Derivata de ordinul al doilea

Stai pe scaunul din dreapta al unei mașini care rulează cu $90$ de kilometri pe oră. Nu simți nimic: viteza mare, în sine, nu se simte. Dar în clipa în care șoferul apasă frâna, ești împins înainte, iar dacă apasă accelerația, ești lipit de spătar. Ce simte corpul tău nu este viteza, ci schimbarea vitezei — accelerația. Un pasager legat la ochi nu poate spune cât de repede merge mașina, dar știe imediat când aceasta încetinește.

Matematic, viteza este derivata poziției în raport cu timpul. Accelerația, fiind viteza cu care se schimbă viteza, este derivata derivatei — adică derivata de ordinul al doilea a legii de mișcare. Analogia aceasta, sugerată chiar de programă, este cel mai bun mod de a ține minte ce înseamnă noțiunea din lecția de față: dacă derivata întâi este viteza, derivata a doua este accelerația. Ea răspunde la o întrebare pe care derivata întâi nu o poate atinge: nu „cât de repede se schimbă mărimea?", ci „cât de repede se schimbă ritmul cu care se schimbă mărimea?".

Ce vei învăța

• Vei ști să definești derivata de ordinul al doilea ca derivata funcției $f^{\prime }$ și să folosești corect notația $f^{\prime \prime }$.
• Vei ști să verifici dacă o funcție este de două ori derivabilă pe o mulțime, nu doar derivabilă.
• Vei ști să calculezi $f^{\prime \prime }$ pentru funcții polinomiale, raționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice și compuse.
• Vei ști să interpretezi derivata a doua ca accelerație într-o lege de mișcare și ca ritm al schimbării în probleme practice.
• Vei ști să demonstrezi relații de tipul $f^{\prime \prime }-2f^{\prime }+f=0$, cerute frecvent la Bacalaureat M1.
• Vei ști să recunoști o funcție derivabilă care nu este de două ori derivabilă.

Hai să descoperim împreună

1. De la viteză la accelerație

Un obiect se deplasează pe o dreaptă, iar poziția lui la momentul $t$ este dată de funcția $s(t)$, măsurată în metri, cu $t$ în secunde. Din lecțiile anterioare știi că viteza instantanee este derivata poziției: $v(t)=s^{\prime }(t)$, măsurată în metri pe secundă.

Dar viteza este ea însăși o funcție de timp, iar despre ea putem pune exact aceeași întrebare: cu ce ritm se schimbă? Răspunsul este accelerația: $$a(t)=v^{\prime }(t)=(s^{\prime }(t){)}^{\prime }=s^{\prime \prime }(t),$$ măsurată în metri pe secundă la pătrat. Unitatea de măsură spune totul: „metri pe secundă, pe secundă", adică schimbarea vitezei în fiecare secundă.

Un exemplu concret. O minge este aruncată vertical în sus și, neglijând frecarea cu aerul, înălțimea ei la momentul $t$ este $h(t)=30t-5t^2$ metri. Atunci $$h^{\prime }(t)=30-10t,h^{\prime \prime }(t)=-10.$$ Viteza scade uniform, de la $30$ metri pe secundă la momentul lansării, se anulează la $t=3$ secunde și devine negativă după aceea, când mingea coboară. Accelerația este constantă, egală cu $-10$ metri pe secundă la pătrat: gravitația trage mereu în jos, cu aceeași intensitate, indiferent dacă mingea urcă sau coboară. Iar înălțimea la momentul $t=3$ este $h(3)=90-45=45$ de metri — chiar înălțimea maximă, pentru că graficul lui $h$ este o parabolă cu vârful în $t=3$, așa cum știi din Monotonia și valoarea extremă a funcției de gradul al doilea.

