Derivate laterale și teorema de decizie: pe scurt

Raportul de diferențe se poate studia separat pe fiecare parte a punctului, exact cum ai făcut la limitele laterale. Derivata la stânga este $$f_s^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ iar derivata la dreapta, $f_d^{\prime }(x_0)$, se scrie la fel, cu $x>x_0$. În ambele rapoarte apare aceeași valoare $f(x_0)$, oricâte ramuri ar avea funcția.

Teorema de decizie: $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ există, sunt finite și sunt egale; atunci $f^{\prime }(x_0)$ este valoarea lor comună. Cele trei condiții se verifică — și se punctează — separat: la $\sqrt[3]{x}$ în $0$ derivatele laterale sunt egale, dar amândouă valorează $+\infty$, deci funcția nu e derivabilă acolo.

La funcțiile pe ramuri procedura are patru pași: citești $f(x_0)$ de pe ramura a cărei condiție o verifică $x_0$, calculezi $f_s^{\prime }(x_0)$ pe ramura din stânga, $f_d^{\prime }(x_0)$ pe cea din dreapta, apoi compari. Etalonul este $f(x)=|x|$ în $0$, cu $f_s^{\prime }(0)=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=1$: graficul are un colț.

La un capăt închis al domeniului există o singură derivată laterală, cea dinspre interior — de aceea $\sqrt{x}$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$, dar nu în $0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x,& x\le 2\\ 5x-4,& x>2\end{array}$. Atunci:

   • a) $f$ nu este derivabilă în $2$, pentru că ramurile nu se lipesc
   • b) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=5$
   • c) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=6$
   • d) $f_s^{\prime }(2)=4$ și $f_d^{\prime }(2)=5$, deci $f$ nu este derivabilă în $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=5$

   $f(2)=6$, iar a doua ramură dă tot $10-4=6$: ramurile se lipesc. Apoi $f_s^{\prime }(2)=\lim \frac{x^2+x-6}{x-2}=\lim (x+3)=5$ și $f_d^{\prime }(2)=\lim \frac{5x-10}{x-2}=5$. Ambele finite și egale, deci $f^{\prime }(2)=5$. Valoarea $6$ este $f(2)$, nu derivata.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, și $x_0=0$. Care afirmație este corectă?

   • a) $f_s^{\prime }(0)=-\infty$ și $f_d^{\prime }(0)=+\infty$
   • b) $f$ este derivabilă în $0$, pentru că derivatele laterale sunt egale
   • c) $f_s^{\prime }(0)$ nu există
   • d) $f_s^{\prime }(0)=f_d^{\prime }(0)=+\infty$, deci $f$ are derivată în $0$, dar nu este derivabilă acolo
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f_s^{\prime }(0)=f_d^{\prime }(0)=+\infty$, deci $f$ are derivată în $0$, dar nu este derivabilă acolo

   Raportul este $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$, cu numitor strict pozitiv care tinde la $0$: el tinde la $+\infty$ din ambele părți. Egalitatea derivatelor laterale nu ajunge — mai trebuie ca ele să fie finite.

3. Fie $f:[3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-3}$. În punctul $x_0=3$:

   • a) se studiază numai derivata la dreapta, care este $+\infty$, deci $f$ nu este derivabilă în $3$
   • b) $f_s^{\prime }(3)=-\infty$ și $f_d^{\prime }(3)=+\infty$
   • c) $f$ este derivabilă în $3$, cu $f^{\prime }(3)=0$
   • d) $f$ nu este continuă în $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) se studiază numai derivata la dreapta, care este $+\infty$, deci $f$ nu este derivabilă în $3$

   La stânga lui $3$ domeniul nu are puncte, deci $f_s^{\prime }(3)$ nici nu se poate formula. Rămâne $f_d^{\prime }(3)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x-3}}{x-3}=\lim \frac{1}{\sqrt{x-3}}=+\infty$: funcția are derivată la dreapta, infinită, deci nu este derivabilă în $3$ (deși este continuă acolo).