Derivate laterale. Funcții derivabile într-un punct

Un drum de munte urcă lin până la creastă și coboară abrupt de partea cealaltă. Dacă stai exact pe creastă și întrebi „care este panta drumului aici?", răspunsul depinde de direcția în care privești: înapoi, panta e mică și pozitivă; înainte, e mare și negativă. Nu există o singură pantă în vârf — există două, iar diferența dintre ele este chiar ceea ce face creasta să fie creastă.

Aceeași situație apare la graficele funcțiilor, iar unealta care o descrie o ai deja: în limite laterale ai învățat să separi apropierea prin valori mai mici de apropierea prin valori mai mari, atunci când o singură limită nu era de ajuns. Astăzi aplici exact aceeași separare raportului de diferențe din definiția derivatei. Câștigul e dublu: obții un răspuns și acolo unde derivata nu există, și primești o teoremă de decizie care rezolvă, mecanic, toate exercițiile cu funcții definite pe ramuri — categoria cea mai frecventă la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești derivata la stânga $f_s^{\prime }(x_0)$ și derivata la dreapta $f_d^{\prime }(x_0)$ și să le calculezi separat.
• Vei ști să folosești teorema de caracterizare: $f$ e derivabilă în $x_0$ exact când cele două derivate laterale există, sunt finite și egale.
• Vei ști să studiezi derivabilitatea unei funcții definite pe ramuri în punctul de racord, cu rezolvarea scrisă în ordinea cerută de barem.
• Vei ști ce se întâmplă la capătul închis al domeniului, unde există o singură derivată laterală.
• Vei ști să recunoști cazurile cu derivate laterale infinite și să spui corect ce se pierde acolo.
• Vei ști să treci de la derivata într-un punct la mulțimea de derivabilitate și la funcția derivată $f^{\prime }$.

Hai să descoperim împreună

1. Un raport cu două comportamente

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, funcția modul, al cărei grafic — două semidrepte care pornesc din origine — l-ai studiat la funcția modul. Ea este continuă în $0$, lucru pe care l-ai verificat deja în continuitatea unei funcții într-un punct. Să încercăm derivata în origine. Cum $f(0)=0$, raportul de diferențe este

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|}{x}.$$

Dar acesta este chiar exemplul cu care a început unitatea de limite: raportul valorează $1$ pentru orice $x>0$ și $-1$ pentru orice $x<0$, deci nu are limită în $0$. Concluzia imediată: funcția modul nu are derivată în origine.

Concluzia este corectă, dar sărăcăcioasă — la fel ca la limite. Ea aruncă informația că fiecare parte are un răspuns foarte clar: venind dinspre stânga, toate pantele secantelor sunt $-1$; venind dinspre dreapta, toate sunt $1$. Graficul are în origine două semitangente distincte, cu pantele $-1$ și $1$, iar unghiul dintre ele este exact motivul pentru care derivata nu există.

2. Definiția derivatelor laterale

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ punct de acumulare la stânga pentru $D$. Numim derivata la stânga a lui $f$ în $x_0$ limita $$f_s^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ dacă aceasta există în $\overline{\mathbb{R}}$. Analog, dacă $x_0$ e punct de acumulare la dreapta pentru $D$, derivata la dreapta este $$f_d^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Spunem că $f$ este derivabilă la stânga în $x_0$ dacă $f_s^{\prime }(x_0)$ există și este finită; analog la dreapta.

Notațiile $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ sunt cele folosite în manualele românești și în baremele de la Bacalaureat M1; litera $s$ vine de la „stânga", litera $d$ de la „dreapta". Ca și la limitele laterale, distincția dintre „are derivată laterală" (limita există, eventual infinită) și „este derivabilă lateral" (limita e finită) se păstrează cuvânt cu cuvânt.

Un amănunt de scriere care se sancționează des: în ambele rapoarte apare aceeași valoare $f(x_0)$. Ea nu se schimbă de la o parte la alta, oricât de multe ramuri ar avea funcția — $f(x_0)$ este un singur număr, citit din enunț.

