Legătura dintre derivabilitate și continuitate

Ai construit, în ultimele două lecții, o proprietate nouă: derivabilitatea într-un punct. Ai avut deja, de câteva săptămâni, o alta: continuitatea. Amândouă sunt locale, amândouă se afirmă despre o funcție și un punct, amândouă se verifică prin limite. Întrebarea firească este dacă între ele există vreo legătură — și, dacă da, în ce direcție merge.

Răspunsul e una dintre cele mai folositoare teoreme ale anului, tocmai pentru că nu este simetrică. O funcție derivabilă într-un punct este obligatoriu continuă acolo; o funcție continuă într-un punct poate foarte bine să nu fie derivabilă. Derivabilitatea este, așadar, o cerință mai tare decât continuitatea. Din această asimetrie ies două lucruri practice: o metodă de verificare rapidă (dacă funcția nu e continuă, nici nu mai calculezi derivate) și tiparul complet de rezolvare a problemelor cu parametri de la Bacalaureat M1, în care continuitatea dă prima ecuație, iar derivabilitatea pe a doua.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema: dacă $f$ e derivabilă în $x_0$, atunci $f$ e continuă în $x_0$.
• Vei ști să folosești contrapoziția ca unealtă de lucru: o funcție discontinuă într-un punct nu poate fi derivabilă acolo.
• Vei ști de ce reciproca este falsă și vei putea da contraexemplul standard, funcția modul.
• Vei ști ce se întâmplă cu raportul de diferențe atunci când funcția nu este continuă în punct.
• Vei ști să determini parametri astfel încât o funcție pe ramuri să fie derivabilă într-un punct, scriind sistemul complet.
• Vei ști să așezi corect cele trei proprietăți — are limită, este continuă, este derivabilă — una față de alta.

Hai să descoperim împreună

1. Ce moștenește o funcție derivabilă

Pornim de la o observație vizuală. Ai văzut, în lecția precedentă, ce fel de puncte strică derivabilitatea: colțurile, ca la funcția modul, și punctele cu semitangente verticale, ca la $\sqrt{|x|}$. În toate aceste exemple graficul era, totuși, nesparte — curba trecea fără să sară.

Nu e o coincidență. Existența unei derivate finite înseamnă că secantele se apropie de o poziție-limită oblică sau orizontală, iar pentru asta punctul mobil $M(x,f(x))$ trebuie să se apropie de $M_0(x_0,f(x_0))$ — nu poate rămâne la distanță. Iar „$f(x)$ se apropie de $f(x_0)$ când $x$ se apropie de $x_0$" este exact definiția continuității din continuitatea unei funcții într-un punct.

Intuiția aceasta se transformă într-o demonstrație de trei rânduri.

2. Teorema și demonstrația ei

Teoremă. *Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ un punct de acumulare al lui $D$. Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$.*

Demonstrație. Pentru orice $x\in D$, $x\ne x_0$, putem scrie identitatea

$$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0),$$

care este corectă pentru că am înmulțit și am împărțit cu același număr nenul $x-x_0$. Trecem la limită pentru $x\to x_0$. Primul factor tinde, prin ipoteză, la $f^{\prime }(x_0)$, număr finit; al doilea tinde la $0$. Cum ambele limite există și sunt finite, operațiile cu limite de funcții dau

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-f(x_0))=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0,$$

adică $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Aceasta este chiar definiția continuității lui $f$ în $x_0$. $■$

Un detaliu care nu e decorativ: finitudinea lui $f^{\prime }(x_0)$ a fost folosită. Dacă derivata ar fi infinită, produsul de mai sus ar fi de forma $\infty \cdot 0$, adică una dintre cele șapte nedeterminări, iar raționamentul s-ar opri. Teorema se enunță deci pentru funcții derivabile, nu pentru funcții care doar „au derivată". (Faptul că, de pildă, $\sqrt[3]{x}$ este totuși continuă în $0$ se obține altfel, direct din calculul limitei — teorema noastră pur și simplu nu se aplică acolo.)