2. Definiție și notație

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ derivabilă pe o mulțime $A\subseteq D$, deci cu derivata $f^{\prime }:A\to \mathbb{R}$. Spunem că $f$ este de două ori derivabilă în punctul $x_0\in A$ dacă funcția $f^{\prime }$ este derivabilă în $x_0$. În acest caz, numărul $$f^{\prime \prime }(x_0)={\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}$$ se numește derivata de ordinul al doilea a lui $f$ în $x_0$. Funcția $f$ este de două ori derivabilă pe o mulțime dacă este de două ori derivabilă în fiecare punct al ei.

Notația folosită peste tot în acest curs este $f^{\prime \prime }$, respectiv $f^{\prime \prime }(x_0)$ pentru valoarea într-un punct. Programa clasei a XI-a se oprește la ordinul al doilea, deci nu vei întâlni derivate de ordin mai mare.

Trei precizări care contează:

• derivata a doua nu e o noțiune nouă, ci aceeași operație aplicată de două ori; tot ce știi despre derivate se aplică și lui $f^{\prime \prime }$, inclusiv definiția ca limită a raportului incrementar, de la Problema tangentei și definiția derivatei într-un punct;
• ordinea e obligatorie: ca să existe $f^{\prime \prime }(x_0)$, trebuie ca $f^{\prime }$ să existe pe o întreagă vecinătate a lui $x_0$, nu doar în $x_0$. Nu poți deriva o funcție care e definită într-un singur punct;
• din faptul că $f^{\prime \prime }$ există rezultă că $f^{\prime }$ este continuă, pentru că orice funcție derivabilă e continuă. Aplicat lui $f^{\prime }$, acest rezultat spune că funcțiile de două ori derivabile au derivata întâi „netedă", fără salturi.

3. Cum se calculează, practic

Procedura are doi pași și nicio subtilitate:

1. calculezi $f^{\prime }$, cu tabelul derivatelor și cu regulile de la Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât și Derivarea funcțiilor compuse;
2. simplifici $f^{\prime }$ cât poți, apoi o derivezi la rândul ei.

Pasul al doilea, simplificarea intermediară, este cel care face diferența dintre un calcul de trei rânduri și unul de zece. Pentru $f(x)=x^2{e}^x$, derivata întâi se scrie $2x{e}^x+x^2{e}^x$, dar forma comodă e cea factorizată, $e^x\left(x^2+2x\right)$; derivând-o cu regula produsului obții direct $$f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(x^2+2x\right)+e^x(2x+2)=e^x\left(x^2+4x+2\right).$$ Dacă ai fi derivat forma nefactorizată, ai fi avut de aplicat regula produsului de două ori și de redus patru termeni.

O regulă de igienă: verifică $f^{\prime }$ înainte de a trece la $f^{\prime \prime }$. O greșeală strecurată în derivata întâi se propagă automat, iar la examen se pierd punctele de la ambele cerințe.

4. Derivatele de ordinul al doilea ale funcțiilor uzuale

Tabelul de mai jos nu conține formule noi: fiecare rând se obține aplicând de două ori tabelul canonic de la Derivatele funcțiilor uzuale. Îl scriem o dată, ca să ai reperele la îndemână.

Merită observate două lucruri. Exponențiala $e^x$ este singura funcție care rămâne neschimbată oricâte derivări i-ai aplica — de aici rolul ei central în tot calculul diferențial. Iar sinusul și cosinusul se întorc în ele însele, cu semn schimbat: $(\sin x{)}^{\prime \prime }=-\sin x$. Cu alte cuvinte, funcția sinus verifică relația $f^{\prime \prime }+f=0$, prima relație de acest tip pe care o vei întâlni și un exemplu de ecuație în care necunoscuta este o funcție.

Pentru funcțiile polinomiale, tabelul dă imediat o observație utilă: derivata a doua a unui polinom de grad $n\ge 2$ este un polinom de grad $n-2$. Derivând un polinom de gradul al treilea de două ori obții o funcție de gradul întâi; de trei ori, o constantă.