Aplicare imediată, pe exemplul din §1: pentru $f(x)=|x|$ și $x_0=0$ obținem $$f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{|x|}{x}=-1,f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{|x|}{x}=1.$$

3. Teorema de decizie

Iată enunțul care organizează toată lecția.

Teoremă. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ punct de acumulare bilateral pentru $D$. Funcția $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă derivatele laterale $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ există, sunt finite și egale. În acest caz, $f^{\prime }(x_0)$ este valoarea lor comună.

Demonstrație. Afirmația este criteriul de existență a limitei cu limite laterale, aplicat funcției $g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, definită pe $D\setminus \{x_0\}$. Limita lui $g$ în $x_0$ există dacă și numai dacă cele două limite laterale ale lui $g$ există și coincid — iar acestea sunt, prin definiție, $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$. Condiția suplimentară de finitudine este chiar diferența dintre „are derivată" și „este derivabilă". $■$

Reține cele trei condiții, pentru că ele se verifică separat și se punctează separat: existența, finitudinea, egalitatea. Un răspuns care sare peste finitudine este incomplet: la $f(x)=\sqrt[3]{x}$ în $0$, ambele derivate laterale există și sunt egale — amândouă valorează $+\infty$ —, dar funcția nu e derivabilă acolo.

4. Funcții definite pe ramuri: procedura completă

Aici se folosește teorema aproape de fiecare dată, pentru că punctul de racord dintre două ramuri este singurul loc în care derivabilitatea poate să cadă.

Procedura, în patru pași:

1. citești valoarea $f(x_0)$ de pe ramura a cărei condiție e satisfăcută de $x_0$;
2. calculezi $f_s^{\prime }(x_0)$ folosind, la numărător, numai ramura valabilă pentru $x<x_0$;
3. calculezi $f_d^{\prime }(x_0)$ folosind, la numărător, numai ramura valabilă pentru $x>x_0$;
4. compari: dacă cele două sunt finite și egale, $f$ e derivabilă în $x_0$ și $f^{\prime }(x_0)$ e valoarea comună; altfel, $f$ nu e derivabilă în $x_0$ și spui exact ce condiție cade.

Exemplu complet. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ 2x-1,& x>1\end{array}$.

Punctul de racord este $1$, iar $1$ verifică prima condiție, deci $f(1)=1$. Observă că și a doua ramură dă $2\cdot 1-1=1$ în punctul de racord: ramurile se lipesc, iar acest lucru trebuie verificat înainte de orice, pentru motivul care se lămurește în legătura dintre derivabilitate și continuitate. Mai departe, $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x+1)=2,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{2x-1-1}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{2(x-1)}{x-1}=2.$$ Ambele sunt finite și egale, deci $f$ este derivabilă în $1$ și $f^{\prime }(1)=2$.

Capcana numărul unu: la pasul 3, numărătorul se scrie $2x-1-f(1)$, adică $2x-1-1$, nu $2x-1-(2x_0-1)$ luat de pe a doua ramură din obișnuință. Valoarea scăzută este mereu $f(x_0)$, citită la pasul 1.

Capcana numărul doi: ramura care conține egalitatea (aici $x\le 1$) nu are niciun rol privilegiat în calculul derivatei la dreapta, exact ca la limitele laterale — șirurile, respectiv valorile $x$ din definiție, evită punctul.

5. La capătul domeniului: o singură derivată laterală

Uneori domeniul nu permite apropierea din ambele părți. Fie $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, și $x_0=0$. La stânga lui $0$ nu există puncte ale domeniului, deci $f_s^{\prime }(0)$ nici nu se poate formula. Rămâne $$f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty ,$$ folosind limitele stabilite la limitele funcțiilor putere și radical.

Într-un asemenea punct, derivabilitatea se cere numai lateral, dinspre interiorul domeniului — și aici ea cade, pentru că limita e infinită. Formularea corectă a răspunsului este: funcția are derivată la dreapta în $0$, egală cu $+\infty$, deci nu este derivabilă în $0$. Nu se spune „nu e derivabilă la stânga", pentru că la stânga nu există nimic de verificat.

