. Volumul de lichid scurs printr-o conductă cu debitul $Q$ între momentele $t_1$ și $t_2$ este $V={\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt$, iar energia consumată de un aparat cu puterea instantanee $P$ este $E={\int }_{t_1}^{t_2}P(t)dt$.

Programa cere expres două modelări: „determinarea volumului de lichid evacuat într-un interval de timp printr-o conductă cu debitul $Q$" și „modelarea energiei consumate într-un interval de timp de un aparat electric având puterea instantanee $P(t)=5\sin t$". Le facem pe amândouă, pe exemplele din programă și pe câteva mai apropiate de viață, cu atenție la ceea ce contează cel mai mult într-o problemă aplicată: unitățile de măsură de la rezultat.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este debitul și de ce volumul scurs într-un interval de timp se scrie ca integrală definită.
• Vei ști să calculezi volumul acumulat sau evacuat, cu formula $V={\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt$, și să nu confunzi acest $V$ cu volumul unui corp de rotație.
• Vei ști să determini debitul mediu și momentul în care el este atins.
• Vei ști să calculezi energia consumată dintr-o putere instantanee variabilă, cu $E={\int }_{t_1}^{t_2}P(t)dt$.
• Vei ști să treci corect între jouli și kilowatt-oră, unitatea de pe factura de curent.
• Vei ști să recunoști aceeași schemă în orice problemă în care se cunoaște o rată de variație.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este debitul și de ce volumul este o integrală?

Debitul este cantitatea de lichid care trece printr-o secțiune a conductei în unitatea de timp; se notează $Q$ și se măsoară, de pildă, în litri pe minut sau în metri cubi pe secundă. Când robinetul e deschis constant, debitul e constant și volumul se află înmulțind: zece litri pe minut, timp de trei minute, înseamnă treizeci de litri.

În practică debitul nu e constant. Presiunea din rețea variază, o pompă pornește lent, un rezervor care se golește curge din ce în ce mai încet pe măsură ce nivelul scade. Atunci debitul este o funcție de timp, $Q:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, și înmulțirea nu mai are ce înmulți.

Ideea e cea de la lucrul mecanic. Tăiem intervalul de timp în bucăți foarte scurte; pe o bucată de durată $\Delta t$, în jurul momentului $t$, debitul aproape că nu se schimbă, deci volumul scurs în acel răstimp este aproximativ $Q(t)\Delta t$. Adunând peste toate bucățile obținem o sumă Riemann, iar la trecerea la limită suma devine integrala definită.

Merită observat un lucru care leagă lecția de tot capitolul: debitul și volumul sunt legate exact ca funcția de sub integrală și aria de sub graficul ei. Dacă desenezi graficul debitului, cu timpul pe orizontală, atunci volumul este aria de sub grafic. Un contor de apă nu face altceva decât să măsoare, în timp real, această arie. La fel funcționează contorul de curent, contorul de gaz și, de fapt, orice aparat care raportează un „total" pornind de la o măsurătoare instantanee.

2. Care este formula volumului de lichid dintr-un debit?

Volumul de lichid. Dacă debitul $Q$ este o funcție continuă pe intervalul de timp $[t_1,t_2]$, volumul de lichid care trece prin conductă în acest interval este $$V={\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt.$$

⚠️ Atenție la literă. În lecțiile despre volumul corpului de rotație am notat cu $\mathcal{V}$ volumul unui corp obținut prin rotirea unui subgrafic în jurul axei $Ox$. Aici $V$ este cu totul altceva: un volum de lichid, care se acumulează în timp și nu are nicio legătură cu vreo rotație. Cele două noțiuni păstrează notații diferite tocmai ca să nu se amestece: $\mathcal{V}$ pentru corpul de rotație, $V$ pentru lichidul scurs.

Verificarea cazului constant e imediată: pentru $Q(t)=q$ obținem ${\int }_{t_1}^{t_2}qdt=q(t_2-t_1)$, adică debitul înmulțit cu durata. Și aici, ca peste tot, formula nouă conține formula veche.

Unitățile se citesc direct din formulă: $Q$ în litri pe minut și $t$ în minute dau $V$ în litri; $Q$ în metri cubi pe secundă și $t$ în secunde dau metri cubi. Dacă enunțul amestecă unitățile — debit pe minut, timp în ore — se transformă înainte de integrare.