3. Contrapoziția — forma în care teorema se folosește cel mai des

Orice implicație are o contrapoziție logic echivalentă, obținută prin negarea și inversarea celor doi membri. Aici:

Consecință. Dacă $f$ nu este continuă în $x_0$, atunci $f$ nu este derivabilă în $x_0$.

Aceasta este forma de lucru, și transformă teorema într-o economie de efort. La orice funcție definită pe ramuri, primul lucru pe care îl faci este să verifici continuitatea în punctul de racord. Dacă ea cade, ai terminat: scrii „funcția nu e continuă în $x_0$, deci, conform consecinței teoremei, nu e derivabilă în $x_0$" și nu mai calculezi nicio derivată laterală.

Ordinea corectă a verificărilor la un punct de racord este, prin urmare, întotdeauna aceasta:

1. continuitatea — se compară $l_s(x_0)$, $f(x_0)$ și $l_d(x_0)$;
2. derivabilitatea — abia dacă pasul 1 a reușit, se calculează $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$.

Inversarea celor doi pași nu e doar risipă de timp: ea produce și rezultate false, cum vei vedea imediat.

4. Ce se întâmplă cu raportul când continuitatea cade

Merită văzut mecanismul, nu doar enunțul. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ x^2,& x\ge 0\end{array}$$ și $x_0=0$. Valoarea este $f(0)=0$, iar $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }(x+1)=1\ne 0$, deci funcția nu e continuă în $0$ — are un salt, în clasificarea din puncte de discontinuitate.

Să calculăm totuși derivata la stânga, ca să vedem ce iese: $$f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{(x+1)-0}{x-0}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x+1}{x}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty .$$

Iată mecanismul, în cuvinte: numitorul tinde la zero întotdeauna, din construcție; când funcția e continuă, numărătorul tinde și el la zero și apare nedeterminarea $\frac{0}{0}$, care se poate rezolva; când funcția nu e continuă, numărătorul tinde la un număr nenul, deci raportul explodează. De aceea într-un punct de discontinuitate derivata laterală corespunzătoare este infinită sau nu există — niciodată finită.

Observă și cealaltă parte: $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x^2}{x}=0$, perfect finită. Deci discontinuitatea strică o singură derivată laterală — dar e de ajuns, pentru că derivabilitatea le cere pe amândouă finite.

Geometric, explicația e la fel de scurtă. Panta secantei care unește punctul fix $(x_0,f(x_0))$ cu punctul mobil $(x,f(x))$ este raportul dintre o diferență de ordonate și una de abscise. Când funcția sare, diferența de ordonate rămâne, oricât te-ai apropia, aproape egală cu înălțimea saltului, în timp ce diferența de abscise se micșorează oricât de mult. Secantele se ridică deci spre verticală, iar panta lor crește peste orice prag. Un salt al graficului face imposibilă orice tangentă oblică.

5. Reciproca este falsă

Reciproca teoremei — „orice funcție continuă într-un punct este derivabilă acolo" — este falsă, iar contraexemplul îl ai deja calculat.

Funcția modul $f(x)=|x|$ (studiată la funcția modul) este continuă în $0$: $l_s(0)=f(0)=l_d(0)=0$. Dar, așa cum ai văzut în derivate laterale, $f_s^{\prime }(0)=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=1$, deci nu e derivabilă în $0$. Continuitatea nu impune nimic despre pante; ea cere doar ca graficul să nu sară, iar un grafic poate să nu sară și totuși să facă un colț.

Contraexemplul nu este o excepție izolată. Funcția $\sqrt{|x|}$ e continuă în $0$ și are acolo semitangente verticale; funcția $|x^2-3x+2|$ e continuă pe tot $\mathbb{R}$ și are două colțuri, în $1$ și în $2$; se pot construi chiar funcții continue pe $\mathbb{R}$ care nu sunt derivabile în niciun punct. Concluzia de reținut: derivabilitatea este strict mai tare decât continuitatea.