Situația apare la orice capăt închis: pentru o funcție definită pe $[1,5]$, în $1$ se studiază doar derivata la dreapta, iar în $5$ doar cea la stânga.

6. Derivate laterale infinite

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x|}$, și $x_0=0$. Avem $f(0)=0$, iar raportul de diferențe este $\frac{\sqrt{|x|}}{x}$. Pentru $x>0$ el egalează $\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty$; pentru $x<0$, scriind $|x|=-x$, el egalează $\frac{\sqrt{-x}}{x}=-\frac{1}{\sqrt{-x}}\to -\infty$. Prin urmare $$f_s^{\prime }(0)=-\infty ,f_d^{\prime }(0)=+\infty .$$

Ambele derivate laterale există, dar niciuna nu e finită și nici nu sunt egale, deci funcția nu e derivabilă în $0$. Graficul are aici o semitangentă verticală de fiecare parte. Configurațiile posibile — două pante finite diferite, ca la modul, sau două infinități de semne contrare, ca acum — primesc nume proprii și un studiu separat în lecția puncte unghiulare și puncte de întoarcere; aici te interesează doar să le calculezi corect și să tragi concluzia potrivită.

Control numeric. Pentru $x=10^{-6}$ raportul valorează $10^3$, iar pentru $x=-10^{-6}$ valorează $-10^3$: valorile fug în direcții opuse, exact cum arată calculul.

7. De la un punct la o mulțime: funcția derivată

Până acum, $f^{\prime }(x_0)$ a fost un număr atașat unui punct. Dacă funcția este derivabilă în fiecare punct al unei mulțimi, numerele acestea se pot aduna într-o funcție nouă.

Definiție. Spunem că $f$ este derivabilă pe mulțimea $A\subseteq D$ dacă este derivabilă în fiecare punct al lui $A$. Mulțimea tuturor punctelor în care $f$ e derivabilă se numește mulțimea de derivabilitate a lui $f$, iar funcția care asociază fiecărui punct $x$ din această mulțime numărul $f^{\prime }(x)$ se numește funcția derivată a lui $f$ și se notează $f^{\prime }$.

Astfel, din calculul făcut în lecția precedentă pentru $f(x)=x^2$ — anume $f^{\prime }(x_0)=2x_0$ pentru orice $x_0$ real — rezultă că $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$ și că funcția ei derivată este $f^{\prime }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=2x$. La funcția modul, mulțimea de derivabilitate este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar $f^{\prime }(x)=-1$ pentru $x<0$ și $f^{\prime }(x)=1$ pentru $x>0$.

Ca și la continuitate, la un capăt închis al unui interval din domeniu se cere doar derivabilitatea laterală dinspre interior. Astfel, calculul cu conjugata din lecția precedentă, refăcut într-un punct oarecare $x_0>0$, arată că $\sqrt{x}$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$; în $0$ însă derivata la dreapta este infinită, deci funcția nu e derivabilă pe $[0,+\infty )$ — iar precizarea aceasta se repetă de fiecare dată când radicalul apare într-un studiu de funcție. Calculul sistematic al funcțiilor derivate pentru funcțiile uzuale este subiectul lecției derivatele funcțiilor uzuale; până acolo, fiecare derivată se obține din definiție.

8. Tabloul de decizie

Punând totul cap la cap, la întrebarea „este $f$ derivabilă în $x_0$?" se răspunde astfel (pentru $x_0$ punct de acumulare bilateral):

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcția modul

Studiați derivabilitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, în punctul $x_0=0$.

Rezolvare. Valoarea: $f(0)=0$.

Derivatele laterale: pentru $x<0$ avem $|x|=-x$, deci $$f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{-x-0}{x-0}=-1;$$ pentru $x>0$ avem $|x|=x$, deci $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x}{x}=1$.

Comparația: ambele sunt finite, dar $-1\ne 1$, deci $f$ nu este derivabilă în $0$. Ea rămâne însă derivabilă pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Exemplul 2 — Racord reușit

Studiați derivabilitatea în $x_0=1$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x,& x\le 1\\ 4x-1,& x>1\end{array}$.