5. Când derivata a doua nu există

O funcție poate fi derivabilă pe tot $\mathbb{R}$ fără a fi de două ori derivabilă. Exemplul standard este $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x|x|.$$ Scrisă pe ramuri, ea este $f(x)=x^2$ pentru $x\ge 0$ și $f(x)=-x^2$ pentru $x<0$. Derivând fiecare ramură, obținem $f^{\prime }(x)=2x$ pentru $x>0$ și $f^{\prime }(x)=-2x$ pentru $x<0$; în origine, ambele derivate laterale sunt egale cu $0$, deci $f^{\prime }(0)=0$. Pe scurt, $f^{\prime }(x)=2|x|$, funcție definită pe tot $\mathbb{R}$.

Dar $f^{\prime }$ este exact funcția modul înmulțită cu $2$, iar aceasta nu e derivabilă în origine: derivatele ei laterale acolo sunt $-2$ și $2$, deci diferite. Concluzia: $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$, dar de două ori derivabilă doar pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu $f^{\prime \prime }(x)=2$ pentru $x>0$ și $f^{\prime \prime }(x)=-2$ pentru $x<0$.

Graficul lui $f^{\prime }$ are în origine un colț, adică un punct unghiular, exact în sensul de la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere. Reține tiparul: nederivabilitatea nu dispare, ci se mută cu un ordin mai sus. Când într-o problemă se cere $f^{\prime \prime }$, primul lucru de verificat este dacă $f^{\prime }$ e derivabilă acolo unde ai nevoie.

6. Relații între $f$, $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$

Un tip de cerință care apare des la Bacalaureat M1 sună așa: arătați că funcția $f$ verifică relația $f^{\prime \prime }(x)-2f^{\prime }(x)+f(x)=0$, pentru orice $x$ real. Nu e nimic de ghicit: calculezi $f^{\prime }$, apoi $f^{\prime \prime }$, le înlocuiești în relație și reduci termenii.

Model. Fie $f(x)=x{e}^x$. Atunci $f^{\prime }(x)=e^x(x+1)$ și, derivând încă o dată, $f^{\prime \prime }(x)=e^x(x+1)+e^x=e^x(x+2)$. Înlocuim: $$f^{\prime \prime }-2f^{\prime }+f=e^x(x+2)-2e^x(x+1)+x{e}^x=e^x[(x+2)-2(x+1)+x]=e^x\cdot 0=0.$$ Cheia redactării e scoaterea factorului comun $e^x$: în paranteză rămâne o expresie polinomială simplă, iar reducerea se face dintr-o privire. Cum $e^x\ne 0$ pentru orice $x$, relația e verificată pe tot $\mathbb{R}$.

Astfel de relații se numesc ecuații diferențiale și sunt limbajul în care se scriu legile fizicii: mișcarea unui pendul, răcirea unui corp, dezintegrarea radioactivă. La clasa a XI-a nu le rezolvi — doar verifici că o funcție dată le satisface —, dar merită să știi de pe acum că întâlnești o formă de scriere care va reveni.

7. Ce măsoară, de fapt, derivata a doua

Derivata întâi măsoară ritmul; derivata a doua măsoară schimbarea ritmului. Distincția este mai bogată decât pare, iar exemplele din afara matematicii o arată limpede:

• la o mașină: viteza spune cât de repede te deplasezi, accelerația spune cât de tare ești lipit de scaun;
• la o epidemie: derivata întâi a numărului total de cazuri este numărul de cazuri noi pe zi, iar derivata a doua spune dacă valul se intensifică sau se domolește. Când presa anunță „creșterea a încetinit", afirmația e despre derivata a doua, nu despre numărul de bolnavi;
• la un cont bancar: dacă derivata întâi a sumei economisite e pozitivă, contul crește; dacă derivata a doua e negativă, contul crește tot mai încet, adică ritmul de economisire scade;
• la costurile unei firme: dacă $C(q)$ e costul producerii a $q$ bucăți, atunci $C^{\prime }(q)$ e costul suplimentar al ultimei bucăți, iar $C^{\prime \prime }(q)$ spune dacă acest cost suplimentar urcă sau coboară pe măsură ce producția crește.

