Derivarea funcțiilor compuse

Un vas de laborator se încălzește uniform: temperatura lichidului din el crește cu $3$ grade pe minut. Lichidul se dilată, iar volumul lui crește cu $0,4$ centimetri cubi pentru fiecare grad câștigat. Cu ce viteză crește volumul, măsurat în centimetri cubi pe minut? Răspunsul nu se obține adunând cele două numere, ci înmulțindu-le: $0,4\cdot 3=1,2$ centimetri cubi pe minut. Unitățile de măsură arată singure de ce — „centimetri cubi pe grad" înmulțit cu „grade pe minut" dă „centimetri cubi pe minut", exact ca la simplificarea unei fracții.

Situația de mai sus are un nume matematic. Volumul depinde de temperatură, temperatura depinde de timp, deci volumul este o funcție compusă de timp. Iar regula pe care tocmai ai folosit-o intuitiv — vitezele se înmulțesc — este regula de derivare a funcțiilor compuse, unealta cea mai des folosită din tot calculul diferențial. Fără ea nu poți deriva nici $\sin (2x)$, nici $e^{x^2}$, nici $\sqrt{x^2+1}$, adică nici jumătate dintre funcțiile care apar în subiectele de Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o funcție compusă și să identifici corect funcția din interior, notată $u$.
• Vei ști să aplici regula $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ și să explici de ce apare factorul suplimentar.
• Vei ști să folosești tabelul derivatelor compuse pentru puteri, radicali, exponențiale, logaritmi și funcții trigonometrice.
• Vei ști să derivezi expresii cu două straturi de compunere, de tipul ${\sin }^2(3x)$.
• Vei ști să combini regula cu cele de la sumă, produs și cât, într-un singur calcul.
• Vei ști să stabilești domeniul de derivabilitate al unei funcții compuse, mai ales când apar radicali sau logaritmi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se compune și ce se derivează

Compunerea funcțiilor a fost definită la Operații cu funcții. Compunerea funcțiilor: dacă $g:A\to B$ și $f:B\to \mathbb{R}$, funcția $f\circ g:A\to \mathbb{R}$ este dată de $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Se citește de la dreapta la stânga: întâi $g$, apoi $f$.

În practică vei recunoaște compunerea după forma expresiei. În fiecare dintre exemplele de mai jos există o expresie „ascunsă înăuntru", pe care o vom nota mereu cu $u$:

• $\sin (2x)$: aici $u(x)=2x$, iar funcția din exterior e sinusul;
• $e^{x^2}$: $u(x)=x^2$, exteriorul e exponențiala;
• $\sqrt{x^2+1}$: $u(x)=x^2+1$, exteriorul e radicalul;
• $(3x-2{)}^5$: $u(x)=3x-2$, exteriorul e ridicarea la puterea a cincea;
• $\ln (x^2+4)$: $u(x)=x^2+4$, exteriorul e logaritmul natural.

Testul de recunoaștere. Dacă, pentru a calcula valoarea funcției într-un punct, ai nevoie de două operații succesive — întâi calculezi ceva, apoi aplici o funcție uzuală rezultatului —, atunci ai o funcție compusă. Pentru $\sin (2x)$ în $x=1$: întâi $2\cdot 1=2$, apoi $\sin 2$. Două operații, deci compunere.

Atenție la o confuzie de start: $\sin (2x)$ nu este același lucru cu $2\sin x$, iar $(3x-2{)}^5$ nu e $3x^5-2$. Compunerea nu este înmulțire și nu se „desface" prin distributivitate.

Mai există un mod de a privi lucrurile, util mai ales la problemele aplicate: funcția din interior schimbă unitatea de măsură a variabilei. Când scrii $\sin (2x)$, nu ai schimbat sinusul, ci ai schimbat ritmul în care i se dau argumentele — ceasul merge de două ori mai repede. Când scrii $e^{-0,05t}$, ai ales o scară de timp în care fiecare minut real contează cât $0,05$ unități. Toate mărimile care se măsoară „pe altceva" — pe grad, pe kilometru, pe leu investit — ajung, mai devreme sau mai târziu, la o compunere de funcții.

