Derivabilitate și continuitate: pe scurt

Între cele două proprietăți locale ale unei funcții există o legătură, dar ea merge într-un singur sens.

Teoremă. Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$. Demonstrația încape în trei rânduri: pentru $x\ne x_0$ scriem $$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0);$$ trecând la limită, primul factor tinde la $f^{\prime }(x_0)$, număr finit, iar al doilea la $0$, deci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Finitudinea a fost folosită: cu o derivată infinită am avea nedeterminarea $0\cdot \infty$.

Forma de lucru este contrapoziția: dacă $f$ nu este continuă în $x_0$, atunci nu este derivabilă în $x_0$. La orice funcție pe ramuri se verifică deci întâi continuitatea; dacă ea cade, discuția s-a încheiat. Mecanismul e limpede: într-un punct de discontinuitate numitorul raportului tinde la zero, iar numărătorul, nu — raportul explodează.

Reciproca este falsă: $f(x)=|x|$ este continuă în $0$, dar are derivatele laterale $-1$ și $1$. Derivabilitatea este strict mai tare decât continuitatea.

De aici tiparul de la Bacalaureat M1: la o funcție pe ramuri cu parametri se scriu două ecuații — una din continuitate, cealaltă din egalitatea derivatelor laterale —, exact în această ordine.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3,& x<2\\ x^2,& x\ge 2\end{array}$. Atunci:

   • a) $f$ nu este continuă în $2$, deci nu este derivabilă în $2$
   • b) $f$ este continuă în $2$, dar nu este derivabilă în $2$
   • c) $f$ este derivabilă în $2$, cu $f^{\prime }(2)=4$
   • d) $f$ nu este continuă în $2$, dar este derivabilă în $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f$ nu este continuă în $2$, deci nu este derivabilă în $2$

   $f(2)=4$, iar limita la stânga este $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(x+3)=5\ne 4$: funcția nu este continuă în $2$. Prin contrapoziția teoremei, ea nu poate fi derivabilă acolo, deci calculul derivatelor laterale nici nu mai este necesar.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b,& x\le 3\\ 8x-11,& x>3\end{array}$, este derivabilă în $x_0=3$ pentru:

   • a) $a=2$, $b=2$
   • b) $a=8$, $b=-20$
   • c) $a=2$, $b=-2$
   • d) $a=6$, $b=-14$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a=2$, $b=-2$

   Continuitate: $9+3a+b=24-11=13$, adică $3a+b=4$. Derivabilitate: numărătorul din stânga devine $(x-3)(x+3+a)$, deci $f_s^{\prime }(3)=6+a$, iar $f_d^{\prime }(3)=8$; din $6+a=8$ rezultă $a=2$, apoi $b=-2$. Variantele $a=8$ și $a=6$ respectă doar continuitatea, iar prima nici pe aceasta.

3. Care dintre următoarele afirmații este FALSĂ?

   • a) orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct
   • b) orice funcție continuă într-un punct este derivabilă în acel punct
   • c) dacă $f$ nu este continuă în $x_0$, atunci $f$ nu este derivabilă în $x_0$
   • d) funcția $f(x)=|x|$ este continuă în $0$, dar nu este derivabilă în $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) orice funcție continuă într-un punct este derivabilă în acel punct

   Este exact reciproca teoremei, iar ea este falsă: contraexemplul este chiar funcția din ultima variantă. Celelalte trei afirmații sunt teorema, contrapoziția ei și contraexemplul standard.