Toate cele patru exemple au aceeași structură: mărimea, viteza ei și accelerația ei. Faptul că derivata a doua e negativă nu înseamnă că mărimea scade — înseamnă doar că ritmul ei scade. O confuzie între cele două este cea mai frecventă greșeală de interpretare, și în matematică, și în presă.

Semnul lui $f^{\prime \prime }$ mai spune ceva, de data aceasta despre forma graficului; acest capitol se deschide în unitatea următoare, la Convexitatea și derivata a doua. Până acolo, reține doar înțelesul de „accelerație": el este suficient pentru toate exercițiile de aici.

8. Un calcul complet, într-un context economic

O firmă produce $q$ unități dintr-un articol, iar costul total, în lei, este dat de funcția $$C(q)=q^3-6q^2+20q+50,q\in (0,+\infty ).$$ Termenul liber $50$ este costul fix — chiria, curentul, salariile de bază —, plătit chiar dacă nu se produce nimic. Derivăm de două ori: $$C^{\prime }(q)=3q^2-12q+20,C^{\prime \prime }(q)=6q-12.$$

Fiecare dintre cele trei funcții are un înțeles al ei, iar interpretarea se face punctual, într-un nivel de producție ales. La $q=5$ unități: costul total este $C(5)=125-150+100+50=125$ de lei; costul marginal este $C^{\prime }(5)=75-60+20=35$ de lei, adică prețul aproximativ al celei de-a șasea unități; iar $C^{\prime \prime }(5)=18$ arată cât se scumpește însuși costul marginal atunci când se mai adaugă o unitate — aproximativ $18$ lei pe unitate, pentru fiecare unitate în plus.

Compară cu situația de la $q=1$: acolo $C^{\prime \prime }(1)=-6$, deci costul marginal nu se scumpește, ci se ieftinește. Este fenomenul cunoscut în economie ca „economie de scară". Că lucrurile chiar se inversează undeva se vede fără nicio unealtă nouă: costul marginal $C^{\prime }(q)=3q^2-12q+20$ este o funcție de gradul al doilea, cu vârful parabolei în $q=\frac{12}{6}=2$, deci scade până la $q=2$ și crește după aceea. Exact în acest punct se anulează și $C^{\prime \prime }$. Derivata întâi, luată singură, nu ar fi putut spune nimic despre ritmul propriei sale schimbări — de aceea derivata a doua e o unealtă separată, nu un moft de calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție polinomială

Calculați $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-3x^2+2x-7$.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci derivabilă de oricâte ori pe $\mathbb{R}$. Derivăm termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=4x^3-6x+2,f^{\prime \prime }(x)=12x^2-6.$$ Gradul a scăzut cu o unitate la fiecare derivare, de la $4$ la $3$ și apoi la $2$. (Verificat numeric în $x\in \{-2;0,5;2\}$, cu raportul de diferențe pentru $f^{\prime }$ și cu dublul raport de diferențe pentru $f^{\prime \prime }$.) ✓

Exemplul 2 — Produs cu exponențială

Calculați $f^{\prime \prime }$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^x$.

Rezolvare. Cu regula produsului, $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=e^x\left(x^2+2x\right)$. Derivăm încă o dată, tot cu regula produsului, pe forma factorizată: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(x^2+2x\right)+e^x(2x+2)=e^x\left(x^2+4x+2\right).$$ Funcția este de două ori derivabilă pe tot $\mathbb{R}$. (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 3 — Logaritm

Calculați $f^{\prime \prime }$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$.

Rezolvare. Domeniul e $(0,+\infty )$, singurul pe care logaritmul are sens. Cu regula produsului, $$f^{\prime }(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1.$$ Derivata a doua se citește direct: derivata lui $\ln x$ este $\frac{1}{x}$, iar derivata constantei $1$ este nulă, deci $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x},x\in (0,+\infty ).$$ (Verificat numeric în $x\in \{0,5;1;4\}$.) ✓

Exemplul 4 — Funcție rațională

Calculați $f^{\prime \prime }$ pentru $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x+1}$.