2. Regula de derivare a funcțiilor compuse

Teoremă. Fie $g$ derivabilă în $x_0$ și $f$ derivabilă în $g(x_0)$. Atunci $f\circ g$ este derivabilă în $x_0$ și $(f\circ g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0)$.

Scrisă pentru un punct oarecare al mulțimii pe care ipotezele sunt îndeplinite, ea ia forma pe care o vei folosi de acum înainte, în lecții, în teste și în bareme: $$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$

Numele acestei formule, în tot cursul, este regula de derivare a funcțiilor compuse, iar notația folosită este $(f\circ g{)}^{\prime }$. Formula spune, în cuvinte: derivezi funcția din exterior, lăsând neatinsă expresia din interior, și înmulțești cu derivata expresiei din interior.

Citită ca în deschiderea lecției, ea spune ceva foarte concret: vitezele se înmulțesc. Dacă o roată dințată se rotește de trei ori mai repede decât axul care o antrenează, iar axul se rotește de cinci ori mai repede decât motorul, atunci roata se rotește de cincisprezece ori mai repede decât motorul — nu de opt ori. Un al doilea factor important: derivata funcției din exterior nu se calculează în $x$, ci în punctul $g(x)$, adică acolo unde a ajuns interiorul. De aceea în formulă apare $f^{\prime }(g(x))$, și nu $f^{\prime }(x)$; confuzia dintre cele două este cea mai subtilă greșeală posibilă la această regulă, pentru că nu se vede din rezultat, ci doar din raționament.

De unde vine. Ideea e amplificarea raportului incrementar cu creșterea funcției interioare. Pentru $x$ apropiat de $x_0$, atât timp cât $g(x)\ne g(x_0)$, putem scrie $$\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}=\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}.$$ Al doilea factor tinde la $g^{\prime }(x_0)$. Primul factor este raportul incrementar al lui $f$ în punctul $g(x_0)$, calculat pentru valoarea $g(x)$; cum $g$ e continuă în $x_0$, avem $g(x)\to g(x_0)$, deci acest raport tinde la $f^{\prime }(g(x_0))$. Produsul limitelor dă exact formula anunțată.

Raționamentul de mai sus are o fisură pe care e cinstit să o numim: el cere ca $g(x)\ne g(x_0)$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, altfel amplificarea nu are sens. Cazul general se tratează cu un argument suplimentar și se admite la nivelul clasei a XI-a; ceea ce trebuie să reții este că teorema e adevărată așa cum a fost enunțată, fără ipoteze în plus față de derivabilitatea celor două funcții.

3. Procedura, în trei pași

Pentru orice funcție compusă, scrie rezolvarea așa:

1. Numește funcția din interior: $u(x)=\dots$ și calculează $u^{\prime }(x)$;
2. Derivează funcția din exterior, păstrând $u$ neschimbat înăuntru;
3. Înmulțește cu $u^{\prime }(x)$ și simplifică.

Model. Pentru $f(x)=\sin (2x)$: $u(x)=2x$, deci $u^{\prime }(x)=2$; derivata sinusului este cosinusul, deci exteriorul dă $\cos (2x)$; înmulțim: $f^{\prime }(x)=2\cos (2x)$.

Al doilea model. Pentru $f(x)={\left(x^2+1\right)}^{10}$: $u(x)=x^2+1$, deci $u^{\prime }(x)=2x$; derivata puterii a zecea, aplicată interiorului neschimbat, dă $10{\left(x^2+1\right)}^9$; înmulțim cu $2x$ și obținem $20x{\left(x^2+1\right)}^9$. Observă cât de mult se câștigă: dezvoltarea binomului ar fi produs un polinom de gradul $20$, cu unsprezece termeni, pe care ar fi trebuit să îl derivezi termen cu termen. Regula compunerii îl scurtează la un rând.

Cel de-al treilea pas este cel uitat. O derivată de funcție compusă căreia îi lipsește factorul $u^{\prime }$ este, în nouă cazuri din zece, greșeala care se face la examen. Un control rapid: dacă expresia din interior este chiar $x$, atunci $u^{\prime }=1$ și factorul suplimentar nu se vede — de aceea tabelul obișnuit al derivatelor pare, la prima vedere, să nu aibă acest factor. Cu alte cuvinte, tabelul funcțiilor uzuale este cazul particular $u(x)=x$ al tabelului pe care îl scriem în subsecțiunea următoare, nu un tabel diferit.