Rezolvare. Valoarea: $1$ verifică $x\le 1$, deci $f(1)=1+2=3$. (Și a doua ramură dă $4-1=3$, deci ramurile se lipesc.)

Derivatele laterale: $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{(x+3)(x-1)}{x-1}=4,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{4x-1-3}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{4(x-1)}{x-1}=4.$$

Comparația: finite și egale, deci $f$ este derivabilă în $1$ și $f^{\prime }(1)=4$.

Verificare numerică: pe ramura din stânga raportul se reduce la $x+3$, deci în $x=1-10^{-6}$ valorează $3,999999$; pe ramura din dreapta el este constant egal cu $4$. ✓

Exemplul 3 — Racord continuu, dar cu colț

Studiați derivabilitatea în $x_0=1$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ 3x-2,& x>1\end{array}$.

Rezolvare. Valoarea: $f(1)=1$; a doua ramură dă tot $3-2=1$, deci ramurile se lipesc.

Derivatele laterale: $f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$ și $f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{3x-3}{x-1}=3$.

Comparația: ambele finite, dar $2\ne 3$, deci $f$ nu este derivabilă în $1$. Graficul are aici un colț: semitangenta din stânga are panta $2$, cea din dreapta panta $3$.

Exemplul 4 — La capătul domeniului

Studiați derivabilitatea funcției $f:[2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-2}$, în $x_0=2$.

Rezolvare. La stânga lui $2$ domeniul nu are puncte, deci se studiază numai derivata la dreapta. Cum $f(2)=0$, $$f_d^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x-2}}{x-2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-2}}=+\infty .$$ Funcția are derivată la dreapta în $2$, egală cu $+\infty$, deci nu este derivabilă în $2$. Pe $(2,+\infty )$ ea este derivabilă.

Exemplul 5 — O funcție cu modul

Studiați derivabilitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-1|$, în $x_0=1$.

Rezolvare. Explicităm modulul în jurul lui $1$: pentru $x\in (-1,1)$ avem $x^2-1<0$, deci $f(x)=1-x^2$; pentru $x>1$ avem $f(x)=x^2-1$. Valoarea în punct este $f(1)=0$.

$$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{1-x^2}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(-(x+1))=-2,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$

Ambele finite, dar diferite, deci $f$ nu este derivabilă în $1$. Din simetria expresiei, același lucru se întâmplă în $x_0=-1$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+3x,& x\le 1\\ 5x-1,& x>1\end{array}$. a) Calculați $f_s^{\prime }(1)$ și $f_d^{\prime }(1)$. b) Arătați că $f$ este derivabilă în $x_0=1$ și precizați $f^{\prime }(1)$.

Rezolvare.

a) Avem $f(1)=1+3=4$ (de pe prima ramură, fiindcă $1\le 1$). Atunci $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^2+3x-4}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{(x+4)(x-1)}{x-1}=5,$$ $$f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{5x-1-4}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{5(x-1)}{x-1}=5.$$

b) Cele două derivate laterale există, sunt finite și egale, deci, conform teoremei de caracterizare, $f$ este derivabilă în $1$ și $f^{\prime }(1)=5$.

Observație de barem: la punctul b) nu ajunge „sunt egale". Formularea completă cere toate trei condițiile — există, sunt finite, sunt egale —, iar valoarea comună se numește apoi $f^{\prime }(1)$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi $f(x_0)$, apoi cele două derivate laterale, apoi concluzia.

1. Studiază derivabilitatea funcției $f(x)=|x-3|$ în $x_0=3$.

2. Studiază derivabilitatea în $x_0=0$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 0\\ x^3,& x>0\end{array}$.

3. Studiază derivabilitatea în $x_0=1$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& x\le 1\\ x^2+1,& x>1\end{array}$.

4. Studiază derivabilitatea în $x_0=2$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-2,& x\le 2\\ x^2,& x>2\end{array}$.

5. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x|x|$, este derivabilă în $0$ și calculează $f^{\prime }(0)$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f_s^{\prime }(x_0)=f_d^{\prime }(x_0)$, atunci $f$ este derivabilă în $x_0$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție poate avea derivată la dreapta într-un punct fără să aibă derivată la stânga."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La o funcție pe ramuri, în raportul pentru $f_d^{\prime }(x_0)$ se scade valoarea ramurii din dreapta calculată în $x_0$."

9. Studiază derivabilitatea funcției $f:[2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-2}$, în $x_0=2$.

10. Studiază derivabilitatea funcției $f(x)=|x^2-4|$ în $x_0=2$.

11. Studiază derivabilitatea în $x_0=2$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1,& x\le 2\\ 4x-5,& x>2\end{array}$.

12. Studiază derivabilitatea funcției $f(x)=\sqrt{|x|}$ în $x_0=0$ și precizează ce fel de răspuns ai obținut.

13. (Problemă aplicată.) Un rezervor se umple după legea $V(t)=t^2$ litri pentru $t\le 5$ minute și $V(t)=10t-25$ litri pentru $t>5$. Verifică dacă debitul instantaneu are un salt la minutul $5$.

14. Studiază derivabilitatea în $x_0=0$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3,& x\le 0\\ x^2,& x>0\end{array}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x,& x\le 3\\ 4x-9,& x>3\end{array}$. Arată că $f$ este derivabilă în $3$ și calculează $f^{\prime }(3)$.

16. Studiază derivabilitatea în $x_0=1$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ x,& x>1\end{array}$.

17. Determină mulțimea de derivabilitate a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|$, și scrie funcția derivată.

18. (Provocare.) Studiază derivabilitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x|x-1|$, în $x_0=1$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(3)=0$. Pentru $x<3$, $f(x)=3-x$, deci $f_s^{\prime }(3)=\lim \frac{3-x}{x-3}=-1$; pentru $x>3$, $f(x)=x-3$, deci $f_d^{\prime }(3)=1$. Ambele finite, dar diferite: $f$ nu e derivabilă în $3$.

2. $f(0)=0$. $f_s^{\prime }(0)=\underset{x<0}{\lim }\frac{x^2}{x}=\lim x=0$; $f_d^{\prime }(0)=\underset{x>0}{\lim }\frac{x^3}{x}=\lim x^2=0$. Finite și egale, deci $f$ e derivabilă în $0$ și $f^{\prime }(0)=0$.

3. $f(1)=2$ (prima ramură); a doua dă tot $2$, deci ramurile se lipesc. $f_s^{\prime }(1)=\lim \frac{2x-2}{x-1}=2$; $f_d^{\prime }(1)=\lim \frac{x^2+1-2}{x-1}=\lim \frac{x^2-1}{x-1}=2$. Derivabilă, $f^{\prime }(1)=2$.

4. $f(2)=4$; a doua ramură dă tot $4$. $f_s^{\prime }(2)=\lim \frac{3x-2-4}{x-2}=3$; $f_d^{\prime }(2)=\lim \frac{x^2-4}{x-2}=4$. Ambele finite, dar $3\ne 4$: nu e derivabilă în $2$.

5. $f(0)=0$, iar raportul este $\frac{x|x|}{x}=|x|$ pentru $x\ne 0$. Ambele limite laterale sunt $0$, deci $f$ e derivabilă în $0$ și $f^{\prime }(0)=0$. Spre deosebire de $|x|$, factorul suplimentar $x$ „netezește" colțul.

6. Fals. Mai trebuie ca ele să fie finite. La $f(x)=\sqrt[3]{x}$ în $0$, ambele derivate laterale valorează $+\infty$, sunt deci egale, dar funcția nu e derivabilă acolo.

7. Adevărat. Se întâmplă la orice capăt închis al domeniului: pentru $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, în $0$ nu există puncte la stânga, deci $f_s^{\prime }(0)$ nici nu se poate formula, în timp ce $f_d^{\prime }(0)=+\infty$ există.