6. Funcții pe ramuri cu parametri: sistemul complet

Aici cele două proprietăți lucrează împreună și dau tiparul cerut la Bacalaureat M1. Enunțul sună mereu la fel: determinați parametrii pentru care funcția este derivabilă în punctul de racord. Rezolvarea are două ecuații, obținute în ordinea impusă de §3.

Ecuația de continuitate. Ramurile trebuie să se lipească: valoarea din stânga, valoarea funcției în punct și valoarea din dreapta trebuie să coincidă. Tehnica e cea din funcții continue definite pe ramuri.

Ecuația de derivabilitate. Cu prima condiție deja impusă, se calculează cele două derivate laterale și se cere $f_s^{\prime }(x_0)=f_d^{\prime }(x_0)$.

Exemplu complet. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x<1\\ x^2,& x\ge 1\end{array}$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. Punctul de racord este $1$, iar $f(1)=1$.

Continuitate: $l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(ax+b)=a+b$, deci condiția este $a+b=1$.

Derivabilitate: folosind $b=1-a$, numărătorul din stânga devine $ax+1-a-1=a(x-1)$, deci $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{a(x-1)}{x-1}=a,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$ Condiția $f_s^{\prime }(1)=f_d^{\prime }(1)$ dă $a=2$, de unde $b=1-a=-1$.

Verificare. Pentru $a=2$ și $b=-1$, funcția devine $f(x)=2x-1$ pentru $x<1$ și $f(x)=x^2$ pentru $x\ge 1$: în $1$ ambele ramuri dau $1$, iar ambele derivate laterale dau $2$. Așadar $f$ e derivabilă în $1$ și $f^{\prime }(1)=2$.

De ce ordinea contează. Dacă ai fi impus întâi egalitatea derivatelor laterale, ai fi obținut o singură ecuație, $a=2$, fără nicio informație despre $b$ — și ai fi scris, greșit, că orice $b$ merge. Or, pentru $b\ne -1$ funcția nici măcar nu e continuă, deci nu poate fi derivabilă. Continuitatea nu e un pas pregătitor opțional: e prima dintre cele două ecuații.

7. Ierarhia celor trei proprietăți

Așezând totul cap la cap, pentru un punct $x_0$ din domeniu, punct de acumulare bilateral:

$$f\text{ derivabila˘ ıˆn }{x}_0⟹f\text{ continua˘ ıˆn }{x}_0⟹f\text{ are limita˘ finita˘ ıˆn }{x}_0.$$

Ambele implicații sunt stricte, adică niciuna nu se poate întoarce:

Citirea practică a lanțului: cu cât cobori spre dreapta, cu atât cerința e mai slabă și mai ușor de verificat. De aceea, într-o rezolvare, verificările se fac de la dreapta la stânga — întâi limitele laterale, apoi continuitatea, apoi derivabilitatea — iar dacă una cade, cele de la stânga ei cad automat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Contrapoziția la lucru

Studiați derivabilitatea în $x_0=1$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x<1\\ x^2,& x\ge 1\end{array}$.

Rezolvare. Continuitate: $f(1)=1$ (a doua ramură, fiindcă $1\ge 1$), iar $l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x+2)=3$. Cum $3\ne 1$, funcția nu este continuă în $1$.

Concluzie: conform consecinței teoremei, o funcție discontinuă într-un punct nu este derivabilă acolo. Prin urmare $f$ nu e derivabilă în $1$, iar calculul derivatelor laterale nu mai este necesar.

Control: dacă totuși îl faci, obții $f_s^{\prime }(1)=\lim \frac{x+2-1}{x-1}=\frac{2}{0^{-}}=-\infty$ — exact explozia descrisă în §4.

Exemplul 2 — Continuă, dar nederivabilă

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, este continuă în $0$, dar nu este derivabilă în $0$.

Rezolvare. Continuitate: $f(0)=0$, $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }(-x)=0$, $l_d(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x=0$. Lanțul $0=0=0$ se verifică, deci $f$ e continuă în $0$.

Derivabilitate: $f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x}{x}=1$. Ambele finite, dar diferite, deci $f$ nu e derivabilă în $0$.