4. Tabelul derivatelor compuse

Aplicând regula fiecărui rând din tabelul de la Derivatele funcțiilor uzuale, se obține tabelul de mai jos, în care $u$ este o funcție derivabilă, iar toate formulele se citesc pe mulțimea pe care au sens: $$(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime };(u^r{)}^{\prime }=r{u}^{r-1}{u}^{\prime };(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}};(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u};(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime };(a^u{)}^{\prime }=a^u{u}^{\prime }\ln a;$$ $$(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u;(\cos u{)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u;(\mathrm{tg}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u};(\mathrm{ctg}u{)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}.$$

Tabelul nu conține nimic nou: fiecare rând este rândul corespunzător din tabelul funcțiilor uzuale, înmulțit cu $u^{\prime }$. Îl folosești ca scurtătură, dar dacă îl uiți, regula generală ți-l reconstruiește în câteva secunde. Verifică singur, pe rândul radicalului: din $(\sqrt{t}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{t}}$, înlocuind $t$ cu $u(x)$ și înmulțind cu $u^{\prime }(x)$, obții exact $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$.

Două observații despre felul în care se scriu aceste formule. La rândurile cu logaritm și radical, factorul $u^{\prime }$ ajunge la numărător, pentru că el înmulțește o fracție; de aici forma comodă $\frac{u^{\prime }}{u}$, care se citește „derivata interiorului supra interior" și se reține instantaneu. La rândurile trigonometrice, factorul $u^{\prime }$ e scris în față, ca să nu se lipească vizual de argumentul funcției: $u^{\prime }\cos u$ e mai limpede decât $\cos u\cdot u^{\prime }$, unde ochiul riscă să citească $u^{\prime }$ ca parte a argumentului. Iar rândul puterii, $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$, este cel pe care îl vei folosi cel mai des dintre toate — de fiecare dată când o paranteză apare ridicată la o putere.

5. Domeniul: unde are voie să existe derivata

Regula are două ipoteze, iar ele se traduc în condiții asupra domeniului:

• funcția din interior trebuie să fie derivabilă în punctul studiat;
• funcția din exterior trebuie să fie derivabilă în valoarea $u(x)$, nu în $x$.

A doua condiție e cea care se uită. Pentru $f(x)=\sqrt{x^2-4}$, expresia are sens când $x^2-4\ge 0$, adică pe $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$; dar radicalul este derivabil numai pe $(0,+\infty )$, deci $u(x)=x^2-4$ trebuie să fie strict pozitiv. Domeniul de derivabilitate este așadar $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$: în $\pm 2$ funcția e definită, dar nu e derivabilă.

Aceeași grijă la logaritm: $\ln u$ cere $u>0$, iar $\mathrm{tg}u$ cere $\cos u\ne 0$. Pentru exponențiale, puteri întregi și funcții trigonometrice directe nu apare nicio restricție suplimentară: dacă $u$ e derivabilă pe o mulțime, atunci $e^u$, $u^n$, $\sin u$ și $\cos u$ sunt derivabile pe aceeași mulțime.

Merită reținută deosebirea dintre cele două mulțimi, pentru că ea se cere scrisă în rezolvări. Domeniul de definiție răspunde la întrebarea „unde are sens expresia?", iar pentru $\sqrt{x^2-4}$ răspunsul include capetele $\pm 2$. Domeniul de derivabilitate răspunde la întrebarea „unde există derivata?", iar acolo capetele cad. A scrie primul domeniu în locul celui de-al doilea este o greșeală de conținut, nu de neatenție: în $x=2$ funcția are o semitangentă verticală, deci graficul are acolo o formă cu totul diferită de una netedă.