Rezolvare. Cu regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$.

Pentru a doua derivare e mai comod să scriem $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^{-2}$ și să folosim regula funcțiilor compuse, cu interiorul $u(x)=x+1$ și $u^{\prime }=1$: $$f^{\prime \prime }(x)=-2(x+1{)}^{-3}=-\frac{2}{(x+1{)}^3},x\ne -1.$$ (Verificat numeric în $x\in \{-3;0;2\}$.) ✓

Exemplul 5 — Funcție trigonometrică compusă

Calculați $f^{\prime \prime }$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin (3x)$, și arătați că $f^{\prime \prime }(x)+9f(x)=0$.

Rezolvare. Cu regula funcțiilor compuse, $f^{\prime }(x)=3\cos (3x)$, apoi $$f^{\prime \prime }(x)=3\cdot (-\sin (3x))\cdot 3=-9\sin (3x).$$ Atenție la cei doi factori $3$: unul vine de la prima derivare, celălalt de la a doua. Rezultă imediat $$f^{\prime \prime }(x)+9f(x)=-9\sin (3x)+9\sin (3x)=0.$$ (Verificat numeric în trei puncte, atât $f^{\prime }$, cât și $f^{\prime \prime }$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $f^{\prime \prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. c) Arătați că $f^{\prime \prime }(x)-2f^{\prime }(x)+f(x)=0$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$: $$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+x{e}^x=e^x(x+1).$$

b) Derivăm încă o dată, tot cu regula produsului: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x(x+1)+e^x\cdot 1=e^x(x+2).$$

c) Înlocuim și scoatem factorul comun $e^x$: $$f^{\prime \prime }(x)-2f^{\prime }(x)+f(x)=e^x[(x+2)-2(x+1)+x]=e^x(x+2-2x-2+x)=e^x\cdot 0=0.$$ Egalitatea are loc pentru orice $x$ real. (Verificat numeric: $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ în câte trei puncte, iar relația în $x\in \{-1,4;0,6;2,1\}$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi $f^{\prime }$ în forma cea mai simplă, apoi derivează. Acolo unde domeniul nu e tot $\mathbb{R}$, precizează-l.

1. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=x^5-2x^3+x$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=3x^4-2x^2+5$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=e^{3x}$, $x\in \mathbb{R}$.

4. Arată că funcția $f(x)=\sin x+\cos x$ verifică relația $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=0$ pentru orice $x$ real.

5. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=\cos (2x)$, $x\in \mathbb{R}$.

6. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=\ln x$, $x\in (0,+\infty )$.

7. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=x^2\ln x$, $x\in (0,+\infty )$.

8. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=\sqrt{x}$ și precizează domeniul de derivabilitate.

9. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=\frac{1}{x}$, $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$, atunci $f^{\prime }$ este continuă pe $\mathbb{R}$."

12. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=(2x+1{)}^4$, $x\in \mathbb{R}$.

13. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=\left(x^2+1\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$.

14. Calculează $f^{\prime \prime }$ pentru $f(x)=\frac{x}{x+2}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

15. (Problemă aplicată.) Un obiect aruncat vertical are înălțimea $h(t)=30t-5t^2$ metri, cu $t$ în secunde. Calculează $h^{\prime }(t)$ și $h^{\prime \prime }(t)$, apoi determină momentul în care viteza se anulează și înălțimea atinsă atunci.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x(x-1)$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și $f^{\prime \prime }(x)$, apoi arată că $f^{\prime \prime }(x)-2f^{\prime }(x)+f(x)=0$ pentru orice $x$ real.

17. Determină numărul real $a$ pentru care funcția $f(x)=x^3+a{x}^2$ verifică $f^{\prime \prime }(1)=0$.

18. (Provocare.) Arată că funcția $f(x)=x|x|$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, dar nu este de două ori derivabilă în $0$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=5x^4-6x^2+1$, deci $f^{\prime \prime }(x)=20x^3-12x$. Gradul scade de la $5$ la $3$.