3. Ce se schimbă când treci de la primitivă la integrala definită?

Modelul acesta nu e nou. În primitiva care îndeplinește o condiție și modelări cu primitive am privit un rezervor în care se toarnă apă cu debitul $Q(t)=2t+3$ litri pe minut, știind că la momentul $0$ conținea deja $10$ litri. Acolo am scris $V^{\prime }(t)=Q(t)$, am luat primitiva $V(t)=t^2+3t+c$ și am determinat constanta din condiția $V(0)=10$, obținând $V(4)=38$ de litri după patru minute.

Revenim la aceeași conductă, cu integrala definită. Volumul scurs în primele patru minute este $$V={\int }_0^4(2t+3)dt=\left(t^2+3t\right){|}_0^4=16+12=28\text{litri}.$$ Și cele două calcule se potrivesc: $38-10=28$. Nu e o coincidență, ci chiar conținutul formulei Leibniz–Newton: integrala definită este diferența valorilor primitivei la capete, iar constanta $c$ se simplifică.

Aici e câștigul practic al integralei definite față de primitivă. Dacă întrebarea este „cât s-a acumulat între două momente", nu ai nevoie de valoarea inițială și nu ai nevoie de constanta de integrare: ele dispar din diferență. Valoarea inițială îți trebuie doar dacă vrei să afli cât e în rezervor acum, nu cât a intrat.

Model, nu lege. Formula $Q(t)=2t+3$ este un model al fenomenului, valabil cât timp robinetul se deschide după acest tipar și rezervorul nu s-a umplut. La fel, exemplul din programă, $Q(t)=3t^2$, folosit cu primitive în noțiunea de primitivă, e o idealizare comodă: pe $[0,2]$ minute el dă ${\int }_0^{2}3t^{2}dt=t^3{|}_0^2=8$ litri. O problemă bine pusă spune întotdeauna pe ce interval de timp e valabil modelul.

4. Cum se calculează volumul unui rezervor care se golește?

Când un rezervor se golește, debitul scade pe măsură ce nivelul coboară, până se anulează. Fie $Q(t)=12-2t$ litri pe minut, model valabil pentru $t\in [0,6]$; la $t=6$ debitul e zero, deci rezervorul s-a golit. Volumul total evacuat este $$V={\int }_0^6(12-2t)dt=\left(12t-t^2\right){|}_0^6=72-36=36\text{litri}.$$

Se poate întreba și când s-a scurs jumătate. Căutăm momentul $s\in [0,6]$ cu ${\int }_0^s(12-2t)dt=18$, adică $12s-s^2=18$, deci $s^2-12s+18=0$, cu soluțiile $s=6\pm 3\sqrt{2}$. Doar $s=6-3\sqrt{2}\approx 1,757$ minute se află în interval; cealaltă rădăcină, aproximativ $10,24$, se respinge.

Rezultatul merită citit: jumătate din apă se scurge în primele $1,76$ minute, iar cealaltă jumătate are nevoie de peste $4$ minute. E firesc — la început debitul e maxim, la sfârșit e aproape zero. Aceeași asimetrie o simți la o chiuvetă care se golește.

Un detaliu de redactare, care se punctează: intervalul pe care modelul e valabil face parte din enunț, nu e un amănunt. Formula $Q(t)=12-2t$ ar da, pentru $t>6$, un debit negativ, adică apă care intră înapoi în rezervor — o absurditate. De aceea se scrie de la început $Q:[0,6]\to \mathbb{R}$ și nu se integrează niciodată dincolo de acest interval. La fel, un debit care crește la nesfârșit nu poate fi urmărit oricât: rezervorul se umple. Modelul descrie fenomenul bine acolo unde a fost construit și nicăieri altundeva.

5. Ce este debitul mediu?

Ca la orice mărime care variază, se pune întrebarea cu ce debit constant s-ar fi obținut același volum în același timp. Răspunsul este debitul mediu, adică valoarea medie a funcției $Q$ în sensul teoremei de medie: $$Q_{\text{med}}=\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt=\frac{V}{t_2-t_1}.$$ Formula spune exact ce spune bunul-simț: volumul total împărțit la durată.