6. Compuneri repetate

Nimic nu oprește compunerea să se repete. Expresia ${\sin }^2(3x)$ înseamnă $(\sin (3x){)}^2$ și are două straturi: pătratul în exterior, sinusul la mijloc, funcția $3x$ înăuntru. Se derivează dinspre exterior spre interior, adăugând de fiecare dată un factor: $${\left({\sin }^2(3x)\right)}^{\prime }=2\sin (3x)\cdot (\sin (3x){)}^{\prime }=2\sin (3x)\cdot \cos (3x)\cdot 3=6\sin (3x)\cos (3x).$$ Rezultatul se poate scrie mai scurt, folosind formula sinusului unghiului dublu: $6\sin (3x)\cos (3x)=3\sin (6x)$. Ambele forme sunt corecte, iar potrivirea lor e o bună verificare.

Regula practică: numeri straturile înainte de a începe. Câte straturi, atâția factori în produsul final. O derivată de funcție cu două straturi care are un singur factor este, sigur, incompletă.

7. Regula compunerii împreună cu celelalte reguli

În exercițiile reale, compunerea apare amestecată cu suma, produsul și câtul de la Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât. Ordinea rămâne cea de acolo: întâi operația de deasupra, apoi cobori.

Pentru $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2+1}$, operația de deasupra e împărțirea, deci începi cu regula câtului; abia când ajungi să derivezi numărătorul intervine compunerea, care dă ${\left(e^{2x}\right)}^{\prime }=2e^{2x}$. Pentru $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$, operația de deasupra e înmulțirea, deci începi cu regula produsului, iar compunerea apare la al doilea factor.

Al doilea caz merită scris până la capăt, pentru că el arată cum se împletesc regulile. Cu $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$, regula produsului dă $$f^{\prime }(x)=1\cdot \sqrt{x^2+1}+x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}},$$ unde la ultimul pas am adus totul la același numitor. Aducerea la un singur raport nu e obligatorie, dar e bine văzută în barem: ea arată că rezultatul a fost dus până la capăt.

Un sfat de redactare: notează-ți $u$ și $u^{\prime }$ pe marginea foii înainte de a scrie derivata. Rezolvarea devine mai scurtă și, mai ales, factorul $u^{\prime }$ nu mai are cum să se piardă. Când expresia are trei straturi, cum se întâmplă la $\sqrt{\ln (x^2+1)}$, scrie-le pe rânduri separate, de sus în jos, și derivează-le pe rând: disciplina aceasta costă zece secunde și salvează un exercițiu întreg.

8. Cum verifici că nu ai greșit

Trei controale rapide, care se fac în câteva secunde:

Controlul factorului constant. Dacă $u(x)=ax+b$, atunci $u^{\prime }=a$, deci derivata trebuie să conțină factorul $a$. Derivata lui $\sin (5x)$ este $5\cos (5x)$: dacă în răspunsul tău nu apare $5$, ai uitat pasul al treilea.

Controlul cazului particular. Înlocuiește mental $u(x)$ cu $x$: formula compusă trebuie să se reducă la cea uzuală. Din $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x$, obții $\frac{1}{x}$ — corect.

Controlul numeric. Alege un punct comod și compară derivata ta cu raportul $\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$ pentru $h$ mic. Toate derivatele din această lecție au fost verificate exact așa, în câte trei puncte, cu pasul $h=10^{-6}$.

Controlul numeric merită explicat, pentru că el nu e o simplă „potriveală". Raportul de mai sus este chiar cantitatea a cărei limită definește derivata, deci pentru $h$ mic el trebuie să fie aproape de $f^{\prime }(x_0)$; dacă rezultatul tău diferă de el la prima zecimală, greșeala e sigur în calculul algebric, nu în aproximare. Ce nu poate face controlul numeric: să demonstreze o formulă. El prinde erorile, dar nu ține loc de raționament, iar la examen se punctează raționamentul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puteri ale unei expresii

Calculați derivatele funcțiilor $f,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3x-2{)}^5$ și $h(x)=(x^2+1{)}^{10}$.

