Derivata de ordinul al doilea: pe scurt

Dacă derivata întâi este viteza, derivata a doua este accelerația: ea nu spune cât de repede se schimbă mărimea, ci cât de repede se schimbă ritmul cu care se schimbă mărimea.

Definiție. $f$ este de două ori derivabilă în $x_0$ dacă funcția $f^{\prime }$ este derivabilă în $x_0$; atunci $$f^{\prime \prime }(x_0)={\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}.$$ Notația este $f^{\prime \prime }$, iar programa clasei a XI-a se oprește la acest ordin. Ca să existe $f^{\prime \prime }(x_0)$, derivata $f^{\prime }$ trebuie să existe pe o întreagă vecinătate a lui $x_0$, nu doar în punct.

Calculul are doi pași: derivezi, simplifici, derivezi din nou. Pentru $f(x)=x^2{e}^x$, forma factorizată $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x\right)$ duce direct la $f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(x^2+4x+2\right)$.

Derivabilă nu înseamnă de două ori derivabilă: $f(x)=x|x|$ are $f^{\prime }(x)=2|x|$, funcție care nu e derivabilă în $0$ — nederivabilitatea nu dispare, se mută cu un ordin mai sus.

Un tipar de examen: relațiile de forma $f^{\prime \prime }-2f^{\prime }+f=0$ se verifică prin calcul direct, scoțând factorul comun exponențial. Iar semnul lui $f^{\prime \prime }$ nu se confundă cu semnul lui $f$: o mărime poate crește în timp ce ritmul ei scade.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^3+5x$, derivata de ordinul al doilea este:

   • a) $4x^3-6x^2+5$
   • b) $12x^2-12x$
   • c) $12x^2-12x+5$
   • d) $12x^3-12x^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12x^2-12x$

   Derivăm de două ori, termen cu termen: $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+5$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x$. Termenul $5x$ dă $5$ la prima derivare și dispare la a doua. Prima variantă este chiar $f^{\prime }$, nu $f^{\prime \prime }$.

2. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{4x}$, avem $f^{\prime \prime }(x)=$

   • a) $e^{4x}$
   • b) $4e^{4x}$
   • c) $16e^{4x}$
   • d) $8e^{4x}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $16e^{4x}$

   Fiecare derivare adaugă un factor $4$, venit din derivata interiorului: $f^{\prime }(x)=4e^{4x}$ și $f^{\prime \prime }(x)=16e^{4x}$. Varianta $8e^{4x}$ apare dacă aduni cei doi factori în loc să îi înmulțești.

3. Care dintre următoarele afirmații este ADEVĂRATĂ?

   • a) orice funcție derivabilă pe $\mathbb{R}$ este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$
   • b) dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$
   • c) $f^{\prime \prime }$ înseamnă pătratul derivatei întâi
   • d) dacă $f$ este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$, atunci $f^{\prime }$ este continuă pe $\mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) dacă $f$ este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$, atunci $f^{\prime }$ este continuă pe $\mathbb{R}$

   Din ipoteză, $f^{\prime }$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar orice funcție derivabilă este continuă. Prima variantă cade la $f(x)=x|x|$; a doua, la $f(x)=x^3+x$, unde $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime }(0)=1$; a treia confundă $f^{\prime \prime }$ cu ${\left(f^{\prime }\right)}^2$.