Pentru firul roșu al lecției, $Q(t)=2t+3$ pe $[0,4]$, avem $Q_{\text{med}}=\frac{28}{4}=7$ litri pe minut. Iar teorema de medie garantează mai mult decât o cifră: debitul chiar a fost, la un moment dat, egal cu media lui. Rezolvăm $2c+3=7$ și obținem $c=2$ minute — la jumătatea intervalului, cum se întâmplă mereu la debite liniare.

Interpretarea grafică e cea cunoscută: dreptunghiul cu baza $[t_1,t_2]$ și înălțimea $Q_{\text{med}}$ are aceeași arie cu subgraficul debitului, adică reprezintă același volum.

6. Puterea instantanee și energia consumată

Trecem la electricitate, unde schema se repetă literă cu literă. Puterea instantanee $P(t)$ este viteza cu care un aparat consumă energie; se măsoară în wați. Energia consumată într-un interval de timp este atunci

$$E={\int }_{t_1}^{t_2}P(t)dt.$$

Cu $P$ în wați și $t$ în secunde, $E$ iese în jouli, pentru că un joule este un watt înmulțit cu o secundă.

Exemplul din programă este $P(t)=5\sin t$ (wați), pe $[0,\pi ]$ secunde. Atunci $$E={\int }_0^{\pi }5\sin tdt=-5\cos t{|}_0^{\pi }=5+5=10\text{jouli}.$$ Pe prima jumătate a intervalului, $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, se consumă $-5\cos t{|}_0^{\pi /2}=5$ jouli, adică exact jumătate — simetria funcției sinus față de dreapta $t=\frac{\pi }{2}$ o spunea dinainte.

Ca și la debit, e un model: un aparat real nu are o putere care oscilează cu perioada de câteva secunde și nu se stinge exact la $t=\pi$. Modelul e ales ca să fie limpede matematica, iar cifra rezultată, zece jouli, e mică tocmai pentru că durata e mică — cât ține o respirație.

Și aici are sens media. Puterea medie pe intervalul $[t_1,t_2]$ este $P_{\text{med}}=\frac{E}{t_2-t_1}$, adică puterea constantă care ar fi consumat aceeași energie în același timp. Pentru modelul programei, $P_{\text{med}}=\frac{10}{\pi }\approx 3,183$ wați — mai puțin decât maximul de $5$ wați, atins la mijlocul intervalului, cum era de așteptat de la o funcție care pornește de la zero și se întoarce la zero. Reține raportul $\frac{2}{\pi }$ dintre media și maximul unei arcade de sinus: apare peste tot în electrotehnică.

7. Ce este kilowatt-ora și de ce apare pe factură?

Joule-ul e prea mic pentru facturi: un frigider consumă într-o lună sute de milioane de jouli. De aceea în electricitate se folosește kilowatt-ora, energia consumată de un aparat de un kilowatt care funcționează o oră: $$1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3,6\cdot 10^6\text{J}=3,6\text{MJ}.$$

Partea frumoasă e că nu e nevoie de nicio conversie dacă alegi unitățile potrivite de la început: dacă scrii puterea în kilowați și timpul în ore, integrala iese direct în kilowatt-ore.

Exemplu. Un radiator pornește la putere maximă și scade treptat, după modelul $P(t)=2-0,5t$ kilowați, pentru $t\in [0,2]$ ore. Energia consumată este $$E={\int }_0^2\left(2-0,5t\right)dt=\left(2t-0,25t^2\right){|}_0^2=4-1=3\text{kWh}.$$ La un preț de $1,3$ lei pe kilowatt-oră, cele două ore de funcționare costă $3\cdot 1,3=3,9$ lei. În jouli, aceeași energie ar fi $3\cdot 3,6\cdot 10^6=1,08\cdot 10^7$ jouli — un număr corect, dar pe care nimeni nu-l scrie pe factură.

