Definiția derivatei într-un punct: pe scurt

Derivata s-a născut din două întrebări care păreau fără legătură: care este panta tangentei la o curbă într-un punct și care este viteza unui mobil într-o clipă. Amândouă cer același lucru — limita unui raport în care și numărătorul, și numitorul tind la zero.

Fixează pe graficul lui $f$ punctul $M_0(x_0,f(x_0))$ și mai ia un punct $M(x,f(x))$, cu $x\ne x_0$. Panta secantei $M_{0}M$ este raportul de diferențe $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; pentru $f(x)=x^2$ și $x_0=1$, secanta dusă până la abscisa $2$ are panta $3$. Când $M$ alunecă spre $M_0$, secantele se rotesc, iar poziția lor limită este tangenta.

Definiție. $f$ are derivată în $x_0$ dacă există limita $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\in \overline{\mathbb{R}};$$ $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă, în plus, această limită este finită. Distincția nu e pedanterie: $\sqrt[3]{x}$ are $f^{\prime }(0)=+\infty$, deci are derivată, dar nu este derivabilă în $0$.

Calculul din definiție are trei pași: scrii $f(x_0)$, prelucrezi algebric raportul până dispare nedeterminarea $\frac{0}{0}$ (factorizare, numitor comun, amplificare cu conjugata), treci la limită. Numărul obținut are două citiri: panta tangentei în $(x_0,f(x_0))$ și rata instantanee de variație — viteză, debit, cost marginal.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$. Valoarea limitei $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ este:

   • a) $3$
   • b) $4$
   • c) $5$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $5$

   Întâi valoarea: $f(2)=4+2=6$. Raportul devine $\frac{x^2+x-6}{x-2}=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3$, deci limita este $5$. Varianta $6$ este chiar $f(2)$, nu derivata; varianta $4$ apare dacă pierzi termenul $x$ și derivezi doar $x^2$.

2. Despre o funcție $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ se știe că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=-\infty$. Care afirmație este corectă?

   • a) $g$ are derivată în $0$, dar nu este derivabilă în $0$
   • b) $g$ este derivabilă în $0$, cu $g^{\prime }(0)=-\infty$
   • c) $g$ nu are derivată în $0$
   • d) tangenta la grafic în punctul $(0,g(0))$ are panta $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $g$ are derivată în $0$, dar nu este derivabilă în $0$

   Limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, deci $g$ are derivată în $0$; nefiind finită, $g$ nu este derivabilă acolo. Tangenta este verticală, iar o dreaptă verticală nu are pantă — nu se spune că panta ar fi infinită.

3. Fie $f:[-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+1}$. Calculată din definiție, valoarea $f^{\prime }(3)$ este:

   • a) $\frac{1}{8}$
   • b) $2$
   • c) $\frac{1}{2}$
   • d) $\frac{1}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{1}{4}$

   $f(3)=\sqrt{4}=2$. Amplificând cu conjugata, $\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}⟶\frac{1}{4}$. Varianta $\frac{1}{2}$ apare dacă uiți termenul $+2$ de la numitor, iar varianta $2$ confundă $f(3)$ cu $f^{\prime }(3)$.