Problema tangentei și definiția derivatei într-un punct

Vitezometrul mașinii arată, în fiecare clipă, un număr. Dar viteza, așa cum ai învățat-o la fizică, este un raport între o distanță și o durată — iar „în fiecare clipă" durata este zero, deci raportul nu se poate scrie. Cu toate acestea, acul indică $70$, nu o eroare. Cineva a rezolvat problema aceasta, iar soluția lui este noțiunea centrală a acestui capitol.

A rezolvat-o, de fapt, împreună cu o a doua problemă, care pare fără nicio legătură: cum se duce tangenta la o curbă oarecare într-un punct al ei? La cerc știi răspunsul din gimnaziu — perpendiculara pe rază. La o parabolă sau la graficul unei funcții logaritmice, nu ai nicio construcție geometrică la îndemână, iar definiția din copilărie („dreapta care atinge curba într-un singur punct") este pur și simplu falsă. Cele două întrebări — viteza într-o clipă și panta într-un punct — au exact același răspuns matematic: limita unui raport în care numărătorul și numitorul tind amândoi la zero. Acel număr se numește derivata funcției în punctul respectiv, iar toată lecția de astăzi îl construiește.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii panta secantei care unește două puncte de pe graficul unei funcții și să urmărești ce se întâmplă cu ea când al doilea punct se apropie de primul.
• Vei ști să enunți definiția derivatei într-un punct ca limită a raportului $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ și să recunoști acest raport într-un enunț de examen.
• Vei ști să faci distincția dintre o funcție care are derivată în $x_0$ și una derivabilă în $x_0$.
• Vei ști să calculezi derivata strict din definiție pentru funcții polinomiale, raționale simple și radicali.
• Vei ști să interpretezi derivata ca rată instantanee de variație (viteză, cost marginal, debit).
• Vei ști să scrii o rezolvare în ordinea cerută de baremele de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, tangenta la o curbă

Definiția pe care o ai din gimnaziu — „dreapta care atinge curba într-un singur punct" — funcționează la cerc și cade imediat în afara lui. Dreapta $y=0$ atinge graficul funcției $f(x)=x^3$ doar în origine, dar îl traversează acolo, deci nu prea seamănă cu o tangentă; în schimb, dreapta $y=1$ taie graficul funcției sinus într-o infinitate de puncte și este tangentă în fiecare dintre ele. Numărul de puncte comune nu spune nimic.

Ideea corectă e alta, și e o idee de trecere la limită. Fixează pe grafic punctul $M_0(x_0,f(x_0))$ și mai alege un punct $M(x,f(x))$, cu $x\ne x_0$. Prin cele două puncte trece o singură dreaptă, numită secantă — un obiect perfect definit, fără niciun mister. Acum plimbă punctul $M$ pe curbă, apropiindu-l de $M_0$. Secantele se rotesc, iar dacă ele se apropie de o poziție-limită, dreapta aceea o numim tangentă la grafic în $M_0$.

2. Panta secantei

O dreaptă se prinde cel mai bine prin panta ei, iar panta secantei se calculează cu formula pe care ai fixat-o la panta unei drepte: raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor celor două puncte. Aici cele două puncte sunt $M_0(x_0,f(x_0))$ și $M(x,f(x))$, deci

$$m_{\text{secanta˘}}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},x\ne x_0.$$

Acest raport este eroul lecției; îi vom spune raportul de diferențe (sau raport incrementar) al funcției $f$ în punctul $x_0$. Merită privit cu atenție, pentru că ascunde exact dificultatea de la care am pornit: numitorul $x-x_0$ nu are voie să fie zero, deci raportul nu se poate calcula chiar în $x_0$; dar întrebarea noastră este tocmai ce se întâmplă acolo. Este situația pentru care ai construit, în toată unitatea precedentă, unealta potrivită: limita unei funcții într-un punct descrie ce se întâmplă în jurul unui punct, fără să se uite la punct.