2. $f^{\prime }(x)=12x^3-4x$, deci $f^{\prime \prime }(x)=36x^2-4$.

3. Cu regula funcțiilor compuse, $f^{\prime }(x)=3e^{3x}$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=9e^{3x}$. Fiecare derivare adaugă un factor $3$.

4. $f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$, deci $f^{\prime \prime }(x)=-\sin x-\cos x=-(\sin x+\cos x)=-f(x)$. Adunând $f(x)$ în ambii membri, obținem $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=0$.

5. $f^{\prime }(x)=-2\sin (2x)$, deci $f^{\prime \prime }(x)=-4\cos (2x)$.

6. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, pe $(0,+\infty )$.

7. $f^{\prime }(x)=2x\ln x+x$, apoi, derivând termen cu termen, $f^{\prime \prime }(x)=2\ln x+2+1=2\ln x+3$, pe $(0,+\infty )$.

8. $f$ e continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$, unde $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Scriind $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$, obținem $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$, tot pe $(0,+\infty )$.

9. $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, deci $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$, pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

10. Fals. Cele două derivate sunt independente. Contraexemplu: $f(x)=x^3+x$ are $f^{\prime }(x)=3x^2+1$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x$, deci $f^{\prime \prime }(0)=0$, în timp ce $f^{\prime }(0)=1\ne 0$.

11. Adevărat. Din ipoteză, funcția $f^{\prime }$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$; orice funcție derivabilă într-un punct este continuă acolo, deci $f^{\prime }$ e continuă pe $\mathbb{R}$.

12. $f^{\prime }(x)=4(2x+1{)}^3\cdot 2=8(2x+1{)}^3$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=8\cdot 3(2x+1{)}^2\cdot 2=48(2x+1{)}^2$.

13. $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+\left(x^2+1\right)e^x=e^x\left(x^2+2x+1\right)$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(x^2+2x+1\right)+e^x(2x+2)=e^x\left(x^2+4x+3\right)$.

14. $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x+2)-x}{(x+2{)}^2}=\frac{2}{(x+2{)}^2}=2(x+2{)}^{-2}$, deci $f^{\prime \prime }(x)=-4(x+2{)}^{-3}=-\frac{4}{(x+2{)}^3}$.

15. $h^{\prime }(t)=30-10t$ și $h^{\prime \prime }(t)=-10$. Viteza se anulează pentru $30-10t=0$, adică la $t=3$ secunde, iar atunci $h(3)=90-45=45$ de metri. Accelerația rămâne $-10$ metri pe secundă la pătrat în tot intervalul: gravitația nu se oprește nici în momentul în care mingea are viteza nulă.

16. $f^{\prime }(x)=e^x(x-1)+e^x=x{e}^x$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=e^x+x{e}^x=e^x(x+1)$. Înlocuind, $f^{\prime \prime }-2f^{\prime }+f=e^x[(x+1)-2x+(x-1)]=e^x\cdot 0=0$.

17. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax$, deci $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$. Condiția $f^{\prime \prime }(1)=0$ devine $6+2a=0$, de unde $a=-3$.

18. Pe ramuri, $f(x)=x^2$ pentru $x\ge 0$ și $f(x)=-x^2$ pentru $x<0$. Derivatele laterale în $0$ sunt ambele nule, iar pe fiecare ramură derivata există, deci $f^{\prime }(x)=2|x|$ pe tot $\mathbb{R}$. Funcția $f^{\prime }$ nu e însă derivabilă în $0$: derivata ei la stânga este $-2$, cea la dreapta este $2$, iar ele diferă. Prin urmare $f^{\prime \prime }(0)$ nu există, iar $f$ e de două ori derivabilă doar pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu $f^{\prime \prime }(x)=2$ pentru $x>0$ și $f^{\prime \prime }(x)=-2$ pentru $x<0$.