Concluzie: implicația „derivabilă $\Rightarrow$ continuă" nu se poate întoarce.

Exemplul 3 — Doi parametri, două ecuații

Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x<2\\ x^2,& x\ge 2\end{array}$, este derivabilă în $x_0=2$.

Rezolvare. $f(2)=4$.

Continuitate: $l_s(2)=2a+b$, deci $2a+b=4$.

Derivabilitate: din relația de mai sus, $b=4-2a$, iar numărătorul din stânga devine $ax+4-2a-4=a(x-2)$, deci $f_s^{\prime }(2)=a$. Pe partea cealaltă, $f_d^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4$. Egalitatea dă $a=4$, apoi $b=4-8=-4$.

Verificare: pentru $a=4$, $b=-4$ prima ramură este $4x-4$, care în $2$ dă $4=f(2)$, iar derivata ei laterală este $4=f_d^{\prime }(2)$. ✓

Exemplul 4 — Parametri în ramura pătratică

Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+bx,& x\le 1\\ 4x-1,& x>1\end{array}$, este derivabilă în $x_0=1$.

Rezolvare. $f(1)=a+b$.

Continuitate: $l_d(1)=4-1=3$, deci $a+b=3$.

Derivabilitate: numărătorul din stânga este $a{x}^2+bx-(a+b)=a(x^2-1)+b(x-1)=(x-1)(a(x+1)+b)$, deci $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(a(x+1)+b)=2a+b,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{4x-4}{x-1}=4.$$ Obținem sistemul $a+b=3$ și $2a+b=4$, cu soluția $a=1$, $b=2$.

Verificare: prima ramură devine $x^2+2x$, care în $1$ dă $3$ și are derivata laterală $2\cdot 1+2=4$. ✓

Exemplul 5 — O funcție continuă cu două colțuri

Determinați punctele în care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-3x+2|$, nu este derivabilă.

Rezolvare. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind modulul unei funcții polinomiale. Zerourile expresiei de sub modul sunt $1$ și $2$, iar semnul ei este pozitiv în afara intervalului $[1,2]$ și negativ înăuntru. Suspecte sunt exact cele două zerouri.

În $x_0=1$: $f(1)=0$; pentru $x<1$, $f(x)=(x-1)(x-2)$, deci $f_s^{\prime }(1)=\lim (x-2)=-1$; pentru $x\in (1,2)$, $f(x)=-(x-1)(x-2)$, deci $f_d^{\prime }(1)=\lim (-(x-2))=1$. Diferite, deci nederivabilă.

În $x_0=2$: analog, $f_s^{\prime }(2)=\lim (-(x-1))=-1$ și $f_d^{\prime }(2)=\lim (x-1)=1$. Diferite, deci nederivabilă.

Concluzie: $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$ și derivabilă pe $\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+mx+3,& x\le 2\\ 6x+n,& x>2\end{array}$, cu $m,n\in \mathbb{R}$. a) Determinați $m$ și $n$ astfel încât $f$ să fie derivabilă în $x_0=2$. b) Pentru valorile găsite, calculați $f^{\prime }(2)$.

Rezolvare.

a) Avem $f(2)=4+2m+3=2m+7$.

Continuitate: $l_d(2)=12+n$, deci $2m+7=12+n$, adică $n=2m-5$.

Derivabilitate: numărătorul din stânga este $x^2+mx+3-(2m+7)=(x^2-4)+m(x-2)=(x-2)(x+2+m)$, deci $f_s^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(x+2+m)=4+m$. Pe cealaltă parte, folosind $12+n=2m+7$, numărătorul este $6x+n-(12+n)=6(x-2)$, deci $f_d^{\prime }(2)=6$.

Din $4+m=6$ obținem $m=2$, apoi $n=2\cdot 2-5=-1$.

b) Cu $m=2$ și $n=-1$, cele două derivate laterale sunt egale cu $6$, deci $f^{\prime }(2)=6$.