Să vedem numeric. Pentru $f(x)=x^2$ și $x_0=1$ avem $f(1)=1$, iar raportul devine

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,x\ne 1.$$

Pantele se strâng, din ambele părți, în jurul valorii $2$. Trecerea la limită confirmă: $\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$. Prin urmare tangenta la parabolă în punctul $(1,1)$ are panta $2$. Am obținut, cu mijloace de analiză, un număr pe care geometria elementară nu ni-l putea da.

3. Aceeași limită, pornind de la viteză

Un corp cade liber, iar spațiul parcurs după $t$ secunde este, cu aproximația uzuală $g\approx 10{\text{m/s}}^2$, dat de $s(t)=5t^2$ (în metri). Care este viteza lui exact la momentul $t_0=2$?

Viteza medie pe intervalul de la $2$ la $2+\Delta t$ se calculează ușor:

$$v_{\text{medie}}=\frac{s(2+\Delta t)-s(2)}{\Delta t}=\frac{5(2+\Delta t{)}^2-20}{\Delta t}=\frac{20\Delta t+5(\Delta t{)}^2}{\Delta t}=20+5\Delta t.$$

Pentru $\Delta t=1$ obținem $25$ m/s, pentru $\Delta t=0,1$ obținem $20,5$ m/s, pentru $\Delta t=0,01$ obținem $20,05$ m/s. Vitezele medii se strâng spre $20$ m/s, iar acesta este numărul pe care îl numim viteză instantanee la momentul $t_0=2$.

Compară cele două calcule. La tangentă am împărțit o diferență de ordonate la o diferență de abscise; aici am împărțit o diferență de spații la o diferență de timpi. Structura este identică: variația funcției raportată la variația argumentului, urmată de o trecere la limită când variația argumentului tinde la zero. Geometria și fizica pun aceeași întrebare în două limbaje, iar matematica dă un singur răspuns pentru amândouă.

Merită observat și de ce întrebarea este grea. Viteza medie se poate măsura: ai nevoie doar de un cronometru și de o riglă. Viteza instantanee nu se poate măsura direct, pentru că într-o clipă nu se parcurge nicio distanță; ea se poate doar calcula, ca limită a unor mărimi măsurabile. La fel, panta unei secante se poate obține cu rigla de pe un desen, în timp ce panta tangentei cere o trecere la limită. Analiza matematică se ocupă tocmai de asemenea mărimi: cele care nu există la un moment dat, dar apar ca limită a unor mărimi care există.

4. Definiția derivatei într-un punct

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ un punct de acumulare al lui $D$. Spunem că $f$ are derivată în $x_0$ dacă există limita $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\in \overline{\mathbb{R}},$$ *iar această limită se notează $f^{\prime }(x_0)$ și se numește derivata funcției $f$ în punctul $x_0$. Dacă, în plus, $f^{\prime }(x_0)$ este finită, spunem că $f$ este derivabilă în $x_0$.*

Trei precizări, fiecare corespunzând unei greșeli clasice.

1. $f^{\prime }(x_0)$ este un număr, nu o funcție. Se referă la o funcție și la un punct, exact ca și continuitatea. Funcția $f^{\prime }$, obținută adunând la un loc derivatele din toate punctele, apare abia în lecția următoare.
2. Condiția $x_0\in D$ este obligatorie, pentru că altfel $f(x_0)$ nici nu se poate scrie. Spre deosebire de limită, care se poate cere și în puncte din afara domeniului, derivata se cere numai în puncte ale domeniului care sunt și puncte de acumulare pentru el (punct de acumulare și punct izolat).
3. „Are derivată" și „este derivabilă" nu sunt sinonime. Prima permite valorile $+\infty$ și $-\infty$; a doua le exclude. Distincția pare pedantă acum, dar în §7 vei vedea o funcție care are derivată în origine fără să fie derivabilă acolo, iar la Bacalaureat M1 formularea din enunț decide răspunsul.