Rezolvare. Pentru $f$: interiorul este $u(x)=3x-2$, cu $u^{\prime }(x)=3$, iar exteriorul e puterea a cincea. Din $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=5(3x-2{)}^4\cdot 3=15(3x-2{)}^4.$$ Pentru $h$: $u(x)=x^2+1$, $u^{\prime }(x)=2x$, exteriorul e puterea a zecea: $$h^{\prime }(x)=10(x^2+1{)}^9\cdot 2x=20x(x^2+1{)}^9.$$ Ambele funcții sunt derivabile pe $\mathbb{R}$, pentru că interiorul e polinomial, iar puterea naturală nu impune restricții. (Verificat numeric în câte trei puncte.) ✓

Exemplul 2 — Radical dintr-o expresie

Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

Rezolvare. Aici $u(x)=x^2+1$, cu $u^{\prime }(x)=2x$. Cum $x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, interiorul este strict pozitiv peste tot, deci $f$ e derivabilă pe tot $\mathbb{R}$ — situație comodă, care nu se repetă la orice radical. Aplicăm $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$ (Verificat numeric în $x\in \{-2;0;3\}$.) ✓

Exemplul 3 — Logaritm și exponențială

Calculați derivatele funcțiilor $f,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (x^2+4)$ și $h(x)=e^{x^2}$.

Rezolvare. Pentru $f$: interiorul $u(x)=x^2+4$ e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$, deci logaritmul are sens și e derivabil peste tot. Din $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+4}.$$ Pentru $h$: $u(x)=x^2$, $u^{\prime }(x)=2x$, iar $(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$, deci $$h^{\prime }(x)=e^{x^2}\cdot 2x=2x{e}^{x^2}.$$ Observă că $e^{x^2}$ nu are derivata $e^{x^2}$: exponențiala e singura funcție care își păstrează derivata, dar numai când exponentul este chiar $x$. (Verificat numeric în câte trei puncte.) ✓

Exemplul 4 — Funcții trigonometrice compuse

Calculați derivatele funcțiilor $f(x)=\sin (2x)$, $h(x)={\cos }^{3}x$ și $p(x)={\sin }^2(3x)$, definite pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Pentru $f$: $u(x)=2x$, $u^{\prime }=2$, deci $f^{\prime }(x)=2\cos (2x)$.

Pentru $h$: expresia înseamnă $(\cos x{)}^3$, deci interiorul e $u(x)=\cos x$, cu $u^{\prime }(x)=-\sin x$, iar exteriorul e puterea a treia: $$h^{\prime }(x)=3{\cos }^{2}x\cdot (-\sin x)=-3{\cos }^{2}x\sin x.$$

Pentru $p$: două straturi, ca în subsecțiunea 6: $$p^{\prime }(x)=2\sin (3x)\cdot \cos (3x)\cdot 3=6\sin (3x)\cos (3x)=3\sin (6x).$$ (Toate trei verificate numeric; la $p$ s-au comparat și cele două forme ale rezultatului.) ✓

Exemplul 5 — Compunere și cât în același calcul

Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2+1}$.

Rezolvare. Numitorul nu se anulează, deci $f$ e definită și derivabilă pe $\mathbb{R}$. Operația de deasupra e împărțirea, deci pornim cu regula câtului, cu $u=e^{2x}$ și $v=x^2+1$. Avem $u^{\prime }=2e^{2x}$, prin regula compunerii, și $v^{\prime }=2x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2e^{2x}(x^2+1)-e^{2x}\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2e^{2x}\left(x^2-x+1\right)}{(x^2+1{)}^2}.$$ La ultimul pas am dat factor comun $2e^{2x}$ și am redus termenii asemenea la numărător: $2x^2+2-2x$. (Verificat numeric în $x\in \{-1;0,5;2\}$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+3\right)$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $f^{\prime }(1)$. c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

Rezolvare.

a) Interiorul $u(x)=x^2+3$ e derivabil pe $\mathbb{R}$ și strict pozitiv, deci $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+3}.$$

b) $f^{\prime }(1)=\frac{2}{1+3}=\frac{1}{2}$.

c) Avem $f(1)=\ln 4=2\ln 2$, deci punctul de tangență este $(1,2\ln 2)$, iar panta este $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$. Cu formula de la Interpretarea geometrică a derivatei. Ecuația tangentei la grafic: $$y-2\ln 2=\frac{1}{2}(x-1).$$ (Verificat numeric: derivata în trei puncte, iar $f^{\prime }(1)=0,5$ și $\ln 4=2\ln 2$ exact.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie explicit $u(x)$ și $u^{\prime }(x)$ înainte de a aplica formula, iar acolo unde apar radicali sau logaritmi precizează domeniul de derivabilitate.