De reținut

• Definiția: $f^{\prime \prime }={\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }$; funcția e de două ori derivabilă într-un punct dacă $f^{\prime }$ e derivabilă acolo. Notația este $f^{\prime \prime }$, iar programa se oprește la acest ordin.
• Interpretarea: dacă $f^{\prime }$ este viteza, $f^{\prime \prime }$ este accelerația — ritmul cu care se schimbă ritmul.
• Calculul are doi pași: derivezi, simplifici, derivezi din nou. Simplificarea intermediară scurtează calculul la jumătate.
• Derivabilă nu înseamnă de două ori derivabilă: $f(x)=x|x|$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$, dar $f^{\prime \prime }(0)$ nu există.
• Relațiile de tipul $f^{\prime \prime }-2f^{\prime }+f=0$ se verifică prin calcul direct, scoțând factor comun; ele sunt forma în care se scriu legile fizicii.

Greșeli frecvente

• Derivezi de două ori fără să simplifici între pași. Din $2x{e}^x+x^2{e}^x$ nesimplificat ies patru termeni la a doua derivare; din forma $e^x\left(x^2+2x\right)$ ies doi.
• Pierzi un factor la funcțiile compuse. Pentru $\sin (3x)$, fiecare derivare adaugă un factor $3$, deci $f^{\prime \prime }(x)=-9\sin (3x)$, nu $-\sin (3x)$ și nici $-3\sin (3x)$.
• Confunzi „$f^{\prime \prime }$ negativă" cu „$f$ descrescătoare". Semnul lui $f^{\prime \prime }$ vorbește despre ritm, nu despre mărimea însăși: o funcție poate crește în timp ce derivata ei a doua e negativă, adică poate crește tot mai încet.
• Presupui că orice funcție derivabilă e de două ori derivabilă. Verifică întotdeauna derivabilitatea lui $f^{\prime }$, mai ales la funcțiile definite pe ramuri sau cu modul.
• Scrii $f^2$ sau $(f^{\prime }{)}^2$ în loc de $f^{\prime \prime }$. Derivata a doua nu e o putere: $f^{\prime \prime }(x)$ înseamnă derivata derivatei, în timp ce ${\left(f^{\prime }(x)\right)}^2$ este pătratul derivatei întâi, un cu totul alt număr.

Aplică acasă

1. Accelerația din lift. Urcă cu liftul într-o clădire înaltă și observă în ce momente te simți mai greu sau mai ușor: la pornire, la mijlocul drumului sau la oprire. Notează observațiile și explică-le prin semnul accelerației, adică al derivatei a doua a înălțimii. La mijloc, când liftul se mișcă uniform, accelerația este nulă și nu simți nimic.

2. Cinci relații verificate. Ia funcțiile $e^{2x}$, $e^{-x}$, $\sin (2x)$, $\cos (3x)$ și $x{e}^x$ și, pentru fiecare, calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, apoi caută o relație simplă între ele, de forma $f^{\prime \prime }=kf$ sau $f^{\prime \prime }+a{f}^{\prime }+bf=0$. Vei descoperi că fiecare dintre aceste funcții satisface o astfel de relație.

3. Graficul unei creșteri care încetinește. Găsește un grafic dintr-un articol de presă — număr de abonați, cazuri raportate, prețuri — și marchează pe el porțiunile în care mărimea crește, dar din ce în ce mai încet. Formulează în cuvinte ce se întâmplă acolo cu derivata întâi și cu derivata a doua.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce derivata de ordinul al doilea, ultimul ordin cerut de programa clasei a XI-a. Din punct de vedere tehnic, este doar o repetare a operației de derivare; din punct de vedere al înțelegerii, este un salt real, pentru că elevul trebuie să lucreze simultan cu trei niveluri: mărimea, ritmul ei și schimbarea ritmului. Analogia recomandată de programă — viteza și accelerația — nu este un ornament, ci mijlocul cel mai sigur de a face distincția să rămână.