8. Fals. În ambele rapoarte se scade aceeași valoare $f(x_0)$, citită de pe ramura a cărei condiție e satisfăcută de $x_0$. Confuzia aceasta e sursa principală de erori de calcul la exercițiile cu ramuri.

9. $f(2)=0$ și există doar derivata la dreapta: $f_d^{\prime }(2)=\underset{x>2}{\lim }\frac{\sqrt{x-2}}{x-2}=\lim \frac{1}{\sqrt{x-2}}=+\infty$. Funcția are derivată la dreapta, infinită, deci nu e derivabilă în $2$.

10. $f(2)=0$. În jurul lui $2$: pentru $x\in (-2,2)$, $f(x)=4-x^2$, deci $f_s^{\prime }(2)=\lim \frac{4-x^2}{x-2}=\lim (-(x+2))=-4$; pentru $x>2$, $f(x)=x^2-4$, deci $f_d^{\prime }(2)=\lim (x+2)=4$. Nu e derivabilă în $2$.

11. $f(2)=3$; a doua ramură dă $8-5=3$. $f_s^{\prime }(2)=\lim \frac{x^2-1-3}{x-2}=\lim \frac{x^2-4}{x-2}=4$; $f_d^{\prime }(2)=\lim \frac{4x-5-3}{x-2}=4$. Derivabilă, $f^{\prime }(2)=4$.

12. $f(0)=0$; $f_s^{\prime }(0)=-\infty$ și $f_d^{\prime }(0)=+\infty$ (calculul din §6). Cele două derivate laterale există, dar sunt infinite și de semne contrare: funcția nu are derivată în $0$ și cu atât mai puțin nu e derivabilă acolo.

13. $V(5)=25$, iar a doua ramură dă $50-25=25$: volumul nu sare. $V_s^{\prime }(5)=\lim \frac{t^2-25}{t-5}=\lim (t+5)=10$; $V_d^{\prime }(5)=\lim \frac{10t-25-25}{t-5}=10$. Cele două coincid, deci debitul instantaneu este $10$ litri pe minut și nu are salt: trecerea de la umplerea accelerată la cea uniformă se face lin.

14. $f(0)=0$; $f_s^{\prime }(0)=\underset{x<0}{\lim }\frac{x^3}{x}=0$ și $f_d^{\prime }(0)=\underset{x>0}{\lim }\frac{x^2}{x}=0$. Derivabilă în $0$, cu $f^{\prime }(0)=0$.

15. $f(3)=9-6=3$; a doua ramură dă tot $12-9=3$, deci ramurile se lipesc. $f_s^{\prime }(3)=\lim \frac{x^2-2x-3}{x-3}=\lim \frac{(x+1)(x-3)}{x-3}=4$ și $f_d^{\prime }(3)=\lim \frac{4x-9-3}{x-3}=\lim \frac{4(x-3)}{x-3}=4$. Ambele există, sunt finite și egale, deci $f$ e derivabilă în $3$ și $f^{\prime }(3)=4$.

16. $f(1)=1$; a doua ramură dă tot $1$. $f_s^{\prime }(1)=\lim \frac{x^2-1}{x-1}=2$; $f_d^{\prime }(1)=\lim \frac{x-1}{x-1}=1$. Ambele finite, dar diferite: nu e derivabilă în $1$.

17. Pentru $x<1$, $f(x)=1-x$, cu raportul de diferențe constant $-1$ în orice punct $x_0<1$; pentru $x>1$, $f(x)=x-1$, cu raportul constant $1$. În $1$, derivatele laterale sunt $-1$ și $1$, deci funcția nu e derivabilă. Mulțimea de derivabilitate este $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, iar $f^{\prime }(x)=-1$ pentru $x<1$ și $f^{\prime }(x)=1$ pentru $x>1$.