Compară rezultatul cu o socoteală grăbită. Cine ar înmulți puterea de la pornire, $2$ kilowați, cu cele două ore, ar obține $4$ kilowatt-ore și ar plăti, pe hârtie, $5,2$ lei — cu o treime mai mult decât consumul real. Cine ar lua puterea de la final, $1$ kilowatt, ar subestima la fel de tare. Integrala e singurul calcul care ține cont de tot ce s-a întâmplat între cele două momente, iar în acest caz ea coincide, întâmplător, cu media celor două capete: puterea scade liniar, iar la funcțiile de gradul întâi media capetelor este chiar valoarea medie. La un aparat cu termostat, care pornește și se oprește neregulat, coincidența dispare, iar integrala rămâne singurul răspuns.

8. Aceeași schemă, alte mărimi

Toate modelele lecției sunt același model. Ori de câte ori cunoști rata de variație a unei mărimi și vrei să afli cât s-a acumulat între două momente, integrezi rata:

Ultimele două rânduri sunt vechi cunoștințe: modelele cu viteză și distanță le-ai văzut cu primitive, în noțiunea de primitivă, iar acum se scriu într-un rând, ca integrală definită — de pildă, pentru $v(t)=3t^2+2$ metri pe secundă, distanța parcursă în primele trei secunde este ${\int }_0^3\left(3t^2+2\right)dt=33$ de metri; iar lucrul mecanic e subiectul lecției precedente, lucrul mecanic al unei forțe variabile.

Rețeta de lucru rămâne cea din lecția precedentă, cele patru etape ale modelării: variabila și intervalul, funcția de integrat cu unitățile ei, integrala, răspunsul cu unitate și control. Când vei ajunge la estimarea numerică a integralelor, vei vedea ce se face atunci când funcția-rată nu vine dintr-o formulă, ci dintr-un șir de măsurători — situația reală a oricărui contor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Volumul acumulat, cu și fără constantă

Într-un rezervor se toarnă apă cu debitul $Q(t)=2t+3$ litri pe minut. Ce volum de apă a intrat în primele $4$ minute?

Rezolvare. Debitul e continuu, deci $$V={\int }_0^4(2t+3)dt=\left(t^2+3t\right){|}_0^4=16+12=28\text{litri}.$$ Observă că întrebarea nu cere volumul din rezervor, ci volumul intrat; de aceea nu ne trebuie conținutul inițial. Dacă rezervorul avea deja $10$ litri, acum are $38$ — exact răspunsul obținut cu primitive în lecția despre primitiva care îndeplinește o condiție.

Exemplul 2 — Rezervorul care se golește

Un rezervor se golește cu debitul $Q(t)=12-2t$ litri pe minut, model valabil pe $[0,6]$. a) Ce volum se scurge în total? b) După cât timp s-a scurs jumătate din el?

Rezolvare. a) $V={\int }_0^6(12-2t)dt=\left(12t-t^2\right){|}_0^6=36$ de litri.

b) Căutăm $s$ cu ${\int }_0^s(12-2t)dt=18$, adică $12s-s^2=18$. Ecuația $s^2-12s+18=0$ are soluțiile $s=6\pm 3\sqrt{2}$; păstrăm $s=6-3\sqrt{2}\approx 1,757$ minute, singura din intervalul $[0,6]$. Deci jumătate din apă se scurge în mai puțin de două minute, iar cealaltă jumătate în peste patru.

Exemplul 3 — Debit descrescător și debit mediu

Printr-o conductă curge apă cu debitul $Q(t)=\frac{60}{t+1}$ litri pe minut, pe intervalul $[0,4]$. Calculează volumul scurs și debitul mediu.

Rezolvare. Funcția e continuă pe $[0,4]$, iar $$V={\int }_0^4\frac{60}{t+1}dt=60\ln (t+1){|}_0^4=60\ln 5\approx 96,566\text{litri}.$$ Debitul mediu este $Q_{\text{med}}=\frac{60\ln 5}{4}=15\ln 5\approx 24,142$ litri pe minut. Momentul în care e atins: $\frac{60}{c+1}=15\ln 5$ dă $c=\frac{4}{\ln 5}-1\approx 1,485$ minute, valoare din interval. ✓

Exemplul 4 — Energia din modelul programei

Un aparat electric are puterea instantanee $P(t)=5\sin t$ wați, pentru $t\in [0,\pi ]$ secunde. Calculează energia consumată pe tot intervalul și pe prima jumătate a lui.