Ce verifică lecția: (1) definiția corectă a derivatei a doua, ca derivată a lui $f^{\prime }$; (2) calculul lui $f^{\prime \prime }$ pentru funcții din toate familiile studiate, cu simplificarea intermediară; (3) precizarea mulțimii pe care funcția e de două ori derivabilă; (4) verificarea unei relații între $f$, $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$; (5) interpretarea semnului și a mărimii lui $f^{\prime \prime }$ într-un context practic.

Întrebări bune de control: „Ce este accelerația, exprimată cu derivate?", „Poate o funcție derivabilă să nu aibă derivată a doua?", „Ce înseamnă că o creștere încetinește?". La BAC M1, derivata a doua apare mai ales în două forme: cerința directă „calculați $f^{\prime \prime }$" și cerința de a verifica o relație de tipul celei din exemplul $6$. Semn că elevul a înțeles: nu confundă „valoarea scade" cu „ritmul scade" și verifică derivabilitatea lui $f^{\prime }$ înainte de a scrie $f^{\prime \prime }$.

Întrebări frecvente

Ce este derivata de ordinul al doilea? Este derivata derivatei întâi, notată $f^{\prime \prime }$. O funcție este de două ori derivabilă într-un punct dacă $f^{\prime }$ există pe o vecinătate a punctului și este derivabilă acolo. Programa clasei a XI-a se oprește la ordinul al doilea.

Cum se calculează derivata a doua? În doi pași: calculezi $f^{\prime }$ cu tabelul derivatelor și cu regulile de derivare, aduci rezultatul la forma cea mai simplă, apoi derivezi din nou. Simplificarea intermediară nu e obligatorie, dar scurtează mult calculul, mai ales la produse cu exponențiale.

Ce legătură are derivata a doua cu accelerația? Dacă $s(t)$ este poziția unui obiect la momentul $t$, atunci $s^{\prime }(t)$ este viteza, iar $s^{\prime \prime }(t)$ este accelerația, adică ritmul cu care se schimbă viteza. Unitatea de măsură, metri pe secundă la pătrat, exprimă chiar acest lucru: câți metri pe secundă se câștigă în fiecare secundă.

Orice funcție derivabilă are derivată de ordinul al doilea? Nu. Funcția $f(x)=x|x|$ e derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }(x)=2|x|$, dar această derivată nu e derivabilă în origine, deci $f^{\prime \prime }(0)$ nu există. Nederivabilitatea nu dispare, ci se mută cu un ordin mai sus.

Ce înseamnă că derivata a doua este negativă? Înseamnă că ritmul de variație scade. Mărimea însăși poate să crească în continuare — de exemplu, un cont care crește, dar din ce în ce mai încet. Confuzia dintre „mărimea scade" și „ritmul scade" este cea mai frecventă greșeală de interpretare.

Cum arăt că o funcție verifică o relație de tipul $f^{\prime \prime }-2f^{\prime }+f=0$? Calculezi $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, le înlocuiești în relație și reduci termenii. La funcțiile care conțin $e^x$, scoate factorul comun exponențial: în paranteză rămâne o expresie polinomială care se reduce imediat, iar concluzia se scrie pentru orice $x$ din domeniu.

Ce derivată a doua are funcția sinus? Este $-\sin x$. La fel, cosinusul are derivata a doua $-\cos x$. Cu alte cuvinte, ambele verifică relația $f^{\prime \prime }+f=0$ — motivul pentru care aceste funcții descriu oscilațiile din fizică, de la pendul la undele sonore.

Ce înseamnă derivata a doua a unei funcții de cost? Costul total spune cât plătești pentru toată producția, costul marginal, adică derivata întâi, spune cât te costă unitatea următoare, iar derivata a doua spune cu cât se schimbă acest cost al unității următoare atunci când mai adaugi o unitate. O valoare negativă arată economie de scară: producția suplimentară devine, deocamdată, mai ieftină.