Observație (o singură dată, ca formă echivalentă). Notând $x=x_0+h$, condiția $x\to x_0$ devine $h\to 0$, iar definiția se rescrie $$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$ Cele două forme spun același lucru; noi o folosim, în această lecție și în toate cele care urmează, pe prima, pentru că ea apare în subiectele de Bacalaureat M1 și pentru că simplificările algebrice ies mai curate cu ea. Forma cu $h$ o vei mai întâlni doar acolo unde scurtează vizibil calculul.

Cu definiția scrisă, cele două probleme de la început primesc răspuns într-o singură propoziție: panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul $(x_0,f(x_0))$ este $f^{\prime }(x_0)$, iar viteza instantanee la momentul $t_0$ este $s^{\prime }(t_0)$. Ecuația propriu-zisă a tangentei și tot ce se poate face cu ea se studiază în interpretarea geometrică a derivatei; aici ne oprim la faptul că panta există și se calculează.

5. Rețeta de calcul din definiție, în trei pași

Orice derivată calculată din definiție trece prin aceiași trei pași, în această ordine:

1. scrii valoarea $f(x_0)$ și formezi raportul $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$;
2. prelucrezi algebric raportul, ca să dispară nedeterminarea $\frac{0}{0}$ — prin factorizare și simplificare la funcțiile polinomiale, prin aducere la același numitor la cele raționale, prin amplificare cu conjugata la radicali;
3. calculezi limita expresiei rămase și tragi concluzia: dacă limita e finită, $f$ e derivabilă în $x_0$ și $f^{\prime }(x_0)$ este acea valoare.

Pasul 2 este singurul care cere idei, și sunt exact ideile din unitatea de limite: nedeterminarea $\frac{0}{0}$ nu se rezolvă niciodată prin înlocuire directă, ci prin transformarea expresiei (operații cu limite de funcții). De altfel, raportul de diferențe produce întotdeauna nedeterminarea $\frac{0}{0}$ atunci când funcția e continuă în $x_0$ — numitorul tinde la zero din construcție, iar numărătorul tinde la zero pentru că $f(x)\to f(x_0)$.

6. Primele derivate, calculate din definiție

Le calculăm pe cele mai simple, ca să vezi mecanismul funcționând, nu ca să memorezi o listă. Lista sistematică vine în lecția derivatele funcțiilor uzuale; până acolo, fiecare derivată se obține din definiție.

Funcția constantă, $f(x)=c$. Raportul este $\frac{c-c}{x-x_0}=0$ pentru orice $x\ne x_0$, deci limita lui este $0$: o funcție constantă are derivata nulă în orice punct.

Funcția identică, $f(x)=x$. Raportul este $\frac{x-x_0}{x-x_0}=1$, deci $f^{\prime }(x_0)=1$ oriunde. Grafic: tangenta la o dreaptă este dreapta însăși, iar panta ei este $1$.

Funcția de gradul al doilea, $f(x)=x^2$, într-un punct oarecare $x_0$: $$\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=x+x_0⟶2x_0.$$ Deci $f^{\prime }(x_0)=2x_0$ pentru orice $x_0$ real. În $x_0=1$ regăsim panta $2$ obținută numeric în §2.

Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ în $x_0=3$. Avem $f(3)=\frac{1}{3}$ și $$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}=\frac{\frac{3-x}{3x}}{x-3}=\frac{-(x-3)}{3x(x-3)}=-\frac{1}{3x}⟶-\frac{1}{9}.$$

Funcția radical, $f(x)=\sqrt{x}$, în $x_0=4$. Aici se amplifică cu conjugata: $$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}⟶\frac{1}{4}.$$

Observă că, în toate cazurile, factorul $x-x_0$ de la numitor s-a simplificat cu unul identic apărut la numărător. Nu e o coincidență: el este chiar motivul pentru care limita există.