Rezolvare. Pe $[0,\pi ]$: $$E={\int }_0^{\pi }5\sin tdt=-5\cos t{|}_0^{\pi }=5-(-5)=10\text{jouli}.$$ Pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$: $E_1=-5\cos t{|}_0^{\pi /2}=0+5=5$ jouli, adică jumătate. Rezultatul se putea anticipa din simetria graficului funcției sinus față de verticala $t=\frac{\pi }{2}$.

Exemplul 5 — Factura de curent

Un radiator funcționează două ore cu puterea $P(t)=2-0,5t$ kilowați, $t$ măsurat în ore. a) Câtă energie consumă? b) Cât costă, la $1,3$ lei pe kilowatt-oră? c) Exprimă energia în jouli.

Rezolvare. a) Cu puterea în kilowați și timpul în ore, integrala iese direct în kilowatt-ore: $$E={\int }_0^2\left(2-0,5t\right)dt=\left(2t-0,25t^2\right){|}_0^2=4-1=3\text{kWh}.$$ b) Costul este $3\cdot 1,3=3,9$ lei. c) Cum $1$ kWh $=3,6\cdot 10^6$ J, rezultă $E=3\cdot 3,6\cdot 10^6=1,08\cdot 10^7$ jouli.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Debitul unei conducte este dat de $Q:[0,3]\to \mathbb{R}$, $Q(t)=6t-t^2$ (litri pe minut), unde $t$ este timpul în minute.

a) Calculează volumul de apă scurs în cele trei minute. b) Determină momentul în care debitul este maxim și valoarea lui. c) Determină debitul mediu pe $[0,3]$ și momentul în care el este atins.

Rezolvare. a) $$V={\int }_0^3\left(6t-t^2\right)dt=\left(3t^2-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^3=27-9=18\text{litri}.$$

b) Avem $Q^{\prime }(t)=6-2t$, pozitivă pe $[0,3)$ și nulă în $t=3$, deci $Q$ este crescătoare pe tot intervalul, iar maximul se atinge în capătul din dreapta: $Q(3)=18-9=9$ litri pe minut.

c) Debitul mediu este $\frac{18}{3}=6$ litri pe minut. Ecuația $6c-c^2=6$ devine $c^2-6c+6=0$, cu soluțiile $c=3\pm \sqrt{3}$. Doar $c=3-\sqrt{3}\approx 1,268$ minute este în $[0,3]$; cealaltă, aproximativ $4,73$, se respinge. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare problemă scrie întâi funcția-rată și intervalul de timp, apoi integrala, apoi rezultatul cu unitate.

1. Un rezervor se umple cu debitul $Q(t)=4t$ litri pe minut. Ce volum intră în primele $5$ minute?

2. Calculează volumul scurs printr-o conductă cu debitul $Q(t)=3t^2$ litri pe minut, între minutele $1$ și $3$.

3. Calculează volumul scurs cu debitul $Q(t)=2t+3$ litri pe minut, între minutele $2$ și $5$.

4. Un bazin se golește cu debitul $Q(t)=10-t$ litri pe minut, pe $[0,10]$. Ce volum se scurge în total?

5. Calculează volumul scurs cu debitul $Q(t)=\frac{12}{(t+1{)}^2}$ litri pe minut, pe $[0,3]$.

6. Calculează volumul scurs cu debitul $Q(t)=6\sqrt{t}$ litri pe minut, pe $[0,4]$.

7. Pentru debitul de la exercițiul $1$, determină debitul mediu pe $[0,5]$ și momentul în care este atins.

8. Un aparat are puterea instantanee $P(t)=5\sin t$ wați. Ce energie consumă pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ secunde?

9. Un motor pornește lin: $P(t)=100+20t$ wați, $t$ în secunde. Ce energie consumă în primele $10$ secunde?

10. Un aparat are puterea $P(t)=3-t$ kilowați, $t$ în ore, pe $[0,2]$. Ce energie consumă, în kilowatt-ore?

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Volumul $V$ din această lecție este același lucru cu volumul $\mathcal{V}$ al unui corp de rotație."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă debitul este constant, $Q(t)=q$, atunci $V=q(t_2-t_1)$."