1. Calculează derivata funcției $f(x)=(2x+5{)}^7$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Calculează derivata funcției $f(x)=(x^2-3x{)}^4$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Calculează derivata funcției $f(x)=\sqrt{3x+1}$ și precizează domeniul de derivabilitate.

4. Calculează derivata funcției $f(x)=\sqrt{x^2+4}$, $x\in \mathbb{R}$.

5. Calculează derivata funcției $f(x)=e^{5x}$, $x\in \mathbb{R}$.

6. Calculează derivata funcției $f(x)=e^{-x^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

7. Calculează derivata funcției $f(x)=\ln (3x+2)$ și precizează domeniul.

8. Calculează derivata funcției $f(x)=\ln \left(x^2+1\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

9. Calculează derivata funcției $f(x)=\sin (4x)$, $x\in \mathbb{R}$.

10. Calculează derivata funcției $f(x)=\cos \left(x^2\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

11. Calculează derivata funcției $f(x)=\mathrm{tg}(2x)$ și precizează unde este definită.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Derivata funcției $f(x)=\sin (3x)$ este $\cos (3x)$."

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $u$ e derivabilă și $u(x)>0$, atunci ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{u}}$."

14. Calculează derivata funcției $f(x)=2^{x^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

15. Calculează derivata funcției $f(x)={\left(x^2+1\right)}^3(x-1)$, $x\in \mathbb{R}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+4\right)$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și arată că $f^{\prime }(2)=\frac{1}{2}$.

17. (Problemă aplicată.) O ceașcă de ceai se răcește după legea $T(t)=20+60e^{-0,05t}$, unde $T$ e temperatura în grade Celsius, iar $t$ timpul în minute. Calculează $T^{\prime }(t)$ și $T^{\prime }(0)$, apoi explică ce înseamnă semnul rezultatului.

18. (Provocare.) Calculează derivata funcției $f(x)=\ln (\ln x)$ și precizează domeniul de derivabilitate.

Răspunsuri și explicații

1. $u(x)=2x+5$, $u^{\prime }=2$: $f^{\prime }(x)=7(2x+5{)}^6\cdot 2=14(2x+5{)}^6$.

2. $u(x)=x^2-3x$, $u^{\prime }(x)=2x-3$: $f^{\prime }(x)=4{\left(x^2-3x\right)}^3(2x-3)$.

3. Expresia are sens pentru $3x+1\ge 0$, dar radicalul e derivabil doar unde interiorul e strict pozitiv, adică pe $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$. Acolo, $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

4. Interiorul $x^2+4$ e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$, deci $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$: $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$.

5. $u(x)=5x$, $u^{\prime }=5$: $f^{\prime }(x)=5e^{5x}$.

6. $u(x)=-x^2$, $u^{\prime }(x)=-2x$: $f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}$.

7. Domeniul: $3x+2>0$, adică $\left(-\frac{2}{3},+\infty \right)$. Acolo, $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x+2}$.

8. Interiorul e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$: $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

9. $f^{\prime }(x)=4\cos (4x)$. Factorul $4$ vine din $u^{\prime }(x)=4$.

10. $u(x)=x^2$, iar $(\cos u{)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$: $f^{\prime }(x)=-2x\sin \left(x^2\right)$.

11. Funcția e definită și derivabilă unde $\cos (2x)\ne 0$, adică pentru $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, deci $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Acolo, $f^{\prime }(x)=\frac{2}{{\cos }^2(2x)}$.

12. Fals. Lipsește derivata funcției din interior: $u(x)=3x$ dă $u^{\prime }=3$, deci răspunsul corect este $3\cos (3x)$. Aceasta e greșeala numărul unu la funcțiile compuse.

13. Fals. Formula corectă este ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; expresia din enunț ar fi adevărată doar dacă $u(x)=x$, caz în care $u^{\prime }=1$.

14. $u(x)=x^2$, iar $(a^u{)}^{\prime }=a^u{u}^{\prime }\ln a$ cu $a=2$: $f^{\prime }(x)=2^{x^2}\cdot 2x\ln 2$.