7. Când derivata este infinită

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, funcție pe care ai studiat-o la funcția radical de ordinul 3, și fie $x_0=0$. Cum $f(0)=0$, raportul de diferențe este

$$\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{\sqrt[3]{x}}{(\sqrt[3]{x}{)}^3}=\frac{1}{(\sqrt[3]{x}{)}^2}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$$

Numitorul este strict pozitiv pentru orice $x\ne 0$ și tinde la zero, deci raportul tinde la $+\infty$ din ambele părți. Prin urmare $f$ are derivată în $0$, anume $f^{\prime }(0)=+\infty$, dar nu este derivabilă în $0$, pentru că limita nu e finită. Geometric, secantele se apropie de o poziție-limită verticală: tangenta există, dar este verticală, iar dreptele verticale nu au pantă (așa cum ai fixat la ecuația generală a dreptei).

Control numeric. Pentru $x=10^{-6}$ raportul valorează $10^4$; pentru $x=10^{-8}$ valorează $\approx 2,15\cdot 10^5$ — valorile cresc peste orice prag, de o parte și de alta a originii.

Reține tiparul: derivata infinită nu e o eroare de calcul, ci un răspuns. Ea spune că funcția variază „infinit de repede" în acel punct, iar graficul are acolo o tangentă verticală. Situațiile în care cele două părți dau rezultate diferite fac obiectul lecției derivate laterale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la secantă la tangentă

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. Calculați panta secantei care unește punctele graficului de abscise $1$ și $3$, apoi panta tangentei în punctul de abscisă $1$.

Rezolvare. Punctele sunt $(1,1)$ și $(3,9)$, deci panta secantei este $$\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4.$$ Pentru tangentă trecem la limită în raportul de diferențe: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2.$$ Panta tangentei în $(1,1)$ este $f^{\prime }(1)=2$. Se vede și numeric: secanta dusă până la abscisa $3$ are panta $4$, dar pe măsură ce al doilea punct coboară spre $1$, panta scade spre $2$.

Exemplul 2 — O funcție polinomială

Calculați, din definiție, $f^{\prime }(1)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-2x$.

Rezolvare. Valoarea: $f(1)=1-2=-1$.

Raportul: $$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^3-2x+1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x-1)}{x-1}=x^2+x-1.$$

Limita: $\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+x-1)=1+1-1=1$, valoare finită, deci $f$ este derivabilă în $1$ și $f^{\prime }(1)=1$.

Verificare numerică: raportul calculat în $x=1\pm 10^{-6}$ dă $1,000003$, respectiv $0,999997$. ✓

Exemplul 3 — O funcție rațională

Calculați, din definiție, derivata funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+1}$, în punctul $x_0=1$.

Rezolvare. $f(1)=\frac{1}{2}$, iar $$\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}}{x-1}=\frac{\frac{2-(x+1)}{2(x+1)}}{x-1}=\frac{1-x}{2(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{2(x+1)}.$$ Trecând la limită, $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{2\cdot 2}=-\frac{1}{4}$. Derivata este negativă, ceea ce se potrivește cu faptul că funcția scade în jurul lui $1$.

Exemplul 4 — Un radical

Arătați că $f:\left[-\frac{1}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2x+1}$, este derivabilă în $x_0=4$ și calculați $f^{\prime }(4)$.

Rezolvare. $f(4)=\sqrt{9}=3$. Amplificăm cu conjugata: $$\frac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4}=\frac{(2x+1)-9}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}=\frac{2(x-4)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}=\frac{2}{\sqrt{2x+1}+3}.$$ Limita când $x\to 4$ este $\frac{2}{3+3}=\frac{1}{3}$, valoare finită, deci $f$ este derivabilă în $4$ și $f^{\prime }(4)=\frac{1}{3}$.