13. Arată, pornind de la formula volumului, că debitul mediu pe $[t_1,t_2]$ este $\frac{V}{t_2-t_1}$.

14. Un aparat consumă $3$ kilowatt-ore. Exprimă această energie în jouli.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Debitul unei conducte este $Q(t)=\frac{2t}{t^2+1}$ litri pe minut. Calculează volumul scurs pe $[0,2]$.

16. (Problemă aplicată.) Un aparat de aer condiționat consumă cu puterea $P(t)=1+0,25t$ kilowați, $t$ în ore, timp de $4$ ore. Câtă energie consumă și cât costă, la $1,2$ lei pe kilowatt-oră?

17. Un corp se mișcă cu viteza $v(t)=3t^2+2$ metri pe secundă. Ce distanță parcurge în primele $3$ secunde?

18. (Provocare.) Un rezervor gol se umple cu debitul $Q(t)=2t+3$ litri pe minut. După cât timp conține exact $40$ de litri?

Răspunsuri și explicații

1. $V={\int }_0^{5}4tdt=2t^2{|}_0^5=50$ de litri.

2. $V={\int }_1^{3}3t^{2}dt=t^3{|}_1^3=27-1=26$ de litri.

3. $V={\int }_2^5(2t+3)dt=\left(t^2+3t\right){|}_2^5=40-10=30$ de litri.

4. $V={\int }_0^{10}(10-t)dt=\left(10t-\frac{t^2}{2}\right){|}_0^{10}=100-50=50$ de litri. La $t=10$ debitul se anulează, deci modelul se oprește tocmai când bazinul s-a golit.

5. $V={\int }_0^3\frac{12}{(t+1{)}^2}dt=-\frac{12}{t+1}{|}_0^3=-3+12=9$ litri.

6. $V={\int }_0^{4}6t^{1/2}dt=4t^{3/2}{|}_0^4=4\cdot 8=32$ de litri.

7. $Q_{\text{med}}=\frac{50}{5}=10$ litri pe minut. Din $4c=10$ rezultă $c=2,5$ minute, mijlocul intervalului — ca la orice debit de gradul întâi.

8. $E=-5\cos t{|}_0^{\pi /2}=0+5=5$ jouli.

9. $E={\int }_0^{10}(100+20t)dt=\left(100t+10t^2\right){|}_0^{10}=1000+1000=2000$ de jouli, adică $2$ kilojouli.

10. $E={\int }_0^2(3-t)dt=\left(3t-\frac{t^2}{2}\right){|}_0^2=6-2=4$ kilowatt-ore. Puterea fiind în kilowați și timpul în ore, nu e nevoie de nicio conversie.

11. Fals. $V$ este volumul de lichid care trece printr-o conductă, obținut integrând un debit după timp; $\mathcal{V}$ este volumul unui corp geometric obținut prin rotirea unui subgrafic, dat de $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Notațiile sunt diferite tocmai pentru că mărimile sunt diferite.

12. Adevărat. ${\int }_{t_1}^{t_2}qdt=qt{|}_{t_1}^{t_2}=q(t_2-t_1)$, adică formula din gimnaziu. Cazul constant este cazul particular al formulei generale.

13. Prin definiție, valoarea medie a funcției $Q$ pe $[t_1,t_2]$ este $\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt$. Cum integrala este chiar $V$, expresia devine $\frac{V}{t_2-t_1}$.

14. $3\cdot 3,6\cdot 10^6=1,08\cdot 10^7$ jouli, adică $10,8$ megajouli.

15. Numărătorul este derivata numitorului, deci $V=\ln \left(t^2+1\right){|}_0^2=\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1,609$ litri.

16. $E={\int }_0^4(1+0,25t)dt=\left(t+0,125t^2\right){|}_0^4=4+2=6$ kilowatt-ore, iar costul este $6\cdot 1,2=7,2$ lei.

17. Distanța este ${\int }_0^3\left(3t^2+2\right)dt=\left(t^3+2t\right){|}_0^3=27+6=33$ de metri.

18. Căutăm $T>0$ cu ${\int }_0^T(2t+3)dt=40$, adică $T^2+3T=40$. Ecuația $T^2+3T-40=0$ are discriminantul $169$ și soluțiile $T=5$ și $T=-8$; păstrăm $T=5$ minute. Rezervorul fiind gol la început, volumul acumulat coincide cu conținutul lui.