Verificare: $f(x)=x^2+2x+3$ pentru $x\le 2$ dă $f(2)=11$, iar $6\cdot 2-1=11$: ramurile se lipesc. ✓

Observație de barem: ecuația de continuitate se scrie prima și se punctează separat. O soluție care obține $m$ din egalitatea derivatelor și nu justifică valoarea lui $n$ prin continuitate pierde jumătate din punctaj.

Să exersăm

La exercițiile cu funcții pe ramuri, verifică întâi continuitatea și abia apoi derivabilitatea.

1. Studiază derivabilitatea în $x_0=1$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x<1\\ x^2,& x\ge 1\end{array}$.

2. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, este derivabilă în $x_0=2$ și deduce de aici că este continuă în $2$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție continuă într-un punct este derivabilă în acel punct."

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție discontinuă într-un punct poate fi totuși derivabilă acolo."

6. Studiază continuitatea și derivabilitatea în $x_0=2$ ale funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1,& x\le 2\\ x^2-1,& x>2\end{array}$.

7. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x<2\\ x^2,& x\ge 2\end{array}$ să fie derivabilă în $2$.

8. Precizează pe ce mulțime este continuă și pe ce mulțime este derivabilă funcția $f(x)=|x-2|$.

9. Studiază derivabilitatea în $x_0=0$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 0\\ x^2+1,& x>0\end{array}$.

10. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b,& x\le 1\\ 3x-1,& x>1\end{array}$ să fie derivabilă în $1$.

11. (Problemă aplicată.) Temperatura unui cuptor, în grade Celsius, este $T(t)=20+2t$ pentru $t\le 3$ minute și $T(t)=26+(t-3{)}^2$ pentru $t>3$. Este funcția continuă la minutul $3$? Dar derivabilă? Ce înseamnă răspunsul, în termeni de ritm de încălzire?

12. Studiază continuitatea și derivabilitatea în $x_0=0$ ale funcției $f(x)=|x|(x-1)$.

13. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3x$, este derivabilă în orice punct $x_0\in \mathbb{R}$ și determină $f^{\prime }(x_0)$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție poate fi derivabilă într-un punct în care nu este definită."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+bx,& x\le 1\\ 5x-3,& x>1\end{array}$, să fie derivabilă în $x_0=1$.

16. Studiază derivabilitatea în $x_0=1$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3,& x\le 1\\ 3x-2,& x>1\end{array}$.

17. Arată că $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, este continuă în $0$, dar nu este derivabilă în $0$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Arată că $f$ este continuă în $0$, dar nu are derivată în $0$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(1)=1$, dar $l_s(1)=3$, deci $f$ nu e continuă în $1$; prin contrapoziția teoremei, nu e nici derivabilă în $1$.

2. $f(2)=8$ și $\frac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4\to 12$, limită finită, deci $f$ e derivabilă în $2$, cu $f^{\prime }(2)=12$. Din teoremă rezultă imediat că $f$ e continuă în $2$ (ceea ce se vede și direct: $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^3=8=f(2)$).

3. Fals. Contraexemplul standard este $f(x)=|x|$ în $0$: continuă, dar cu derivate laterale $-1$ și $1$, deci nederivabilă.

4. Adevărat. Este chiar teorema lecției; demonstrația folosește identitatea $f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)$ și finitudinea derivatei.

5. Fals. Este contrapoziția teoremei: dacă funcția ar fi derivabilă, ar fi obligatoriu continuă; cum nu e continuă, nu poate fi derivabilă.

6. $f(2)=3$, iar $l_d(2)=4-1=3$: funcția e continuă în $2$. Derivatele laterale: $f_s^{\prime }(2)=\lim \frac{2x-1-3}{x-2}=2$ și $f_d^{\prime }(2)=\lim \frac{x^2-4}{x-2}=4$. Fiind diferite, $f$ e continuă, dar nu derivabilă în $2$.

7. $f(2)=4$. Continuitate: $2a+b=4$. Derivabilitate: cu $b=4-2a$, $f_s^{\prime }(2)=a$, iar $f_d^{\prime }(2)=\lim \frac{x^2-4}{x-2}=4$, deci $a=4$ și $b=-4$.