Exemplul 5 — Viteza instantanee

Un mobil se deplasează rectiliniu, iar spațiul parcurs (în metri) după $t$ secunde este $s(t)=t^2+4t$. Determinați viteza instantanee la momentul $t_0=3$.

Rezolvare. $s(3)=9+12=21$ metri. Viteza medie pe intervalul dintre $3$ și $t$ este $$\frac{s(t)-s(3)}{t-3}=\frac{t^2+4t-21}{t-3}=\frac{(t-3)(t+7)}{t-3}=t+7.$$ Trecând la limită pentru $t\to 3$, obținem $s^{\prime }(3)=10$. Viteza instantanee la momentul $t_0=3$ este de $10$ m/s.

Interpretarea merită subliniată: raportul $\frac{s(t)-s(3)}{t-3}$ este viteza medie, adică o mărime măsurabilă cu un cronometru; derivata este viteza instantanee, adică ceea ce arată vitezometrul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$. a) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$. b) Arătați că $f$ este derivabilă în $x_0=2$ și precizați $f^{\prime }(2)$.

Rezolvare.

a) Mai întâi valoarea: $f(2)=4-6+2=0$. Raportul devine $$\frac{x^2-3x+2-0}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1,$$ deci limita cerută este $\underset{x\to 2}{\lim }(x-1)=1$.

b) Limita de la punctul a) este exact limita din definiția derivatei în $x_0=2$. Ea există și este finită, prin urmare $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=1$.

Observație de barem: la punctul b) nu se acordă punctaj pentru simpla reluare a rezultatului; trebuie numită definiția și verificată explicit condiția „limită finită". Este exact tiparul în care apare derivata în prima parte a subiectelor de Bacalaureat M1.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi $f(x_0)$, apoi raportul de diferențe, apoi limita — în această ordine.

1. Calculează panta secantei care unește punctele de abscise $1$ și $4$ de pe graficul funcției $f(x)=x^2$.

2. Calculează din definiție $f^{\prime }(3)$ pentru $f(x)=x^2$.

3. Calculează din definiție $f^{\prime }(2)$ pentru $f(x)=3x-5$.

4. Calculează din definiție $f^{\prime }(1)$ pentru $f(x)=x^2-x$.

5. Calculează din definiție $f^{\prime }(2)$ pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$.

6. Calculează din definiție $f^{\prime }(9)$ pentru $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

7. Calculează din definiție $f^{\prime }(-1)$ pentru $f(x)=x^3$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Derivata unei funcții într-un punct este tot o funcție."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă limita raportului de diferențe este $+\infty$, atunci funcția este derivabilă în acel punct."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Raportul $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ se poate calcula și pentru $x=x_0$."

11. Folosind forma cu increment, calculează $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ pentru $f(x)=x^2+2x$.

12. Un mobil are legea de mișcare $s(t)=2t^2+t$ (metri, secunde). Determină viteza instantanee la $t_0=2$.

13. (Problemă aplicată.) Costul total de producție a $x$ unități dintr-un produs este $C(x)=x^2+10x$ lei. Calculează $C^{\prime }(20)$ și explică în cuvinte ce înseamnă rezultatul.

14. Arată că $f(x)=\sqrt[3]{x}$ are derivată în $x_0=0$, dar nu este derivabilă acolo.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$. Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$.

16. Calculează din definiție $f^{\prime }(1)$ pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2}$.

17. Calculează din definiție $f^{\prime }(1)$ pentru $f:[-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+3}$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Arată că $f$ este derivabilă în $0$ și că $f^{\prime }(0)=0$.

Răspunsuri și explicații

1. Punctele sunt $(1,1)$ și $(4,16)$, deci panta este $\frac{16-1}{4-1}=\frac{15}{3}=5$.

2. $f(3)=9$; raportul $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\to 6$. Deci $f^{\prime }(3)=6$.