De reținut

• Debitul este cantitatea de lichid care trece printr-o secțiune în unitatea de timp, iar volumul scurs pe intervalul $[t_1,t_2]$ este $V={\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt$.
• În această lecție $V$ este un volum de lichid, nu volumul $\mathcal{V}$ al unui corp de rotație; cele două noțiuni păstrează notații diferite.
• Integrala definită dă direct cantitatea acumulată între două momente, fără constantă de integrare și fără valoarea inițială, care se simplifică în diferența $F(t_2)-F(t_1)$.
• Debitul mediu este $\frac{V}{t_2-t_1}$, adică valoarea medie a funcției $Q$, iar prin teorema de medie el este efectiv atins într-un moment al intervalului.
• Energia consumată de un aparat cu puterea instantanee $P(t)$ este $E={\int }_{t_1}^{t_2}P(t)dt$; cu puterea în kilowați și timpul în ore rezultatul iese direct în kilowatt-ore, iar $1$ kWh $=3,6\cdot 10^6$ jouli.

Greșeli frecvente

• Confunzi volumul de lichid cu volumul corpului de rotație. $V=\int Q(t)dt$ acumulează un debit în timp; $\mathcal{V}=\pi \int f^2(x)dx$ măsoară un corp geometric. Nu au aceeași formulă, aceeași unitate de intrare, nici aceeași notație.
• Adaugi constanta de integrare la o integrală definită. Când se cere „cât s-a scurs între minutele $2$ și $5$", constanta se simplifică în diferență. Ea apare doar dacă se cere funcția $V(t)$ însăși, ca la lecțiile despre primitive.
• Amesteci unitățile de timp. Un debit în litri pe minut integrat pe un interval măsurat în ore dă un număr fără sens. Alege o singură unitate de timp și transformă enunțul înainte de a integra.
• Convertești inutil în jouli o energie exprimată în kilowatt-ore. Dacă ai scris puterea în kilowați și timpul în ore, rezultatul e deja în kilowatt-ore; a-l trece în jouli îl face doar mai greu de citit. Conversia se face numai când problema o cere.
• Uiți să verifici că soluția e în interval. La ecuațiile de tipul „după cât timp s-a scurs jumătate" apar două rădăcini; una dintre ele cade de obicei în afara intervalului pe care modelul e valabil și se respinge, cu justificare scrisă.

Aplică acasă

1. Robinetul și cronometrul. Deschide un robinet la un debit constant, umple un vas gradat și măsoară timpul: obții debitul în litri pe minut. Apoi repetă deschizând robinetul treptat, în zece secunde, și estimează debitul din cinci în cinci secunde. Desenează punctele pe hârtie milimetrică, unește-le și estimează volumul ca arie de sub curbă. Compară cu volumul măsurat efectiv în vas.

2. Factura reală. Caută pe eticheta unui aparat din casă puterea în wați și estimează câte ore funcționează pe zi. Calculează energia lunară în kilowatt-ore și înmulțește cu prețul de pe ultima factură. Apoi refă socoteala presupunând că puterea nu e constantă, ci scade liniar la jumătate pe durata funcționării, și compară cele două sume.

3. Chiuveta care se golește. Umple chiuveta, scoate dopul și măsoară din zece în zece secunde cât a coborât nivelul apei. Vei observa că scăderea încetinește. Verifică dacă un model de forma $Q(t)=a-bt$ se potrivește cu datele tale și, dacă da, calculează cu integrala momentul la care s-a scurs jumătate din apă, apoi compară cu ce ai cronometrat.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă ultimele două exemple de modelare cerute expres de programă la competența XII.CS.6.6: „determinarea volumului de lichid evacuat într-un interval de timp printr-o conductă cu debitul $Q$" și „modelarea energiei consumate într-un interval de timp de un aparat electric având puterea instantanee $P(t)=5\sin t$". Ambele sunt reluate cu integrala definită după ce fuseseră întâlnite cu primitive; câștigul, subliniat explicit, este că integrala definită răspunde la întrebarea „cât s-a acumulat" fără să mai ceară valoarea inițială.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a celor două formule și identificarea funcției-rată; (2) disciplina unităților, inclusiv trecerea între jouli și kilowatt-ore; (3) calculul debitului mediu ca valoare medie a funcției; (4) rezolvarea ecuațiilor de tip „după cât timp", cu respingerea motivată a soluțiilor din afara intervalului; (5) precizarea, într-o propoziție, că formula dată e un model valabil pe un anumit interval.