15. Operația de deasupra e înmulțirea, deci pornim cu regula produsului; primul factor cere compunerea: $$f^{\prime }(x)=3{\left(x^2+1\right)}^2\cdot 2x\cdot (x-1)+{\left(x^2+1\right)}^3={\left(x^2+1\right)}^2\left(7x^2-6x+1\right).$$ La ultimul pas s-a dat factor comun ${\left(x^2+1\right)}^2$, iar în paranteză a rămas $6x(x-1)+x^2+1$.

16. $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+4}$, definită pe $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+4>0$. În $x=2$: $f^{\prime }(2)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

17. $u(t)=-0,05t$, cu $u^{\prime }(t)=-0,05$, deci $T^{\prime }(t)=60\cdot e^{-0,05t}\cdot (-0,05)=-3e^{-0,05t}$. În $t=0$ obținem $T^{\prime }(0)=-3$: în primul minut ceaiul pierde aproximativ $3$ grade. Semnul negativ arată că temperatura scade, iar factorul $e^{-0,05t}$ arată că răcirea încetinește pe măsură ce trece timpul.

18. Funcția are sens pentru $\ln x>0$, adică pe $(1,+\infty )$, unde e și derivabilă. Aplicăm de două ori regula logaritmului: $f^{\prime }(x)=\frac{(\ln x{)}^{\prime }}{\ln x}=\frac{1}{x\ln x}$.

De reținut

• Regula: $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ — derivezi exteriorul, păstrezi interiorul, înmulțești cu derivata interiorului.
• Factorul $u^{\prime }$ nu se uită niciodată. Câte straturi de compunere, atâția factori în produsul final.
• Tabelul compuselor ($u^n$, $\sqrt{u}$, $\ln u$, $e^u$, $a^u$, $\sin u$, $\cos u$, $\mathrm{tg}u$, $\mathrm{ctg}u$) nu conține formule noi: e tabelul uzual înmulțit cu $u^{\prime }$.
• Domeniul se citește pe funcția din exterior: $\sqrt{u}$ e derivabilă doar unde $u>0$, $\ln u$ doar unde $u>0$, $\mathrm{tg}u$ doar unde $\cos u\ne 0$.
• Compunerea se amestecă firesc cu celelalte reguli: începi întotdeauna cu operația de deasupra și cobori spre interior.

Greșeli frecvente

• Uiți factorul $u^{\prime }$. Scrii $(\sin 3x{)}^{\prime }=\cos 3x$ în loc de $3\cos 3x$. Controlul rapid: dacă interiorul e $ax+b$, în răspuns trebuie să apară $a$.
• Derivezi și interiorul „pe loc". ${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }$ nu este $e^{2x}$: exponentul rămâne neschimbat, iar derivata lui apare ca factor: $2x{e}^{x^2}$.
• Confunzi ${\sin }^{2}x$ cu $\sin \left(x^2\right)$. Prima e $(\sin x{)}^2$, cu derivata $2\sin x\cos x$; a doua e o compunere cu interiorul $x^2$, cu derivata $2x\cos \left(x^2\right)$.
• Uiți un strat la compunerile duble. Pentru ${\sin }^2(3x)$ trebuie trei factori, nu doi: $2\sin (3x)$, apoi $\cos (3x)$, apoi $3$.
• Confunzi domeniul de definiție cu cel de derivabilitate. $\sqrt{x^2-4}$ e definită și în $\pm 2$, dar nu e derivabilă acolo, pentru că interiorul se anulează, iar radicalul nu e derivabil în $0$.

Aplică acasă

1. Zece derivate cu $u$ notat pe margine. Alege zece funcții compuse din manual sau din culegere și derivează-le scriind de fiecare dată, într-o coloană separată, ce este $u$ și cât face $u^{\prime }$. La sfârșit numără de câte ori factorul $u^{\prime }$ ți-ar fi scăpat dacă nu l-ai fi notat.

2. Verificarea numerică a unei derivate. Ia funcția $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, calculează $f^{\prime }(2)$ cu formula, apoi estimează aceeași valoare cu raportul $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$, folosind un calculator obișnuit. Compară primele patru zecimale.

3. Lanțul de viteze din bucătărie. Măsoară, cu un termometru, cât de repede se răcește o cană cu apă fierbinte în primele cinci minute și notează valorile din minut în minut. Compară scăderile succesive cu modelul $T(t)=T_{camera}+A{e}^{-kt}$ și observă că, exact ca în exercițiul $17$, răcirea încetinește.

