Derivarea funcțiilor compuse: pe scurt

Volumul depinde de temperatură, temperatura depinde de timp: volumul este funcție compusă de timp, iar vitezele se înmulțesc. Aceasta este, în cuvinte, regula lecției: $$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$ Derivezi funcția din exterior, lași neatinsă expresia din interior și înmulțești cu derivata interiorului. Atenție unde se calculează derivata exteriorului: în $g(x)$, nu în $x$.

Procedura are trei pași: numești interiorul $u(x)$ și calculezi $u^{\prime }(x)$; derivezi exteriorul păstrând $u$ neschimbat; înmulțești cu $u^{\prime }$. Pasul al treilea este cel uitat — de aceea $(\sin 3x{)}^{\prime }=3\cos 3x$, nu $\cos 3x$.

Tabelul derivatelor compuse nu conține nimic nou, e cel uzual înmulțit cu $u^{\prime }$: $$(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime };(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}};(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u};(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime };(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u.$$ Domeniul se citește pe funcția din exterior: $\sqrt{u}$ și $\ln u$ sunt derivabile doar unde $u>0$, iar $\mathrm{tg}u$ doar unde $\cos u\ne 0$. De aceea $\sqrt{x^2-4}$ este definită și în $\pm 2$, dar nu este derivabilă acolo.

La compuneri repetate numeri straturile înainte de a începe: câte straturi, atâția factori în produsul final.

Exerciții din această mini-lecție

1. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin (5x)$, este:

   • a) $\cos (5x)$
   • b) $5\sin (5x)$
   • c) $-5\cos (5x)$
   • d) $5\cos (5x)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $5\cos (5x)$

   Interiorul este $u(x)=5x$, cu $u^{\prime }(x)=5$, iar $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$, deci $f^{\prime }(x)=5\cos (5x)$. Varianta $\cos (5x)$ este exact greșeala numărul unu de la funcțiile compuse: factorul $u^{\prime }$ lipsește. Semnul minus apare la derivata cosinusului, nu a sinusului.

2. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{3x^2}$, este:

   • a) $e^{3x^2}$
   • b) $6x{e}^{6x}$
   • c) $6x{e}^{3x^2}$
   • d) $e^{6x}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $6x{e}^{3x^2}$

   Cu $u(x)=3x^2$ și $u^{\prime }(x)=6x$, formula $(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$ dă $f^{\prime }(x)=6x{e}^{3x^2}$. Exponentul rămâne neschimbat: variantele cu $e^{6x}$ derivează exponentul în interiorul funcției, ceea ce regula nu permite.

3. Domeniul de derivabilitate al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-9}$ este:

   • a) $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$
   • b) $(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$
   • c) $\mathbb{R}$
   • d) $(-3,3)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$

   Expresia are sens pentru $x^2-9\ge 0$, dar radicalul este derivabil numai unde interiorul este strict pozitiv. În $\pm 3$ funcția este definită, însă raportul de diferențe tinde la infinit, deci acolo graficul are semitangentă verticală. A doua variantă este domeniul de definiție, nu cel de derivabilitate.