8. Fiind modulul unei funcții de gradul întâi, $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$. În $2$ derivatele laterale sunt $-1$ și $1$, deci $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

9. $f(0)=0$, iar $l_d(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(x^2+1)=1\ne 0$: funcția nu e continuă în $0$, deci nu e derivabilă în $0$.

10. $f(1)=1+a+b$. Continuitate: $1+a+b=2$, adică $a+b=1$. Derivabilitate: numărătorul din stânga este $x^2+ax+b-2=(x^2-1)+a(x-1)=(x-1)(x+1+a)$, deci $f_s^{\prime }(1)=2+a$; iar $f_d^{\prime }(1)=\lim \frac{3x-3}{x-1}=3$. Din $2+a=3$ rezultă $a=1$ și apoi $b=0$.

11. $T(3)=26$, iar ramura a doua dă tot $26$: funcția e continuă la minutul $3$. Derivatele laterale: $T_s^{\prime }(3)=2$ și $T_d^{\prime }(3)=\underset{\begin{array}{c}t\to 3\\ t>3\end{array}}{\lim }\frac{(t-3{)}^2}{t-3}=0$. Fiind diferite, $T$ nu e derivabilă în $3$: temperatura nu sare, dar ritmul de încălzire sare brusc de la $2$ grade pe minut la $0$ grade pe minut.

12. $f(0)=0$; ambele limite laterale sunt $0$, deci funcția e continuă în $0$. Pentru $x<0$, $f(x)=-x(x-1)$, deci $f_s^{\prime }(0)=\lim (-(x-1))=1$; pentru $x>0$, $f(x)=x(x-1)$, deci $f_d^{\prime }(0)=\lim (x-1)=-1$. Continuă, dar nederivabilă în $0$.

13. Pentru $x\ne x_0$, $\frac{x^2+3x-x_0^2-3x_0}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x+x_0)+3(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0+3\to 2x_0+3$. Limita e finită pentru orice $x_0$, deci $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }(x_0)=2x_0+3$.

14. Fals. Derivata în $x_0$ se definește numai pentru $x_0\in D$, pentru că în raportul de diferențe apare $f(x_0)$. Fără punctul în domeniu, nici continuitatea, nici derivabilitatea nu se pot formula.

15. $f(1)=a+b$. Continuitate: $a+b=5-3=2$. Derivabilitate: numărătorul din stânga este $a{x}^2+bx-(a+b)=(x-1)(a(x+1)+b)$, deci $f_s^{\prime }(1)=2a+b$, iar $f_d^{\prime }(1)=\lim \frac{5x-5}{x-1}=5$. Sistemul $a+b=2$, $2a+b=5$ dă $a=3$, $b=-1$. Prima ramură devine $3x^2-x$, cu $f(1)=2$ și $f^{\prime }(1)=5$.

16. $f(1)=1$, iar ramura a doua dă tot $1$: funcția e continuă. $f_s^{\prime }(1)=\lim \frac{x^3-1}{x-1}=\lim (x^2+x+1)=3$ și $f_d^{\prime }(1)=\lim \frac{3x-3}{x-1}=3$. Egale și finite, deci $f$ e derivabilă în $1$, cu $f^{\prime }(1)=3$.

17. Continuitate: $f(0)=0$ și $l_d(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}=0$; la stânga domeniul nu are puncte, deci se cere doar continuitatea laterală dinspre interior, iar ea se verifică. Derivabilitate: $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\lim \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$, deci $f$ nu e derivabilă în $0$. Încă un exemplu în care continuitatea nu atrage derivabilitatea.