18. $f(1)=0$. Pentru $x<1$, $f(x)=x(1-x)$, deci $f_s^{\prime }(1)=\lim \frac{x(1-x)}{x-1}=\lim (-x)=-1$; pentru $x>1$, $f(x)=x(x-1)$, deci $f_d^{\prime }(1)=\lim \frac{x(x-1)}{x-1}=\lim x=1$. Ambele finite și diferite, deci $f$ nu e derivabilă în $1$: produsul cu $x$ nu a netezit colțul, pentru că în punctul de racord factorul $x$ valorează $1$, nu $0$ (comparați cu exercițiul 5).

De reținut

• Derivatele laterale sunt limitele raportului de diferențe restrânse la o singură parte: $f_s^{\prime }(x_0)$ pentru $x<x_0$, $f_d^{\prime }(x_0)$ pentru $x>x_0$. În ambele rapoarte apare aceeași valoare $f(x_0)$.
• Teorema de decizie: $f$ e derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ există, sunt finite și sunt egale; atunci $f^{\prime }(x_0)$ e valoarea lor comună.
• Cele trei condiții se verifică separat. „Egale" fără „finite" nu ajunge: la $\sqrt[3]{x}$ în $0$ ambele valorează $+\infty$.
• La funcțiile pe ramuri, fiecare derivată laterală se calculează pe ramura ei, iar valoarea $f(x_0)$ se citește de pe ramura a cărei condiție e satisfăcută de $x_0$.
• La capătul închis al domeniului există o singură derivată laterală, cea dinspre interior, și numai ea se cere; $\sqrt{x}$ e derivabilă pe $(0,+\infty )$, nu pe $[0,+\infty )$.

Greșeli frecvente

• Scazi valori diferite pe cele două părți. În raportul pentru $f_d^{\prime }(x_0)$ se scade tot $f(x_0)$, nu valoarea ramurii din dreapta „calculată" în $x_0$. Când ramurile nu se lipesc, cele două numere chiar diferă, iar rezultatul iese complet greșit.
• Concluzionezi „derivabilă" din simpla egalitate a derivatelor laterale. Trebuie spus explicit că ele sunt finite. Formularea de barem cere toate trei condițiile.
• Compari derivatele laterale cu $f(x_0)$. Sunt mărimi de naturi diferite: $f(x_0)$ e o valoare a funcției, derivatele laterale sunt pante. Comparația cu valoarea din punct aparține studiului continuității, nu al derivabilității.
• Spui „nu e derivabilă la stânga" la capătul închis al domeniului. Dacă la stânga lui $x_0$ domeniul nu are puncte, derivata la stânga nu se poate nici formula; se spune că se studiază doar derivabilitatea laterală dinspre interior.
• Confunzi „nu are derivată" cu „nu e derivabilă". La $\sqrt{|x|}$ în $0$, derivatele laterale există (sunt $-\infty$ și $+\infty$), dar derivata nu există; la $\sqrt[3]{x}$ în $0$ derivata există și este $+\infty$, doar că funcția nu e derivabilă. Enunțul spune exact care dintre cele două se cere.

Aplică acasă

1. Creasta din desen. Trasează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(x)=|x-2|$ și pune vârful creionului pe vârful din $x=2$. Măsoară cu rigla panta pe fiecare parte, apoi repetă pentru $g(x)=|x-2|+1$ și pentru $h(x)=2|x-2|$. Notează cum se modifică perechea de pante și ce rămâne neschimbat.

2. Profilul unui traseu. Caută profilul de altitudine al unui traseu montan (îl afișează majoritatea aplicațiilor de drumeție) și găsește un punct în care panta se schimbă brusc. Estimează panta de o parte și de alta, în procente, și explică de ce în acel punct „derivata" traseului nu există.

3. Tariful cu prag. Alege un abonament la internet sau la sală care are un prag de preț (de exemplu, o reducere după un anumit număr de luni). Scrie costul ca funcție pe ramuri, verifică dacă ramurile se lipesc și calculează cele două derivate laterale în punctul de prag. Ce înseamnă, în cuvinte, faptul că ele diferă?