3. $f(2)=1$; raportul $\frac{3x-5-1}{x-2}=\frac{3(x-2)}{x-2}=3$, constant, deci $f^{\prime }(2)=3$. La orice funcție de gradul întâi derivata este chiar panta dreptei.

4. $f(1)=0$; raportul $\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x\to 1$. Deci $f^{\prime }(1)=1$.

5. $f(2)=\frac{1}{2}$; raportul $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}=\frac{2-x}{2x(x-2)}=-\frac{1}{2x}\to -\frac{1}{4}$. Deci $f^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}$.

6. $f(9)=3$; amplificând cu conjugata, $\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=\frac{1}{\sqrt{x}+3}\to \frac{1}{6}$. Deci $f^{\prime }(9)=\frac{1}{6}$.

7. $f(-1)=-1$; raportul $\frac{x^3+1}{x+1}=\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}=x^2-x+1\to 3$. Deci $f^{\prime }(-1)=3$.

8. Fals. $f^{\prime }(x_0)$ este un număr real (sau $\pm \infty$), obținut prin trecere la limită într-un punct fixat. Funcția $f^{\prime }$, definită pe mulțimea punctelor în care $f$ e derivabilă, este un obiect diferit și se introduce în lecția următoare.

9. Fals. În acest caz funcția are derivată în punct, dar nu este derivabilă: derivabilitatea cere limita finită. Exemplul-etalon este $\sqrt[3]{x}$ în $0$.

10. Fals. Pentru $x=x_0$ numitorul se anulează, deci raportul nu are sens. Tocmai de aceea în definiție apare o limită: ea descrie comportarea raportului în jurul lui $x_0$, nu în $x_0$.

11. $f(1)=3$, iar $\frac{(1+h{)}^2+2(1+h)-3}{h}=\frac{h^2+4h}{h}=h+4\to 4$. Deci $f^{\prime }(1)=4$.

12. $s(2)=10$; raportul $\frac{2t^2+t-10}{t-2}=\frac{(t-2)(2t+5)}{t-2}=2t+5\to 9$. Viteza instantanee este $9$ m/s.

13. $C(20)=400+200=600$; raportul $\frac{x^2+10x-600}{x-20}=\frac{(x-20)(x+30)}{x-20}=x+30\to 50$. Deci $C^{\prime }(20)=50$ lei pe unitate: la un nivel de producție de $20$ de unități, fiecare unitate suplimentară costă, la limită, aproximativ $50$ de lei. În economie, numărul acesta se numește cost marginal.

14. $f(0)=0$ și $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$. Numitorul este pozitiv și tinde la $0$, deci raportul tinde la $+\infty$ din ambele părți. Așadar $f^{\prime }(0)=+\infty$: derivata există, dar nu e finită, deci $f$ nu e derivabilă în $0$.

15. $f(3)=9-12+3=0$; raportul $\frac{x^2-4x+3}{x-3}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}=x-1\to 2$. Limita cerută este $2$ (adică $f^{\prime }(3)=2$).

16. $f(1)=1$; raportul $\frac{\frac{1}{x^2}-1}{x-1}=\frac{1-x^2}{x^2(x-1)}=-\frac{x+1}{x^2}\to -2$. Deci $f^{\prime }(1)=-2$.

17. $f(1)=2$; amplificând cu conjugata, $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to \frac{1}{4}$. Deci $f^{\prime }(1)=\frac{1}{4}$.

18. $f(0)=0$, deci raportul este $\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{x}=x\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$. Fie $(x_n)$ un șir oarecare cu $x_n\ne 0$ și $x_n\to 0$. Cum $\left|\sin \frac{1}{x_n}\right|\le 1$, avem $0\le \left|x_n\sin \frac{1}{x_n}\right|\le |x_n|\to 0$, iar criteriul cleștelui dă $x_n\sin \frac{1}{x_n}\to 0$. Șirul fiind arbitrar, limita raportului este $0$, deci $f^{\prime }(0)=0$ — deși funcția oscilează de o infinitate de ori în orice vecinătate a originii.