18. Continuitate: pentru orice șir $(x_n)$ cu $x_n\ne 0$ și $x_n\to 0$ avem $0\le \left|x_n\sin \frac{1}{x_n}\right|\le |x_n|\to 0$, iar criteriul cleștelui dă $f(x_n)\to 0=f(0)$; șirul fiind arbitrar, $f$ e continuă în $0$. Derivabilitate: raportul de diferențe este $\frac{x\sin \frac{1}{x}}{x}=\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$. Pe șirul $x_n=\frac{1}{2n\pi }$ el valorează $0$, iar pe șirul $y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$ valorează $1$; ambele șiruri tind la $0$, deci raportul nu are limită în $0$. Prin urmare $f$ nu are derivată în $0$, deși e continuă acolo.

De reținut

• Teorema: dacă $f$ e derivabilă în $x_0$, atunci $f$ e continuă în $x_0$. Demonstrația scrie $f(x)-f(x_0)$ ca produs dintre raportul de diferențe și $x-x_0$, apoi trece la limită.
• Contrapoziția, forma de lucru: dacă $f$ nu e continuă în $x_0$, atunci $f$ nu e derivabilă în $x_0$. La funcțiile pe ramuri se verifică întâi continuitatea.
• Reciproca e falsă: $|x|$ e continuă în $0$, dar nu derivabilă. Derivabilitatea e strict mai tare decât continuitatea.
• Mecanismul: într-un punct de discontinuitate numărătorul raportului de diferențe nu tinde la zero, iar numitorul da, deci raportul explodează — derivata laterală nu poate fi finită.
• Problemele cu parametri au două ecuații: una din continuitate (ramurile se lipesc) și una din egalitatea derivatelor laterale, scrise exact în această ordine.

Greșeli frecvente

• Sari peste verificarea continuității. Impunând direct egalitatea derivatelor laterale obții mai puține ecuații decât parametri și „găsești" soluții pentru care funcția nici măcar nu e continuă. Continuitatea nu e un pas pregătitor, ci prima ecuație a sistemului.
• Crezi că reciproca teoremei e adevărată. „Funcția e continuă, deci e derivabilă" este afirmația greșită numărul unu din acest capitol. Continuitatea nu spune nimic despre pante.
• Deduci continuitatea dintr-o derivată infinită. Teorema cere derivabilitatea, adică o derivată finită. La $\sqrt[3]{x}$ în $0$ derivata e $+\infty$, iar continuitatea trebuie obținută separat, din calculul limitei.
• Confunzi sensul implicației. Din „$f$ nu e derivabilă în $x_0$" nu rezultă nimic despre continuitate: modulul nu e derivabil în $0$ și totuși e continuu acolo. Se neagă concluzia, nu ipoteza.
• Verifici continuitatea comparând doar limitele laterale între ele. Lanțul complet este $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$; valoarea din punct se citește de pe ramura a cărei condiție e satisfăcută de $x_0$ și nu are voie să lipsească.

Aplică acasă

1. Ce sare și ce nu sare. Notează, într-o zi obișnuită, cinci mărimi pe care le poți urmări în timp: temperatura din cameră, nivelul bateriei telefonului, numărul de pași contorizat, viteza afișată de aplicația de navigație, prețul de la pompa de benzină. Marchează pentru fiecare dacă valoarea sare, dacă doar ritmul ei sare sau dacă nu sare nimic — cele trei situații corespund exact discontinuității, colțului și derivabilității.

2. Colțul făcut din carton. Îndoaie o fâșie de carton într-un singur loc și așeaz-o pe masă, ca pe un profil de grafic. Cartonul nu s-a rupt (funcția rămâne continuă), dar în cuta îndoiturii direcția se schimbă brusc (derivata nu există). Apoi îndoaie-l lin, pe o rază mare, și observă ce se schimbă.