Pentru părinți și profesori

Lecția transferă la derivate ideea de „limită laterală", deja stăpânită de la capitolul de limite, și oferă în schimb un instrument de decizie complet. Dificultatea reală nu este teoretică, ci de redactare: elevul trebuie să scrie trei lucruri distincte — valoarea funcției în punct, derivata la stânga, derivata la dreapta — și să nu le amestece. Cea mai frecventă eroare de la clasă este scăderea, în raportul din dreapta, a valorii ramurii din dreapta în locul lui $f(x_0)$; ea trece neobservată atunci când ramurile se lipesc și produce rezultate false când nu se lipesc.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a celor două rapoarte, cu aceeași valoare $f(x_0)$ în ambele; (2) enunțarea completă a teoremei de caracterizare, cu toate cele trei condiții; (3) tratarea capetelor de domeniu, unde se cere o singură derivată laterală; (4) formularea exactă a răspunsului în cazurile cu derivate infinite. Întrebări bune de control: „Ce scazi la numărător, în fiecare dintre cele două rapoarte?", „De ce nu ajunge ca derivatele laterale să fie egale?", „Ce se cere în $0$ la funcția radical, definită pe $[0,+\infty )$?", „Care e diferența dintre a nu avea derivată și a nu fi derivabilă?".

La BAC M1, tiparul dominant este cel din Exemplul 6: o funcție pe două ramuri și cerința de a arăta că este derivabilă într-un punct dat, cu calculul valorii $f^{\prime }(x_0)$. Semne că elevul a înțeles: scrie spontan cele trei numere unul sub altul și numește condiția care cade atunci când funcția nu e derivabilă. Continuarea firească este lecția legătura dintre derivabilitate și continuitate, care explică de ce verificarea lipirii ramurilor trebuie făcută întotdeauna prima.

Întrebări frecvente

Ce este derivata la stânga a unei funcții într-un punct? Este limita raportului de diferențe $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ calculată numai pentru valori $x<x_0$, notată $f_s^{\prime }(x_0)$. Geometric, este panta semitangentei la grafic dusă dinspre stânga.

Când este o funcție derivabilă într-un punct? Exact atunci când derivata la stânga și derivata la dreapta există, sunt finite și sunt egale. Valoarea lor comună este $f^{\prime }(x_0)$. Toate trei condițiile sunt necesare, iar în bareme sunt punctate separat.

De ce funcția modul nu este derivabilă în zero? Pentru că raportul de diferențe valorează $-1$ la stânga originii și $1$ la dreapta ei, deci derivatele laterale sunt $-1$ și $1$. Fiind diferite, limita raportului nu există, deși funcția este perfect continuă în $0$.

Cum studiez derivabilitatea unei funcții definite pe ramuri? În patru pași: citești $f(x_0)$ de pe ramura care conține punctul; calculezi $f_s^{\prime }(x_0)$ folosind ramura din stânga; calculezi $f_d^{\prime }(x_0)$ folosind ramura din dreapta; compari cele două valori. În ambele rapoarte scazi aceeași valoare $f(x_0)$.

Ce se întâmplă la capătul închis al unui interval? Există o singură derivată laterală, cea dinspre interiorul domeniului, și numai ea se studiază. De aceea $\sqrt{x}$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$, dar nu în $0$, unde derivata la dreapta este $+\infty$.

Ce înseamnă că derivatele laterale sunt infinite? Că raportul de diferențe crește peste orice prag pe partea respectivă, deci graficul are acolo o semitangentă verticală. Funcția nu este derivabilă; dacă cele două infinități au semne contrare, funcția nici nu are derivată în acel punct.

Ce este mulțimea de derivabilitate a unei funcții? Este mulțimea tuturor punctelor în care funcția este derivabilă. Pe ea se definește funcția derivată $f^{\prime }$, care asociază fiecărui punct $x$ numărul $f^{\prime }(x)$. De exemplu, funcția modul are mulțimea de derivabilitate $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Ce se cere la Bacalaureat M1 din această lecție? Cel mai frecvent, studiul derivabilității unei funcții pe două ramuri într-un punct de racord: se calculează cele două derivate laterale din definiție și se compară. Redactarea completă, cu toate cele trei condiții numite, este cerută explicit de barem.