De reținut

• Definiția: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; raportul de sub limită se numește raport de diferențe și este panta secantei prin punctele de abscise $x_0$ și $x$.
• Are derivată înseamnă că limita există în $\overline{\mathbb{R}}$; este derivabilă înseamnă, în plus, că limita este finită. Cele două formulări nu se confundă niciodată.
• Cele trei pași ai calculului din definiție: valoarea $f(x_0)$, prelucrarea algebrică a raportului (factorizare, aducere la același numitor, conjugată), trecerea la limită.
• Raportul de diferențe produce mereu nedeterminarea $\frac{0}{0}$ la funcțiile continue: numitorul se simplifică întotdeauna cu un factor $x-x_0$ apărut la numărător.
• Două interpretări, un singur număr: $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la grafic în $(x_0,f(x_0))$ și, în același timp, rata instantanee de variație a mărimii descrise de $f$.

Greșeli frecvente

• Înlocuiești direct $x=x_0$ în raport. Rezultatul ar fi $\frac{0}{0}$, care nu este un număr. Raportul trebuie prelucrat până când factorul $x-x_0$ se simplifică, și abia apoi se trece la limită.
• Confunzi „are derivată" cu „este derivabilă". La $\sqrt[3]{x}$ în $0$, derivata există și este $+\infty$, dar funcția nu e derivabilă. Un enunț care cere derivabilitatea și primește răspunsul „$f^{\prime }(0)=+\infty$, deci este derivabilă" se depunctează integral.
• Uiți să calculezi $f(x_0)$ separat. La funcțiile date printr-o singură formulă pare un amănunt, dar rezolvarea începe cu acest număr; fără el, numărătorul raportului e scris greșit și tot calculul se prăbușește.
• Scrii $f^{\prime }(x)$ în loc de $f^{\prime }(x_0)$ în timpul calculului. Pe durata trecerii la limită, $x_0$ e fixat, iar $x$ e variabila care se mișcă. Amestecul celor două notații duce la „simplificări" imposibile, de tipul $\frac{x-x_0}{x-x_0}=0$.
• Crezi că tangenta atinge graficul într-un singur punct. Tangenta este poziția-limită a secantelor, nu dreapta cu un singur punct comun: la $f(x)=x^3$ în origine, tangenta traversează curba, iar la funcția sinus o atinge de o infinitate de ori.

Aplică acasă

1. Vitezometrul de acasă. Cronometrează-te urcând scările blocului și notează, din trei în trei trepte, timpul scurs. Calculează vitezele medii pe intervale tot mai scurte din jurul unei trepte alese și observă spre ce număr se strâng. Ai reprodus, cu un cronometru, exact trecerea de la viteza medie la cea instantanee din §3.

2. Secantele desenate. Pe hârtie milimetrică, trasează graficul funcției $f(x)=x^2$ pentru $x\in [-1,3]$ și fixează punctul de abscisă $1$. Duce secantele către punctele de abscise $3$, $2$, $1,5$ și $1,2$, măsoară-le pantele cu rigla și compară-le cu valorile $4$, $3$, $2,5$ și $2,2$ date de formula $x+1$.