3. Două tarife lipite. Caută o ofertă în care prețul se calculează altfel sub și peste un anumit prag (transport gratuit peste o sumă, tarif redus după un număr de ore). Scrie funcția cost pe ramuri, verifică dacă ramurile se lipesc și, dacă da, compară cele două derivate laterale în punctul de prag. Ai reprodus, cu date reale, exercițiul 11.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide seria de trei lecții introductive despre derivate și este cea care aduce cel mai mare câștig practic: o regulă de ordine în rezolvare. Elevul învață că, la orice funcție definită pe ramuri, continuitatea se verifică prima, iar dacă ea cade, discuția se oprește. Dificultatea nu e demonstrația, care are trei rânduri, ci disciplina logică: implicația merge într-un singur sens, iar cele două afirmații — teorema și reciproca ei — arată aproape la fel pe hârtie.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea și demonstrarea corectă a teoremei, cu folosirea explicită a finitudinii derivatei; (2) utilizarea contrapoziției ca metodă de lucru; (3) contraexemplul care infirmă reciproca; (4) scrierea completă a sistemului de două ecuații la problemele cu parametri. Întrebări bune de control: „Ce verifici prima dată la o funcție pe ramuri?", „Dă un exemplu de funcție continuă și nederivabilă", „De ce în demonstrație e nevoie ca $f^{\prime }(x_0)$ să fie finită?", „Ce ecuație dă continuitatea și ce ecuație dă derivabilitatea?".

La BAC M1, tiparul este exact cel din Exemplul 6 și apare la aproape fiecare sesiune: o funcție pe două ramuri cu doi parametri și cerința de derivabilitate în punctul de racord. Baremele acordă puncte separate pentru condiția de continuitate și pentru cea de egalitate a derivatelor laterale. Semne că elevul a înțeles: scrie sistemul din două ecuații fără să fie întrebat și nu confundă niciodată sensul implicației. Capitolul continuă cu interpretarea geometrică a derivatei, unde derivata devine pantă a tangentei.

Întrebări frecvente

Orice funcție derivabilă este continuă? Da, este teorema centrală a lecției. Dacă $f$ e derivabilă în $x_0$, atunci este obligatoriu continuă în $x_0$, iar demonstrația se face scriind $f(x)-f(x_0)$ ca produs dintre raportul de diferențe și $x-x_0$ și trecând la limită.

Orice funcție continuă este derivabilă? Nu. Reciproca este falsă, iar contraexemplul standard este funcția modul, continuă în $0$, dar cu derivate laterale $-1$ și $1$. Continuitatea cere doar ca graficul să nu sară; derivabilitatea cere, în plus, ca cele două semitangente să coincidă.

De ce verific întâi continuitatea la o funcție pe ramuri? Pentru că, prin contrapoziția teoremei, o funcție discontinuă într-un punct nu poate fi derivabilă acolo. Dacă continuitatea cade, răspunsul e gata și nu mai calculezi derivate laterale; dacă ține, ea îți dă și prima ecuație în problemele cu parametri.

Ce se întâmplă cu raportul de diferențe într-un punct de discontinuitate? Numitorul tinde la zero, iar numărătorul tinde la un număr nenul, deci raportul crește peste orice prag. Derivata laterală corespunzătoare este infinită sau nu există, dar nu poate fi finită.

Cum determin parametrii astfel încât o funcție pe ramuri să fie derivabilă? Scrii două ecuații: prima din condiția de continuitate în punctul de racord, a doua din egalitatea derivatelor laterale calculate după impunerea primei condiții. Sistemul obținut dă valorile parametrilor, pe care le verifici la final în funcția inițială.

Există funcții continue care nu sunt derivabile în niciun punct? Da, matematicienii au construit asemenea funcții încă din secolul al XIX-lea. Ele nu intră în programa clasei a XI-a, dar arată cât de departe merge diferența dintre cele două proprietăți: continuitatea nu garantează nimic despre existența tangentelor.

Ce înseamnă contrapoziția unei teoreme? Este afirmația obținută prin negarea și inversarea celor doi membri ai implicației; ea este întotdeauna echivalentă cu teorema. Din „derivabilă $\Rightarrow$ continuă" se obține „nu e continuă $\Rightarrow$ nu e derivabilă", care e forma folosită în rezolvări.

Ce se cere la Bacalaureat M1 din această lecție? Cel mai des, determinarea a doi parametri pentru care o funcție definită pe două ramuri este derivabilă într-un punct dat. Se punctează separat ecuația de continuitate, calculul derivatelor laterale și verificarea finală a valorilor obținute.