Întrebări bune de control: „Ce mărime se integrează și în ce unitate?", „De ce nu mai trebuie constanta de integrare?", „Ce înseamnă debitul mediu și cum îl calculezi?", „Câți jouli are un kilowatt-oră?". La BAC M1, astfel de cerințe apar ca subpuncte de modelare la Subiectul al III-lea, aproape întotdeauna însoțite de o cerință de valoare medie. Semn că elevul a înțeles: scrie unitatea la fiecare rezultat, fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Cum se calculează volumul de lichid dintr-un debit variabil? Se integrează debitul după timp: $V={\int }_{t_1}^{t_2}Q(t)dt$, unde $Q$ este debitul, iar $t_1$ și $t_2$ sunt momentele de început și de sfârșit. Dacă debitul e în litri pe minut și timpul în minute, volumul iese în litri. Pentru debit constant, formula se reduce la înmulțirea obișnuită.

Ce este debitul mediu și cum se află? Debitul mediu este debitul constant care ar fi dat același volum în același timp, adică $Q_{\text{med}}=\frac{V}{t_2-t_1}$. Este valoarea medie a funcției $Q$ pe interval, iar teorema de medie garantează că debitul real a fost egal cu ea cel puțin într-un moment, găsit rezolvând ecuația $Q(c)=Q_{\text{med}}$.

De ce nu mai apare constanta de integrare? Pentru că integrala definită este o diferență de valori ale primitivei, $F(t_2)-F(t_1)$, iar constanta se simplifică. Ea era necesară când căutam funcția $V(t)$ însăși, deci și conținutul inițial al rezervorului; când se cere doar cantitatea acumulată între două momente, valoarea inițială nu contează.

Care este formula energiei consumate de un aparat electric? Este $E={\int }_{t_1}^{t_2}P(t)dt$, unde $P$ este puterea instantanee. Cu puterea în wați și timpul în secunde, energia iese în jouli; cu puterea în kilowați și timpul în ore, iese direct în kilowatt-ore, unitatea folosită pe facturile de curent electric.

Câți jouli are un kilowatt-oră? Un kilowatt-oră este energia consumată de un aparat de $1000$ de wați într-o oră, adică $1000\cdot 3600=3,6\cdot 10^6$ jouli, ori $3,6$ megajouli. De aceea facturile folosesc kilowatt-ora: în jouli, consumul lunar al unei case ar avea nouă cifre.

De ce se spune că $Q(t)=2t+3$ este doar un model? Pentru că nicio conductă reală nu are un debit care crește la nesfârșit după o formulă simplă. Modelul descrie fenomenul bine pe un interval de timp limitat, precizat în enunț, și încetează să fie valabil când rezervorul se umple sau robinetul se închide. O problemă bine formulată spune întotdeauna pe ce interval lucrează.

Se poate afla momentul la care s-a acumulat o cantitate dată? Da. Se scrie ecuația ${\int }_{t_1}^{T}Q(t)dt=V_0$, cu $T$ necunoscut, se calculează integrala și se rezolvă ecuația obținută. Se păstrează numai soluțiile din intervalul pe care modelul e valabil, iar celelalte se resping cu justificare scrisă.

În ce unitate de măsură iese rezultatul unei integrale din fizică? Unitatea rezultatului este produsul dintre unitatea funcției de sub integrală și unitatea variabilei de integrare. Dacă debitul se măsoară în litri pe minut, iar timpul în minute, integrala dă litri; dacă puterea e în wați, iar timpul în secunde, integrala dă jouli. De aceea unitățile se transformă înainte de calcul, nu după, iar rezultatul se scrie întotdeauna cu unitatea lui.