Pentru părinți și profesori

Regula de derivare a funcțiilor compuse este, ca frecvență de folosire, cea mai importantă din tot capitolul: apare în majoritatea derivatelor cerute la Bacalaureat M1 și în toate aplicațiile din fizică și din economie. Dificultatea ei nu este teoretică, ci de recunoaștere — elevul trebuie să vadă, într-o expresie scrisă pe un rând, cele două funcții suprapuse.

Ce verifică lecția: (1) identificarea corectă a funcției din interior; (2) aplicarea regulii cu toți factorii, inclusiv la compuneri duble; (3) folosirea tabelului derivatelor compuse; (4) determinarea domeniului de derivabilitate atunci când apar radicali, logaritmi sau tangentă; (5) combinarea cu regulile pentru sumă, produs și cât, în ordinea corectă.

Întrebări bune de control: „Care e funcția din interior?", „De câte straturi e vorba?", „De ce apare factorul $3$ la derivata lui $\sin (3x)$?". La BAC M1, cerința tipică este calculul derivatei unei funcții de forma $\ln (\text{polinom})$, $e^{\text{polinom}}$ sau radical dintr-un polinom, urmat de o valoare punctuală sau de ecuația tangentei. Semn că elevul a înțeles: înainte de a scrie derivata, numește cu voce tare interiorul și derivata lui.

Întrebări frecvente

Cum derivez o funcție compusă? Identifici funcția din interior, o notezi $u$ și îi calculezi derivata; derivezi apoi funcția din exterior, lăsând $u$ neschimbat înăuntru; înmulțești cele două rezultate. Formula, pe scurt, este $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$.

De ce derivata lui sinus de $2x$ este $2\cos 2x$ și nu $\cos 2x$? Pentru că funcția din interior, $u(x)=2x$, se schimbă de două ori mai repede decât $x$. Vitezele se înmulțesc, deci panta graficului se dublează. Dacă lipsește factorul $2$, formula nu mai descrie panta reală a graficului.

Ce derivată are $e$ la puterea $x$ la pătrat? Este $2x{e}^{x^2}$. Exponențiala își păstrează forma la derivare, dar exponentul rămâne neschimbat, iar derivata lui apare ca factor. Confuzia clasică este să se scrie $e^{2x}$, ceea ce ar însemna că exponentul însuși a fost derivat în interiorul funcției.

Cum derivez radicalul dintr-o expresie? Cu formula ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, valabilă în punctele în care $u(x)>0$. Dacă interiorul se anulează, funcția poate fi definită acolo, dar nu e derivabilă — este exact ce se întâmplă cu $\sqrt{x^2-4}$ în $x=\pm 2$.

Ce fac dacă funcția are două compuneri suprapuse? Derivezi dinspre exterior spre interior și adaugi un factor la fiecare pas. Pentru ${\sin }^2(3x)$ ies trei factori: $2\sin (3x)$ de la pătrat, $\cos (3x)$ de la sinus și $3$ de la interiorul $3x$, adică $6\sin (3x)\cos (3x)$.

Cum știu unde este derivabilă o funcție compusă? Ceri, în același timp, ca interiorul să fie derivabil și ca exteriorul să fie derivabil în valoarea interiorului. Practic: pentru $\ln u$ și $\sqrt{u}$ ceri $u>0$; pentru $\mathrm{tg}u$ ceri $\cos u\ne 0$; pentru puteri naturale, exponențiale, sinus și cosinus nu apare nicio condiție suplimentară.

Se poate combina regula compunerii cu regula produsului? Da, și se întâmplă des. Începi cu operația de deasupra din expresie — dacă e o înmulțire, aplici regula produsului, iar compunerea intervine când derivezi factorul care o conține. Ordinea aceasta te ferește de pierderea vreunui factor.

Cum verific rapid o derivată de funcție compusă? Prin trei controale: verifici că apare factorul constant din interior, verifici că, înlocuind $u$ cu $x$, formula se reduce la cea uzuală, și compari numeric valoarea derivatei cu raportul de diferențe într-un punct comod, pentru un pas mic.