3. Costul marginal din supermarket. Alege un produs vândut la mai multe gramaje și scrie prețul ca funcție de cantitate. Calculează raportul de diferențe între două gramaje apropiate și interpretează-l: cât costă, la margine, o sută de grame în plus? Compară rezultatul cu prețul pe kilogram afișat la raft.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de derivate și este, ca și prima lecție despre limite, o lecție de construcție a noțiunii, nu de tehnică de calcul. Ea are un singur mesaj: derivata nu este o formulă memorată, ci limita unui raport care măsoară variația. Elevii care sar peste această etapă și învață direct tabelul derivatelor rezolvă corect exercițiile de rutină, dar se blochează la orice subiect care cere derivabilitatea într-un punct de racord — adică exact la subiectele de Bacalaureat M1 din partea a doua.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a raportului de diferențe, cu $f(x_0)$ calculat separat; (2) prelucrarea algebrică potrivită tipului de funcție (factorizare, numitor comun, conjugată); (3) distincția dintre „are derivată" și „este derivabilă"; (4) capacitatea de a recunoaște raportul de diferențe într-un enunț care nu pronunță cuvântul „derivată". Întrebări bune de control: „Ce reprezintă geometric raportul $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$?", „De ce nu putem înlocui direct $x$ cu $x_0$?", „Ce înseamnă că derivata este $+\infty$?", „Cine e fix și cine se mișcă în această limită?".

La BAC M1, tiparul cel mai frecvent este exact cel din Exemplul 6: se cere limita unui raport care este, de fapt, o derivată din definiție. Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea scriind valoarea funcției în punct, numește nedeterminarea $\frac{0}{0}$ înainte de a o rezolva și nu confundă panta secantei cu panta tangentei. Continuarea firească este lecția derivate laterale, unde raportul se studiază separat pe fiecare parte a punctului.

Întrebări frecvente

Ce este derivata unei funcții într-un punct? Este limita raportului $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ când $x\to x_0$, notată $f^{\prime }(x_0)$. Geometric, este panta tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0$; fizic, este rata instantanee de variație a mărimii descrise de funcție.

Care este diferența dintre „are derivată" și „este derivabilă"? „Are derivată în $x_0$" înseamnă că limita din definiție există în $\overline{\mathbb{R}}$, deci poate fi și $+\infty$ sau $-\infty$. „Este derivabilă în $x_0$" cere în plus ca limita să fie finită. Funcția $\sqrt[3]{x}$ are derivată în $0$, dar nu este derivabilă acolo.

De ce se numește tangenta poziția-limită a secantelor? Pentru că definiția din gimnaziu, „dreapta care atinge curba într-un singur punct", nu funcționează la curbe oarecare. Secanta prin două puncte ale graficului este mereu bine definită; când al doilea punct se apropie de primul, secantele se rotesc către o dreaptă-limită, iar aceea este tangenta.

Cum se calculează derivata din definiție? În trei pași: scrii $f(x_0)$ și formezi raportul de diferențe; prelucrezi algebric raportul până dispare nedeterminarea $\frac{0}{0}$ (factorizare la polinoame, numitor comun la funcții raționale, amplificare cu conjugata la radicali); calculezi limita expresiei rămase.

De ce apare mereu nedeterminarea $\frac{0}{0}$? Pentru că numitorul $x-x_0$ tinde la zero din construcție, iar la o funcție continuă și numărătorul $f(x)-f(x_0)$ tinde la zero. Prelucrarea algebrică scoate la iveală factorul comun $x-x_0$, care se simplifică și lasă o expresie cu limită calculabilă.

Ce înseamnă că derivata unei funcții este infinită într-un punct? Că raportul de diferențe crește peste orice prag, deci graficul are în acel punct o tangentă verticală. Funcția are derivată, dar nu este derivabilă, pentru că dreptele verticale nu au pantă.

La ce folosește derivata în afara matematicii? Este rata instantanee de variație: viteza este derivata spațiului în raport cu timpul, accelerația este derivata vitezei, costul marginal este derivata costului total, iar debitul instantaneu este derivata volumului. Toate răspund la aceeași întrebare: cât de repede se schimbă o mărime chiar acum?

Ce se cere la Bacalaureat M1 din această lecție? Cel mai des, calculul unei limite de forma $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ pentru o funcție polinomială sau rațională simplă, urmat de recunoașterea faptului că rezultatul este $f^{\prime }(x_0)$. Se cere și justificarea derivabilității, adică precizarea explicită că limita obținută este finită.